課題研究 2010-05-12 20:55:37 閱讀31 評論0 字號：大中小 訂閱
【內容摘要】在新課程改革逐步深化的背景下，初中數學(xué)教學(xué)中如何培養學(xué)生的創(chuàng )新思維和實(shí)踐能力，是我們一線(xiàn)教師面臨的必須解決的問(wèn)題。幾何畫(huà)板這個(gè)數學(xué)工具軟件已逐漸被數學(xué)教師所認識，也正在被應用到數學(xué)教學(xué)中，如何利用幾何畫(huà)板開(kāi)展數學(xué)教學(xué)和數學(xué)實(shí)驗呢？本文就從初中數學(xué)的函數、圖形變換、平面幾何的教學(xué)和數學(xué)活動(dòng)、數學(xué)解題的教學(xué)等方面來(lái)談?wù)剮缀萎?huà)板在初中數學(xué)教學(xué)中的應用與嘗試?！娟P(guān)鍵詞】幾何畫(huà)板 初中數學(xué)教學(xué) 應用嘗試在傳統的數學(xué)教學(xué)模式下，知識的掌握、難點(diǎn)的突破，總是靠教師機械反復地講，學(xué)生機械反復地練，這樣就導致了學(xué)生過(guò)重的課業(yè)負擔。學(xué)生在學(xué)習的過(guò)程中總是在反復地識記、反復地再認和保持，這樣很難培養學(xué)生的創(chuàng )新思維和實(shí)踐能力。那么要改變這種教學(xué)的狀況，方法之一，就是借助信息技術(shù)，再找一個(gè)適合數學(xué)教學(xué)的平臺――幾何畫(huà)板。“幾何畫(huà)板”是Windows環(huán)境下的一個(gè)動(dòng)態(tài)的數學(xué)工具軟件。它提供了畫(huà)點(diǎn)、畫(huà)線(xiàn)（線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)）、畫(huà)圓（正圓）的工具，以及旋轉、平移、縮放、反射等圖形變換功能。幾何畫(huà)板又不同于其他繪圖工具，它能動(dòng)態(tài)地保持給定的幾何關(guān)系，便于學(xué)生自行動(dòng)手在變化的圖形中發(fā)現恒定不變的幾何規律，從而打破了千百年來(lái)數學(xué)學(xué)習就是一支筆一張紙的純理論局面，成為提倡數學(xué)實(shí)驗，培養學(xué)生創(chuàng )新能力的有效工具。把它和數學(xué)教學(xué)進(jìn)行有機地整合，能為數學(xué)課堂教學(xué)營(yíng)造一種動(dòng)態(tài)、開(kāi)放、新型的教學(xué)環(huán)境。本文筆者就談?wù)剮缀萎?huà)板在初中數學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中的簡(jiǎn)單應用。
一、幾何畫(huà)板在函數教學(xué)中的應用幾何畫(huà)板為實(shí)現函數圖象、圖形的動(dòng)態(tài)變化的全息化，為全方位揭示問(wèn)題的實(shí)質(zhì)提供了可能。在初中數學(xué)教學(xué)內容里，函數是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。這部分內容理論性強，比較抽象，難度較大。例如：學(xué)習一次函數：y=kx+b，要了解函數圖像隨著(zhù)k，b的值的變化而變化的情況，是有一定難度的。在傳統教學(xué)方式中，要取不同的k、b的值，然后列表在黑板上畫(huà)出多個(gè)不同的一次函數圖像，再進(jìn)行觀(guān)察比較。整個(gè)過(guò)程十分繁瑣，教師和學(xué)生的主要精力放在了重復的計算和作圖上，而不是通過(guò)觀(guān)察、比較、討論而得出結論上，整個(gè)過(guò)程顯得不夠直觀(guān)，重點(diǎn)不突出，效率和效果不佳,如k和b的變化對函數的影響，函數值隨著(zhù)自變量的變化而變化沒(méi)法直觀(guān)演示，學(xué)生往往一知半解，容易造成學(xué)生的厭學(xué)，更不用說(shuō)培養學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng )新意識。