航天器被運載火箭推向太空之后，就也變成了一顆“星星”。也就是說(shuō)，僅僅從引力的角度看，它們可以和其它宇宙中的自然天體一樣，遵循引力定律而在一定的軌道上運動(dòng)。不同的是，只要它們還能與地球通訊，只要它們的引擎能啟動(dòng)，還有足夠的燃料，發(fā)射它們的地球人就還有可能控制和改變它們的運動(dòng)。就像飛上藍天的風(fēng)箏，飛得再高，也還有一根牽連的細線(xiàn)被主人抓在手上！
運載火箭。圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò )
所以，太空中的航天器有兩種基本的運動(dòng)方式：自由飛行段和主動(dòng)飛行段。前者指的是自由按照引力規律運動(dòng)的階段，比如說(shuō)衛星繞著(zhù)地球轉圈，是不需要引擎的。后者則指航天器上的發(fā)動(dòng)機點(diǎn)火的階段。什么時(shí)候需要將發(fā)動(dòng)機點(diǎn)火呢？那是需要將航天器從一個(gè)軌道做一點(diǎn)改變，或者是“跳”到另一個(gè)軌道的時(shí)候。比如說(shuō)，要從環(huán)繞地球的軌道“跳”到環(huán)繞月球的軌道。這種情況一般不會(huì )自動(dòng)發(fā)生，需要人為地“遙控”，預先設定，或者由航天員操作。這種人為點(diǎn)火而改變運行軌道的技術(shù)，稱(chēng)作“軌道機動(dòng)”。
既然是人為地改變，就要達到各種不同的目的，因此軌道機動(dòng)實(shí)際上包括了軌道轉移、軌道交會(huì )、軌道保持和修正、改變軌道平面等等不同的目的。再舉剛才說(shuō)的人造地球衛星而言，雖然衛星繞地球轉不需要引擎，但時(shí)間長(cháng)了后，因為攝動(dòng)力的原因，軌道可能會(huì )偏離我們的要求，這時(shí)候就可能需要人為的“機動(dòng)”來(lái)進(jìn)行修正。發(fā)射到遠處星球的航天器就更不用說(shuō)了，漫長(cháng)征途需要多次“變軌”。
火箭變軌示意。圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò )
軌道機動(dòng)除了改變軌道之外，還可以控制航天器的方向和“姿態(tài)”以達到某種目的，這點(diǎn)在載人航天返回地球或降落到月球或其它星球時(shí)特別重要。就像飛機一樣，保持正確的姿態(tài)才能安全著(zhù)陸，否則，后果便不堪設想了。
因此，航天器比天然星體更具優(yōu)越性，因為它們的軌道可以人為地選擇。但這個(gè)優(yōu)越性是以“攜帶燃料”作“機動(dòng)”換來(lái)的。航天器能夠攜帶的燃料有限，因此，航天器的軌道設計者便希望能更多地利用“自然飛行”，盡量少作機動(dòng)而達到同樣的目的。這其中用得很多的方法叫做“引力助推”。
引力助推
如果有人問(wèn)你，人類(lèi)飛向太空的第一阻力是什么？大多數人會(huì )不約而同地回答：是引力。的確如此，人類(lèi)實(shí)現飛天夢(mèng)的最艱難歷程就是克服地球的引力。我們從中學(xué)物理中就學(xué)到了如何計算幾個(gè)宇宙速度，那是人類(lèi)擺脫地球或太陽(yáng)引力的束縛沖向太空的幾道門(mén)檻：如果達到第一宇宙速度（7.9km/s）能讓物體圍繞地球旋轉；如果達到第二宇宙速度（11.2km/s）便可以克服地球引力，繞著(zhù)太陽(yáng)轉；第三宇宙速度（16.7km/s）標志著(zhù)能夠擺脫太陽(yáng)的引力羈跘。
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不過(guò)，想跨越這幾個(gè)門(mén)檻談何容易？人類(lèi)努力了幾十年，迄今為止發(fā)射速度最快的航天器“新地平線(xiàn)”（New Horizons），2006年發(fā)射時(shí)相對地球的速度為16.26 km/s，尚未達到第三宇宙速度。然而，人類(lèi)于39年前發(fā)射的兩個(gè)旅行者探測器（voyager1和2），旅行中的最高速度，卻大大超過(guò)了這個(gè)速度。這其中有何奧秘呢？人造飛行器額外的動(dòng)能從何而來(lái)？
