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黑洞信息佯謬作為理論物理領(lǐng)域最著(zhù)名的問(wèn)題之一，長(cháng)期以來(lái)一直被認為是研究量子引力的重要途徑。黑洞信息佯謬的一個(gè)核心問(wèn)題是給出在黑洞蒸發(fā)過(guò)程中的佩奇曲線(xiàn)行為。近一年，對該問(wèn)題的研究迎來(lái)了突破性進(jìn)展。研究人員第一次在半經(jīng)典引力框架下實(shí)現了對佩奇曲線(xiàn)的計算，表明黑洞在蒸發(fā)過(guò)程中信息可以被釋放出來(lái)，不存在信息丟失問(wèn) 題。文章將按照歷史發(fā)展的順序，對黑洞信息佯謬這一重要問(wèn)題以及最新進(jìn)展進(jìn)行介紹，包括霍金輻射、佩奇曲線(xiàn)、全息原理、廣義熵、量子極端面和量子極端孤島等重要內容。
撰文 | 阮善明（圓周理論物理研究所、滑鐵盧大學(xué)）、 安宇森（中國科學(xué)院理論物理研究所、中國科學(xué)院大學(xué)）、李理（中國科學(xué)院理論物理研究所）
來(lái)源 | 《物理》2020年第12期
黑洞信息佯謬，1975年由霍金 (Stephen Hawking)[1]最先指出，一般指的是對黑洞蒸發(fā)過(guò)程中是否丟失信息的爭論。一方面，基于半經(jīng)典引力的黑洞蒸發(fā)理論顯示黑洞蒸發(fā)會(huì )丟失信息；但另一方面，信息守恒是基于量子理論的基本原理——幺正性得到的普適結論。這樣表面上顯然的沖突也使得黑洞信息佯謬成為廣義相對論和量子理論這兩大基礎理論支柱交鋒的戰場(chǎng)。
圖1 左圖攝于1997年，圖中人物從左至右分別是普雷斯基爾、索恩和霍金；右圖是三位物理學(xué)家當時(shí)簽署的賭約丨圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò )
作為理論物理中最為出名的佯謬或者問(wèn)題之一，黑洞信息佯謬一直是物理學(xué)家們用來(lái)打賭的重要對象。例如，加州理工學(xué)院的著(zhù)名物理學(xué)家普雷斯基爾 (John Preskill) 就曾在1997年和霍金、索恩 (Kip Thorne) 以一本百科全書(shū)作為賭注 (圖1)。前者堅信如果把一本百科全書(shū)扔進(jìn)蒸發(fā)的黑洞，其中的全部信息仍然都可以被獲得，并沒(méi)有任何信息丟失。但是霍金和索恩一方認為，百科全書(shū)的信息在黑洞蒸發(fā)過(guò)程中丟失了，最后留下的只是不含有任何有用信息的熱輻射。當然，物理學(xué)家并不是癡迷于賭博的賭徒，只是因為黑洞信息問(wèn)題一直是理論物理最熱門(mén)的研究方向之一。令人興奮的是，在過(guò)去一年，對這個(gè)問(wèn)題的研究終于迎來(lái)了突破性的進(jìn)展[2,3]。物理學(xué)家發(fā)現，黑洞內部的信息在其蒸發(fā)過(guò)程中被完全釋放出來(lái)，并不存在信息丟失的問(wèn)題。為了表彰領(lǐng)導這一系列研究的幾位青年物理學(xué)家，今年的新視野物理學(xué)獎也相應地授予了阿爾姆海里 (Ahmed Almheiri)、恩格哈特 (Netta Engelhardt)、麥克斯菲爾德 (Henry Maxfield) 和彭寧頓 (Geoff Penington)，以表彰他們對理解黑洞和霍金輻射的信息熵所作出的杰出貢獻。雖然對于他們是否最終解決了黑洞信息佯謬的爭論仍然廣泛存在，但很多物理學(xué)家相信我們正在逼近這個(gè)問(wèn)題的終點(diǎn)。本文將從黑洞信息佯謬的提出出發(fā)，逐步介紹各種背景工作以便讀者理解過(guò)去這一年里所取得的進(jìn)展。
