分數解決問(wèn)題中說(shuō)：解決問(wèn)題的教學(xué)分為三個(gè)層次：
1.通過(guò)具體的題探究和鞏固基本數量關(guān)系。
2.基本數量關(guān)系的應用：通過(guò)關(guān)鍵句的解設訓練學(xué)生學(xué)會(huì )根據基本數量關(guān)系表示相關(guān)次量（一份量或單位1就是主量，常設為X），這是五下《用字母式表示數量》一節的主要教學(xué)目的。從此學(xué)生終于從數中解脫，經(jīng)由字母式開(kāi)始更深刻地理解數量之間的本質(zhì)關(guān)系。
方程怕則，則語(yǔ)寫(xiě)好了就成功了一半。
3.列方程：僅用表出的次量列方程 或 連同已設好的主量一起參與列出又涉及到其它數量關(guān)系的方程。
在此環(huán)節，學(xué)生有時(shí)需從整體把握好幾個(gè)量之間的關(guān)系從而才能列出方程，是難度最大的，如：
顯然這三個(gè)層次層層遞進(jìn)，難度逐漸增大。
以下是針對五年級下冊列方程解決問(wèn)題的思考：
很多教師在教學(xué)解方程解決問(wèn)題時(shí)總有這樣的感覺(jué)，老師教的很累很辛苦，學(xué)生學(xué)的很慢很糟糕。究其原因有兩個(gè)方面：一是沒(méi)有抓住重難點(diǎn)找等量關(guān)系，二是雖知道重點(diǎn)是找等量關(guān)系但不知如何有效突破這個(gè)重難點(diǎn)。
凡方程教學(xué)皆應將從關(guān)鍵句中找等量關(guān)系作為重點(diǎn)，關(guān)于其重要性不再贅述，下面主要說(shuō)說(shuō)如何有效突破教會(huì )學(xué)生找等量關(guān)系這個(gè)重難點(diǎn)。
不同類(lèi)型的題其等量關(guān)系不同，這些等量關(guān)系往往都隱藏在紛繁復雜的條件和信息之中，如：
問(wèn)題一：男有50人，比女的4倍多2人，女有幾人？
問(wèn)題二：甲城到乙城的公路長(cháng)470千米?？炻齼善?chē)同時(shí)從兩城相對開(kāi)出,快車(chē)每小時(shí)行50千米,慢車(chē)每小時(shí)行44千米,兩車(chē)經(jīng)過(guò)多長(cháng)時(shí)間相遇?
可能有的教師會(huì )說(shuō)這有什么難的，可事實(shí)上對于小學(xué)生來(lái)說(shuō)在這些紛繁復雜的條件和信息中找到等量關(guān)系確實(shí)是非常困難的一件事，承認這一事實(shí)是我們研究商談如何突破這一重難點(diǎn)的前提。
我們知道對于典型問(wèn)題其解法是有模型的，等量關(guān)系也不例外。那么學(xué)生在面對這些復雜的問(wèn)題時(shí)他頭腦中已經(jīng)建立相應的模型了嗎？用這些復雜的題來(lái)幫助學(xué)生建立模型合適嗎？
教學(xué)經(jīng)驗告訴我們：首先，在面對這些復雜的問(wèn)題時(shí)學(xué)生頭腦中并未建立相應的模型，當然也無(wú)法應用來(lái)解決這樣復雜的問(wèn)題。其次，用這些復雜的題來(lái)幫助學(xué)生建立模型并不合適，學(xué)生大多會(huì )淹沒(méi)在紛繁復雜的條件和信息中而一頭霧水，茫然不知所措。
怎么辦呢？我的方法是首先剔除細枝末節得到本類(lèi)型題的關(guān)鍵句，然后先用同類(lèi)型的一些關(guān)鍵句進(jìn)行專(zhuān)項訓練，訓練學(xué)生找等量關(guān)系并建立相應的模型，然后再應用到復雜的完整的肥胖版解決問(wèn)題中，如：
問(wèn)題一：男有50人，比女的4倍多2人，女有幾人？
首先瘦身得到關(guān)鍵句：男比女的4倍多2人。
師：如求男生怎么求？
生：女×4+2=男。
師：這就是等量關(guān)系。在等量關(guān)系中，為什么用女去乘倍數4？
生：女的4倍，女是一倍量，所以應該用女去乘倍數4。
專(zhuān)項練習：寫(xiě)出下面各題中的等量關(guān)系。
桌比椅的7倍少3個(gè)。
足球比籃球的6倍多4個(gè)。
問(wèn)題二：甲城到乙城的公路長(cháng)470千米?？炻齼善?chē)同時(shí)從兩城相對開(kāi)出,快車(chē)每小時(shí)行50千米,慢車(chē)每小時(shí)行44千米,兩車(chē)經(jīng)過(guò)多長(cháng)時(shí)間相遇?