以上問(wèn)題的答案也是：引力。也就是說(shuō)，對人類(lèi)發(fā)射的航天飛行器而言，引力有時(shí)是阻力，有時(shí)又可能成為“推力”，我們可以利用太陽(yáng)系中各大行星與飛行器間的引力作用，來(lái)加速飛行器。換個(gè)通俗的說(shuō)法，讓飛行器從高速運動(dòng)的行星旁邊掠過(guò)，順便讓自己得到加速度，從行星身上“揩點(diǎn)油”！
這種方法叫做“引力助推” ，航天技術(shù)中經(jīng)常使用來(lái)改變飛行器的軌道和速度，以此節省燃料、時(shí)間和成本，這種方法既可用于加速飛行器，也可用于在一定的情況下降低飛行器的速度。
圖9-1： “新地平線(xiàn)”和“旅行者”
圖9-1a中間的曲線(xiàn)所示，便是旅行者2號的速度在飛行過(guò)程中的變化情形。注意圖中的速度是相對于太陽(yáng)系坐標而言，因而與我們提及的相對于地球坐標而言的“宇宙速度”值有所區別，其差值是地球的公轉速度，大約30km/s。曲線(xiàn)上的4個(gè)尖峰分別代表該飛行器在土星、木星、天王星、海王星經(jīng)過(guò)時(shí)因為“引力助推”而產(chǎn)生的速度變化。圖中也畫(huà)出了NASA在2006年1月發(fā)射的
“新地平線(xiàn)”的速度曲線(xiàn)（綠色），與“旅行者”的速度曲線(xiàn)相比較，明顯地看出在四個(gè)行星附近，“引力助推”對旅行者2號的加速作用。圖9-1b則顯示了兩個(gè)旅行者探測器的行程。
不過(guò)，引力助推的方法要碰上一定的時(shí)機，機會(huì )可遇不可求。在1964年夏天，美國航天局噴氣推進(jìn)實(shí)驗室一位名為Flandro的研究員，負責研究探索太陽(yáng)系外行星的任務(wù)。Flandro經(jīng)過(guò)計算研究木星，土星，天王星和海王星的運動(dòng)規律，發(fā)現了一個(gè)176年才有一次的最好時(shí)機，那段時(shí)間（大約12年）以?xún)?，木星、土星、天王星和海王星都將位于太?yáng)的同一側，運行至實(shí)現“引力助推”的理想地點(diǎn)，形成一個(gè)特別的行星幾何排陣?；谶@點(diǎn)，專(zhuān)家們促使NASA啟動(dòng)了“旅行者探測器”計劃。
旅行者探測器。圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò )
1977年8月20日和9月5日，旅行者2號和旅行者1號從佛羅里達州的航天中心發(fā)射，她們是兩個(gè)幾乎一模一樣的“雙胞胎姐妹”航天器，攜帶著(zhù)鐫刻了地球人類(lèi)的消息和錄音的金唱片，她們的計算機的內存只有64KB（40年前的老古董電子設備，諸位可想而知是什么模樣?。?。旅行者2號，比她 “姐姐” 的速度稍慢一點(diǎn)，但她豐富多產(chǎn)，成果不菲，順利完成了造訪(fǎng)4個(gè)外行星的任務(wù)。
這對“姊妹花”都曾經(jīng)探測過(guò)土衛六的地貌，雖然不很成功，但也為后來(lái)的探索提供了許多有用的信息。土衛六是土星衛星中最大的一顆，被認為極有可能存在生命跡象！旅行者2號旅途中的四次“引力助推”，將原來(lái)需要40年完成的“4行星探索”任務(wù)，在10年左右的時(shí)間內就提前完成了！旅行者1號在很快地訪(fǎng)問(wèn)了木星和土星之后，繼續它的高速飛行，如今已經(jīng)越過(guò)太陽(yáng)系的邊界，到達星際空間，成為了飛出太陽(yáng)系的第一個(gè)人類(lèi)使者。兩位“旅行者”雖然早已完成為她們預訂的任務(wù)，卻并未“退休”，至今為止，仍然通過(guò)遙遙星空，每天向人類(lèi)發(fā)來(lái)有用的資料，因為她們離地球距離遙遠，這些信息延遲17小時(shí)左右。
原理
