應用數學(xué)解決問(wèn)題的能力既是“數學(xué)課程標準”中的一個(gè)重要的課程目標，也是考查學(xué)生綜合素質(zhì)的一個(gè)重要依據．2011年安徽省中考數學(xué)試題就有這樣一個(gè)特點(diǎn)：不再只是考查學(xué)生積累了多少“雙基”，而是考查學(xué)生運用“雙基”解決具體問(wèn)題的辦法與能力．重視對邏輯推理能力的考查，注意適度論證，加強了計算和推理的有機結合，入口容易，方法多樣，不求繁難，也沒(méi)有出現“偏題”、“怪題”．可以說(shuō)，與前兩年相比，在保持試題難度框架形式相對穩定不變的前提下，仍趨向于通過(guò)創(chuàng )設新的問(wèn)題情境，結合實(shí)際問(wèn)題在運用的過(guò)程中考查數學(xué)能力，其根本目的是在考查學(xué)生的數學(xué)思想方法．不妨在此作些簡(jiǎn)單分析，與大家共同切磋，以利教學(xué)．
【試題分析】
2011中考數學(xué)試題繼續延續了2010年的命題思路，注重基礎知識、基本能力和數學(xué)思想方法的考查，沒(méi)有偏題和怪題，題目難易適中，繼續堅持 “穩中求變，變中求新”這一特點(diǎn)．
首先，試卷整體布局合理，對知識的考查比較合理、全面，注重基礎知識的考查．整張試卷共23道題．其中選擇題共10道題，每題4分；填空題4道題，每題5分；最后三道題分值分別為12分、12分、14分．代數部分約占48%，幾何部分約占52%．其中代數部分對基礎知識和基本能力的考查，如簡(jiǎn)單的實(shí)數大小比較（第1題）、科學(xué)記數法（第2題）、分式化簡(jiǎn)（第15題）、一元二次方程的解法（第8題）、一元一次方程的應用（第16題）、新定義運算（第2、14題）；函數部分考查了一次函數與反比例函數的圖像和性質(zhì)（第21題）、二次函數的增減性（第23題的3問(wèn)）及統計與概率（第5、20題）．幾何部分考查了三角形、四邊形、圓及圖形的變換。其中三角形知識點(diǎn)考查面廣，如三角形的性質(zhì)（第6題）、全等三角形的性質(zhì)與判定（第23題）、相似三角形的性質(zhì)與判定（第9、10、22題）、等腰三角形的性質(zhì)（第22題）、直角三角形的性質(zhì)及解直角三角形（第13、19題）；四邊形知識點(diǎn)的考查較綜合（第5、6、9題），圓的知識考查了垂徑定理（第13題）、圓周角定理及弧長(cháng)公式（第7題）；圖形變換考查了旋轉、平移、位似（第17、22題）．
其次，試題延續2010年的平穩趨勢，嚴格按照考綱出題，試題難易適中，沒(méi)有出現“怪、偏、繁”題，試卷難題分布合適．如第21題、22題和23題考查了幾何推理能力和數學(xué)綜合分析能力，對學(xué)生數學(xué)思維能力的考查很全面。第21題是把一次函數與反比例相結合，使二次函數融合在幾何題中，既淡化了這類(lèi)考題的分量，同時(shí)又能考查考生的綜合能力，命題思路較好．第22題是幾何圖形的旋轉問(wèn)題，在旋轉中找角的度數，線(xiàn)段之間的關(guān)系，題目沒(méi)有突破常規，但是延續了學(xué)生在解數學(xué)題中的思維難點(diǎn)，讓學(xué)生“夠一夠能抓到”，是一道訓練思考能力和思想方法的好幾何題。第23題，是在一個(gè)基本幾何圖形框架下考查全等三角形及二次函數的問(wèn)題，是一道代數與幾何相結合的好題．
此外，試卷新增了規律探索題、淡化了概率的運用、二次函數和一次函數的應用等中考熱點(diǎn)問(wèn)題．規律探索題是安徽省中考命題的一大特色，在前幾年中考中有著(zhù)很重的分量，但是2009、2010年的考題基本上是把規律探索題放在選擇和填空中，而2011年的考題則加大了規律探索題的分量，且出現在大題中，很明顯，這是著(zhù)重對數學(xué)能力的考查．
縱觀(guān)以上試題結構，不難發(fā)現，試題仍以考查學(xué)生的基本知識與基本能力為主，但考查知識點(diǎn)偏重于幾何部分，以凸顯學(xué)生的邏輯思維能力，其中第9、10、22題的第（3）問(wèn)有一定的區分度．最明顯的是，2011年安徽省中考數學(xué)的閱讀理解題能較好地考查學(xué)生的閱讀理解能力與日常生活體驗，同時(shí)又能考查學(xué)生獲取信息后的抽象概括能力、建模能力、決策判斷能力，是一大亮點(diǎn)．如第12、14、18、20題，試題背景考生較熟悉，很容易入手，問(wèn)題設置有創(chuàng )新、有變化也是2011年命題的一大特點(diǎn)．
