??本章主要描述了理想流體媒質(zhì)中聲波的傳播特性。注意，彈性媒質(zhì)是聲波傳播的必要條件，理想流體媒質(zhì)的彈性主要表現在體積改變出現的恢復力。
??首先考慮聲波的三個(gè)基本物理量，聲擾動(dòng)產(chǎn)生的逾壓，聲擾動(dòng)引起的密度變化量，以及媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。
??取一媒質(zhì)微元，列出其運動(dòng)方程、連續性方程以及物態(tài)方程。在運動(dòng)方程建立時(shí)，用到了牛二定律，因為牛二描述的是質(zhì)點(diǎn)的運動(dòng)規律，而其中的物理量加速度
a
a
a也是質(zhì)點(diǎn)的加速度，這實(shí)際是在拉格朗日坐標系下的結果，但是我們描述聲場(chǎng)是基于空間位置的，對應于歐拉坐標系(配套場(chǎng)論的方法)。如果想得到歐拉描述下的力學(xué)方程，除了拉格朗日坐標系下的這一項，我們還需要減去一個(gè)用于抵消質(zhì)點(diǎn)運動(dòng)的對流項
d
v
?
d
t
=
?
v
?
?
t
+
v
?
?
?
v
?
\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\nabla \cdot \vec{v}
dtdv
?=?t?v
?+v
??v
。在物態(tài)方程建立時(shí)應用了絕熱假設(體積壓縮和膨脹的時(shí)間遠小于熱傳導需要的時(shí)間)，此時(shí)的媒質(zhì)的壓強和密度滿(mǎn)足絕熱方程，兩邊微分后即可得到聲壓與密度變化量的比值，該值即為聲速
c
2
=
γ
P
ρ
c^2=\frac{\gamma P}{\rho}
c2=ργP?，它的物理意義就是媒質(zhì)的壓縮能力，即壓強改變引起的密度變化量，若密度變化量越大，說(shuō)明媒質(zhì)的可壓縮性越好，聲波傳得就會(huì )越慢。
??當我們列出了聲波的三個(gè)基本方程后，可以發(fā)現它們是非線(xiàn)性的，故我們假設三個(gè)基本物理量都是一級微量，然后對方程進(jìn)行線(xiàn)性化。運動(dòng)方程略去遷移加速度，運動(dòng)方程和連續方程中密度使用靜態(tài)密度，物態(tài)方程的聲速用常數表示。線(xiàn)性化結果為就是小振幅的聲波方程。線(xiàn)性聲波方程經(jīng)過(guò)消元即可得到聲學(xué)波動(dòng)方程。
??可以發(fā)現速度場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，故引入速度勢的概念，其物理意義是聲擾動(dòng)使媒質(zhì)單位質(zhì)量具有的沖量，速度勢也滿(mǎn)足波動(dòng)方程。
??解=波動(dòng)方程+邊界條件，自由空間中一般使用行波解來(lái)描述聲場(chǎng)。
??由于空間聲場(chǎng)中體積速度的含義不明確，故使用聲阻抗率，即聲壓比質(zhì)點(diǎn)速度。聲阻抗率的實(shí)部代表能量的損耗(聲能向遠處傳播)，虛部代表能量的貯存(勢能與動(dòng)能的不停轉換)，注意，聲阻抗率存在正負，和傳播方向有關(guān)。
??媒質(zhì)特性阻抗定義為
ρ
0
c
0
\rho_0c_0
ρ0?c0?，媒質(zhì)特性阻抗很大，所以空氣中的消聲手段放到水下就不行。
??聲波的傳遞過(guò)程實(shí)質(zhì)上是能量傳遞的過(guò)程。
??取一微元，計算其動(dòng)能以及勢能(根據質(zhì)量不變性質(zhì)，兩端微分)，得到微元的聲能量，再除以其體積即可得到單位體積里的聲能量，稱(chēng)為聲能量密度。