最早（1918-1919）提出這個(gè)想法的是一位前蘇聯(lián)物理學(xué)家尤里?康德拉圖克。尤里于1897年生于前蘇聯(lián)的烏克蘭，是太空工程與航天學(xué)的一位先驅和理論家，曾被蘇聯(lián)政府流放和監禁，但他在艱難的環(huán)境下不忘鉆研航天理論。后來(lái)，第二次世界大戰中，尤里自愿入伍加入蘇聯(lián)紅軍，并于1943年在戰爭中陣亡。
圖9-2：理解引力助推（或稱(chēng)重力彈弓）原理的直觀(guān)圖
盡管精確地計算飛行器的引力助推過(guò)程需要復雜的數學(xué)，但其物理原理卻可以用圖9-2中的例子，簡(jiǎn)單地使用動(dòng)量守恒定律來(lái)直觀(guān)解釋。引力助推也被稱(chēng)為“重力彈弓”，因為它與彈性碰撞頗為類(lèi)似。它利用飛船與行星及太陽(yáng)之間的萬(wàn)有引力，使行星與飛船交換軌道能量，像彈弓一樣把飛船拋出去。如圖9-2右圖所示，想象將一個(gè)籃球投向一列對面疾駛而來(lái)的火車(chē)。設籃球速度為V1=5m/s，火車(chē)速度U=10m/s，方向相反。最后結果如何？
考慮火車(chē)的質(zhì)量比籃球質(zhì)量大很多，籃球質(zhì)量幾乎可以忽略不計的簡(jiǎn)單情況下，得到的結論是：在碰撞之后，籃球從火車(chē)那兒“撈了一把”，將以V2=V1+2U=25m/s的速度向后方（火車(chē)的前方）飛去?；疖?chē)因為質(zhì)量大，速度幾乎不變，仍然以原來(lái)的速度U照常行駛。人類(lèi)發(fā)射到土星軌道附近的飛船與土星相遇時(shí)的情形便與剛才描述的“籃球撞火車(chē)”情形十分類(lèi)似，只是飛船與土星并未直接接觸，而是像圖9-2左圖所示的那樣繞行過(guò)去，引力在其中扮演著(zhù)重要的角色。兩者的物理原理雖然不同，但最后效果卻是類(lèi)似的：飛船得到了兩倍土星速度的速度增值。
也許有人會(huì )覺(jué)得以上的說(shuō)法有違能量守恒。結論當然不是如此，實(shí)際上在兩種情形下嚴格的計算都需要用到能量守恒?；@球的速度增加了，雖然看起來(lái)對火車(chē)似乎沒(méi)有影響，但應該有那么一點(diǎn)極其微小的擾動(dòng)，籃球增加的動(dòng)能最終是來(lái)自于火車(chē)的動(dòng)力系統。在飛船的情況，能量則來(lái)自行星或太陽(yáng)系。
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引力助推想法早已被前蘇聯(lián)物理學(xué)家提出，據說(shuō)蘇聯(lián)月球3號應用此技術(shù)，曾經(jīng)繞到月球背面拍下了照片。但是，真正認識并深入研究這項技術(shù)的人是美國數學(xué)家邁克爾Minovitch。
邁克爾當時(shí)（60年代初）還只是加州大學(xué)洛杉磯分校的一名研究生，他因為研究“三體問(wèn)題”而得到了使用當時(shí)最快的計算機的機會(huì )，也就是在他模擬“三體問(wèn)題”的過(guò)程中發(fā)現，一艘飛船飛經(jīng)繞日的行星，可以在不使用任何火箭燃料的情況下竊取行星的一點(diǎn)軌道速度加速離開(kāi)太陽(yáng)，邁克爾并由此而認識到重力彈弓對加速航天器的巨大潛力，并說(shuō)服NASA將此思想運用于實(shí)踐。
三體問(wèn)題和拉格朗日點(diǎn)
三體問(wèn)題的歷史悠久，還得從牛頓時(shí)代說(shuō)起。
牛頓創(chuàng )建了微積分和萬(wàn)有引力定律之后，自然首先迫不及待地將它們用于研究天體的運動(dòng)問(wèn)題。他用數學(xué)方法嚴格地證明了開(kāi)普勒三大定律，使二體問(wèn)題得到了徹底的解決。所謂的二體問(wèn)題就是說(shuō)，只考慮兩個(gè)具有質(zhì)量m1和m2的質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用（通常是考慮萬(wàn)有引力）時(shí)，研究它們的運動(dòng)情況。也就是說(shuō)，像地球的自轉啦、形狀啦等等，我們是統統不考慮的。二體問(wèn)題數學(xué)上可以歸結為求解如下的微分方程：
