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1.數列定義如下: , 對任意, , .
求證: 對任意互素的正整數, 存在非負整數, 使得 且 .

2.求所有函數 , 使得對任意正實(shí)數, 均有.

3.正整數滿(mǎn)足方程. 若為素數, 求證為合數.

4.安吉爾有個(gè)垃圾房, 其中有堆垃圾,每堆有個(gè)垃圾. 每天早上, 安吉爾執行以下兩個(gè)操作中的任意一個(gè):
(A)他在每堆垃圾中清除一塊垃圾.
(B)他任選一堆垃圾, 清除其中的所有垃圾.
但是,每天傍晚, 一個(gè)惡魔嵌入垃圾房, 并執行以下兩個(gè)操作中的任意一個(gè):
(A)他在每個(gè)非空的垃圾堆中增加一塊垃圾.
(B)他在空地上扔一塊垃圾,形成一個(gè)新垃圾堆.

那么,安吉爾要保證清除這個(gè)垃圾房中的所有垃圾,至少需要多少天?

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老子在道德經(jīng)中說(shuō)：飄風(fēng)不終朝，驟雨不終日。

這是什么意思呢？按我的理解，飄風(fēng)和驟雨并不是常見(jiàn)的天氣，應該說(shuō)有一些反常。反常的東西，往往都不能持久，即使是大自然的偉力也是如此。其實(shí)不只是天氣，在生活中到處都有這樣的例子。我們學(xué)習數學(xué)競賽，當然也不能免俗。如果逞一時(shí)之勇，瘋狂刷題，投入大量時(shí)間學(xué)習，即使短時(shí)間內效果很好, 能持續多久呢？也許咬牙苦撐的話(huà)，能夠持續整個(gè)高中生涯吧。但是到了大學(xué)，又該怎么辦呢？人生很長(cháng)，只有真正的熱愛(ài)，才能持之以恒。希望大家更多地培養學(xué)生們的興趣和思考的習慣, 所謂”從事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。