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眾所周知，π=3.141592653…可以說(shuō)，它是世界上最有名的無(wú)理常數了，代表的是一個(gè)圓的周長(cháng)與直徑之比或稱(chēng)為“圓周率”。公元前250年左右，阿基米德給出了“圓周率”的估計值在223/71~22/7之間，也即是在3.140845~3.142857之間。中國南北朝時(shí)期的著(zhù)名數學(xué)家祖沖之(429-500)首次將“圓周率”精算到小數第七位，即在3.1415926和3.1415927之間，他提出的“密率與約率”對數學(xué)的研究有重大貢獻。直到15世紀，阿拉伯數學(xué)家阿爾·卡西才以“精確到小數點(diǎn)后17位”打破了這一紀錄。

代表“圓周率”的字母π是第十六個(gè)希臘字母的小寫(xiě)。也是希臘語(yǔ) περιφρεια（表示周邊，地域，圓周）的首字母。1706年英國數學(xué)家威廉·瓊斯(William Jones, 1675-1749)最先使用“π”來(lái)表示圓周率。1736年，瑞士數學(xué)家歐拉(Leonhard Euler, 1707-1783)也開(kāi)始用表示圓周率。從此，π便成了圓周率的代名詞。

介紹完一些關(guān)于π的來(lái)歷后，我準備著(zhù)手沿著(zhù)古人的方式去尋找π，但此時(shí)我發(fā)現忽略了一個(gè)重要的前提條件——為什么π是一個(gè)常數？即為什么所有圓的周長(cháng)和直徑之比為一個(gè)定值，這一點(diǎn)似乎并不能夠自然而然地就得到。因此在尋找這個(gè)常數之前，先要做的應當是證明“圓的周長(cháng)與直徑之比確實(shí)是一個(gè)常數”。

如上圖所示，以點(diǎn)O為圓心作兩個(gè)半徑不同的圓，小圓的半徑為r₁，周長(cháng)為c₁；大圓的半徑為r₂，周長(cháng)為c₂。分別作兩個(gè)圓的內接正n邊形（n為偶數），邊長(cháng)分別為k₁和k₂，且保證正兩個(gè)n邊形過(guò)圓心的對角線(xiàn)重合。

那么有OA:OD=OB:OC，∠AOB=∠COD，因此△OAB∽△OCD。

所以有k₁/r₁=k₂/r₂。

設小正n邊形和大正n邊形的周長(cháng)分別為c₁’和c₂’，則有c₁’=nk₁，c₂’=nk₂。

所以有c₁’/r₁=c₂’/r₂。

由于當n→∞時(shí)，c₁’= c₁， c₂’= c₂，即取極限或者說(shuō)是逼近的思想，當邊數區域無(wú)窮，內接多邊形就近似是一個(gè)圓了，后面尋找π時(shí)還會(huì )再次用到這個(gè)思想。

所以就有c₁/r₁=c₂/r₂ ，表示的是：對于半徑不同的圓，其各自周長(cháng)與半徑的比為定值，或者說(shuō)為常數，記該常數為2π，則圓的周長(cháng)與直徑之比為π，當然也是一個(gè)常數，證明完畢。

好，既然圓的周長(cháng)和直徑之比是一個(gè)常數，下一步要做的就是去尋找這個(gè)常數或它的近似值了。

我們可以從書(shū)中、從網(wǎng)上、從各種我們能夠想到的渠道獲得這個(gè)神奇的常數。不過(guò)，如果只給你一支筆、一張紙，你能否找到它的近似值呢？

阿基米德(Archimedes, 287-212 BC) 在2200多年前就已經(jīng)通過(guò)計算得到了精度高達99.9%的π，在他那個(gè)年代還沒(méi)有定義小數，甚至連“0”的定義都沒(méi)有（相傳“0”是到了公元5世紀才由印度人最先用于計算之中），那么他當年是怎么計算π的呢？

Archimedes

 287-212 BC

(圖片來(lái)源: Wikipedia)

在得到圓周率之前，阿基米德當然無(wú)法知道一個(gè)圓的周長(cháng)，但是他可以從他知道的開(kāi)始，比如正方形（實(shí)際上他用的是正六邊形，為了演示方便，這里從正方形開(kāi)始）。

(圖片來(lái)源: betterexplained)

對于上圖中一個(gè)已知直徑為1的單位圓（其周長(cháng)即為π），可以以其直徑為邊長(cháng)作出其外切正方形，也可以以其直徑為對角線(xiàn)作出其內接正方形。不管圓的周長(cháng)是多少，其總滿(mǎn)足大于內接正方形的周長(cháng)，小于外切正方形的周長(cháng)。

外切正方形周長(cháng)：

P₄=1×4=4

內接正方形周長(cháng)根據勾股定理有：

p₄≈0.7×4=2.8

假設現在π的大小未知，我們只能肯定π在2.8到4之間，先取個(gè)中間值作為π的估計值，約等于3.4。我們發(fā)現這樣精度很低，因為用4邊形來(lái)估算實(shí)在是太“粗糙”了，為了提高這種方法的精度，可以用邊數更多的正多邊形來(lái)逼近。

Archimedes pi

(圖片來(lái)源: Wikipedia)

可以看出，到了正八邊形時(shí)，內接八邊形與外切八邊形之間的“間隙”比正方形的情況小了。此時(shí)π的估算值相對于正方形的情況會(huì )有一個(gè)精度上的提升。但是，現在的問(wèn)題是：八邊形的周長(cháng)如何計算？而且就算把八邊形的周長(cháng)計算出來(lái)了，那16邊形、32邊形豈不是精度更高，那又該怎么計算？