首先瘦身得到關(guān)鍵句：快慢兩車(chē)從相聚470千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，一段時(shí)間后兩車(chē)相遇。
等量關(guān)系：快路+慢路=遇路
專(zhuān)項訓練：略。
再如落后問(wèn)題的關(guān)鍵句：
甲乙兩人從某地同時(shí)出發(fā)同向而行，一段時(shí)間后甲落在乙后面150千米處。
等量關(guān)系：慢路+落路=快路
專(zhuān)項訓練：略。
專(zhuān)項訓練不過(guò)是更換情景更換名稱(chēng)幫助學(xué)生加深理解建立模型而已，相遇問(wèn)題和落后問(wèn)題的等量關(guān)系教學(xué)可放在一節課采用對比教學(xué)的方式進(jìn)行。
對于行程問(wèn)題，線(xiàn)段圖具有重要的直觀(guān)性?xún)r(jià)值，線(xiàn)段圖再加上方程法，可以使學(xué)生很容易發(fā)現等量關(guān)系進(jìn)而列出方程。方程法的實(shí)質(zhì)是無(wú)論求速度還是求時(shí)間，一旦引入未知數x后均可化為路程——可用線(xiàn)段直觀(guān)表示的量。下例是我發(fā)現此關(guān)鍵的契機：
這是一種化時(shí)化速為路程的思路，如同分數解決問(wèn)題的思路化率為量。更多難度較大的題見(jiàn)《行程問(wèn)題》。
對于方程單元的解決問(wèn)題，只有用關(guān)鍵句訓練學(xué)生才能使學(xué)生快速高效地建立等量關(guān)系的模型，才能有效突破找等量關(guān)系這個(gè)重難點(diǎn)，也才能遷移應用去解決復雜的解決問(wèn)題。
綜上，凡方程教學(xué)皆應將從關(guān)鍵句中找等量關(guān)系建立模型作為重點(diǎn)，首先應該進(jìn)行鋪墊式的專(zhuān)項訓練。
值得注意的是，典型題的一再練習與鞏固也容易導致學(xué)生產(chǎn)生定勢思維，導致學(xué)生除了典型題什么題都不會(huì )做，所以后期還要通過(guò)變式打破這種定勢，體會(huì )等量關(guān)系靈活多變的呈現形式，從而從更深層次把握建立等量關(guān)系的觀(guān)念。詳可見(jiàn)上面鏈接《行程問(wèn)題》。
其他思考：
1.僅僅為了一個(gè)和倍問(wèn)題和一個(gè)相遇問(wèn)題應用算術(shù)法的方便而如此大費周折實(shí)在是不值，我圖將來(lái)一點(diǎn)方便卻加重了學(xué)生負擔，實(shí)在沒(méi)有介紹算術(shù)法的必要。至于帶尾巴型和相遇、落后問(wèn)題則更是如此，特別是帶尾巴型逆向難度太大了，我是在挑最困難的路走。
2.為統一和倍、差倍問(wèn)題也應該用方程，要明確這種雙條件問(wèn)題的一設一列，一算一驗的思路。其難點(diǎn)在于兩個(gè)量都是未知的，該設哪個(gè)量為x呢？有前面帶尾巴型的鋪墊，此處學(xué)生會(huì )憑直覺(jué)經(jīng)驗設一倍量為x，也會(huì )嘗試解出此題。需要通過(guò)以下問(wèn)題加深理解：根據哪個(gè)條件設的？根據哪個(gè)條件列的？求另一量時(shí)根據那個(gè)條件求的？檢驗時(shí)根據哪個(gè)條件檢驗的？建議：題出示后，首先明確男女生之間存在怎樣的等量關(guān)系以加深對條件的理解。
3.不要在剛講完和倍、差倍問(wèn)題之后緊接著(zhù)講和差問(wèn)題，因為設法易混，策略是后置，待學(xué)完路程問(wèn)題之后再回頭學(xué)習。
4.站在方程法的角度或高度看五大類(lèi)問(wèn)題：
今后眾多的題均應站在方法思想策略的高度來(lái)看，以方法思想策略來(lái)統領(lǐng)，別小看這一視角的小小轉變，實(shí)際上它意味著(zhù)觀(guān)念的重大轉變，以方法思想策略來(lái)統領(lǐng)題的觀(guān)念這才是著(zhù)眼于發(fā)展學(xué)生能力的觀(guān)念，隨之而來(lái)的是更為寬廣的天地和視野，你將有可能看到矗立在無(wú)數沙?！} 上的石柱和房梁——方法思想策略。
5.
