解方程的理論，發(fā)展到伽羅瓦這里，歷經(jīng)兩百五十多年的難題才被徹底解決，不但這個(gè)難題被解決，群論這一偉大的工具也逐漸在數學(xué)乃至各個(gè)領(lǐng)域內普及開(kāi)來(lái)，群論也成為近代數學(xué)的一個(gè)堅實(shí)的基礎。
曠世天才 伽羅瓦
寫(xiě)這篇文章之前，我咨詢(xún)過(guò)不少專(zhuān)業(yè)數學(xué)界的人士，他們有的是重點(diǎn)高校的數學(xué)系研究生，當我問(wèn)到他們對于群論的看法，他們無(wú)一不對群論保持著(zhù)深深的敬畏，這是一門(mén)偉大的學(xué)問(wèn)，也是一門(mén)太艱深的理論。當我又試探性地問(wèn)到他們對于群論了解多少時(shí)，他們的反應又出奇一致，他們的回答是僅僅是知道而已，因為要想深入了解群論，你必須做好各種各樣的理論儲備。線(xiàn)性空間，線(xiàn)性變換，歐幾里得空間，酉空間，辛空間等，要對抽象代數有一定的了解才可以窺探其一點(diǎn)點(diǎn)的精義。對于我這樣一個(gè)不是數學(xué)系出身的人，去詳細完整地描述群論自然就是一個(gè)不可能完成的任務(wù)了。于是，我決定簡(jiǎn)單介紹一下五次方程沒(méi)有根式解的解決路線(xiàn)。
先來(lái)看一下二次方程的根式解公式有什么特點(diǎn)。
二次方程根式解法
有人說(shuō)，用這個(gè)公式太麻煩了，有些二次方程明明就可以通過(guò)因式分解的方式來(lái)搞定的。說(shuō)的不錯，但是也僅限于一些根式有理數的情況，那要是這樣的二次方程呢？
恐怕就不是那么顯而易見(jiàn)了吧。我們也能看出來(lái)，如果根是有理數，那么我們只要通過(guò)對系數的加減乘除就可以得到最后的答案，如果根是無(wú)理數，顯然只做加減乘除的話(huà)，就達不到目的了。因為公式里的那個(gè)大大的根號，一不小心就會(huì )產(chǎn)生一個(gè)二次開(kāi)方后的無(wú)理數。因此，我們必須對根式的范圍，也叫域，進(jìn)行擴充，我們把二次開(kāi)方之后的無(wú)理數加進(jìn)去，有的人說(shuō)，那萬(wàn)一這個(gè)判別式小于0怎么辦？那不是沒(méi)有解了么，說(shuō)的很對，我們最后還要加一個(gè)虛數單位i才行，只有這樣，在任何情況下，二次方程都是有解的。
三次方程根式解法
那么再看三次方程的根，如果還執迷于二次開(kāi)方的無(wú)理數那也就滿(mǎn)不了需求了，我們必須又要開(kāi)拓一次數域，我們引入三次根式。依次類(lèi)推，我們在四次方程里同樣采取了這樣的方式也獲得了成功。四次方程根式解法實(shí)在太過(guò)恐怖，篇幅長(cháng)到難以想象，這里就不列了?？赡苷怯捎诖螖得吭黾右淮?，根式解法的復雜性都要增加上百倍，所以到了五次方程這里，上帝覺(jué)得太麻煩了，干脆就不給五次方程根式解法了。呵呵，算是我的想象力吧。。。
每一次方程次數的提高，對應的都是域的擴充，如果這樣的擴展能夠與方程次數做到一一對應，那么我們就可以用根式來(lái)表示最后的解。于是，如果五次方程可以通過(guò)開(kāi)方擴大的范圍，不在五次方程根的域內，也就意味著(zhù)五次方程沒(méi)有求根公式。
計算機求五次方程的根近似值
鑒于人們之前獲得了那么多成功的案例，自然也希望在五次方程上獲得一樣滿(mǎn)意的答案。伽羅瓦卻告訴我們，往往這是根本做不到的。
伽羅瓦建立的理論中，最核心的部分是把域和群對應起來(lái)，當我們研究域的問(wèn)題時(shí)，可以轉而研究對應的群，二者之間可以來(lái)回切換，使得這兩門(mén)優(yōu)美的數學(xué)語(yǔ)言之間等價(jià)。
群構造
前面分析了，人們可以一步一步去擴大的域的范圍，那么也就是一點(diǎn)點(diǎn)改變了群的內容，隨著(zhù)次數的提高，我們可以想象群之間總會(huì )出現父子之間的關(guān)系，就相當于前一種群變換完全包含了后一種。假如五次方程有根式解，那么就會(huì )出現下面的正規子群鏈：
G1=S1←G2←G3←G4←G5，S1是一階子群，類(lèi)似于數域里的單位1.
而實(shí)際上，S5至多可以寫(xiě)成：G1=S1←A5←S5,,也就是說(shuō)，五次方程根所在的域是不能通過(guò)根式擴展的方式得到，于是五次方程就不存在根式和加減乘除組合的解法了。
在數學(xué)上很多問(wèn)題人們苦思已久卻還是得不到解答的時(shí)候，有些人便不再執著(zhù)于之前的野蠻方法了，他們會(huì )另辟蹊徑，從另外一個(gè)角度去考慮問(wèn)題。就像五次方程解法的研究歷程一樣，人們很久都得不到解法。不是說(shuō)人們的方法有問(wèn)題，而是本來(lái)這個(gè)解法就是不存在的，于是乎，人們轉而開(kāi)始證明不存在解法的過(guò)程中來(lái)，并最終圓滿(mǎn)地解決了這個(gè)問(wèn)題。
相對論的數學(xué)基礎之一——群論
20世紀初，愛(ài)因斯坦在群論里為廣義相對論找到了數學(xué)基礎，懷爾斯當年為了證明費馬大定理，花費了整個(gè)十八個(gè)月時(shí)間來(lái)熟悉群論的相關(guān)內容！伽羅瓦的理論是如此閃耀，即使在現代數學(xué)高度豐富的時(shí)代，也都是高深莫測的數學(xué)工具，更別說(shuō)在19世紀初了，難怪這套驚世理論沒(méi)有能在那個(gè)時(shí)代就發(fā)揚光大。畢竟這套理論超越那個(gè)時(shí)代太久了，為什么柯西，高斯，傅里葉都連續錯過(guò)了伽羅瓦的論文，真的很有可能就是縱然以上數學(xué)大師也都是看不明白的，他們都看不明白，自然也就意識不到論文的價(jià)值。
費馬大定理的終結者 懷爾斯
群也是數學(xué)上最重要的概念之一，極為抽象的表達卻蘊含著(zhù)無(wú)窮無(wú)盡的奧妙。人們總是能在各個(gè)領(lǐng)域去找到應用的場(chǎng)景。
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