1 霍金輻射與黑洞熵
通過(guò)從1907至1915年8年間的努力，愛(ài)因斯坦基于狹義相對論與等效原理構建了全新的引力理論：廣義相對論。廣義相對論的核心——愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程是高度耦合的非線(xiàn)性方程，其求解是一個(gè)極為困難的事情。令人驚訝的是，在廣義相對論提出后一個(gè)月，身處第一次世界大戰戰壕之中的施瓦西(Karl Schwarzschild)就得到了愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的第一個(gè)精確解，描述了真空球對稱(chēng)情況的黑洞。后世為了紀念他的貢獻，將其稱(chēng)為施瓦西黑洞解。而描述轉動(dòng)情況黑洞的精確解直到47年后的1963年才被克爾 (Roy Kerr) 發(fā)現，由此也可見(jiàn) 求解愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的難度。在隨后的研究中，包括霍金在內的研究者證明了一個(gè)被稱(chēng)為無(wú)毛定理的結論，表明引力場(chǎng)與電磁場(chǎng)組成的任意系統中的黑洞解，只需要質(zhì)量M、電荷Q、角動(dòng)量J三個(gè)可觀(guān)測參數來(lái)描述。雖然塌縮形成黑洞的物質(zhì)可能就像成千上萬(wàn)本不同的百科全書(shū)一樣復雜，但是無(wú)毛定理卻表明黑洞本身極其簡(jiǎn)單。形成黑洞的物質(zhì)所攜帶的信息去了哪里呢？一個(gè)簡(jiǎn)單的想法是都被隱藏在了黑洞的內部。因為黑洞的邊界，即事件視界的存在，使得外部觀(guān)測者無(wú)法看到這些復雜的信息，除了黑洞的質(zhì)量、電荷、角動(dòng)量這三個(gè)簡(jiǎn)單的參數。正是對黑洞無(wú)毛定理的思考，啟發(fā)了貝肯斯坦 (Jacob Bekenstein) 對黑洞是否具有熵的探討。隨后霍金在1975年的發(fā)現證實(shí)了貝肯斯坦的想法。
在克爾黑洞被發(fā)現之后的70年代，逐漸迎來(lái)了黑洞研究的黃金時(shí)代。其中最具代表性的工作就是黑洞熱力學(xué)的發(fā)現。在經(jīng)典熱力學(xué)中，存在四大定律。與之類(lèi)似，巴丁 (James Bardeen) ，卡特 (Brandon Carter) 和霍金發(fā)現黑洞也存在完全類(lèi)似的四大定律。例如，熱力學(xué)第二定律表明孤立系統的熵不會(huì )隨著(zhù)時(shí)間減少，與之對應地，黑洞力學(xué)第二定律指出黑洞視界的面積也不會(huì )隨時(shí)間減少 (在滿(mǎn)足一定的能量條件下)。與熱力學(xué)四大定律類(lèi)似的黑洞力學(xué)定律的發(fā)現似乎表明黑洞也是帶有一定溫度和熵的熱力學(xué)客體。黑洞具有熵的猜想，最早由貝肯斯坦在1972年提出。結合黑洞面積不減定理，他猜想黑洞的熵正比于其視界的面積?？