與之相比，借助于電腦，利用《幾何畫(huà)板》這個(gè)動(dòng)態(tài)幾何軟件，可以很方便地畫(huà)出一次函數y=kx+b的圖像（如圖1），并且可以把k和b設置為動(dòng)態(tài)參數，k和b在這里實(shí)際上分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標，只要拖動(dòng)點(diǎn)A和點(diǎn)B就能改變k和b的值，y=kx+b的圖像同時(shí)隨之發(fā)生改變，通過(guò)觀(guān)察函數圖像的動(dòng)態(tài)變化，學(xué)生很容易得出參數k和b對函數圖像的影響，整個(gè)過(guò)程直觀(guān)形象，容易理解，印象深刻。同樣，只要拖動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標通過(guò)幾何畫(huà)板的度量功能自動(dòng)顯示出來(lái)，學(xué)生容易接受函數值y隨著(zhù)自變量x的變化而增大或減小。更為重要的是學(xué)生學(xué)會(huì )用運動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)看問(wèn)題，這一點(diǎn)對數學(xué)的學(xué)習，特別是對函數的學(xué)習是十分重要的。同樣，對二次函數y=ax2+bx+c的圖像性質(zhì)的研究也是一樣，二次函數的圖像更復雜，作圖也更繁瑣。因此，使用《幾何畫(huà)板》的優(yōu)越性更為明顯，通過(guò)動(dòng)態(tài)改變參數a、b、c的值，從圖像的變化中可以方便地得到拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小是和a相關(guān)的，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)是和c相關(guān)的，對稱(chēng)軸的位置是和b相關(guān)的。而且如果有條件的話(huà)，可以把課堂從多媒體教室轉移到微機教室，讓每個(gè)學(xué)生都親自動(dòng)手實(shí)驗，改變任何一個(gè)參數，通過(guò)觀(guān)察、比較、分析得出自己的結論，這樣的效果更理想，通過(guò)觀(guān)察函數圖像的變化，學(xué)生在互相討論、教師點(diǎn)撥指導等反饋中，得出自己的結論，逐漸形成自己的知識體系，達到知識的重建。這有利于學(xué)生從實(shí)踐中發(fā)現問(wèn)題，解決問(wèn)題，主動(dòng)地學(xué)習數學(xué)，提高數學(xué)思維能力。這樣，把學(xué)生從被動(dòng)的學(xué)習中解脫出來(lái)，主動(dòng)地思考數學(xué)問(wèn)題，真正體現了新課程的思想。
二、幾何畫(huà)板在圖形變換教學(xué)中的應用 幾何畫(huà)板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉、縮放和反射變換。在圖形變換的過(guò)程中，圖形的某些性質(zhì)始終保持一定的不變性，幾何畫(huà)板能很好地反應出這些特點(diǎn)。圖2是研究軸對稱(chēng)變換（幾何畫(huà)板中稱(chēng)為“反射變換”）的幾何畫(huà)板課件，△ABC和△A′B′C′關(guān)于y軸對稱(chēng)。任意拖動(dòng)三角形ABC的頂點(diǎn)或邊上任取的點(diǎn)D，雖然圖形的位置、形狀和大小在發(fā)生變化，但對應點(diǎn)的連線(xiàn)段始終保持被對稱(chēng)軸垂直平分，再觀(guān)察對應點(diǎn)的坐標，發(fā)現對應點(diǎn)橫坐標互為相反數，縱坐標相等的特點(diǎn)。