【考題再現】：
例1（2011安徽省中考數學(xué)第9題）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝
，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上．若點(diǎn)P到BD的距離為
，則點(diǎn)P的個(gè)數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選B。分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由勾股定理得，從△ABD的面積計算可得AB·AD
AE·BD，
，點(diǎn)P到BD的距離為，因此，在邊AD、AB上可以分別找到一個(gè)點(diǎn)P；而,即，亦即，所以，在邊BC、CD上均找不到點(diǎn)P；綜上符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數只有兩個(gè)，分別在邊AD、AB上各一個(gè)．
點(diǎn)評：此題設題較為簡(jiǎn)明，思考方法靈活，體現了由一般到特殊的命題特色，能較好地引導學(xué)生掌握從一般到特殊的思想方法．
例2（2011安徽省中考數學(xué)第10題）如圖2，點(diǎn)P是菱形ABCD的對角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P垂直于AC的直線(xiàn)交菱形ABCD的邊于M、N兩點(diǎn)．
設，，，△AMN的面積為，則關(guān)于的函數圖象大致形狀是（ ）
解析：選C。點(diǎn)P在AC的左半邊移動(dòng)時(shí)，即時(shí)，，則，即；當點(diǎn)P在AC的右半邊移動(dòng)時(shí)，即時(shí)，，則，即，綜上，選C．
點(diǎn)評：此題圖形較為美觀(guān)，包含了很多幾何、代數知識，能真正考查學(xué)生的數形結合思想方法及計算能力．但筆者在中考閱卷中也發(fā)現這樣的問(wèn)題：當點(diǎn)P在AC的左半邊移動(dòng)時(shí)，即時(shí)，多數考生都可以得到函數的解析式；當點(diǎn)P在AC的右半邊移動(dòng)時(shí)，即時(shí)，不少考生產(chǎn)生困難，難以得到函數解析式，從而難以在B、C兩個(gè)選項中抉擇，這反映出有些考生計算能力差的弱點(diǎn)，數形結合思想體會(huì )也不夠深．
例3（2011安徽省中考數學(xué)第18題）在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位，其行走路線(xiàn)如圖3所示．
(1)填寫(xiě)下列各點(diǎn)的坐標：A4( ， )、A8( ， )、A12( ， )；
(2)寫(xiě)出點(diǎn)A4n的坐標(n是正整數)；
(3)指出螞蟻從點(diǎn)A100到點(diǎn)A101的移動(dòng)方向．
解析：（1）A4( 2 ， 0 )、A8( 4 ， 0 )、A12( 6 ， 0 )；
（2）A4n=( 2n ， 0 ) ．
易得規律為：每4步，則向右行進(jìn)兩個(gè)單位長(cháng)度，因此橫坐標為2n，且第四步都回到軸，因此縱坐標為0．
（3）向上．因為100是4的倍數，因此A100到點(diǎn)A101的移動(dòng)方向與點(diǎn)A4到點(diǎn)的移動(dòng)方向相同．
點(diǎn)評：本題主要考查考生觀(guān)察、歸納等數學(xué)推理能力．但若發(fā)現不了第（2）小題的規律或得出錯誤的規律后，則影響第（3）小題的解答．自新課程改革實(shí)施以來(lái)，幾乎每年都會(huì )出現數學(xué)歸納推理考查題，不可否認，學(xué)生在這方面的能力已經(jīng)增強，但還應繼續重視．
例4（2011安徽省中考數學(xué)第20題）一次學(xué)科測驗，學(xué)生得分均為整數，滿(mǎn)分為10分，成績(jì)達到6分以上（包括6分）為合格，成績(jì)達到9分為優(yōu)秀.這次測驗中甲乙兩組學(xué)生成績(jì)分布的條形統計圖如下：
（1）請補充完成下面的成績(jì)統計分析表：
| 平均分 | 方差 | 中位數 | 合格率 | 優(yōu)秀率 |
甲組 | 6.9 | 2.4 |
| 91.7% | 16.7% |
