一個(gè)小學(xué)老師上課，教學(xué)生計算。說(shuō)如果要先算2+3，要把2+3括起來(lái)。這時(shí)學(xué)生就說(shuō)，括起來(lái)太麻煩了，我畫(huà)一橫線(xiàn)可以么？這個(gè)老師傻了眼，要說(shuō)不可以，好像說(shuō)不過(guò)去，又打擊學(xué)生積極性；要說(shuō)可以，他以后真的不用括號，用橫線(xiàn)，咋辦？
這位老師來(lái)找我訴說(shuō)。我說(shuō)，你錯過(guò)了機會(huì )啊，你應該說(shuō)，你的學(xué)生是天才，古代數學(xué)家正是這樣表示的。但后來(lái)不用橫線(xiàn)了，也有其道理，因為遇到一些括號很多的復雜式子，橫線(xiàn)太多，不美觀(guān)，也容易造成混亂。
一些年輕教師來(lái)問(wèn)我如何作研究。我總是說(shuō)：首先要把解題能力提高，能夠應付中高考，其次要多看看數學(xué)史，數學(xué)家傳記，研究一下信息技術(shù)。
解題是數學(xué)老師的看家本領(lǐng)，解題能力太差是站不住腳的。如果僅做題，不廣泛閱讀，也容易出問(wèn)題。我贊成金庸先生所說(shuō)的：武學(xué)和佛學(xué)并重。解題好比練武，增強技藝是一方面，同時(shí)要加強與數學(xué)專(zhuān)業(yè)相關(guān)的人文修養。
有些人不讀書(shū)，不了解過(guò)去，總說(shuō)過(guò)去教學(xué)是填鴨式，現在是啟發(fā)式。其實(shí)填鴨式和啟發(fā)式，過(guò)去有，現在也都存在，和每個(gè)老師個(gè)體有關(guān)。有些人上課習慣照本宣科，有些人則是海闊天空。
如何把數學(xué)講好，讓人喜歡聽(tīng)，這是不容易的。程民德院士主編的數學(xué)家傳記里，排在首位的是吳在淵。吳在淵何許人也？（以后詳說(shuō)）能排在最前面。吳文俊院士說(shuō)：吳在淵（1884-1935）在數學(xué)上的貢獻很小。但他在數學(xué)教育上的貢獻很大。
下面這個(gè)案例給我留下深刻的印象。這與現在某些論文里編造的“學(xué)生甲說(shuō)，學(xué)生乙說(shuō)……”的課堂實(shí)錄太不一樣了。
以上案例摘錄彭翕成網(wǎng)絡(luò )研修班講課資料。
一提起數學(xué)史，很多人馬上推薦，看《古今數學(xué)思想》啊。
《古今數學(xué)思想》自從被人戴上“最好的數學(xué)史著(zhù)作”的帽子之后，推崇者多矣。
如果你對數學(xué)史有興趣，當然可以看。需要說(shuō)明的是，一般的中學(xué)老師看了，恐怕用處不大。雖然該書(shū)描述了數學(xué)波瀾壯闊的歷史，但回到現實(shí)教學(xué)，結合不上。
我不主張急功近利的讀書(shū)，很多書(shū)讀了并不是馬上用得上的。高等數學(xué)對中學(xué)數學(xué)有指導意義，這一點(diǎn)很少人反對，但如何指導，如何關(guān)聯(lián)，這還需要研究。直接把《數學(xué)分析》《高等代數》塞給中學(xué)老師，恐怕效果不佳。研究出版中學(xué)數學(xué)和高等數學(xué)聯(lián)系的書(shū)籍還是有必要的。
數學(xué)史的書(shū)籍也是如此。如果你太忙，沒(méi)時(shí)間看太多的書(shū)，建議看看和中學(xué)數學(xué)聯(lián)系的上的數學(xué)史書(shū)籍，譬如張奠宙教授推薦的這一本。
張奠宙：它的出版必將成為我國數學(xué)史全面融入數學(xué)教育的一個(gè)歷史性標志
