說(shuō)明：本文是對4月28日發(fā)表的那一篇的補充（文末對結果進(jìn)行了詳細分析）和修訂（修改了一個(gè)公式）。語(yǔ)音沒(méi)有重新錄制。
上一篇文章講了離散傅里葉變換的應用之一——用FFT分析信號頻譜。鏈接如下：
數字信號處理系列串講第11篇（離散信號的頻域分析之五）——傅里葉變換的應用（1）：FFT分析信號頻譜（之一）
最后給了一道題，題目如下：
欲解此題，關(guān)鍵掌握以下幾點(diǎn)：
第一，分清“截取數據長(cháng)度”（即窗函數長(cháng)度）與“DFT點(diǎn)數”二者的不同；
第二，能夠根據模擬頻率推斷出DFT譜峰處對應的序號k的數值，方法如下：
首先，由模擬頻率轉換為數字域頻率：
圖1
然后，數字域頻率對應到DFT的序號k
圖2
綜合以上兩式，得到：
圖3
【題目分析與解答】
我們按照DFT分析信號頻譜的三個(gè)步驟來(lái)分別求解：
第一步：采樣。所以首先，我們寫(xiě)出采樣后離散時(shí)間信號的表達式：
其周期為10。
第二步：時(shí)域加窗（即截?。?br>
截取10點(diǎn)長(cháng)，相當于將該周期信號x(n)與10點(diǎn)長(cháng)的矩形窗相乘，得到v(n)，所以我們求v(n)的DTFT。
先把公式寫(xiě)出來(lái)嚇嚇大家（
圖4
然后，畫(huà)圖安撫一下大家受傷的心靈（
圖5
注意，上圖中只畫(huà)出了[-Π，Π] 區間的圖形，實(shí)際上DTFT是以2Π為周期的（所以嚇人的公式中有西格瑪求和符號）。
第三步：頻域抽樣，也就是對V(e^jw)在 [0，2Π] 區間抽取N個(gè)點(diǎn)（N為DFT點(diǎn)數，而非第二步中截取的長(cháng)度）
再次把狐假虎威的公式擺出來(lái)（因為有些同學(xué)有強迫癥，非要看看公式長(cháng)什么樣，注意，要先把圖4中的V(e^jw)的西格瑪求和符號去掉，只取0~2Π區間的，所以，后面一項是w-2Π/5+2Π，也就是w+8Π/5，然后再把w變成2Πk/N）（在4月28日發(fā)的文章中，下面這個(gè)公式寫(xiě)錯了，沒(méi)有人給我提出來(lái)?？磥?lái)你們都沒(méi)仔細看公式。
圖6
其實(shí)V(k) 就是下圖中的紅點(diǎn)點(diǎn)啦。
圖7
好了，那么最后的問(wèn)題就是，N取不同值時(shí)（也就是做不同點(diǎn)數的DFT）這些紅點(diǎn)點(diǎn)顯然也不同。對于此題來(lái)說(shuō)，這三種N的取值（10、20、128）得到的結果到底是什么呢？
你看到或者聽(tīng)到這里的話(huà)，暫停一下，自己算算唄。
我直接把matlab畫(huà)圖的結果給出來(lái)。
用前面的公式算一下：f=kfs/N，最后那個(gè)128點(diǎn)DFT的圖，最高的譜峰序號k是多少？
圖8
最后附上matlab程序。
clc;clear all;
f0=1;fs=5;%單位：Hz
n=0:1000;L=10;
xn=cos(2*pi*f0*n/fs);%時(shí)域離散時(shí)間信號
Xk1=fft(xn(1:L),10);
Xk2=fft(xn(1:L),20);
Xk3=fft(xn(1:L),128);
subplot(311);stem((0:length(Xk1)-1),abs(Xk1));title('10點(diǎn)DFT');
subplot(312);stem((0:length(Xk2)-1),abs(Xk2));title('20點(diǎn)DFT');
subplot(313);stem((0:length(Xk3)-1),abs(Xk3));title('128點(diǎn)DFT');
下面分析一下：
首先看N=10時(shí)，此時(shí)的結果看似最為干凈清爽，只有干干凈凈兩根線(xiàn)。但有的同學(xué)要問(wèn)了，單頻信號，只有一個(gè)頻率成分，應該只有一根譜線(xiàn)呀？為什么會(huì )有兩根？