墒窃摬孪胍恢比狈娪辛Φ淖C據，因為任何帶有溫度的物體都應該會(huì )產(chǎn)生相應的熱輻射，而黑洞的外部卻可以是一個(gè)沒(méi)有任何物質(zhì)的真空。在1975年，對黑洞溫度的理解迎來(lái)了突破?；艚鹛觳虐愕卦诎诙吹膹澢鷷r(shí)空中引入了量子場(chǎng)論。不同于經(jīng)典系統中空無(wú)一物的真空，量子的真空存在無(wú)處不在的量子漲落，會(huì )憑空產(chǎn)生正反虛粒子對?？紤]這樣的量子效應，霍金發(fā)現產(chǎn)生的粒子對中會(huì )有一個(gè)粒子被黑洞吞并，而另一個(gè)從黑洞的表面逃逸出來(lái)。因此黑洞并不是完全黑的，而是一直不停地輻射粒子出來(lái)。他進(jìn)一步計算了這些輻射粒子的譜，并驚訝地發(fā)現和熱力學(xué)中的黑體譜完全一致[4]?；艚鸬倪@一發(fā)現不僅證實(shí)了黑洞是一個(gè)具有溫度的客體，也進(jìn)一步揭示黑洞的熵正比于其視界的面積。黑洞的熱力學(xué)熵具體表述為
其中A表示黑洞視界的面積，GN代表牛頓引力常數，c是真空中的光速，kB為玻爾茲曼常數， ?為普朗克常數。這一簡(jiǎn)潔優(yōu)美的公式也被稱(chēng)為貝肯斯坦-霍金熵 (Bekenstein-Hawking entropy)，可以看到，它把物理學(xué)中最重要的幾個(gè)基本自然常數聯(lián)系起來(lái)，揭示了引力、熱力學(xué)和量子理論之間深刻的聯(lián)系。為了簡(jiǎn)化公式，在后文中將采用自然單位制，相當于選取 c = kB = ? = 1。
如前所述，霍金輻射的發(fā)現揭示了黑洞帶有溫度和熵的現象，但是也正是由于存在這樣的輻射，任何黑洞都會(huì )逐漸丟失質(zhì)量，也就是必然會(huì )逐漸蒸發(fā)。緊接著(zhù)，在1976年霍金發(fā)表的文章[1]中，他考慮了黑洞蒸發(fā)帶來(lái)的問(wèn)題。他表示如果黑洞最后完全蒸發(fā)了，我們就丟失了形成黑洞的最初那些物質(zhì)的所有信息。而根據量子力學(xué)的基本原理，這意味著(zhù)如果黑洞最開(kāi)始由純態(tài)形成，到了其完全蒸發(fā)之后，我們得到的是一個(gè)混合態(tài)。你可能會(huì )好奇為什么信息不能被輻射的粒子一點(diǎn)點(diǎn)帶出來(lái)呢？因為霍金輻射完全是黑體輻射，除了溫度，它們所具有的完全是隨機的信息，或者說(shuō)霍金輻射本身并不帶有任何信息。這也似乎意味著(zhù)在黑洞蒸發(fā)之后，收集這些熱輻射并不能重構出最開(kāi)始形成黑洞的那些物質(zhì)的信息。而這個(gè)關(guān)于黑洞是否丟失信息的問(wèn)題在后續的討論中就逐步被統稱(chēng)作“黑洞信息佯謬”。
霍金的文章發(fā)表之后，眾多物理學(xué)家顯示出極大的分歧，也相應提出了各種不同的方案來(lái)支持或解決黑洞信息問(wèn)題。絕大多數的想法可歸納為以下3種可能：
(1)信息丟失：就像霍金預言的那樣，在黑洞蒸發(fā)過(guò)程中量子態(tài)可以從純態(tài)演化到混合態(tài)，信息在這個(gè)過(guò)程中丟失了。值得注意的是，這意味著(zhù)物理學(xué)家渴望的量子引力在黑洞蒸發(fā)的末期與量子力學(xué)的基本原理相違背；
(2)信息守恒：霍金輻射會(huì )逐漸將黑洞初態(tài)的信息釋放出來(lái)，并且在黑洞蒸發(fā)的最后回到純態(tài)，所以信息在這整個(gè)過(guò)程中是守恒的；