打開(kāi) 汪曉勤教授的《HPM：數學(xué)史與數學(xué)教育》一書(shū)的電子稿，剛剛看完目錄，讀過(guò)幾章，一種驚喜的預感便油然而生。我在想，這部著(zhù)作的出版，必將成為我國數學(xué)史全面融入數學(xué)教育的一件歷史性標志。我國的數學(xué)史研究，也將由此翻開(kāi)新的一頁(yè)。
《HPM：數學(xué)史與數學(xué)教育》
內容簡(jiǎn)介：數學(xué)史與數學(xué)教育（History and Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱(chēng) HPM）之間的關(guān)系是數學(xué)教育的一個(gè)研究領(lǐng)域，研究的課題包括：關(guān)于“為何”和“如何”的探討、教育取向的數學(xué)史、歷史相似性、數學(xué)史融入數學(xué)教學(xué)的實(shí)踐、HPM與教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展、數學(xué)史融入數學(xué)教材等。本書(shū)全面展示了作者及其研究團隊近十年以來(lái)在上述各課題上的研究成果。
回顧近代的中國數學(xué)史研究，主要以探尋中國古代數學(xué)的發(fā)展史實(shí)為核心。前輩學(xué)者通過(guò)考古發(fā)現，史料整理，構建理論體系，基本上確立了中國古代傳統數學(xué)在人類(lèi)文化史上的重要地位。這是一份寶貴的學(xué)術(shù)貢獻。正如李文林教授所說(shuō)，這些研究是在為歷史而數學(xué)史，也在為數學(xué)而數學(xué)史；此外，還有不可缺少的一部分，便是要為教育而數學(xué)史。按理說(shuō)，這三者，應該鼎足而立。不過(guò)，就實(shí)際情形而言，“為教育而數學(xué)史”的努力，顯然比較滯后。記得一位數學(xué)史名家曾對我說(shuō)起過(guò)，在他的研究初期，要求他的學(xué)生必須全力投入數學(xué)史的學(xué)術(shù)研究，不許寫(xiě)那些“沒(méi)有學(xué)術(shù)含量”的科普文章。這當然有一定道理，完全可以理解。在上一世紀，如果離開(kāi)了純粹的學(xué)術(shù)研究，僅憑發(fā)表一些“科普文章”，斷難確立本單位的學(xué)術(shù)地位，更無(wú)法獲得令人尊崇的學(xué)術(shù)聲譽(yù)。
不過(guò)，為教育的數學(xué)史，未必沒(méi)有學(xué)術(shù)含量。我常將“為歷史而數學(xué)史”比喻作“和田玉礦床”的開(kāi)采，而把“為教育而歷史”看做“玉石雕刻”的藝術(shù)。和田玉籽料是玉器的源頭，當然重要，但是玉石雕刻藝術(shù)同樣具有學(xué)術(shù)價(jià)值和藝術(shù)魅力。我想，HPM 就是這樣的一門(mén)藝術(shù)。HPM是數學(xué)史料的教育形態(tài)，需要對史料進(jìn)行“教育”的加工、雕琢、創(chuàng )造才能完成。這是一份獨特的創(chuàng )新活動(dòng)，也因而具有自身的學(xué)術(shù)價(jià)值。
如果說(shuō)HPM研究是“為教育而數學(xué)史”的新階段，那么1949年以來(lái)幾十年間的“為教育而數學(xué)史”，則不妨認為屬于初級階段。那時(shí)的有些做法比較簡(jiǎn)單化。有一種做法是所謂“民粹式”。只講中國的某某數學(xué)成就比國外早多少年，教科書(shū)上只剩下祖沖之等寥落可數的幾個(gè)名字。以至于不少人認為中國古代數學(xué)總體上也早于古埃及和古巴比倫數學(xué)，造成誤解。第二種是“詞典式”。凡是涉及數學(xué)史的內容，旁邊有一位歷史人物頭像，如歐幾里得，笛卡兒，歐拉，高斯等等。寫(xiě)明生卒年份，說(shuō)明做出了某某偉大的貢獻，就完事了。至于這段歷史和數學(xué)內容的關(guān)聯(lián)，則多半付之闕如。還有一種是“傳說(shuō)式”。在一些教學(xué)參考資料中，往往宣揚一些并不可靠的數學(xué)家故事來(lái)博取讀者的注意。如笛卡爾之夢(mèng)，說(shuō)天花板上的蜘蛛使他發(fā)現了坐標系等等。以上這些做法，用意自然是好的，只是因為不夠深刻，姑且稱(chēng)之為“初級階段”。