乙組 |
| 1.3 |
| 86.6% | 8.3% |
（2）甲組學(xué)生說(shuō)他們的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組，所以他們的成績(jì)好于乙組.但乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生的說(shuō)法，認為他們組的成績(jì)要好于甲組，請你給出三條支持乙組學(xué)生觀(guān)點(diǎn)的理由．
解析：（1）
| 平均分 | 方差 | 中位數 | 合格率 | 優(yōu)秀率 |
甲組 | 6.9 | 2.4 | 7 | 91.7% | 16.7% |
乙組 | 7 | 1.3 | 7 | 86.6% | 8.3% |
（2）①乙組的平均分比甲組高；
②乙組的方差比甲組??；
③乙組學(xué)生成績(jì)不低于7分的人數比甲組多．
點(diǎn)評：本題屬于基礎考查題，但在閱卷中發(fā)現考生出現的典型錯誤是：乙組學(xué)生成績(jì)7分以上的人數比甲組多．本題由完成成績(jì)統計分析表出發(fā)，到探究分析乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生說(shuō)法的原因，進(jìn)而給出三條支持乙組學(xué)生觀(guān)點(diǎn)的理由，由淺入深，無(wú)形之中，既照顧到不同層次的學(xué)生，又含有樂(lè )趣。這是科學(xué)研究、科學(xué)探究的重要方法．這種研究、思維模式對學(xué)生是十分有益的．學(xué)生自我探究后，既有成就感，增強自信心，又可有效地改善、提升思維水平．
例5（2011安徽省中考數學(xué)第21題）如圖，函數的圖象與函數的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標為（2，1），C點(diǎn)坐標為（0，3）．
（1）求函數的表達式和B點(diǎn)坐標；
（2）觀(guān)察圖象，比較當時(shí)，與的大?。?/span>
解析：（1）由直線(xiàn)過(guò)A、C兩點(diǎn)得：
解得，∴
將A點(diǎn)坐標代入，∴
設B點(diǎn)坐標為（m，n），
∵B是函數與圖象的交點(diǎn)，
∴，由題知，此時(shí)
∴B的點(diǎn)坐標為（1，2）．
（2）由圖知：
①當時(shí)，；
②當時(shí)，；
③當時(shí)，．
點(diǎn)評：本題屬于基礎考查題，難度適中，重視基礎知識和基本技能的應用．試題立足于學(xué)生發(fā)展，體現出人文關(guān)懷，既考查了基礎知識、基本技能和基本數學(xué)思想方法的掌握情況，又考查了學(xué)生的基本運算能力、思維能力、創(chuàng )新能力、實(shí)踐能力，是一道極富思維含量的好題．此題命題意圖明確，充分體現出數學(xué)學(xué)科的應用價(jià)值，這對引導學(xué)生認清數學(xué)知識的本質(zhì)以及引領(lǐng)初中數學(xué)教與學(xué)方面都有著(zhù)較好的導向作用．
例6（2011安徽省中考數學(xué)第22題）在△ABC中，∠ACB，∠ABC，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉，旋轉角為()，得到△A1B1C．
(1)如圖1，當AB∥CB1時(shí)，設A1B1與BC相交于點(diǎn)D．證明：△A1CD是等邊三角形；
(2)如圖2，連接AA1、BB1，設△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．求證：S1∶S21∶3；
(3)如圖3，設AC的中點(diǎn)為E，A1B1的中點(diǎn)為P，，連接EP．當 °時(shí)，EP的長(cháng)度最大，最大值為 ．
解析：（1）因為∠ACB，∠ABC，所以∠BAC，所以∠A1，∠B1；因為AB∥CB1 ，所以∠BCB1∠ABC，所以∠A1CB∠A1CB—∠BCB1，∠A1DC∠DCB1∠CB1D，所以∠A1∠A1CB∠A1DC，所以△A1CD是等邊三角形．
（２）易證得∽,且相似比為，得證．
（３）；．連接CP，易知，∠A1CP．當點(diǎn)E，C，P不在同一直線(xiàn)上時(shí)，則EC，CP，EP能構成三角形，在△ECP中，總有EP＜ECCP，因此，當點(diǎn)E，C，P在同一條直線(xiàn)上時(shí)，即EPECCP時(shí)，EP最大，且等于．此時(shí)，．