(3)蒸發(fā)殘余：黑洞并不會(huì )完全蒸發(fā)，在它蒸發(fā)到一個(gè)普朗克尺度大小(普朗克長(cháng)度約為 1.6 × 10-35 m)后，量子效應變得尤為重要，使得黑洞停留在這個(gè)微小的尺度上，所有的信息都可以保留在這個(gè)微觀(guān)物體中。
2 佩奇曲線(xiàn)
在眾多尋求黑洞信息佯謬的解釋中，一直以來(lái)都缺乏強有力的計算來(lái)支持結論，因為問(wèn)題似乎依賴(lài)于在黑洞蒸發(fā)晚期量子引力的顯著(zhù)影響。這導致擅長(cháng)運用公式描述物理的理論物理學(xué)家在黑洞信息問(wèn)題上缺乏有效的手段來(lái)量化問(wèn)題。在霍金提出信息問(wèn)題之后的二三十年間，似乎一直看不到解決問(wèn)題的希望。物理學(xué)家越來(lái)越相信黑洞信息問(wèn)題的解決要依賴(lài)于最終的量子引力的發(fā)現，對黑洞信息問(wèn)題的追逐被認為是間接理解量子引力的最佳方式。
就像眾多被黑洞信息問(wèn)題困擾的物理學(xué)家一樣，霍金曾經(jīng)的學(xué)生佩奇(Don Page)也一直在思考這個(gè)問(wèn)題的答案。然而，與他的導師想法不同的是，佩奇認為信息是可以從黑洞蒸發(fā)過(guò)程中逃逸出來(lái)的。但是這如何實(shí)現呢？就像前文所說(shuō)，霍金輻射本身不攜帶任何信息，所以即使收集所有的霍金輻射，我們似乎也無(wú)法重構“那本百科全書(shū)”。但是佩奇認為一個(gè)不能忽視的重要量子效應是量子糾纏。雖然霍金輻射本身似乎沒(méi)有任何信息，可是它們在整個(gè)系統中卻一直和黑洞內部的粒子 (回憶一下，霍金輻射是一對真空漲落產(chǎn)生的正反粒子之一) 相互糾纏，導致黑洞輻射的量子可以攜帶信息從黑洞中逃逸出去。描述兩個(gè)系統之間量子糾纏強弱的一個(gè)有效度量是量子糾纏熵SEE，也就是一個(gè)子系統代表的混合態(tài)所具有的馮·諾伊曼熵 (von Neumann entropy) 。粗略來(lái)講，可以認為混合態(tài)由一個(gè)矩陣 ρ 描述，ρ 一般被稱(chēng)為密度矩陣。這樣一個(gè)密度矩陣的馮諾伊曼熵則可以定義為
其中Tr表示求跡，也就是對矩陣的所有對角元素求和的操作。馮諾伊曼熵擁有許多漂亮的性質(zhì)，例如，馮諾伊曼熵對于純態(tài)一直為零，對于混合態(tài)一直大于零；如果兩個(gè)混合態(tài)可以組成一個(gè)純態(tài)，那它們的熵相等，這兩個(gè)子系統也被稱(chēng)為是互補的。
當黑洞形成，蒸發(fā)開(kāi)始后，外部的霍金輻射和內部的配對粒子之間的糾纏熵從零開(kāi)始逐漸增加，直到黑洞完全蒸發(fā)而相應的糾纏熵也達到一個(gè)極大值。這就是霍金計算得到的結果，對應于圖2中的綠色線(xiàn)。另一方面，我們知道黑洞的熱力學(xué)熵如公式(1)所示，是按照面積律變化。隨著(zhù)黑洞不斷輻射，面積不斷變小，自然可以發(fā)現黑洞的熱力學(xué)熵逐漸減小，這就是圖2中藍色曲線(xiàn)所代表的結果。需要強調的是，熱力學(xué)熵是一種粗?；?nbsp;(coarse grained) 的描述，并不完全等價(jià)于馮諾伊曼熵。與之對應的馮諾伊曼熵則是一個(gè)細?；?nbsp;(fine grained) 的度量，來(lái)自于量子態(tài)精細的微觀(guān)結構，也就是密度矩陣。但是，熱力學(xué)熵仍然扮演著(zhù)極為重要的作用。在半經(jīng)典近似中，我們可以認為粗?；臒崃W(xué)熵是所有可能的細?；氐纳辖?。也就是說(shuō)，黑洞熱力學(xué)熵一定不會(huì )小于對應的細?；?。如果相信黑洞和外部的霍金輻射組成的系統一直是純態(tài)，沒(méi)有丟失信息，那么應該可以發(fā)現，這兩個(gè)糾纏的系統有一樣的馮諾伊曼熵。所以，量子力學(xué)要求如下的關(guān)系：
