解析： 令A i ＝｛S中一切可被i整除的自然數｝，i＝2，3，5，7．記A＝A 2 ∪A 3 ∪A 5 ∪A 7 ，利用容斥原理，容易算出A中元素的個(gè)數是216．由于在A(yíng)中任取5個(gè)數必有兩個(gè)數在同一個(gè)A i 之中，從而他們不互素．于是n≥217．
另一方面，令
B 1 ＝(1和S中的一切素數｝
B 2 ＝(2 2 ，3 2 ，5 2 ，7 2 ，11 2 ，13 2 ｝
B 3 ＝｛2×131，3×89，5×53，7×37，11×23，13×19｝
B 4 ＝｛2×127，3×83，5×47，7×31，11×19，13×17｝
B 5 ＝{2×113，3×79，5×43，7×29，11×17}
B 6 ＝{2×109，3×73，5×41，7×23，11×13}
易知B 1 中元素的個(gè)數為60．令B＝B 1 ∪B 2 ∪B 3 ∪B 4 ∪B 5 ∪B 6 ，則B中元素的個(gè)數為88，S－B中元素的個(gè)數為192．在S中任取217個(gè)數，由于217－192＝25＞4×6，于是存在i(1≤i≤6)，使得這217個(gè)數中有5個(gè)數在Bi中．顯然這5個(gè)數是兩兩互素的，所以n≤217．
于是n＝217．
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