公式中的F12和F21是兩個(gè)質(zhì)量之間的作用力，在天體運動(dòng)情況下是萬(wàn)有引力，在微觀(guān)世界中可以是其它的力，比如電磁作用之類(lèi)的。不過(guò)我們以后在談及二體、三體、或N體問(wèn)題時(shí)，只考慮萬(wàn)有引力。
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牛頓時(shí)代就已經(jīng)得到了上述二體問(wèn)題微分方程的精確解，凡是學(xué)過(guò)中學(xué)物理的人都知道，這時(shí)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)平面上繞著(zhù)共同質(zhì)心作圓錐曲線(xiàn)運動(dòng)，軌道可以是圓、橢圓、拋物線(xiàn)或者雙曲線(xiàn)。不過(guò)，在大多數實(shí)用情況下，人們通常感興趣的是橢圓軌道類(lèi)型的問(wèn)題，因為對其它兩種情況，天體逃之夭夭，不知跑到哪里去了，也許有了新的同伴，那就是另外的新問(wèn)題了。因此，之后考慮三體問(wèn)題時(shí)，大多數情況，我們也只討論互相作繞圈運動(dòng)的情形。
二體問(wèn)題的成功解決給牛頓以希望，他自然地開(kāi)始研究三體問(wèn)題，沒(méi)想到從2加到3之后的問(wèn)題使牛頓頭痛不已。豈止是牛頓，之后的若干數學(xué)家，即使直到幾百年之后的今天，三體問(wèn)題仍然未能圓滿(mǎn)地解決，大于3的N體問(wèn)題自然就更為困難了。如此困難的三體問(wèn)題卻是天體運動(dòng)中非常常見(jiàn)的情況。比如考慮太陽(yáng)、地球、月亮三者，或者如上所述，研究飛船、行星、太陽(yáng)的運動(dòng)規律時(shí)，就是典型的三體問(wèn)題。
從數學(xué)方法來(lái)說(shuō)，解2體和3體問(wèn)題都是解微分方程組，但2體問(wèn)題可以通過(guò)求積分就簡(jiǎn)單解決了，同樣的方法卻無(wú)法對付三體問(wèn)題。但數學(xué)家們總有他們的辦法，問(wèn)題解不出來(lái)時(shí)就將其簡(jiǎn)化。既然二體問(wèn)題之解令人十分滿(mǎn)意，那就在二體問(wèn)題解的基礎上做文章。
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首先可以假設，3個(gè)天體中其中兩個(gè)的質(zhì)量m1和m2比第3個(gè)質(zhì)量m要大得多。所以，第3個(gè)小天體對兩個(gè)大天體的影響完全可以忽略，這樣就可以將兩個(gè)大天體的運動(dòng)作為二體問(wèn)題解出來(lái)。然后，再將第三個(gè)天體看作是在前兩個(gè)天體的引力勢場(chǎng)中運動(dòng)的粒子而求解其運動(dòng)方程。這樣簡(jiǎn)化后的問(wèn)題被稱(chēng)之為“限制性三體問(wèn)題”。但實(shí)際情況令人很不愉快，即使是簡(jiǎn)化到了這種地步，小質(zhì)點(diǎn)m的運動(dòng)方程仍然無(wú)法求解。
于是，又進(jìn)一步簡(jiǎn)化成“平面限制性三體問(wèn)題”，就是要求三個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在同一個(gè)平面上運動(dòng)，但似乎還是得不出方程的通解。
得不到通解便研究一些近似解和特殊解，這兩方面倒是有點(diǎn)成效。頗為成功的近似方法是“攝動(dòng)理論”，實(shí)質(zhì)上就是一種微擾法?？紤]兩個(gè)物體的運動(dòng)，將第三個(gè)物體的作用作為對前兩者的微擾。這種方法解決和預測太陽(yáng)系中的一些現象卓有成效。
對“平面限制性三體問(wèn)題”，18世紀的歐拉和拉格朗日則求到了小質(zhì)量運動(dòng)方程的幾個(gè)特解，見(jiàn)圖9-3。
圖9-3：小質(zhì)量天體在兩體系統中的拉格朗日點(diǎn)