圖3是研究平移變換的幾何畫(huà)板課件，△A′B′C′是△ABC平移后的圖形。只要拖動(dòng)矢量點(diǎn)或三角形上的點(diǎn)，圖形中始終保持對應點(diǎn)連線(xiàn)段平行且相等,四邊形AA′C′C始終是平行四邊形。再仔細觀(guān)察圖形中點(diǎn)的坐標，可以發(fā)現任意一對對應點(diǎn)的橫坐標的差都一樣，縱坐標的差也一樣，例如點(diǎn)A與A′的橫坐標的差是3.07, 點(diǎn)B與B′的橫坐標的差也是3.07； 點(diǎn)A與A′的縱坐標的差是0.14, 點(diǎn)B與B′的縱坐標的差也是0.14(取近似值后結果有時(shí)會(huì )產(chǎn)生一些誤差)。而這些在以往的數學(xué)教學(xué)中，在黑板上作圖，不僅畫(huà)變換圖形比較費時(shí)枯燥，而且無(wú)法表達這種變化中的不變因素。因此，用幾何畫(huà)板來(lái)研究圖形的變換更有利于培養學(xué)生探究知識的興趣。如果把教學(xué)活動(dòng)移到微機教室進(jìn)行，讓每個(gè)學(xué)生親手實(shí)驗，不斷改變三角形或原圖形的形狀、大小和位置，學(xué)生就能看到變換后的圖形隨著(zhù)原圖形的變化而變化，能更好地理解變換的本質(zhì)特征。而對每一點(diǎn)的坐標的研究也觀(guān)察得更清晰，這樣更有利于培養學(xué)生的實(shí)踐能力和探究意識。
三、幾何畫(huà)板在平面幾何教學(xué)中的應用幾何畫(huà)板能動(dòng)態(tài)地保持平面圖形中給定的幾何關(guān)系，利用這一特點(diǎn)便于在變化的圖形中發(fā)現恒定不變的幾何規律。如平行、垂直，中點(diǎn)，角平分線(xiàn)等等都能在圖形的變化中保持下來(lái)，不會(huì )因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫(huà)板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學(xué)中如果能很好地發(fā)揮幾何畫(huà)板中的這些特性，就能為數學(xué)教學(xué)增輝添色。如在平行四邊形的教學(xué)中，平行四邊形與特殊的平行四邊形之間有必然的聯(lián)系，也有明顯的區別。要弄清楚它們之間的關(guān)系，借助于幾何畫(huà)板，則一目了然。在幾何畫(huà)板里，先畫(huà)一個(gè)平行四邊形ABCD，然后拖動(dòng)頂點(diǎn)C，改變它的形狀，從圖上方的度量值可以發(fā)現，AC和BD的長(cháng)度在不斷變化，但AC和BD總是互相平分的，對邊的關(guān)系始終保持平行且相等（如圖4）。在圖4的基礎上，如果拖動(dòng)頂點(diǎn)C，當∠DAB=90?時(shí)，其余三個(gè)角也同時(shí)變?yōu)?0?，這顯然是矩形，這時(shí)平行四邊形的對角線(xiàn)相等了，并且保持對角線(xiàn)互相平分。繼續拖動(dòng)點(diǎn)C，使AD=AB，這時(shí)，AB=BC=CD=DA，顯然，四邊形ABCD是菱形，這時(shí)平行四邊形的對角線(xiàn)互相垂直了，并且依然保持對角線(xiàn)互相平分。在菱形的基礎上，繼續拖動(dòng)點(diǎn)C，使∠DAB=90?，這時(shí)，四邊形ABCD是正方形了，此時(shí)的對角線(xiàn)相等且互相垂直平分。通過(guò)上述的操作，讓學(xué)生充分認識到從平行四邊形到正方形的變化過(guò)程，這比用木棒演示，黑板上畫(huà)更加直觀(guān)，而且木棒演示，黑板上畫(huà)不可能準確快速測出各部分線(xiàn)段和角的值，因此不容易發(fā)現規律。因此，用幾何畫(huà)板來(lái)研究平行四邊形，能深刻理解矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形。