圖2 黑洞蒸發(fā)過(guò)程中3種不同的熵曲線(xiàn)。藍色線(xiàn)表示黑洞的熱力學(xué)熵，綠色線(xiàn)代表霍金計算的輻射熵。黑色曲線(xiàn)是佩奇曲線(xiàn)，也是量子力學(xué)基本原理所預期的結果。一般將佩奇曲線(xiàn)中的轉折點(diǎn)稱(chēng)為佩奇時(shí)間
然而這樣的普適性質(zhì)似乎在圖2的曲線(xiàn)中被破壞了，因為在黑洞蒸發(fā)的過(guò)程中，到達某一個(gè)時(shí)間點(diǎn)后，黑洞的熱力學(xué)熵竟然會(huì )小于霍金計算的輻射熵。
不同于在黑洞蒸發(fā)末期才出現的黑洞信息佯謬，佩奇認為在黑洞蒸發(fā)的中間過(guò)程，矛盾的結果已經(jīng)產(chǎn)生。進(jìn)一步，佩奇在1993年的研究中發(fā)現[5]，如果從量子力學(xué)的幺正演化出發(fā)，允許黑洞在蒸發(fā)中釋放而不丟失信息，那么輻射或者黑洞的糾纏熵應該滿(mǎn)足另一條不同的曲線(xiàn)，如圖2中的黑色曲線(xiàn)所示。在蒸發(fā)的早期，糾纏熵符合霍金的預期應該逐漸增加，而在某一個(gè)時(shí)間之后 (一般稱(chēng)為佩奇時(shí)間)，糾纏熵開(kāi)始遞減至零，就像熱力學(xué)熵所描述的那樣。而這樣一條佩奇曲線(xiàn)可以認為是量子力學(xué)基本原理所預期的結果，也就是黑洞不丟失信息時(shí)應該產(chǎn)生的結果。佩奇的計算給解決黑洞信息佯謬指出了一條明確的出路，那就是計算糾纏熵?？墒?，理想總是美好的，現實(shí)卻沒(méi)有那么簡(jiǎn)單，尤其在還沒(méi)有一個(gè)完備的量子引力情況下。因為馮諾伊曼熵的定義顯然依賴(lài)密度矩陣的形式，而這是一個(gè)完全量子力學(xué)的概念，即便是在半經(jīng)典近似中，都無(wú)法精確定義霍金輻射或者黑洞的密度矩陣。這樣的困難也導致在佩奇曲線(xiàn)提出之后的近30年中，對這條重要曲線(xiàn)的計算一直缺乏明確的進(jìn)展。
雖然佩奇的曲線(xiàn)給出了與量子力學(xué)幺正性兼容的量子引力所應預期的結果，可是為什么物理學(xué)家偏愛(ài)尋找這樣的結果，而不是其他可能方案，例如承認信息丟失呢？量子引力中的幺正性或者黑洞不丟失信息的一個(gè)強有力的證據來(lái)自全息對偶的發(fā)現。
3 馬爾達西那的AdS/CFT對偶
前文介紹了黑洞熱力學(xué)熵，即黑洞熵和視界面積的關(guān)系。這樣一個(gè)面積律暗示，如果把黑洞看作一個(gè)量子系統，黑洞內部的全部信息似乎通過(guò)類(lèi)似投影的方式投射在了低一個(gè)維度的全息面上，亦即黑洞的表面，事件視界。1994年，作為弦論早期創(chuàng )始人之一的薩斯坎德 (Leonard Susskind) 受到黑洞熱力學(xué)的啟發(fā)，并結合霍夫特 (Gerardus ’t Hooft，荷蘭理論物理學(xué)家，1999年獲得諾貝爾物理學(xué)獎) 的早期想法提出了全息原理[6]。他猜測量子引力或弦論中一個(gè)d維的空間中，量子態(tài)的所有信息可以等價(jià)地編碼于其邊界上(d-1)維的面上，就像全息投影一樣。
