有一首很好聽(tīng)的歌，叫“神奇的九寨”，我借用這個(gè)題目寫(xiě)一寫(xiě)“神奇的π”。上一篇博文“是先有結論，還是先有數據？（130715）”中，我談到了理論要從實(shí)踐中來(lái)。一般來(lái)說(shuō)是這樣，但不都是。本文想說(shuō)：π就不是從實(shí)踐中來(lái)的。
大家知道，圓周率是指圓周長(cháng)與直徑之比。公元前20世紀，巴比倫人就發(fā)現圓周長(cháng)是直徑的3.125倍。中國古算書(shū)《周髀算經(jīng)》（約公元前2世紀）中有“徑一而周三”的記載。漢朝時(shí)，張衡得出圓周率的平方除以16等于5/8（約為3.162）。公元263年，中國數學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計算圓周率，他得出3.141024的圓周率近似值。他繼續割圓到1536邊形，求出令自己滿(mǎn)意的圓周率3927/1250=3.1416。公元480年左右，南北朝時(shí)期的數學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數點(diǎn)后7位，即不足近似值3.1415926和過(guò)剩近似值3.1415927。1706年英國數學(xué)家威廉·瓊斯（WilliamJones ，1675－1749）最先使用“π”來(lái)表示圓周率， 1737年，瑞士大數學(xué)家歐拉也開(kāi)始用π表示圓周率。我當過(guò)數學(xué)教員，記得在蘇聯(lián)中學(xué)教科書(shū)上有π=3.1415926535897932384626433，那是25位，現在還記得。其實(shí)，這些都是近似值。微積分發(fā)展起來(lái)以后才知道：π是一個(gè)無(wú)窮級數之和，或者說(shuō)一個(gè)極限?？梢宰C明它不是一個(gè)有理數，而是一個(gè)無(wú)理數，一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數。奇怪的是：不管大圓、小圓；歐洲的圓、亞洲的圓，其周長(cháng)都是直徑的π倍。不過(guò)，不管你怎么試，用多么精確的儀器，都得不出π來(lái)。只有經(jīng)過(guò)理論的推理，才能推出這個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數。當然，計算它的近似值到幾千位、幾萬(wàn)位，那是計算機的事，計算π還被用來(lái)測試系統穩定性和測試CPU計算完特定位數圓周率所需的時(shí)間。都無(wú)非是勞務(wù)而已。
其所以說(shuō)π神奇，是因為它無(wú)限不循環(huán)，可以任意想象。美國有一個(gè)教授，叫卡爾·薩根(CarlSagan，1934-1996)，是位太空科學(xué)家，曾經(jīng)因為報導太空文學(xué)而得普立茲獎。美國科學(xué)基金會(huì )頒發(fā)了一項最高榮譽(yù)給他，并稱(chēng)贊：“他的研究工作改變了星際科學(xué)……，他給人類(lèi)的禮物是豐盛無(wú)比的。”他的科幻小說(shuō)《接觸》，還改編成電影。里面說(shuō)，一個(gè)地球上的科學(xué)家訪(fǎng)問(wèn)一個(gè)遙遠的行星，發(fā)現外星人計算π的位數長(cháng)得多，而且轉換為各種進(jìn)制，譬如二進(jìn)制、3進(jìn)制、11進(jìn)制等等，很長(cháng)很長(cháng)。這個(gè)無(wú)限長(cháng)的序列里包含了多少信息？有人說(shuō)它包含了所有人的姓名、身份證號碼及其他所有信息，不過(guò)不知道是在哪一段。有人說(shuō)它包含了所有素數。也可以說(shuō)它包含了所有可能的數字組合。這個(gè)結論既不能證明它對，也不能證明它錯，因為它無(wú)限不循環(huán)。只有人們定義的正規數，可以包含所有可能的數字組合。正規數（Normal Number）是一個(gè)任何數字都顯示均勻隨機分布的數字序列，即每個(gè)數字出現機會(huì )均等的實(shí)數。以10為低，任意數字組合的出現都是等可能的。譬如擲銅板出現的正反面是以2位為底的無(wú)窮序列；擲骰子出現以6為底的無(wú)窮序列。這些都是正規數。那么，它到底包含了多少信息？可申農說(shuō)隨機數不包含任何信息。已經(jīng)證明：幾乎所有實(shí)數都是正規的，除開(kāi)一個(gè)勒貝格測度為0的集合之外。別以為這個(gè)勒貝格測度為0的集合很小，所有有理數都包含在內。人們構造了許多正規數，而且可以相信，但無(wú)人證明在任何進(jìn)制下π是一個(gè)正規數。
科幻小說(shuō)離開(kāi)形式邏輯，憑著(zhù)鉆空子的想象，可以發(fā)現許多知識，但必定是沒(méi)有結局的。所以必須要利用科幻的外表，發(fā)掘人性的本質(zhì)?？苹眯≌f(shuō)和電影在我國好像不太時(shí)興。我們不太提倡科學(xué)幻想，大膽地自由思考。我們只知道重拍四大名著(zhù)，重拍N次。但人家卡爾·薩根，憑著(zhù)科學(xué)幻想，可以成為大科學(xué)家。
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