如果放在微機教室上課，學(xué)生除按教師設定的目標去完成外，學(xué)生往往能發(fā)現更多的東西，如過(guò)對角線(xiàn)交點(diǎn)任畫(huà)一條直線(xiàn)，被平行四邊形對邊（或延長(cháng)線(xiàn)）截得的部分被對角線(xiàn)的交點(diǎn)平分。這樣，不知不覺(jué)中培養學(xué)生的探究能力和問(wèn)題解決的能力。其次，幾何畫(huà)板還被用于對平面幾何的變式教學(xué)，不僅增加教學(xué)容量，拓展學(xué)生的思路，還有利于培養學(xué)生的發(fā)散思維。如圖5，AB=AC，D是△ABC內一點(diǎn)，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE。求證：BD=CE。 對這個(gè)例題的教學(xué)，我用幾何畫(huà)板做了這樣一個(gè)課件，先畫(huà)一個(gè)等腰三角形，AB=AC，在三角形內部取一點(diǎn)D，用“變換”工具把△ABD逆時(shí)針?lè )较蛐D∠BAC的度數。得到△AEC。當完成對BD=CE的證明后，我提出：當點(diǎn)D在△ABC邊上或外部時(shí)，其他條件不變，上面的結論還成立嗎？我一邊提問(wèn)一邊拖動(dòng)點(diǎn)D，如圖6，這樣不僅增加了課堂教學(xué)的容量，增加了變式的速度，說(shuō)到做到，又給人自然流暢，耳目一新的感覺(jué)。其實(shí)，如果我們深刻挖掘教材，會(huì )有許多這樣的例子，不用化多少時(shí)間，收到很好的效果。如在學(xué)習了角平分線(xiàn)性質(zhì)后，學(xué)生知道三角形的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到各邊的距離相等，如果把條件改為三角形一個(gè)內角的平分線(xiàn)與一個(gè)外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，那這點(diǎn)到三角形的各邊的距離相等嗎？可以先用幾何畫(huà)板演示，再讓學(xué)生來(lái)證明。
四、幾何畫(huà)板在數學(xué)活動(dòng)中被廣泛應用人教版數學(xué)教材中，安排了許多關(guān)于 “信息技術(shù)應用”的選學(xué)內容， 如“探索兩直線(xiàn)的位置關(guān)系”、“用計算機畫(huà)函數圖像”、“探索反比例函數的性質(zhì)”等。教材中安排的一些“數學(xué)活動(dòng)”也可用幾何畫(huà)板來(lái)進(jìn)行，如在人教版數學(xué)教材八冊下第19章結束安排了一個(gè)“中點(diǎn)四邊形”的數學(xué)活動(dòng)。中點(diǎn)四邊形是什么四邊形呢？我做了一個(gè)幾何畫(huà)板的課件（如圖7），任意畫(huà)一個(gè)四邊形，分別取各邊的中點(diǎn)，形成一個(gè)四邊形EFGH。分別讓幾何畫(huà)板測出原四邊形和中點(diǎn)四邊形的所有邊、角、對角線(xiàn)的值，以便于研究四邊形EFGH的形狀及其與原四邊形的關(guān)系。(1)拖動(dòng)四邊形ABCD的頂點(diǎn)C，讓學(xué)生仔細觀(guān)察，學(xué)生很快發(fā)現四邊形EFGH始終是平行四邊形。我乘機提出：“為什么呢？你能證明你的結論嗎？”學(xué)生此時(shí)很興奮，馬上積極思考起來(lái)。(2)繼續拖動(dòng)四邊形ABCD的頂點(diǎn)C，當拖動(dòng)到AC=BD時(shí)，問(wèn)學(xué)生這是什么四邊形時(shí)，學(xué)生根據已知的數據，馬上答出是矩形。“你的根據是什么？現在四邊形ABCD有什么特別的嗎？”，并請學(xué)生說(shuō)說(shuō)已知條件和結論，并口頭證明自己的結論。用同樣的方法還能得到菱形、正方形。