點(diǎn)評：第（1）小題的難度不大，不再贅述；第（2）小題的關(guān)鍵有兩處：一是證明等腰△ACA′∽等腰△BCB′，二是發(fā)現相似比等于tan，難度不是很大；最大的問(wèn)題是在第（3）小題，不少考生找不到等于多少度時(shí)，EP長(cháng)度最大，這反映出兩個(gè)問(wèn)題：一是空間想象能力差，二是平時(shí)動(dòng)手能力差．不少考生根本就想不到去剪下兩個(gè)直角三角形轉一轉，只要轉一轉，就會(huì )發(fā)現隨著(zhù)旋轉角的不斷增大，EP的長(cháng)度不斷增大．當旋轉角達到時(shí)，EP的長(cháng)度最大，若再旋轉下去，EP的長(cháng)度將減?。纱丝梢?jiàn)動(dòng)手操作能力的重要性．
例7（2011安徽省中考數學(xué)第23題）如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線(xiàn)、、、上，這四條直線(xiàn)中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)．
（1）求證：h1h3；
（2）設正方形ABCD的面積為S，求證：；
（3）若h1h21，當h1變化時(shí)，說(shuō)明正方形ABCD的面積S隨h1的變化情況．
解析：（1）過(guò)A點(diǎn)作AF⊥分別交、于點(diǎn)E、F，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥分別交、于點(diǎn)H、G，證△ABE≌△CDG即可．
（2）易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且兩直角邊長(cháng)分別為h1、h1h2，四邊形EFGH是邊長(cháng)為h2的正方形，所以：
．
(3)由題意，得，所以：
又 解得0＜h1＜
∴當0＜h1＜時(shí)，S隨h1的增大而減??；
當時(shí)，S取得最小值；
當＜h1＜時(shí)，S隨h1的增大而增大．
點(diǎn)評：本題作為壓軸題，其難度在第（2）小題和第（3）小題，看似代數式的變化，其實(shí)倚重于幾何圖形，數形結合相當完美．第（2）小題其實(shí)就是用、的代數式來(lái)表示正方形的邊長(cháng)，但這種表示一定要通過(guò)圖形來(lái)實(shí)現，而不是通過(guò)代數式的變形來(lái)完成；第（3）題其實(shí)就是二次函數的解析式與增減性問(wèn)題，只不過(guò)是借助幾何圖形這個(gè)載體來(lái)呈現的。因思維方式多樣，不僅僅局限于由已知探求未知，還促使考生采取由未知到已知的逆向思維方法，既關(guān)注了不同數學(xué)水平學(xué)生的解題需要，又突出了題目應有的選拔作用。因此說(shuō)該試題的命題技術(shù)含量較高，能照顧到考生不同的思維方式和習慣．
【感悟反思】
“數學(xué)課程標準”指出：“初中數學(xué)的基礎知識，主要是概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來(lái)的數學(xué)思想方法”．掌握數學(xué)思想方法，是培養學(xué)生創(chuàng )新意識提升數學(xué)素質(zhì)的必要條件．數學(xué)思想方法很多，最基本的數學(xué)思想方法有化歸思想、數形結合思想、分類(lèi)討論思想、方程的思想、函數的思想等．教學(xué)中，突出這些基本的思想方法，就相當于抓住了數學(xué)知識的精髓。因此作為教師，平時(shí)一定要遵循數學(xué)教學(xué)理念，有意識地在教學(xué)中創(chuàng )設發(fā)現問(wèn)題的情境，這是發(fā)展學(xué)生思維能力的關(guān)鍵一環(huán)，也是培養學(xué)生創(chuàng )新能力的好途徑，同時(shí)又可有效地克服學(xué)生的思維定勢．
但由于初中學(xué)生認知能力和初中數學(xué)教學(xué)內容的限制，而對有些數學(xué)思想方法就不宜要求過(guò)高，只能將部分重要的數學(xué)思想方法落實(shí)到數學(xué)教學(xué)過(guò)程中．
