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                                                  匝道施工中中線(xiàn)和邊樁放樣坐標的計算方法

文藝屏
（南寧市政工程有限公司 廣西南寧 530011）

【摘　要】　推導匝道中線(xiàn)和邊樁在城市坐標系中的坐標計算公式，介紹實(shí)現整條線(xiàn)路連續統一計算的程序設計思路。
【關(guān)鍵詞】　匝道中線(xiàn) 邊樁 放樣坐標 計算方法

　　1 引言
　　隨著(zhù)我國城市交通事業(yè)的飛速發(fā)展，各種立交橋如雨后春筍般拔地而起，線(xiàn)形越來(lái)越優(yōu)美也越來(lái)越復雜，多是由圓曲線(xiàn)和緩和曲線(xiàn)組成的全曲線(xiàn)交通線(xiàn)路。匝道的施工放樣是道路施工放樣中最復雜、精度要求最高的部分，放樣點(diǎn)的密度直接影響到竣工產(chǎn)品的外形美觀(guān)度甚至使用功能。一般地，設計文件僅提供線(xiàn)路曲線(xiàn)段主要控制點(diǎn)的當地城市坐標和該工程相對樁號，遠遠不能滿(mǎn)足施工放樣的需要，在施工中必須要大量地加密控制點(diǎn)。同時(shí)由于施工現場(chǎng)條件非常復雜，我們不可能也沒(méi)有必要在室內無(wú)限計算曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標備用，只能臨時(shí)在現場(chǎng)根據需要確定加密點(diǎn)并計算其坐標，這就要求我們能有一種相對簡(jiǎn)單又能滿(mǎn)足精度要求的計算方法。本文針對構成匝道要素的圓曲線(xiàn)和緩和曲線(xiàn)推導其坐標計算公式，簡(jiǎn)單介紹實(shí)現整條線(xiàn)路連續統一計算的程序設計思路。在施工放樣中僅以線(xiàn)路上任意點(diǎn)樁號作為參數代入就可以計算出自己想要得到的該點(diǎn)任何放樣數據，利用全站儀高效、準確地進(jìn)行匝道施工放樣。
　　2 匝道中線(xiàn)坐標及法線(xiàn)方位角計算公式推導
　　為了方便推導和簡(jiǎn)化公式的表述，我們約定
　　1）約定中線(xiàn)的法線(xiàn)方位角前進(jìn)方向的順時(shí)針?lè )较驗槠湔较颍?br>　　2）線(xiàn)路偏轉方向函數LR（Ai，Ai+1） 并在后面的計算中用λ替代，Ai為線(xiàn)路轉角前方位角，Ai+1為線(xiàn)路轉角后方位角，約定線(xiàn)路偏轉方向函數為

　　　　
　　3）左手坐標系為計算中默認坐標系，即x為縱坐標，y為橫坐標。
　　1、直線(xiàn)中線(xiàn)坐標、法線(xiàn)方位角計算
　　設直線(xiàn)的起點(diǎn)P（x0，y0）和直線(xiàn)前進(jìn)方位角Ai，計算直線(xiàn)上與起點(diǎn)距離為S的點(diǎn)P0（x1，y1）的坐標、法線(xiàn)方位角N，根據一般測量原理有：
　　　　?。?）
　　2、圓曲線(xiàn)中線(xiàn)及圓心坐標、曲線(xiàn)法線(xiàn)方位角計算
　　設圓曲線(xiàn)的起點(diǎn)為P0（x0，y0），相應點(diǎn)前進(jìn)方向的切線(xiàn)方位角Ai，圓半徑r，圓曲線(xiàn)終點(diǎn)切線(xiàn)方位角Ai+1，起點(diǎn)法線(xiàn)方位角為α。先計算出圓心O（xc，yc）：
　　　　?。?）