最后總結得出一般四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；當四邊形的對角線(xiàn)相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形；當四邊形的對角線(xiàn)垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形；當對角線(xiàn)相等且垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形。以前教學(xué)時(shí)，我們也在黑板上畫(huà)出這樣幾個(gè)圖，但既費時(shí)費勁，又只是靜態(tài)地進(jìn)行研究，其效果遠遠不如動(dòng)態(tài)的黑板-----幾何畫(huà)板這樣形象、直觀(guān)。而且通過(guò)演示，學(xué)生很快知道中點(diǎn)四邊形與原四邊形的對角線(xiàn)是否互相平分無(wú)關(guān)，只與原四邊形對角線(xiàn)的位置關(guān)系和數量關(guān)系有關(guān)。如果在微機教室上課可以讓學(xué)生反復嘗試，也許學(xué)生的發(fā)現比我們想象的更多更精彩。
另外，在解決一些數學(xué)難點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，幾何畫(huà)板能發(fā)揮獨特的作用。如在學(xué)習了梯形后，安排了這樣一個(gè)習題：給你一個(gè)任意四邊形，要求把它剪成四塊，你能拼成平行四邊形、矩形、梯形、正方形嗎？這個(gè)問(wèn)題用傳統的方法解決確實(shí)比較困難，即使用剪拼的方法去做，也很難完成，更不用說(shuō)說(shuō)明不能拼的理由。但是用幾何畫(huà)板來(lái)做能很好解決這個(gè)問(wèn)題。我用幾何畫(huà)板做了一個(gè)課件（如圖8）：先任意畫(huà)四邊形ABCD，分別取四邊的中點(diǎn)H、G、M、J。連結HM，在HM上任取兩點(diǎn)L、K，連結JK、GL。分別以G、H為中心，對四邊形GCML和HKJA作旋轉變換（或說(shuō)中心對稱(chēng)變換），得到四邊形GBM′L′和HNJ′B。再把四邊形KJDM平移（利用平移變換）到四邊形BJ′K′M′的位置。這樣，只要拖動(dòng)點(diǎn)K和L，再觀(guān)察四邊形LNK′L′就可以了?，F在已知邊LN和邊K′L′平行。通過(guò)拖動(dòng)點(diǎn)K和L，發(fā)現只要JK與LG不平行，四邊形LNK′L′就是梯形，如果JK=GL，四邊形LNK′L′就是等腰梯形；當JK與LG平行時(shí)，四邊形LNK′L′就是平行四邊形；當∠JKH和∠MLG都是直角時(shí)，四邊形LNK′L′就是矩形。而要想拼成一個(gè)菱形，必須使LG=HK且JK∥LG，這對一般四邊形ABCD是不可能的，所以在一般情況下，無(wú)法拼成菱形和正方形。上述剪拼過(guò)程，在傳統的教學(xué)中很難完成，若完全依靠學(xué)生的想象將是非常困難的。其實(shí)幾何畫(huà)板在數學(xué)教學(xué)中應用遠遠不止這些，如畫(huà)直觀(guān)圖，在黑板上畫(huà)是很費時(shí)的，但在幾何畫(huà)板4.06版中可用鼠標一點(diǎn)完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫(huà)板功能，多去實(shí)踐，把它與數學(xué)教學(xué)有機地整合，就能使它在數學(xué)教學(xué)中發(fā)揮巨大的作用?，F在學(xué)校硬件設施水平在不斷提高，大部分學(xué)校建有微機教室，不要把微機教室只當成信息技術(shù)課的專(zhuān)用教室，讓數學(xué)課走出傳統的課堂，甚至多媒體課堂，走進(jìn)微機教室，走進(jìn)網(wǎng)絡(luò )教室，只有這樣，幾何畫(huà)板在數學(xué)教學(xué)或數學(xué)實(shí)踐中的應用才更廣泛，更深刻。
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