這些小質(zhì)量在兩體系統中的特解被統稱(chēng)為稱(chēng)為拉格朗日點(diǎn)。這是指在兩大物體引力作用下，能使小物體暫時(shí)穩定的幾個(gè)點(diǎn)，其中的L1、L2、L3實(shí)際上是歐拉得到的，L4和L5由拉格朗日在1772年得到，發(fā)表在他的論文“三體問(wèn)題”中。
從圖9-3a所示，拉格朗日點(diǎn)中的三個(gè)：L1、L2、L3位于兩個(gè)大天體的連線(xiàn)上，L4和L5則分別位于連線(xiàn)的上方和下方與大天體距離相等并組成一個(gè)正三角形的兩個(gè)對稱(chēng)點(diǎn)上?？梢詮臄祵W(xué)上證明，在連線(xiàn)上的三個(gè)拉格朗日點(diǎn)不是真正“穩定”的點(diǎn)，它們對應于“鞍點(diǎn)”類(lèi)型的極值點(diǎn)。只有L4和L5是對應于最小值的穩定點(diǎn)。也就是說(shuō)，當小質(zhì)量位于L4和L5時(shí)，即使受到一些外界引力的擾動(dòng)，它仍然有保持在原來(lái)位置的傾向。
圖9-3b顯示了在L4點(diǎn)對小天體的3個(gè)作用力（地球引力、太陽(yáng)引力、離心力）是如何平衡的。有趣的是，我們都知道力學(xué)結構中的三角形與穩定性有關(guān)，當小質(zhì)量位于L4和L5時(shí)，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)正好構成一個(gè)等邊三角形，這是否暗藏了某種穩定性原理呢？L4和L5有時(shí)也被稱(chēng)為“三角拉格朗日點(diǎn)”或“特洛伊點(diǎn)”。
初一看，五個(gè)拉格朗日點(diǎn)的存在似乎沒(méi)有多大的實(shí)際意義，只像是個(gè)趣味數學(xué)游戲。但是，沒(méi)想到它們還真有一定的實(shí)際用途，自然界的實(shí)例也證明，穩定解在太陽(yáng)系里就存在。1906年，天文學(xué)家首次發(fā)現木星的第588號小行星和太陽(yáng)正好等距離，它同木星幾乎在同一軌道上超前60°運動(dòng)，3者一起構成等邊三角形。同年發(fā)現的第617號小行星則在木星軌道上落后60°左右，構成第2個(gè)正三角形。
特洛伊群。圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò )
之后進(jìn)一步證實(shí)，木星軌道上有小行星群（特洛伊群和希臘群）是分別位于木星和太陽(yáng)的拉格朗日點(diǎn)L4和L5上。有時(shí)將這類(lèi)小行星群統稱(chēng)為特洛伊群，迄2007年9月為止，已經(jīng)確認的特洛伊小行星有2,239顆，其中1,192顆在L4點(diǎn)，1,047顆在L5點(diǎn)。
此外，在土星-太陽(yáng)系統及火星-太陽(yáng)系統的L4和L5點(diǎn)上也都發(fā)現有小衛星存在。還曾經(jīng)在地球-太陽(yáng)系統的L4和L5點(diǎn)上發(fā)現存在塵埃群，2010 TK7是首顆被發(fā)現的地球的特洛伊小行星。對微觀(guān)世界的研究也發(fā)現拉格朗日穩定點(diǎn)的存在。
在發(fā)射人造衛星及其它人造天體時(shí)，科學(xué)家和工程師們也考慮和利用這些拉格朗日點(diǎn)的存在。我們可以以太陽(yáng)和地球加小星體的系統為例來(lái)考察一下這些特殊點(diǎn)。比如，L1、L2、L3都在日地連線(xiàn)上，L1在日地之間，小星體在這個(gè)位置時(shí)，它的軌道的周期恰好等于地球的軌道周期。日光探測儀即可圍繞日地系統的L1點(diǎn)運行。L2點(diǎn)偏向地球一側，通常用于放置空間天文臺，如此可以保持天文臺背向太陽(yáng)和地球的方位，易于保護和校準。L3在日地連線(xiàn)上偏向太陽(yáng)一側，像是與地球對稱(chēng)，一些科幻小說(shuō)中稱(chēng)之為“反地球”。
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