　　依托圓心計算曲線(xiàn)某一點(diǎn)M（xm，ym）與起點(diǎn)中線(xiàn)長(cháng)度為lm的坐標、法線(xiàn)方位角N：

　　　　?。?）

　　3、緩和曲線(xiàn)中線(xiàn)坐標、法線(xiàn)方位角計算

圖1

　　我們將緩和曲線(xiàn)分完整緩和曲線(xiàn)和不完整緩和曲線(xiàn)兩類(lèi)來(lái)討論。完整緩和曲線(xiàn)是指從無(wú)窮大半徑到有限半徑的緩和曲線(xiàn)（如圖1中O點(diǎn)開(kāi)始至終點(diǎn)結束段曲線(xiàn)），不完整緩和曲線(xiàn)是指從有限半徑到有限半徑的中插緩和曲線(xiàn)（如圖1中P點(diǎn)開(kāi)始至終點(diǎn)結束段曲線(xiàn)）；按照曲線(xiàn)前進(jìn)方向法線(xiàn)方位角的旋轉順、逆時(shí)針?lè )较驅⒕徍颓€(xiàn)分為正向緩和曲線(xiàn)和反向緩和曲線(xiàn)。在日常工作中，只要我們能夠推導出一個(gè)方向緩和曲線(xiàn)的計算公式，反過(guò)來(lái)反方向緩和曲線(xiàn)的計算就變得十分容易了，在這里，我們僅給出正向緩和曲線(xiàn)的計算公式。
　　（1）完整緩和曲線(xiàn)
　　設緩和曲線(xiàn)的起點(diǎn)為O（x0，y0），曲線(xiàn)的長(cháng)度l，起點(diǎn)前進(jìn)方向切線(xiàn)方位角Ai，求緩和曲線(xiàn)上點(diǎn)M（xm，ym）到起點(diǎn)的中線(xiàn)長(cháng)度（弧長(cháng)）為lm ，c為緩和曲線(xiàn)常數，β為M點(diǎn)的偏轉角度，點(diǎn)M在圖1所示坐標系中的坐標為（xs，ys）：
　　c =lr　　?。?）
　　

　　?。?）

　　再從圖1坐標系轉換到城市坐標系，求出點(diǎn)M的坐標和法線(xiàn)方位角Nm：
　　

　　?。?）
　　　　?。?）

　　在保證必須精度的情況下取有限項級數，式（5）中的多項式在大多數情況下取到第三項即可，在曲率半徑r較小且l > r的情況下，數學(xué)計算誤差可能會(huì )加大達到毫米級，可適當取到第四、第五項，這里就不再列舉了。
　　（2）不完整緩和曲線(xiàn)
　　設不完整緩和曲線(xiàn)的起點(diǎn)為P0（x0，y0），曲線(xiàn)長(cháng)度為l，起點(diǎn)前進(jìn)方向切線(xiàn)方位角為Ai，起點(diǎn)曲率半徑r1，終點(diǎn)曲率半徑r2，正向曲線(xiàn)時(shí)有r1 > r2 。我們設所求緩和曲線(xiàn)上的點(diǎn)M（xm，ym）到緩和曲線(xiàn)起點(diǎn)的中線(xiàn)長(cháng)度（弧長(cháng)）為lm，則有緩和曲線(xiàn)常數c