??代入平面波的聲能量密度，可以發(fā)現能量是簡(jiǎn)諧變化的，即動(dòng)能和使能是同相變化的。因為此時(shí)的系統非保守，能量是傳遞的。如果對聲能量密度在時(shí)間上取一個(gè)平均，就可以得到平均聲能量密度。
??單位時(shí)間內通過(guò)垂直于聲傳播方向的面積
S
S
S的平均聲能量稱(chēng)為平均聲功率。單位面積上的聲功率就是聲強，聲強還可以用單位時(shí)間單位面積聲波對前進(jìn)方向上的毗鄰媒質(zhì)做的功去定義，即
I
=
1
T
∫
R
e
(
p
)
R
e
(
v
)
d
t
I=\frac{1}{T}\int Re(p)Re(v){\rm dt}
I=T1?∫Re(p)Re(v)dt(速度連續)。注意，聲強和聲功率都是時(shí)間上平均的概念，反應的是能量傳遞的概念，聲強有方向，與電磁波中的坡印亭矢量是很類(lèi)似的。
??這里主要以平面波為例來(lái)分析聲波在兩種不同媒質(zhì)界面上的反射、折射、透射問(wèn)題。因為無(wú)論是什么波，都可通過(guò)角譜法分解成平面波疊加的形式，研究平面波的與研究單頻信號的本質(zhì)是相同的。
??接下來(lái)討論聲學(xué)邊界條件，取分界面處的一無(wú)窮小質(zhì)量元，故根據牛二定律，其兩端受力一定相等，故聲壓連續。又可知分界面不可分離形成真空，故法向速度連續。
??首先分析平面波垂直入射的情況，假設一個(gè)反射波和透射波，在分界面上應用邊界條件，可以計算得到反射系數
r
p
r_p
rp?和透射系數
t
p
t_p
tp?，針對絕對硬的邊界，此時(shí)分界面速度為0，對應聲壓的波腹、速度的波節，針對絕對軟的邊界，此時(shí)分界面聲壓為0，對應聲壓的波節，速度的波腹，這兩種情況能量都無(wú)法透射過(guò)去，因為聲強為0。其實(shí)，發(fā)生反射的本質(zhì)是聲阻抗率不連續。
??然后來(lái)分析聲波斜入射的情況，此時(shí)為了描述聲波的傳播方向，引入波矢
k
?
\vec{k}
k
，此時(shí)
k
?
?
r
?
\vec{k}\cdot \vec{r}
k
?r
為位矢在波陣面上的投影。同樣，在分界面處應用邊界條件，可以得到反射系數
r
p
r_p
rp?和透射系數
t
p
t_p
tp?，只不過(guò)原來(lái)的聲阻抗率變成了法向聲阻抗率(聲壓除法向速度，即原來(lái)的聲阻抗率除
c
o
s
θ
cos\theta
cosθ)。此外，還得到了snell定律，即水平波數連續(水聲里叫聲線(xiàn)向聲速小的地方彎曲)。斜入射會(huì )存在幾種特殊的情況，滿(mǎn)足一定條件時(shí)，在某一個(gè)入射角
θ
0
\theta_0
θ0?會(huì )發(fā)生全透射；當介質(zhì)2的聲速大于介質(zhì)1的聲速時(shí)，當入射角大于臨界角
θ
i
c
\theta_{ic}
θic?時(shí)，會(huì )發(fā)生全反射，此時(shí)反射波存在一個(gè)相位躍變，且反射系數幅值為1，聲能量全部反射回來(lái)了，這里的透射系數似乎沒(méi)有意義了(沒(méi)有透射波的存在)；而當入射角為90°時(shí)，一定會(huì )發(fā)生全反射，此時(shí)稱(chēng)為掠入射。
??注意，這里經(jīng)常會(huì )直接用聲壓反射系數模的平方
∣
r
p
∣
2
|r_p|^2
∣rp?∣2來(lái)直接表示聲強反射系數
r
I
=
∣
r
p
∣
2
r_I=|r_p|^2
rI?=∣rp?∣2，以及聲強透射系數
t
I
=
1
?
