本文是離散信號的頻域分析（共5節）中的第5節——傅里葉變換的應用的第一篇。
在開(kāi)始學(xué)習之前，提醒大家，本節內容的學(xué)習，需要用到前面DTFT、DFT以及FFT的知識。如果前面這些內容沒(méi)有掌握的話(huà)，那就不具備繼續學(xué)習本節內容的條件。當然，本節內容的學(xué)習，可以加深對前面這幾個(gè)問(wèn)題的深化理解。
本節內容分為兩部分：5.1 FFT分析信號頻譜；5.2 FFT實(shí)現線(xiàn)性卷積。本文是第一部分：FFT分析信號頻譜。
5.1 FFT分析信號頻譜
1. 用FFT實(shí)現頻譜分析的基本過(guò)程
我們知道，現實(shí)世界中的絕大多數物理量都是以連續變化的形式存在的，而做為離散傅里葉變換，只能處理有限長(cháng)的離散數據。所以對信號進(jìn)行FFT之前，必須首先將其進(jìn)行離散化處理并截取合適的長(cháng)度。
下圖為用FFT實(shí)現頻譜分析的基本過(guò)程。
下面我們詳細來(lái)看具體每一步對信號做了什么樣的處理，我們重點(diǎn)關(guān)注這些處理對信號的頻譜特征有什么樣的影響。
2. 時(shí)域抽樣
第一步為時(shí)域抽樣，我們已經(jīng)學(xué)習過(guò)。其作用是將連續時(shí)間信號按照一定的抽樣間隔離散化，得到離散數據。時(shí)域抽樣包含兩個(gè)過(guò)程：
首先，將連續時(shí)間信號通過(guò)理想低通濾波器，該濾波器又稱(chēng)為“抗混疊濾波器”，作用是濾除高于抽樣頻率一半的高頻分量，防止抽樣時(shí)發(fā)生頻譜混疊。
然后，對信號進(jìn)行抽樣。抽樣后得到離散時(shí)間信號x(n)，其頻譜，能否代表原來(lái)的連續時(shí)間信號的頻譜信息呢？
當然能！因為只要滿(mǎn)足抽樣定理，抽樣后的離散數值就可以完全代表原來(lái)連續時(shí)間信號的信息。但問(wèn)題是，離散時(shí)間信號的頻譜，已經(jīng)是數字域頻率，攜帶的頻率信息，需要轉換為模擬頻率，如何轉換？
這個(gè)問(wèn)題，本公號前面有文章專(zhuān)門(mén)論述，鏈接如下：
數字信號處理系列（離散信號的頻域分析之二）——數字域頻率與模擬角頻率
本文不再重復，只給出結論。
根據上圖的公式反推：
模擬角頻率 = 數字域頻率 * 抽樣頻率fs
3. 時(shí)域加窗
下面我們分析第二步——時(shí)域加窗。
從三個(gè)方面來(lái)看：第一，為什么要加窗？第二，怎樣實(shí)現加窗？第三，加窗有什么影響？
首先看，為什么要加窗？無(wú)他，因為數據太長(cháng)太多，處理不了啊，臣妾做不到；或者是處理時(shí)間太長(cháng)，臣妾等不及啊。更有甚者，有時(shí)輸入信號是無(wú)限長(cháng)的，總不能等到世界末日再去處理吧？
然后看，怎樣實(shí)現加窗？
最簡(jiǎn)單加窗方式，就是將很長(cháng)很長(cháng)的數據，與矩形脈沖RN(n)相乘，就實(shí)現了截取n=0~N-1這N個(gè)點(diǎn)。RN(n)稱(chēng)為“矩形窗”。
除了矩形窗，有沒(méi)有其他形式的窗呢？有，但這是后話(huà)，以后再講。
這里重點(diǎn)分析第三個(gè)問(wèn)題——加窗有什么影響？
先看一般的信號，如下圖所示，頻譜為示意圖。根據“時(shí)域相乘，頻域卷積”，加窗后信號的頻譜，是原來(lái)的頻譜X(w)與矩形窗的頻譜W(w)做卷積，那么，卷積后的頻譜（也即加窗后的頻譜）是什么樣子呢？和很多因素有關(guān)（原始信號的頻譜、窗函數的頻譜、長(cháng)度等等）。從何處入手來(lái)分析呢？