　　　　c＝l*（r1 r2）/（r1-r2）　　?。?）
　　如果把不完整緩和曲線(xiàn)補成完整緩和曲線(xiàn)，設需要補足的曲線(xiàn)長(cháng)度為l0，產(chǎn)生的角度偏轉為β0 ，完整緩和曲線(xiàn)的起點(diǎn)為P′（x0′，y0′），方位角為Ai′，點(diǎn)M（xm，ym）到緩和曲線(xiàn)起點(diǎn)P′（x0′，y0′）的中線(xiàn)長(cháng)度（弧長(cháng)）為lm′，有
　　　　?。?）
　　代入式（5）計算P0（x0，y0）在圖1所示坐標系中的坐標
　　　　?。?0）
　　而代入式（6）計算出P′（x0′，y0′）的城市坐標
　　　　?。?1）
　　在我們將式（9）中lm′=l0+ lm代入式（5）相應得出xs′、ys′，利用式（6）來(lái)計算點(diǎn)M（xm，ym）的城市坐標
　　　　?。?2）
　　M點(diǎn)的法線(xiàn)方位角Nm由式（9）中lm′=l0+ lm代入式（7）相應得出。
　　反向緩和曲線(xiàn)，同理可根據曲線(xiàn)段終點(diǎn)的坐標和方位角反方向計算出來(lái)。
　　3 線(xiàn)路邊樁坐標計算
　　設曲線(xiàn)中線(xiàn)上任意一點(diǎn)P（x0，y0），其法線(xiàn)方位角為N，邊樁至中線(xiàn)距離為S（左負右正），則容易得出邊樁點(diǎn)M（xm，ym）的坐標
　　　　?。?3）
　　4 實(shí)現整條線(xiàn)路連續統一計算的程序設計思路
　　為了能夠將整個(gè)路線(xiàn)統一起來(lái)連續計算，需要分析能夠唯一確定各線(xiàn)型要素的必要參數，以便組織程序數據和設計算法。這里列出各類(lèi)線(xiàn)型及其必要的參數如下：
　　（1）直線(xiàn)：起點(diǎn)坐標、起點(diǎn)方位角、直線(xiàn)長(cháng)度；
　?。?）圓曲線(xiàn)：起點(diǎn)坐標、起點(diǎn)方位角、曲線(xiàn)長(cháng)度、曲率半徑、偏轉方向；
　?。?）完整緩和曲線(xiàn)：起點(diǎn)坐標、起點(diǎn)方位角、曲線(xiàn)長(cháng)度、曲率半徑、偏轉方向；
　?。?）不完整緩和曲線(xiàn)：起點(diǎn)坐標、起點(diǎn)方位角、曲線(xiàn)長(cháng)度、曲率半徑1、曲率半徑2、曲率半徑3 …、偏轉方向。
　　以上各線(xiàn)型的參數僅僅是單段曲線(xiàn)或直線(xiàn)計算所需要的數據，為了方便連續計算整條線(xiàn)路，還需要用一個(gè)統一的、易于辨認的符號來(lái)連續標識每一段的線(xiàn)型。前面我們設定的線(xiàn)路偏轉方向函數的值為+1和-1，習慣上我們還是用整數來(lái)標識線(xiàn)段的線(xiàn)型，用樁號來(lái)表示中線(xiàn)點(diǎn)，曲線(xiàn)兩段點(diǎn)里程之差即弧長(cháng)就是曲線(xiàn)長(cháng)度可以由每一曲線(xiàn)起點(diǎn)樁號和緊接其后另一曲線(xiàn)的起點(diǎn)樁號相減得到，不完整緩和曲線(xiàn)的曲率半徑是緊接其前后兩段曲線(xiàn)的終、起點(diǎn)的半徑，通過(guò)以上分析可以得出結論，在連續計算整條線(xiàn)路時(shí)，我們只要輸入和保存線(xiàn)段線(xiàn)型、基點(diǎn)坐標、起點(diǎn)樁號、起點(diǎn)曲率半徑、基點(diǎn)方位角就可以在計算工具上自動(dòng)調用相應計算模塊來(lái)實(shí)現連續計算整條線(xiàn)路任意一點(diǎn)的坐標，如果與坐標放樣模塊綜合一起完全可以按照自己的放樣習慣一次得出我們所需要的數據進(jìn)行即時(shí)放樣工作，大大提高我們野外作業(yè)效率。

【參考文獻】
[1] 李青樂(lè ).工程測量學(xué)[M].北京：測繪出版社1984
[2] 張坤宜.同向緩和復曲線(xiàn)數學(xué)模型的探討[J].公路1999（09）