下面需要用到兩條基本定理：

定理一：半圓的內接三角形為直角三角形，且直角頂點(diǎn)在圓周上。

定理二：圓的弦所對應的圓周角為其所對應的圓心角的一半。

定理一的證明，證明半圓的內接三角形為直角三角形：

對于上圖，令半徑為r的半圓圓心在坐標原點(diǎn)，三角形的一邊為半圓直徑，一個(gè)頂點(diǎn)C在半圓的圓周上，坐標為(x,y)。

則有：

根據勾股定理可知，∠ACB為90°。

定理二的證明：即“圓上同一根弦所對應的圓周角為圓心角的一半”，可以用下圖證明：

對于△OBC，因為OB=OC，有β+β+2α=2β+2α=180°；對于△ABC，由定理一知： ∠ACB=90°，有：β+90°+γ=180°，即β+γ=90°，因此有γ=α。即圓上的一條弦所對應的圓周角是其所對應圓心角的一半。

對于內接多邊形：

如下圖所示，設內接多邊形的每個(gè)邊的邊長(cháng)為S_n，每個(gè)邊對應的圓心角為x。

根據定理一和二，可以得出，內接多邊形的邊長(cháng)S_n=sin(x/2)。

對于外切多邊形

如下圖所示，易得，外切多邊形的邊長(cháng)為T_n=tan(x/2)。

所以，對于正方形

單位圓內接正方形的周長(cháng)為：

p₄=4×sin[(360°/4)/2]= 2.8284271247

單位圓外切正方形的周長(cháng)為：

P₄=4×tan[(360°/4)/2]=4

而對于正八邊形

單位圓內接正八邊形的周長(cháng)為：

p₈=8×sin[(360°/8)/2]= 3.0614674589

單位圓外切正八邊形的周長(cháng)為：

P₈=8×tan[(360°/8)/2]= 3.313708499

因此，對于正n邊形

單位圓內接正n邊形的周長(cháng)為：

p_n=n×sin[(360°/n)/2]

單位圓外切正n邊形的周長(cháng)為：

P_n =n×tan[(360°/n)/2]

對于我們來(lái)說(shuō)，問(wèn)題似乎已經(jīng)解決了，只要n足夠大，結果就會(huì )很精確，可以通過(guò)不停地增大n直到直達到想要的精度。

但是，又忽略了一個(gè)問(wèn)題！阿基米德那個(gè)時(shí)代并沒(méi)有計算器，不像今天，想算sin或者tan，So easy~只需要按幾個(gè)鍵就行了。因此，直接用三角函數計算在當時(shí)其實(shí)是行不通的！

得換換思路了！

阿基米德不愧是數學(xué)大師。為了解決這一棘手的問(wèn)題，阿基米德發(fā)明了一種“迭代算法”：

為了方便計算，將內接和外切多邊形的邊數定為2ⁿ個(gè)，n為整數，且n≥2，如下圖所示。

內接2ⁿ邊形的邊長(cháng)為S_n，則其周長(cháng)為p_n=2ⁿ·S_n；外切2ⁿ邊形的邊長(cháng)為T_n，則其周長(cháng)為P_n=2ⁿ·T_n。

如果令正2ⁿ邊形的邊長(cháng)所對應的圓心角為2θ，由上面的推導知：

內接正2ⁿ邊形的邊長(cháng)S_n=sin(θ)

外切正2ⁿ邊形的邊長(cháng)T_n=tan(θ)

那么，正2ⁿ⁺¹邊形的邊長(cháng)所對應圓心角為θ，由上面的推導知：

內接正2ⁿ⁺¹邊形的邊長(cháng)S_n+1=sin(θ/2)

外切正2ⁿ⁺¹邊形的邊長(cháng)T_n+1=tan(θ/2)

有以下遞推公式：

由此，可以計算外切正2ⁿ⁺¹邊形的周長(cháng)P_n+1：

以及內接正2ⁿ⁺¹邊形的周長(cháng)p_n+1：

即：

可以注意到的是：

P_n+1是p_n與P_n的“調和平均數”；

p_n+1是p_n與P_n+1的“幾何平均數”。

通過(guò)這樣的遞推公式，可以直接以?xún)冉蛹巴馇姓?ⁿ邊形的周長(cháng)來(lái)計算內接及外切正2ⁿ⁺¹邊形的周長(cháng)，成功避免了三角函數的引入。

通過(guò)遞推公式，可以計算得到以下結果：

前面已經(jīng)說(shuō)了，公元前250年人們還沒(méi)有發(fā)明小數，人們只能用分數來(lái)近似各個(gè)根號項所得到的無(wú)理數，當近似項增多，誤差就會(huì )隨之增大，在這種情況下，阿基米德算到了正96邊形，得到π的值在223/71~22/7之間，計算精度達到了99.9%，在那個(gè)時(shí)代已經(jīng)是很高的精度了。

所以在其后的很長(cháng)一段時(shí)間里，人們用22/7來(lái)近似圓周率，取的正是阿基米德計算結果所在區間的上界。

不過(guò)，后面有人發(fā)現了一個(gè)神秘的分數：355/113，其精度居然達到了99.99999％，而發(fā)現這個(gè)數的人正是中國南北朝時(shí)期數學(xué)家祖沖之。時(shí)間大概在公元480年左右。他給出了兩個(gè)分數：密率355/113和約率22/7。顧名思義就是密率精度高，約率的精度稍低一些。

祖沖之（429-500）