∣
r
p
∣
2
t_I=1-|r_p|^2
tI?=1?∣rp?∣2，這兩個(gè)公式的前提是平面波。還有一個(gè)需要注意的概念是抗對應的是能量貯存，它內部的能量會(huì )不斷進(jìn)行轉化，而聲強對應的是能量傳遞or流動(dòng)的概念，抗并不能對聲強進(jìn)行分流，即它的聲強是0。
??最后來(lái)分析垂直入射的聲波透過(guò)中間層(在中間插了一層)的情況。這里有兩種方式可以求解，一是設出各層的入射波、反射波，然后在兩個(gè)分界面上用邊界條件，這里求得
t
p
t_p
tp?后取模平方即得
t
I
t_I
tI?，二是利用阻抗轉移公式，將阻抗一層一層轉移，后求出
r
p
r_p
rp?利用能量守恒得到
t
I
t_I
tI?。注意，這里似乎不能阻抗轉移時(shí)似乎不能求出
t
p
t_p
tp?，還有待研究。下面來(lái)討論聲強透射系數
t
I
t_I
tI?隨頻率特性，當中間層厚度
D
D
D為
λ
4
\frac{\lambda}{4}
4λ?的奇數倍時(shí)達到谷值，當中間層厚度
D
D
D為
λ
2
\frac{\lambda}{2}
2λ?的倍數時(shí)達到峰值，也就是說(shuō)其頻響特性是峰-谷-峰-谷……這樣下去的，低頻時(shí)全透，高頻時(shí)有一系列谷點(diǎn)，從這里也能看到低頻的隔聲難于高頻。這里添加中間層來(lái)隔聲的與后面添加突變界面管的作用是相同的，包括
t
I
t_I
tI?頻率特性的變化規律都是一樣的，中間層改變媒質(zhì)特性阻抗來(lái)改變聲阻抗，突變界面管改變截面積來(lái)改變聲阻抗，這里的隔聲都是基于反射的，稱(chēng)為抗性消聲，所以說(shuō)，反射的本質(zhì)就是聲阻抗不連續，而反射波存在的目的就是使空間中聲阻抗處處連續。
??干涉是兩列頻率相同，相差恒定的聲波在空間上的疊加，某些位置振動(dòng)始終加強(干涉相長(cháng))，某些位置振動(dòng)始終減弱(干涉相消)，本質(zhì)就是空間上能量的重新分配。
??頻率不同的聲波到達空間某一位置，其交叉項是不同頻率的乘積，經(jīng)過(guò)時(shí)間一平均就沒(méi)了；相位差不恒定的聲波到達空間的某一位置，其交叉項里包含一不恒定的相差，經(jīng)過(guò)時(shí)間一平均也就沒(méi)了；故非相干波不會(huì )出現干涉，空間各點(diǎn)的平均聲能量密度為各自的平均聲能量密度之和，噪聲就是這類(lèi)聲源。
??本章主要簡(jiǎn)述了聲波在管道中的傳播特性。管道是平面聲波傳播的一種良好的環(huán)境，管道也可以增強輻射效率。
??首先分析三維矩形波導管(xy封閉，z無(wú)限延伸)，考慮單頻信號，波動(dòng)方程退化成亥姆霍茲方程，然后分離變量求解，存在邊界的方向是駐波形式，無(wú)限延伸的是行波形式。三個(gè)方向波的波數是有耦合關(guān)系的，即
k
x
2
+
k
y
2
+
k
z
2
=
k
2
k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2
kx2?+ky2?+kz2?=k2。又因為xy方向存在邊界，故
k
x
k_x
kx?和
k
y
k_y
ky?只能取一系列離散值，如果取得過(guò)大，
k
z
k_z
kz?就會(huì )變成虛數，此時(shí)z方向上的行波就不能傳播。經(jīng)上述分析，可能會(huì )存在一系列的
(
k
x
,
k
y
)
(k_x,k_y)
(kx?,ky?)使得z方向存在可傳播的行波，這就是各號簡(jiǎn)正波，記各號簡(jiǎn)正頻率為
f
n
m
=
c
0
2
π
k
x
2
+
k
y
2
f_{nm}=\frac{c_0}{2\pi}\sqrt{k_x^2+k_y^2}
fnm?=2πc0??kx2?+ky2?