6.提醒自己分數百分數解決問(wèn)題也以方程法為主，以找到并建立等量關(guān)系模型為重點(diǎn)。見(jiàn)《分數百分數解決問(wèn)題》中核心素養部分。
2019.2.15
以下內容摘自《方法策略與觀(guān)念建構》：
問(wèn)題1：列方程解決問(wèn)題的難點(diǎn)找等量關(guān)系如何突破？
Q:用方程解決實(shí)際應用問(wèn)題這類(lèi)課應該怎么上？用方程這個(gè)工具解決實(shí)際問(wèn)題的的過(guò)程中，最關(guān)鍵的是找等量關(guān)系這一步，簡(jiǎn)單問(wèn)題就好找，復雜問(wèn)題就難找，我們現在想的辦法是引導孩子通過(guò)列表格、畫(huà)線(xiàn)段圖等方法來(lái)梳理已知條件，找等量關(guān)系。這樣是不是就夠了呢？總感覺(jué)好像不夠。
A:當你這樣講的時(shí)候，你仍然只關(guān)注了方法和策略上的問(wèn)題。這就是我常說(shuō)的，你做很多的題，只是積累了很多的方法和策略，但是，為什么應該這樣做？你真的清楚嗎？很多時(shí)候，我們都是只知其然，而不知其所以然。過(guò)去我們自己上學(xué)的時(shí)候沒(méi)有人這樣追問(wèn)，但是，我們當了老師仍然這樣不追問(wèn)，可以嗎？不是說(shuō)策略與方法不重要，而是它只能排在第二位，首要的一定是觀(guān)念建構！就算我們總結了很多方法，去幫助孩子梳理題目中的關(guān)鍵信息，他們就真的會(huì )做了嗎？
我們必須要從認知的角度去解決問(wèn)題。我們組織一個(gè)開(kāi)放性的情境，或是讓孩子去超市做調查，這樣的活動(dòng)都是從認知的角度去解決問(wèn)題——因為孩子缺乏背景，所以我們就要幫孩子補足這個(gè)背景。豐富孩子的已有經(jīng)驗，在這個(gè)過(guò)程中提出問(wèn)題，有些問(wèn)題孩子可以解決，不能解決的問(wèn)題就是他的認知沖突，這才是我們的教與學(xué)的起點(diǎn)??！最最重要的是從認知的角度去思考問(wèn)題，去建構生成一個(gè)新觀(guān)念，而不是把它降低到一個(gè)方法和策略的層面。
如果我們觀(guān)念建構得足夠好了，孩子們要去面臨中高考的時(shí)候，他就需要在短時(shí)間內應用建構好的觀(guān)念去解決問(wèn)題，這就是策略與方法的問(wèn)題了。我們用一學(xué)期或是一年來(lái)訓練孩子的應試能力、解題能力，去應對中高考，這有什么難度呢？但是我們能把三年、六年時(shí)間全部用來(lái)訓練解題嗎？當然不可以！
喃喃自語(yǔ)：可我只有兩年的時(shí)間，除了玩命做題還能怎樣呢？能否說(shuō)我的列方程解決問(wèn)題中的等量建模，行程問(wèn)題中的線(xiàn)段直觀(guān)圖，分百解決問(wèn)題中的化率為量，都是觀(guān)念呢？觀(guān)念建構中的觀(guān)念到底是指什么？文中有一段說(shuō)‘運用本章建構的一元一次方程觀(guān)念去解決實(shí)際問(wèn)題‘’，個(gè)人認為一元一次方程觀(guān)念就應該是已知量和未知量間存在一元一次函數關(guān)系。更寬泛地說(shuō)，方程觀(guān)念又是什么觀(guān)念呢？方程是把已知和未知通過(guò)等量關(guān)系（一般會(huì )是某種模型如函數）建立聯(lián)系的觀(guān)念嗎？如果我的理解是正確的話(huà)，那我在小學(xué)教學(xué)中如何建構這一觀(guān)念呢？我想重點(diǎn)仍然是找到已知量和未知量之間的關(guān)系，這是解決問(wèn)題永恒不變的宗旨與追求。而線(xiàn)段圖等手段只是實(shí)現此觀(guān)念達成此觀(guān)念的手段。
