是大自然的天作之合成全了數學(xué)之美?
還是數學(xué)揭示了自然規律而美不勝收?
今天的故事要從西元1202年說(shuō)起
一位叫列昂納多·斐波那契的意大利數學(xué)家
他發(fā)現了一個(gè)無(wú)聊有趣問(wèn)題：
假設一對初生兔子一個(gè)月到成熟期
一對成熟兔子每月生一對兔子
并且一年內沒(méi)有發(fā)生死亡
那么，由一對初生兔子開(kāi)始
一年以后可以繁殖多少對兔子？
依照上述兔子的繁殖規則，答案是這樣的
第一個(gè)月：只有1對小兔子
第二個(gè)月：小兔子還沒(méi)成年，還是1對小兔子
第三個(gè)月：
兔子成年生1對小兔子，此時(shí)有2對兔子
第四個(gè)月：
成年兔子又生了1對兔子
加上自己及上月生的小兔子，共有3對兔子
第五個(gè)月：
成年兔子又生了1對兔子
第三月生的小兔子已經(jīng)長(cháng)成年且生了1對小兔子
加上本身兩只兔子及上月生的兔子，共5對兔子
......
這么說(shuō)估計大家都會(huì )很懵，看圖就比較方便了
規律是，每月的兔子對數
=上一月的兔子對數＋該月新生的兔子對數
=上一月的兔子對數＋上上月的兔子對數
即第n個(gè)月的兔子對數為Fn，F1＝F2＝1
則對n＞2，有Fn＝Fn-1＋Fn-2
根據上述規律
可預測到第十二個(gè)月兔子數量共為144對
至此，兔子問(wèn)題得以解決
而以上每個(gè)月份兔子數量的數列
即為“斐波那契數列（Fibonacci sequence）”
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……
斐波那契數列中的任一個(gè)數，都叫斐波那契數
自然界中的斐波那契數列
斐波那契數是大自然的一個(gè)基本模式
只要我們認真觀(guān)察
斐波那契數存在于自然界的萬(wàn)物中
向日葵的花盤(pán)中有兩組螺旋線(xiàn)
一組順時(shí)針?lè )较虮P(pán)繞，另一組逆時(shí)針?lè )较虮P(pán)繞
并且彼此相嵌
圖中向日葵的兩類(lèi)曲線(xiàn)
綠色的逆時(shí)針螺線(xiàn)有13條
藍色的順時(shí)針螺線(xiàn)有21條
13和21正是斐波那契數列中相鄰的兩項
雖然不同的向日葵品種中
這些順逆螺旋的數目不固定，但往往不會(huì )超出
13和21、34和55、55和89或89和144這幾組數字
每組數字都是斐波那契數列中相鄰的兩個(gè)數
順、逆螺旋這樣排列的目的
是為了讓植物最充分地利用陽(yáng)光和空氣
繁育更多的后代
而這種排列則是在長(cháng)期進(jìn)化中自然選擇的結果
類(lèi)似的例子還有羅馬花椰菜
（13，21）
以及樹(shù)木的生長(cháng)
新生的枝條往往需要一段“休息”時(shí)間
供自身生長(cháng)，而后才能萌發(fā)新枝
所以，一株樹(shù)苗在一段間隔后長(cháng)出一條新枝
第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)
此后，老枝與“休息”過(guò)一年的枝同時(shí)萌發(fā)
當年生的新枝則次年“休息”
這樣下去，一株樹(shù)木各個(gè)年份對應的枝椏數
便構成斐波那契數列
這個(gè)規律就是生物學(xué)上著(zhù)名的“魯德維格定律”
斐波那契螺旋線(xiàn)
當我們按斐波那契數列，取邊長(cháng)分別為
1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形
每一個(gè)新的正方形都有一個(gè)邊
其長(cháng)度與最近兩個(gè)正方形的邊之和一樣長(cháng)
這組矩形的邊長(cháng)是兩個(gè)相鄰的斐波那契數
稱(chēng)為斐波那契矩形，也叫黃金矩形
（記住這個(gè)黃金矩形，等下還會(huì )再次出現）
然后,以各正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心