我們先看第一根，k=2那個(gè)譜線(xiàn)，對應頻率為2*fs/10=2*5/10=1Hz，與題設cos（2Πt）完全吻合。k=8那根譜線(xiàn)是怎么一回事呢？是負頻率周期延拓過(guò)去的，本來(lái)在-2，-2+10就等于8了。所以，（敲黑板，以下結論很重要）
對實(shí)信號做N點(diǎn)DFT，我們只需要看前N/2根譜線(xiàn)就行了，不用關(guān)注N/2~N-1之間的。
再看N=20和N=128的DFT結果，怎么出來(lái)那么多根譜線(xiàn)呢？
回過(guò)頭去看一看，做DFT之前的截取L點(diǎn)長(cháng)的序列cos(2Πn/5)的頻譜到底是什么樣子呢？是圖7中的虛線(xiàn)所示。而N點(diǎn)DFT，是對V(e^jw)在 [0，2Π] 區間抽取N個(gè)點(diǎn)。相當于把連續的頻譜圖（V(e^jw)，如圖7中的虛線(xiàn)所示），用一張不透明的紙蓋住，紙上以2Π/N為間隔開(kāi)了一些縫，露出來(lái)的點(diǎn)才是我們得到的DFT的結果。這就是頻域抽樣產(chǎn)生的”柵欄效應“。
所以，不管是10點(diǎn)DFT干干凈凈的兩根線(xiàn)，還是128點(diǎn)DFT密密麻麻的那么多根線(xiàn)，背后隱藏的，都是連續的頻譜函數。之所以10點(diǎn)DFT的結果看起來(lái)更順眼，無(wú)非是因為因為2Π/N也恰好是旁瓣的寬度（因為信號的周期和截取長(cháng)度也是10）
在DFT譜分析中，當DFT點(diǎn)數N大于數據本身的實(shí)際點(diǎn)數L時(shí)，相當于在數據后面補上了L-N個(gè)0再做DFT，稱(chēng)為“補零DFT“。補零經(jīng)常是必要的，補零相當于對信號頻譜以更小的間隔采樣，得到更多的頻譜的信息。而且有時(shí)數據長(cháng)度不是2的整數次冪，如果我們想采用基2FFT算法，就必須進(jìn)行補零。
此題以單頻周期信號為例，展示了不同點(diǎn)數DFT時(shí)結果的不同。給人一種錯覺(jué)：補零，似乎沒(méi)帶來(lái)任何好處，反倒是點(diǎn)數最少的10點(diǎn)DFT的結果最好看。
是不是這樣呢？當然了，如果你知道這個(gè)周期信號的周期是多少，毫無(wú)疑問(wèn)，就截取一個(gè)周期的數據，做同樣點(diǎn)數的DFT，結果最好看。但在分析實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要么信號根本沒(méi)有周期性；要么雖然有周期性，但你不知道；而且實(shí)際信號也不會(huì )是簡(jiǎn)單的單頻信號，會(huì )包含多個(gè)頻率分量。這個(gè)時(shí)候，在系統性能、實(shí)時(shí)性、存儲量等等容許的范圍內，截取盡量長(cháng)的數據（即獲取更多的信息，得到更高的頻率分辨率，下一篇會(huì )專(zhuān)門(mén)講頻率分辨率），做盡量多點(diǎn)數的DFT（即對頻譜進(jìn)行更為精細的采樣）。
而且，實(shí)際應用中，由于DFT的點(diǎn)數一般都比較大，我們一般不會(huì )以離散的形式畫(huà)頻譜圖，而是直接將頻譜圖化成連續的曲線(xiàn)。例如，上例中，我們截取128點(diǎn)長(cháng)的數據，做128點(diǎn)DFT，用連續曲線(xiàn)形式畫(huà)圖（matlab中為plot函數），并且只畫(huà)出前一半（即0~N/2-1）的點(diǎn)，并且把橫軸直接轉換為Hz，如下圖所示：
Matlab代碼如下：
上圖中，橫軸單位為：Hz。采用如下公式，將序號k轉換為模擬頻率Hz：
DFT分析信號頻譜，是實(shí)際中應用最廣泛的數字信號處理算法，還有很多種題目可以出。還是那句話(huà)，題目無(wú)窮無(wú)盡，而原理就那么多，大家只有掌握了其真正含義，才能以不變應萬(wàn)變。
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