?。為了使物理圖像更加清晰，我們僅考慮
(
k
x
,
0
)
(k_x,0)
(kx?,0)這類(lèi)情況，此時(shí)y方向幅值處處相等，x方向呈現出余弦式的幅值分布，號數越高的簡(jiǎn)正波空間重復率越高?？紤]下為什么一定是余弦，且一定是半波長(cháng)的整數倍？因為邊界條件是硬邊界，法向速度為0，根據運動(dòng)方程，聲壓關(guān)于
x
x
x的導數一定是0，只有余弦函數滿(mǎn)足條件。在最前面我們提到了管道是平面波傳播的一種良好環(huán)境，由上面的分析就可以看出，如果頻率很低(
k
k
k很小)，此時(shí)
k
x
k_x
kx?和
k
y
k_y
ky?只能取0，這樣就可以得到平面波了，故稱(chēng)除0之外最低的簡(jiǎn)正頻率為截止頻率，當聲源的頻率小于截止頻率時(shí)，只能激發(fā)出平面波，否則會(huì )有多號簡(jiǎn)正模態(tài)，這里還有注意，簡(jiǎn)正波的號數只影響垂直方向的幅值分布，不能和振動(dòng)頻率
ω
\omega
ω混淆。
??波導中各號簡(jiǎn)正波存在兩個(gè)很重要的“速度”——相速度和群速度。相速度，即相位傳播的速度，其表達式為
c
p
=
ω
k
z
c_p=\frac{\omega}{k_z}
cp?=kz?ω?。對于某一號簡(jiǎn)正波，因為x方向的駐波可以分解兩個(gè)反向的行波，故實(shí)際的波陣面是傾斜于水平軸的，但接收器是水平軸上的，所以會(huì )出現相速度大于聲速的情況。群速度，一定要明確討論群速度的前提是聲源是寬帶的，物理本質(zhì)是能量的傳播速度(或者理解為波包的傳播速度)，其表達式為
c
g
=
d
ω
d
k
z
c_g=\frac{{\rm d \omega}}{{\rm d k_z}}
cg?=dkz?dω?。推導思路就是在某一個(gè)頻率附近對利用傅里葉逆變換將聲壓表達式寫(xiě)成簡(jiǎn)諧信號疊加的形式，在該頻率處對
ω
(
k
z
)
\omega(k_z)
ω(kz?)在其中心位置
k
z
0
k_{z0}
kz0?進(jìn)行泰勒展開(kāi)，取一級近似量，然后可以分解反應中心頻率處的一個(gè)簡(jiǎn)諧平面波和一個(gè)積分項的乘積，積分項反應的就是波包，波包的傳播速度為即群速度。當相速與頻率有關(guān)時(shí)稱(chēng)為色散現象，這里的
k
z
k_z
kz?本質(zhì)反映的就是頻率，因為對于某一號簡(jiǎn)正模態(tài)
k
x
k_x
kx?和
k
y
k_y
ky?是固定值。(詳細推導見(jiàn)【波導】——理解群速度和相速度)
??如何求解各號簡(jiǎn)正波前面的系數？同前面振動(dòng)體各號模態(tài)的系數一樣，因為聲源的速度和接觸面上的介質(zhì)速度肯定是連續的，故利用聲源的速度振幅作為初始條件進(jìn)行求解即可。注意我們這里討論的是單頻結果，寬帶需要先做個(gè)傅里葉變化變成單頻疊加的形式再進(jìn)行上述操作。
??然后我們來(lái)討論圓柱型聲波導管中的聲場(chǎng)，這里就是柱坐標系下的模態(tài)展開(kāi)，利用分離變量法可以得到徑向是m階柱貝塞爾函數，即駐波，不同極角的幅值分布也不同，水平軸上則為行波形式。這里的邊界條件同樣是法向速度為0，所以要找到貝塞爾函數的一系列導數為0的點(diǎn)，這里簡(jiǎn)正波的號數(m,n)中m代表貝塞爾函數的階數，而n代表該階貝塞爾函數的第幾個(gè)導數為0的點(diǎn)。而這里的截止頻率是(1,0)對應的簡(jiǎn)正頻率，因為1階貝塞爾函數的第一個(gè)導數為零的點(diǎn)最小。如果聲場(chǎng)是軸對稱(chēng)分布的情況，則徑向為0階貝塞爾函數分布。
??如何考慮管的末端聲負載對管入口聲源振動(dòng)的影響？即使用阻抗轉移公式。推導也很比較容易，設出入射波和反射波，利用管末端的聲負載值得到入射波和反射波幅值的關(guān)系，然后代入管口，即可得到管口的等效聲阻抗。
??阻抗轉移公式應用廣泛，多同層墻、多個(gè)中間插管都可以用，且計算起來(lái)非常方便。
??小知識點(diǎn)：聲源前加一個(gè)四分之一波長(cháng)奇數倍的管子，能夠大大提高輻射功率。
??對一個(gè)有限長(cháng)管，末端是聲負載，利用駐波法可以求得反射系數。關(guān)鍵是測得管中聲場(chǎng)的聲壓最大值和最小值，得到駐波比，然后再推算出反射系數的幅值。再通過(guò)測量第一個(gè)最小值的位置，可以得到反射系數的相位。
??測得反射系數后，可以利用反射系數公式推出末端聲阻抗。
??根據能量守恒，入射波的能量一部分流向了反射波，另一部分被聲負載吸收了，故
r
I
=
1
?