畫(huà)出四分之一的曲線(xiàn)，再連接所有曲線(xiàn)
最后形成的螺旋線(xiàn)就是下圖所示的
“斐波那契螺旋線(xiàn)”
人類(lèi)耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀
這種形狀的構造幫助人類(lèi)可以更好的接收聲波
從而增強聽(tīng)覺(jué)
此外，與斐波那契螺旋線(xiàn)非常相似的還有一種
對數螺線(xiàn)，也稱(chēng)等角螺線(xiàn)
即穿過(guò)原點(diǎn)的任意直線(xiàn)與等角螺線(xiàn)相交的角永遠相等
是不是看著(zhù)有點(diǎn)眼熟？
點(diǎn)擊空白處查看答案
鸚鵡螺
斐波那契數列與黃金分割
現在讓我們再次回到斐波那契數列
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……
如果我們取斐波那契數列中兩個(gè)相鄰的數字
后面的數字除以前面的數字，會(huì )得到以下數列
1/1=1 34/55=0.61818
1/2=0.5 55/89=0.61798
2/3=0.66667 89/144=0.61806
3/5=0.6 144/233=0.61803
5/8=0.625 233/377=0.61804
8/13=0.61538 377/610=0.61803
13/21=0.61905 610/987=0.61803
21/34=0.61765 987/1597=0.61803
在圖表中繪制這些數值
發(fā)現當n趨向于無(wú)窮大時(shí)，前一項與后一項的比值
越來(lái)越逼近黃金分割率 0.618
而我們其實(shí)也可以從剛剛的斐波那契矩形中
來(lái)理解黃金分割
黃金分割是指把一條線(xiàn)段分割為兩部分
使其中一部分與全長(cháng)之比等于另一部分與這部分之比
即圖中的b/a=a/a+b=(√5-1)/2≈0.618
黃金分割也被廣泛應用于建筑界
被認為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例
蘊含著(zhù)藝術(shù)性、比例性、和諧性
歷史上許多著(zhù)名的建筑
實(shí)際上它們或多或少都應用了黃金分割
古希臘巴特農神廟是舉世聞名的完美建筑
建成于公元前477年至前432年
它坐落在希臘首都雅典衛城的最高點(diǎn)上
是為了慶祝雅典戰勝波斯而建
神廟的地面和頂部、立面的高和寬
都十分接近黃金分割比
所以后人曾經(jīng)感嘆說(shuō)：
帕特農神廟不能多加一點(diǎn)，也不能減少分毫
埃及金字塔的建造也充分利用了黃金分割的原理
雖歷經(jīng)幾千年的自然侵蝕和人為破壞，已殘損不堪
但從遠處觀(guān)望金字塔
雄偉龐大的建筑體在整體上還是呈現為一個(gè)角錐體
并且是一個(gè)最具有美感的四角錐體結構
雖然這些金字塔大小各異
金字塔底面的邊長(cháng)與高的比都接近于0.618
矗立在塞納河南岸法國巴黎的埃菲爾鐵塔
于1889年建成，是當時(shí)世界上最高的建筑物
鐵塔設有三個(gè)平臺
其中第二個(gè)平臺的位置就十分接近于
全塔高度的黃金分割點(diǎn)
而且除了美，黃金分割還有另外一個(gè)作用
就是穩，科學(xué)家發(fā)現
如果兩根相鄰的弦線(xiàn)長(cháng)短一致并且產(chǎn)生同樣的振動(dòng)
共振顯然是最大的
而當弦長(cháng)度是無(wú)理數的時(shí)候共振最小
符合黃金分割率的建筑
在地震中所導致的共振并不大
而黃金分割率就是無(wú)理數，符合共振最小的規律
存在于自然界的數學(xué)之美不勝枚舉
蝴蝶翅膀的對稱(chēng)生長(cháng)
理想情況下雪花的科克曲線(xiàn)
銀河系螺旋狀的旋臂......
數學(xué)與自然無(wú)處不在的結合
閃耀著(zhù)無(wú)限的光芒
話(huà)題
你觀(guān)察過(guò)哪些自然界的數學(xué)之美？
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