我的思考總結：方程觀(guān)念是把已知和未知通過(guò)等量關(guān)系建立聯(lián)系的觀(guān)念，等量關(guān)系一般是某種模型化的關(guān)系如函數等，所以又需要建構函數觀(guān)念，所以方程與函數思想中的方程與函數會(huì )同時(shí)出現。其背后最重要的觀(guān)念仍然是找到已知量和未知量之間的關(guān)系，這是解決問(wèn)題永恒不變的宗旨與目的，而線(xiàn)段圖等只是實(shí)現此目的的手段，更進(jìn)一步說(shuō)，函數其實(shí)也是達成此目的的工具和手段。
如果不用觀(guān)念去統領(lǐng)方法策略，學(xué)生就會(huì )陷入方法和策略的迷宮，迷失在方法和策略的叢林之中。
問(wèn)題2：觀(guān)念建構是怎么回事？
這節課屬于一元一次方程的綜合階段，應該是運用本章建構的一元一次方程觀(guān)念去解決實(shí)際問(wèn)題，但是現在孩子們的障礙卻在于這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的特定背景。比如，孩子們不是找不到量與量之間的關(guān)系，而是對這些名詞、概念不清楚，所以教學(xué)的難點(diǎn)就有一點(diǎn)偏移。這就給我們的教學(xué)就帶來(lái)了一些難題，它不是用一元一次方程觀(guān)念解決實(shí)際問(wèn)題上的難題，而是由于孩子們對這個(gè)實(shí)際問(wèn)題背景不熟悉而帶來(lái)的難題。
我們的教育兩個(gè)極端，一個(gè)極端是完全無(wú)視學(xué)生的已有經(jīng)驗，直接灌輸，老師真理在握，老師的任務(wù)就是把自己手中的真理灌給學(xué)生。而另一個(gè)極端是完全依據學(xué)生的已有經(jīng)驗去建構，設置有沖突的問(wèn)題，一點(diǎn)點(diǎn)地協(xié)助學(xué)生建構生成新觀(guān)念，這個(gè)過(guò)程中老師就好像藏在幕后一樣，他只是一個(gè)課堂對話(huà)的組織者。前者效果一定不好，到最后想要取得好成績(jì)只能靠題海戰術(shù)、機械訓練來(lái)實(shí)現。后者才是我們理想的教育模型。但是我們現在的課堂教學(xué)很難做到，因為受時(shí)間的限制，再加上目前我們的孩子沒(méi)有經(jīng)歷系統的南明數學(xué)課程，每個(gè)人的背景、思維習慣都不同。所以我們需要思考，目前我們處在兩個(gè)極端中的哪個(gè)位置？
今天這節課顯然是偏向傳統那一側的。老師把一個(gè)比較復雜的問(wèn)題掰開(kāi)揉碎地講，一步一步啟發(fā)引導，這就相當于傳統上講的啟發(fā)式教學(xué)，目的是引導學(xué)生理解地學(xué)習。對于這樣的課，就應該在啟發(fā)引導的基礎上，達成共識后迅速拿出相應的練習，兩分鐘解答完，統計正確率。但是，這樣的學(xué)習仍然是“被動(dòng)”的，“主動(dòng)”的學(xué)習一定是“觀(guān)念建構”式的。
我們的課程不能僅僅著(zhù)眼于解決問(wèn)題的策略、方法，而要著(zhù)眼于“觀(guān)念建構”。那么，這節課如何以觀(guān)念建構的方式展開(kāi)教學(xué)呢？既然學(xué)生缺乏的是相應背景，那就要補這個(gè)背景的經(jīng)驗??！我們就需要設計一些活動(dòng)，比如像school fair那樣的活動(dòng)，設計一些開(kāi)放性的問(wèn)題，有些問(wèn)題可能孩子們就解決了，有些可能解決不了，這些解決不了的問(wèn)題就可以作為課堂對話(huà)的基礎，大家一起討論。這就是一個(gè)觀(guān)念建構的過(guò)程。
如果教師對孩子的認知沖突十分清楚的話(huà)，就應該提前做好這些的準備工作?，F在的情況是，你們也知道孩子們會(huì )在這里有問(wèn)題，缺乏背景經(jīng)驗，但是有問(wèn)題也就這樣上了，有點(diǎn)“蠻干”的感覺(jué)。
聯(lián)系客服