HPM的研究，則將“為教育的數學(xué)史”的教學(xué)引向更高的層次。這就是說(shuō)，要用數學(xué)史內容揭示相關(guān)的數學(xué)內涵，營(yíng)造數學(xué)文化氛圍，并與學(xué)生的數學(xué)認知規律密切聯(lián)系，使之有利于學(xué)生對數學(xué)內容的理解。在教學(xué)實(shí)踐中，HPM需要緊扣三維教學(xué)目標，以學(xué)生喜聞樂(lè )見(jiàn)的形式呈現絢麗多彩的數學(xué)歷史文化，在嚴謹的數學(xué)邏輯理性體系里投射出人文精神的光芒。
至于具體怎么做，本書(shū)里的許多案例，就是一批精心制作的范本。我在前面提到，本書(shū)的出版，將為數學(xué)史與數學(xué)教育的研究揭開(kāi)新的一頁(yè)。這一頁(yè)之新，即在于這一批創(chuàng )新的范本，以及他們所支撐的HPM理念。
HPM 是在數學(xué)教育過(guò)程中，對數學(xué)史知識的一次再認識。在這方面，徐光啟對《幾何原本》的認識與欣賞是一個(gè)經(jīng)典的榜樣。他在《幾何原本序》里有一段話(huà)：
“此書(shū)有四不必：不必疑、不必揣、不必試、不必改；有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得?！彼€說(shuō)：“(此書(shū))有三至、三能：似至晦，實(shí)至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實(shí)至簡(jiǎn)，故能以其簡(jiǎn)簡(jiǎn)他物之至繁；似至難，實(shí)至易，故能以其易易他物之至難?！?/p>
不妨認為，徐光啟對《幾何原本》的這一評價(jià)和欣賞，正是今日平面幾何教學(xué)的目的。我們從第一節課的“對頂角相等”開(kāi)始，就要用HPM的理念進(jìn)行教學(xué)加工。具體說(shuō)來(lái)，首先，我們要到“數學(xué)史”庫房里尋找一塊“對頂角璞玉”。形態(tài)如下：
定理 “對頂角相等．”如圖1，兩條直線(xiàn)相交，那么角A等于角B。
圖1 兩直線(xiàn)相交示意圖
在世界名著(zhù)、歐幾里得編寫(xiě)的《幾何原本》中，“對頂角相等”是命題15。證明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然后根據公理3（“等量減等量，其差相等”），所以A=B。
現在我們試將這塊“璞玉”雕琢成一件HPM精品。
事實(shí)上，這個(gè)定理非常直觀(guān)，一眼就看出來(lái)了！沒(méi)有人懷疑它的正確性。那么，我們的教學(xué)是不是還要教條式地去“創(chuàng )設情境，組織合作討論”呢？當然不需要。用HPM的理念來(lái)處理“對頂角相等”定理的教學(xué)，關(guān)節點(diǎn)在于“這樣明顯正確的知識究竟要不要證明？為什么古希臘人認為要證明，中國古代數學(xué)則根本沒(méi)有這個(gè)命題呢？思考這一問(wèn)題，就會(huì )樹(shù)立起對古希臘偉大理性文明的敬畏，觸發(fā)學(xué)生的一次心靈震撼。由此開(kāi)始學(xué)習平面幾何，HPM將帶領(lǐng)學(xué)生一步步地理解徐光啟對《幾何原本》的那段深刻的評價(jià)。