我們知道，正弦信號是基本信號，因為復雜信號可以看是一個(gè)個(gè)不同頻率的正弦信號組合而成，所以下面首先分析正弦信號。
我們知道，無(wú)限長(cháng)正弦信號的頻譜為正負w0處的沖激，如下圖（a），矩形窗的頻譜，如下圖（b）。二者卷積后（也就是N點(diǎn)長(cháng)的正弦信號）的頻譜，如圖（c）。
比較圖（a）和圖（c），可以看到，加窗后信號的頻譜與加窗前相比，發(fā)生了哪些變化呢？變寬了，原來(lái)窄窄的一條（瘦成閃電）變成寬寬的胖子，而且出現起伏的尾巴。
用術(shù)語(yǔ)說(shuō)，就是：
時(shí)域加窗，導致頻譜的擴散——拖尾、變寬，稱(chēng)為頻譜泄漏（ Leakage ）。
為什么變胖？是因為矩形窗函數的頻譜胖（主瓣）。胖的程度，取決于N。N越小主瓣越寬，則越胖。所以，我們要想減少主瓣泄露，可以適當增大N。
為什么出現尾巴？是因為矩形窗函數的頻譜有起伏（旁瓣）。要想減小旁瓣泄露，就要降低窗函數旁瓣的幅度。
但是，我們知道，矩形窗函數，旁瓣幅度與主瓣幅度之比是一定的（-13dB左右），增大N并不能改變這一數值。那么，如何是好呢？
對數據加矩形窗是我們很自然的行為，因為它不改變截取部分信號的取值。但是矩形窗在起點(diǎn)和終點(diǎn)都是不連續的，也就是說(shuō)，數據是突然開(kāi)始、突然結束的。從物理概念上很好解釋?zhuān)@種時(shí)域上的突然變化，意味著(zhù)頻域上存在高頻分量。如果抑制了這些高頻分量，就能夠降低旁瓣幅度。因此從這樣一個(gè)角度，直觀(guān)上就可以想到，窗函數的起始處和結束處越平坦，對旁瓣的抑制就應該越好。關(guān)于窗函數的內容，我們后面會(huì )專(zhuān)門(mén)學(xué)習。
前面分析了加窗對信號頻譜的影響，總結一句話(huà)：時(shí)域加窗，會(huì )導致頻譜泄露——頻譜展寬、拖尾。同時(shí)，我們必須認識到，在進(jìn)行DFT運算時(shí)，時(shí)域加窗是必須的，因此泄漏現象是離散傅里葉變換所固有的，無(wú)法消除，只能在計算量等容許的范圍內，盡量抑制泄露現象。
4. 頻域抽樣（DFT）
經(jīng)過(guò)前面兩步，數據離散化了，也是有限長(cháng)的了，準備工作終于完成了，可以做DFT了。
DFT，也就是頻域抽樣。其實(shí)質(zhì)就是對信號v(n)的頻譜（DTFT）離散化，[0，2Π]區間上離散化成N個(gè)點(diǎn)，就是N點(diǎn)DFT。注意，這個(gè)N是指DFT的點(diǎn)數，而不是前文中的信號長(cháng)度。
v(n)的頻譜也就是上圖中的（c），但我們首先需要把圖（c）變一下。
為什么需要變一下呢？所有離散時(shí)間信號的頻譜，都是以2Π為周期的，圖（a）（b）（c）實(shí)際上畫(huà)出的是-Π~Π區間內的圖形。為了和DFT的研究區間一致（[0，2Π]），我們把圖（c）變成[0，2Π]區間，也就是下圖（d）。
然后，把它以2Π/N為間隔離散化，得到的就是最后的結果V(k)。如下圖（e）所示。
理論分析講完了，最后出一個(gè)題。
欲知答案如何，且聽(tīng)下回分解。（提示一下，可以用matlab來(lái)做哦）
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