在上節課我們學(xué)習了利用導數研究函數的變化，主要有1.函數為常數的條件與函數恒等式的證明2.函數單調性充要判別法3.極值點(diǎn)充分判別法4.凹凸性的定義與充要判別法5.拐點(diǎn)的定義與充分判別法6.利用導數做函數圖形，希望大家認真的學(xué)習并掌握好函數的這六種變化，為今后的學(xué)習打下堅實(shí)的基礎。今天我們講解函數的極值問(wèn)題。
上節課我們看到，點(diǎn)x=1及x=2是函數
f(x)=2x^3-9x^2+12x-3
的單調區間的分界點(diǎn)，列如，在點(diǎn)x=1的左側鄰近，函數f(x)是單調增加的，在點(diǎn)x=1的右側鄰近，函數f(x)是單調減少的。因此，存在點(diǎn)x=1的一個(gè)去心鄰域，對于這去心領(lǐng)域內的任何點(diǎn)x,f(x)
定義：設函數f(x)在點(diǎn)xo的某鄰域U(xo)內有定義，如果對于去心領(lǐng)域U(xo)內的任一x,有
f(x) 那么就稱(chēng)f(xo)是函數f(x)的一個(gè)極大值(或極小值) 函數的極大值與極小值統稱(chēng)為函數的極值，使函數取得極值的點(diǎn)成為極值點(diǎn)，列如，上節中的函數 f(x)=2x^3-9x^2+12x-3 有極大值f(1)=2和極小值f(2)=1,點(diǎn)x=1和x=2是函數f(x)的極值點(diǎn)。 函數的極大值和極小值概念是局部性的，如果f(xo)是函數f(x)的一個(gè)極大值，那只是就xo附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō)，f(xo)是f(x)的一個(gè)最大值；如果就f(x)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)，f(xo)不見(jiàn)得是最大值，關(guān)于極小值也類(lèi)似。 如圖3-11所示，函數f(x)有兩個(gè)極大值:f(x2)、f(x5),三個(gè)極小值:f(x1)、f(x4)、f(x6),其中極大值f(x2)比極小值f(x6)還小，就整個(gè)區間[a,b]來(lái)說(shuō)，只有一個(gè)極小值f(x1)同時(shí)也是最小值，而沒(méi)有一個(gè)極大值是最大值。 從圖中還可看到，在函數取得極值處，曲線(xiàn)的切線(xiàn)是水平的，但曲線(xiàn)上有水平切線(xiàn)的地方，函數不一定取得極值，列如圖中x=x3處，曲線(xiàn)上有水平切線(xiàn)，但f(x3)不是極值。 由本節第一章費馬定理可知，如果函數f(x)在xo處可導，且f(x)在xo處取得極值，那么f'(xo)=0,這就是可導函數取得極值的必要條件，現將此結論敘述成如下定理： 定理1：(必要條件) 設函數f(x)在xo處可導，且在xo處取得極值，則f'(xo)=0 定理1就是說(shuō)：可導函數f(x)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但反過(guò)來(lái)，函數的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。列如,f(x)=x^3,f'(0)=0,因此x=0是這可導函數的駐點(diǎn)，但x=0卻不是這函數的極值點(diǎn)。所以，函數的駐點(diǎn)只是可能的極值點(diǎn)。此外，函數在它的導數不存在的點(diǎn)處也可能取得極值。列如，函數f(x)=lxl在點(diǎn)x=0處不可導，但函數在該點(diǎn)取得極小值。 怎樣判定函數在駐點(diǎn)或不可導點(diǎn)處究竟是否取得極值？如果是的話(huà)，究竟是取得極大值還是極小值？下面給出兩個(gè)判定極值的充分條件： 定理2(第一充分條件) 設函數f(x)在xo處連續，且在xo的某去心鄰域U(xo,v)內可導。 (1)若x∈(xo-v,xo)時(shí)，f'(x)>0,而x∈(xo,xo+v)時(shí)，f'(x)<> (2)若x∈(xo-v,xo)時(shí)，f'(x)<0,而x∈(xo,xo+v)時(shí)，f'(x)>0,則f(x)在xo處取得極小值； (3)若x∈U(xo,v)時(shí)，f'(x)的符號保持不變，則f(x)在xo處沒(méi)有極值。 根據上面的兩個(gè)定理，如果函數f(x)在所討論的區間內連續，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導，那么就可以按下列步驟來(lái)求f(x)在該區間內的極值點(diǎn)和相應的極值： 步驟： (1)求出導數f'(x); (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)與不可導點(diǎn)； (3)考察f'(x)的符號在每個(gè)駐點(diǎn)或不可導點(diǎn)的左、右鄰近的情形，以確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；如果是極值點(diǎn)，進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)； (4)求出各極值點(diǎn)的函數值，就得函數f(x)的全部極值。 根據我們4步步驟來(lái)看下面這個(gè)列題： 當函數f(x)在駐點(diǎn)處的二階導數存在且不為零時(shí)，也可以利用下述定理來(lái)判定f(x)在駐點(diǎn)處取得極大值還是極小值。 定理3：(第二充分條件) 設函數f(x)在xo處具有二階導數且f'(xo)=0，f'(xo)≠0，則 (1)當f'(xo)<> (2)當f'(xo)>0時(shí)，函數f(x)在xo處取得極小值。 定理3表明，如果函數f(x)在駐點(diǎn)xo處的二階導數f'(xo)不等于0，那么該駐點(diǎn)xo一定是極值點(diǎn)，并且可以按二階導數f'(xo)的符號來(lái)判定f(xo)是極大值還是極小值。但如果f'(xo)=0,那么定理3就不能應用，事實(shí)上，當f'(xo)=0,f'(xo)=0時(shí)，f(x)在xo處可能有極大值，也可能有極小值，也可能沒(méi)有極值。列如，f1(x)=-x^4,f2(x)=x^4,f3(x)=x^3這三個(gè)函數在x=0處就分別屬于這三種情況。因此，如果函數在駐點(diǎn)處的二階導數為零，那么可以用一階導數在駐點(diǎn)左右鄰近的符號來(lái)判定；如果函數在駐點(diǎn)處有f'(xo)=....=f^(n-1)(xo)=0,f^(n)(xo)≠0，那么也可利用具有佩亞諾余項的泰勒公式來(lái)討論判定。 接下來(lái)看下這個(gè)題目： 討論函數的極值： 這里面注意：若求J的最后一步用洛必達法則得 但在題設條件下，這種解法是錯誤的，因題未中為假定f(x)在x=0鄰域三階可導及f^(3)(x)在x=0連續，若加強條件：設f(x)在x=0鄰域三階可導且f^(3)(x)在x=0連續，則上述解法正確。在四選一的選擇題中，此種加強條件可選的正確選項。 今天的一元函數極值問(wèn)題到這里就講完了，極值的三大定理希望同學(xué)們好好掌握，只有有效的掌握極值才能應對接下來(lái)的內容。 下節課我們學(xué)習一元函數最值問(wèn)題。
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