前幾天有個(gè)家長(cháng)問(wèn)我余數問(wèn)題該如何解答，黃老師本講就來(lái)講講常見(jiàn)的余數問(wèn)題的解法。
例一：有一個(gè)不等于1的整數，它除300，262，205得到的余數相同，這個(gè)整數是多少？
分析（分析不要求掌握，只要求記住最后結論）：
我們設這個(gè)不等于1的整數為m，它除300，262，205得到的商分別為a,b,c，余數相同，均設為n，根據題意列出式子如下：
300÷m=a……n
262÷m=b……n
205÷m=c……n
好，根據除法的定義：被除數=除數×商+余數，得到：
300=a×m+n ……1式
262=b×m+n ……2式
205=c×m+n ……3式
我們利用二元一次方程組的知識，
1式-2式（左邊減左邊，右邊減右邊），得到：
300-262=a×m+n-(b×m+n)，化簡(jiǎn)得到：
38=(a-b)×m
同理，2式-3式，1式-3式分別得到：
57=(b-c)×m；95=(a-c)×m。
考慮上面三個(gè)黑體式子，可知m為38、57和95的公因數，故只需求38、57和95的除1以外的公因數即可。
可知m=19。
結論：此類(lèi)題，只要將三個(gè)被除數兩兩相減，再求出得到的三個(gè)差的公因數，再根據題目要求是看否求最大公因數。
解法：
見(jiàn)下圖：
例二：如果某數除492，2241，3195都余15，那么這個(gè)數是幾？
分析：此題有2種解法。
解法一：參照例一，三個(gè)被除數兩兩相減，得到三個(gè)差分別是954、1749和2703，那么，求這三個(gè)數的公因數，如下：
好，此題做到這里，我們發(fā)現，我們一下子很難找出318、583和901的公因數，那么，此題答案是不是3呢？
很明顯，答案不是3，因為題目中給出余數是15，商是不可能大于余數的。
所以，318、583和901三個(gè)數肯定還有其他公因數。
那這個(gè)（或幾個(gè)）公因數該如何找？
彩蛋來(lái)了
我們知道：幾個(gè)數如果他們有公因數，這個(gè)公因數一定是其中一個(gè)數的因數。
所以，我們在這幾個(gè)數中找一個(gè)較簡(jiǎn)單（一眼能看出有因數的）的數，把這個(gè)數分解質(zhì)因數，然后用分解出來(lái)的質(zhì)因數一個(gè)一個(gè)試，看是否為公因數。
我們試一下318、583和901這三個(gè)數的公因數：
這三個(gè)數較簡(jiǎn)單的是318，至少可以看出2是他的因數，所以我們選擇318這個(gè)數：
318先分解2，再分解3，得到53，53較易判斷，其是質(zhì)數，所以：
318=2×3×53；
好，那我們下一步將2、3、53這三個(gè)因數分別試一下看看是不是318、583和901的公因數：
2：肯定不行，不能被583整除；
3：也不行，不能被901整除（9+0+1=10，不能整除3）；
318、583和901這三個(gè)數還有公因數（除1以外），那么一定是53！
相信說(shuō)了這么多，聰明你一定懂了.
因為題目中沒(méi)有要求這個(gè)整數最大或最小，所以答案應該是兩個(gè)，即53和159（3×53）。
解法二：
先把余數減掉，因為這個(gè)數除492，2241，3195都余15，所以把余數15減掉就可以整除這個(gè)數，然后再參照例一解法。
減掉余數再兩兩相減得到的三個(gè)數分別是：477、2226和3180，一眼看不出公因數，選擇較為簡(jiǎn)單的數3180來(lái)試：
發(fā)現：2不能被477整除，5不能被477整除，所以只有3和53可以。
下略。
例三：求2003×59除以7的余數？
此類(lèi)題也較為常見(jiàn)，但多見(jiàn)于平時(shí)訓練，因為學(xué)生用常規方法同樣可以解出。
常規解法：
2003×59=118177，118177÷7=16882……3
簡(jiǎn)便解法：
2003÷7=286……1；
59÷7=8……3；
1×3=3；
3÷7=0……3
所以答案是3.
簡(jiǎn)便解法說(shuō)明：先計算每個(gè)乘數除以7的余數，然后再將余數相乘再除以7。
習題：
1
2.自然數16520，14903，14177除以m的余數相同，m的最大值是多少？
3.求11+22+33+44+55+66+77+88+99的結果除以3的余數。
4.1991和1769除以某一個(gè)自然數n，余數分別為2和1，n的最小值是？
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