薩斯坎德的全息原理，描繪了一種宏偉的令人著(zhù)迷的可能性，卻也似乎更接近于猜想。直到1997年末，一篇影響深遠的文章打開(kāi)了量子引力的新大門(mén)[7]。故事的主角是出生在阿根廷，當時(shí)年僅29歲的物理學(xué)家馬爾達西那 (Juan Maldacena) 和他的AdS/CFT對偶。當時(shí)剛剛在哈佛獲得副教授的馬爾達西那發(fā)現，超弦理論中一個(gè)5維彎曲時(shí)空 (另外還有5維空間是緊致化的) 中的引力理論和其邊界上一個(gè)不含有引力的4維時(shí)空中的量子場(chǎng)論是完全等價(jià)的。在后續的研究中，馬爾達西那的發(fā)現被逐漸推廣為AdSd+1/CFTd 對偶，其中左邊的 AdS 代表一個(gè)標量曲率為負數的(d+1)維時(shí)空，即反德西特 (anti-deSitter) 時(shí)空，而右邊的CFT則代表等價(jià)的d維時(shí)空中的共形場(chǎng)論 (Conformal Field Theory) 。AdS/CFT對偶這樣一個(gè)高維引力理論與其邊界上低維量子理論的等價(jià)恰恰完美地實(shí)現了全息原理的思想，如圖3所示。值得注意的是，反德西特時(shí)空的無(wú)窮遠邊界有著(zhù)完全不同的結構，就像是一堵無(wú)形的墻 (圖3(a) 中的藍色線(xiàn)) 。這是由于A(yíng)dS時(shí)空中的曲率為負數，所以相較于我們生活的宇宙，AdS更像是一個(gè)放在瓶子中的宇宙。
圖3 (a)含有永恒黑洞的(d+1)維反德西特時(shí)空的彭羅斯圖。在時(shí)空無(wú)窮遠的邊界，即藍色線(xiàn)所代表的區域，含有d維共形場(chǎng)論；(b)AdS/CFT示意圖丨圖片作者Alfred Kamajian
AdS/CFT的魅力不僅僅是實(shí)現了全息原理，更重要的是它提供了一種全新的工具來(lái)研究量子引力或者量子場(chǎng)論。因為對偶的兩邊是完全等價(jià)的，這意味著(zhù)任意一邊的物理現象都應該可以等價(jià)地被另一邊所描述。當你發(fā)現對某一邊的理論研究寸步難行，它卻可能在其對偶的理論中很容易實(shí)現。這也是為什么AdS/CFT可以成為近20年來(lái)理論物理領(lǐng)域最強大工具的原因。
回到黑洞信息佯謬本身，雖然物理學(xué)家對黑洞信息的命運充滿(mǎn)爭論，可是如果我們考慮一個(gè)AdS中黑洞的演化，等價(jià)地，這一演化應該可以在邊界CFT中被等效地描述。雖然不知道完整的量子引力是什么，CFT卻是基于量子力學(xué)的量子場(chǎng)論。這意味著(zhù)在邊界CFT中信息是不會(huì )丟失的。運用AdS/CFT對偶，我們很自然得到AdS時(shí)空中的答案：信息不會(huì )丟失，黑洞的演化也一定是和量子力學(xué)的基本原理兼容的。然而，AdS/CFT提供的只是答案本身，而且也僅限于滿(mǎn)足全息原理的引力理論。更一般地，我們仍然不能直接計算霍金輻射的糾纏熵。
4 Ryu—Takayanagi的全息糾纏熵