∣
r
p
∣
2
r_I=1-|r_p|^2
rI?=1?∣rp?∣2，算出解析式可以發(fā)現，當聲負載共振時(shí)(抗為0)，吸聲系數最大。個(gè)人理解：因為入射波是平面波，聲阻抗為常數，故負載抗越大，此時(shí)阻抗失配越大，反射波越強，吸聲就越小。書(shū)上還選取了亥姆霍茲共鳴器作為聲負載為例，進(jìn)一步說(shuō)明了在亥姆霍茲共振頻率處吸聲最大，且若聲阻與平面波匹配，則吸聲系數為1，此后定義了吸聲結構的品質(zhì)參數
Q
=
ω
M
R
Q=\frac{\omega M}{R}
Q=RωM?，品質(zhì)參數越大，則吸聲帶寬越窄。
??首先來(lái)分析突變截面管的聲學(xué)邊界條件，由于橫截面積發(fā)生了變化，所以速度連續不再成立，邊界條件轉變成了聲壓連續+體積速度連續(低頻下(保證平面波)的近似，兩端都進(jìn)行模態(tài)展開(kāi)，此時(shí)再利用速度連續，直流項相等即為體積速度連續)。
??反射系數和透射系數可以用第四章中給出的公式求得，這里是通過(guò)改變截面積去改變聲阻抗，同前面的改變媒質(zhì)不同。
??分析中間插管的傳聲特性，利用阻抗轉移公式可以求得聲強透射系數，其實(shí)可以預想的到，與中間墻的透聲表達式非常類(lèi)似，只不過(guò)中間墻用的是媒質(zhì)阻抗特性之比，中間插管用的是截面積之比，兩者反應的都是阻抗失配的程度。故其頻率特性也為峰-谷-峰…對一些頻率會(huì )有一些濾波作用，注意這類(lèi)的消聲只是將聲波反射回去，不消耗聲能，故稱(chēng)之為抗性消聲器。為了拓寬消聲的頻率范圍，可采用插入多節擴張管，每節管的寬度不同，例如一節擴張管的截止帶對應另一節擴張管的通帶，以此相互補償。注意，若頻率很低時(shí)，要從集中參數系統考慮，即畫(huà)出電力聲類(lèi)比圖進(jìn)行分析。
??若管道中存在一些旁支，則也會(huì )對聲傳播造成一定的影響，這里考慮旁支管尺寸遠小于波長(cháng)的情況，即可看成一點(diǎn)(處于同一相位面上)。利用聲壓連續和體積速度連續列出方程，注意這里體積速度會(huì )進(jìn)行分流，一部分流入旁支管，一部分透射。根據方程組可以畫(huà)出等效線(xiàn)路圖，然后直接求解聲壓透射系數 t p t_p tp?，因為透射波也是平面波，所以聲強透射系數 t I = ∣ t p ∣ 2 t_I=|t_p|^2 tI?=∣tp?∣2，而聲壓反射系數 r p = t p ? 1 r_p=t_p-1 rp?=tp??1，根據能量守恒，吸收系數 α = 1 ? ∣ t p ∣ 2 ? ∣ r p ∣ 2 \alpha=1-|t_p|^2-|r_p|^2 α=1?∣tp?∣2?∣rp?∣2，根據解析式可以發(fā)現，當旁支管共振時(shí)(抗為0)，吸收系數最大，且當聲阻為平面波聲阻的一半時(shí)，吸聲系數最大，為二分之一，此時(shí)剩下的四分之一透射，四分之一反射。如果旁支管聲阻為0，則在共振頻率處，透射聲強為0，能量全部反射回去，故也是抗性消聲器。
??針對無(wú)限長(cháng)指數型號筒，高頻時(shí)，其入口輻射阻接近于平面波聲阻，故能夠大大提高輻射效率；但存在一個(gè)截止頻率，若頻率過(guò)低時(shí)，輻射阻轉變?yōu)榭?，號筒無(wú)法傳輸聲波。
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