HPM在現代中國，還是一塊尚未充分開(kāi)發(fā)的沃土。記得1998年，我曾以ICMI執行委員的身份參加了在馬賽舉行的一次HPM的特別年會(huì )，由于那時(shí)的中國數學(xué)教育界和數學(xué)史界，還沒(méi)有精力顧及于此，我是大陸去參加的唯一中國人。會(huì )后出版的那本著(zhù)名文集，多少留下了一點(diǎn)中國的痕跡。會(huì )后，我就再也沒(méi)有參加HPM 的活動(dòng)了。直到汪曉勤來(lái)到上海，HPM 活動(dòng)才如火如荼地開(kāi)展起來(lái)。2014年在哥本哈根舉行的HPM會(huì )議上，中國大陸的學(xué)者非?；钴S，和我1998年的形單影只的情形已經(jīng)不可同日而語(yǔ)。汪曉勤教授的這部著(zhù)作，正是這一過(guò)程的總結?！帮L(fēng)正一帆懸”。我們希望，HPM 會(huì )在未來(lái)的中國數學(xué)教育中有一個(gè)更大的發(fā)展，以至成為繁榮數學(xué)文化的一種教學(xué)常態(tài)。
最后，我想趁此機會(huì )，談?wù)勆虾祵W(xué)史研究的一些歷史狀況。
我國的數學(xué)史研究，早先是李儼、錢(qián)寶琮兩位前輩。分別在北方和南方進(jìn)行耕耘，但都不在上海。1950年代以來(lái)，北京中科院是大本營(yíng)，北京師大則有白尚恕先生。北方的數學(xué)史重鎮還有遼寧師大的梁宗巨先生，內蒙師大的李迪先生，以及西北大學(xué)的李繼閔先生。南方的杭州，則有沈康身先生獨當一面。至于上海，除了零星的工作之外，簡(jiǎn)直是數學(xué)史的一片沙漠。上世紀80年代，我作為“票友”想參與一點(diǎn)數學(xué)史研究，幾乎無(wú)門(mén)可入。和我類(lèi)似的還有上海師大的袁小明教授，也是半路出家的業(yè)余作者。在新世紀到來(lái)的時(shí)候，情況突變。1999年汪曉勤從中科院自然科學(xué)是研究所獲得博士學(xué)位后進(jìn)入華東師范大學(xué)，這是“科班出身”的專(zhuān)業(yè)數學(xué)史學(xué)者第一次來(lái)到上海工作。接著(zhù)，2001年紀志剛來(lái)到上海交通大學(xué)。此后徐澤林應聘于東華大學(xué)。王幼軍執教于上海師范大學(xué)。一時(shí)間上海的數學(xué)史研究呈現井噴式的發(fā)展。最近，聽(tīng)說(shuō)復旦大學(xué)要引進(jìn)一名法國的數學(xué)史研究方向的博士，上海的數學(xué)史研究隊伍益發(fā)壯大了。
大約在十年前，紀志剛和汪曉勤來(lái)看我，我說(shuō)我已經(jīng)老了，“票友”只能玩到這個(gè)樣子。你們二位科班出身，能不能創(chuàng )立“海派”數學(xué)史研究呢？現在他們二位長(cháng)袖善舞，成果迭出，已經(jīng)是一個(gè)方面的領(lǐng)軍人物了。他們二位，包括徐澤林、王幼軍等的工作，是否能看成“海派”，尚需公論。依我看，汪曉勤的這本HPM，大概有一點(diǎn)“海派”的味道了。
拉雜寫(xiě)來(lái)，主旨是為了祝賀汪曉勤的著(zhù)作出版，也為中國大陸的HPM研究吶喊助威。應作者之約，權以這點(diǎn)文字為序。
本文摘編自汪曉勤著(zhù)《HPM：數學(xué)史與數學(xué)教育》一書(shū)，該書(shū)已由科學(xué)出版社于2017年5月正式出版，各大電商網(wǎng)站還沒(méi)有賣(mài)哦
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