此外，數學(xué)教學(xué)是數學(xué)思維過(guò)程的教學(xué)，學(xué)生學(xué)習數學(xué)的過(guò)程是頭腦中構建數學(xué)認知結構的過(guò)程．而基本知識、基本技能是培養和提高學(xué)生數學(xué)素養、發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng )新精神的基礎，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習和發(fā)展的必備條件．
因此我們教師應改變學(xué)生單純接受的學(xué)習方式，使學(xué)生會(huì )采用探究學(xué)習、合作學(xué)習、體驗學(xué)習等多樣化的學(xué)習方式，逐步學(xué)會(huì )“提出問(wèn)題──實(shí)驗探究──開(kāi)展討論──形成新知──應用反思”的學(xué)習方法．這樣不僅能使學(xué)生學(xué)習的自主性、探究性、合作性得到加強，而且又能使學(xué)生體驗到學(xué)習的樂(lè )趣．具體有以下幾點(diǎn)建議：
1.繼續加強數學(xué)思想方法的教學(xué)．從2011年安徽省的數學(xué)中考試題來(lái)看，對數學(xué)思想方法的考查力度相當大，對題海戰術(shù)的沖擊也是相當大的．要培養學(xué)生數學(xué)思維能力，只講解題方法，只講題型訓練是不夠的，要想以不變應萬(wàn)變，提高學(xué)生數學(xué)思維能力，就必須注意數學(xué)思想方法的教學(xué)，在培養學(xué)生數學(xué)思維能力上下功夫．
2.繼續落實(shí)過(guò)程性教學(xué)．過(guò)程性教學(xué)包含兩個(gè)方面：一是課堂教學(xué)中不能滿(mǎn)足于學(xué)生對所學(xué)知識結論的理解與記憶，要十分重視教學(xué)過(guò)程，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過(guò)程，這就要求老師積極引導學(xué)生主動(dòng)參與活動(dòng)過(guò)程，在參與的過(guò)程中理解、掌握知識，逐步理解數學(xué)思想方法，并用于指導思維和解題；二是重視平時(shí)課堂教學(xué)扎實(shí)穩步推進(jìn)，想投機取巧靠總復習去突擊是靠不住的。復習只能是在鞏固的基礎上力爭有所提高．
3.繼續重視歸納推理能力的培養．數學(xué)推理能力包括歸納推理和邏輯推理，新課改以來(lái)，年年考查納推理能力，從引起我們注意，到引起我們重視，但具體的落實(shí)卻不如人意．縱觀(guān)各版本教材鮮有體現，或體現不夠．這的確有難度，因為歸納推理的載體可以貫穿整個(gè)數學(xué)知識，甚至生活知識，它難以在某個(gè)章節單獨集中呈現，卻又常常呈現在每個(gè)知識環(huán)節中，這就要求我們教師在平時(shí)循序漸進(jìn)地進(jìn)行點(diǎn)滴滲透．
4.繼續重視創(chuàng )新能力的培養．很多考生平時(shí)在學(xué)?？荚嚦煽?jì)都不錯，但在解答關(guān)鍵的中考試題后卻不滿(mǎn)意，這是因為平時(shí)的試卷陳題舊題較多，按照思維定勢去解決就能完成，而中考試卷都是新題，打破了思維定勢，必須具體問(wèn)題具體分析，生搬硬套往往就誤入歧途，所以，平時(shí)學(xué)習最忌套題型，形成慣性思維．
5.重視動(dòng)腦與動(dòng)手的有機結合。數學(xué)是要發(fā)展抽象思維，但并不否定動(dòng)手操作能力的培養．順便提出的是：動(dòng)手操作不能流于形式，只注重表面熱鬧，為動(dòng)手而動(dòng)手，為操作而操作，其本質(zhì)是在動(dòng)手的同時(shí)要動(dòng)腦，讓動(dòng)腦與動(dòng)手有機結合．
總之，2011年安徽省中考數學(xué)試題堅持遵循數學(xué)課程標準、體現學(xué)業(yè)水平考試的同時(shí)，適度體現考試的選拔功能，在注意對基礎知識考查的同時(shí)，加大了數學(xué)思想方法的考查力度，加大了對數學(xué)思維能力的考查力度，對當前數學(xué)教學(xué)中普遍存在的針對題型進(jìn)行大量重復的對號入座式的訓練是一個(gè)有力的沖擊，對今后的教學(xué)起到了較好的導向作用，明確告訴大家：數學(xué)能力取決于數學(xué)思想方法．
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