不同于計算霍金輻射的糾纏熵，對一般量子場(chǎng)論糾纏熵的全息計算最先迎來(lái)了突破，而其中的核心就是AdS/CFT。糾纏熵，作為量子糾纏的度量，長(cháng)期以來(lái)一直是量子信息領(lǐng)域極為重要的研究對象。類(lèi)似于兩個(gè)糾纏的量子比特，我們可以考慮存在于一個(gè)空間內的量子場(chǎng)論，將其分成A，B兩個(gè)子區域，如圖4中藍色和紅色區域所示。A，B兩個(gè)子區域所對應的量子態(tài)也是相互糾纏的。但是與量子比特組成的有限維體系不同的是，量子場(chǎng)論中的體系一般是無(wú)窮維的。這樣的差異，也導致無(wú)法通過(guò)定義密度矩陣的方式直接計算量子場(chǎng)論體系中的糾纏熵。
圖4 Ryu—Takayanagi的全息糾纏熵。邊界上紅色子區域A的糾纏熵可以被AdS中一個(gè)以A為邊界的最小面的面積描述
依據AdS/CFT的思想，如果考慮一個(gè)對偶于A(yíng)dS時(shí)空的量子場(chǎng)論，那么應該可以通過(guò)引力理論的計算得到邊界上A，B區域之間的糾纏熵。對全息糾纏熵的突破來(lái)自于兩位日本物理學(xué)家，笠真生 (Shinsei Ryu) 和高柳匡 (Tadashi Takayanagi) 。2006年，他們在物理評論快報 (PRL) 上發(fā)表了一篇5頁(yè)的文章[8]，Ryu和Takayanagi猜測，邊界量子場(chǎng)論中的A，B區域之間的量子糾纏熵等價(jià)于高一維的引力理論中最小面的面積，亦即
其中Area表示“體”中一個(gè)面的面積，而“Min”表示尋找所有以子區域A為邊界的面中面積最小的那一個(gè)，而這個(gè)擁有最小面積的特殊面也被稱(chēng)為最小面。細心的讀者應該發(fā)現，Ryu和Takayanagi所提出的猜想非常類(lèi)似黑洞的熱力學(xué)熵，只是這里計算的不再是黑洞視界的面積，而是最小面的面積，當然具體最小面的位置依賴(lài)于所選取邊界上子區域A的大小、位置、形狀等細節。因為后續的研究中，這個(gè)猜想被基本證明 (忽略次一級的小修正) ，所以一般把這個(gè)幾何化的公式叫做RT公式。RT公式的美妙之處不僅是將邊界場(chǎng)論中對糾纏熵的計算轉化成“體”中一個(gè)簡(jiǎn)單的面積公式，更重要的是聯(lián)系了量子信息與時(shí)空幾何，而這也成為了“It From Qubit”[9]研究計劃的開(kāi)端。
與黑洞熵類(lèi)似的是，RT公式所描述的糾纏熵也是一個(gè)非常大的量，因為分母上的牛頓常數描述了引力理論中的耦合強度，是一個(gè)非常小的參數。雖然RT公式通過(guò)了許多檢驗，可是很容易理解它其實(shí)只給出了領(lǐng)頭階的結果，而忽略了次級的修正項。從一個(gè)完整量子引力的角度出發(fā)，RT公式的結果其實(shí)只依賴(lài)于時(shí)空的經(jīng)典幾何，這意味著(zhù)它忽略了量子修正的微小貢獻。于是在2013年，?？思{ (Thomas Faulkner) 、萊科維奇 (Aitorn Lewkowycz) 和馬爾達西那指出[10]，RT公式忽略的下一級修正正是來(lái)自于最小面所包裹區域內的那些量子場(chǎng)所產(chǎn)生的馮諾伊曼熵。為了區別，包含了量子修正的糾纏熵被稱(chēng)作廣義熵。更進(jìn)一步，恩格哈特與沃爾 (Aron C. Wall) 在2014年發(fā)現[11]，除了考慮量子修正的影響，也需要考慮廣義熵對最小面的影響。因為真正需要計算的面積不再是面積最小的面，而是使得廣義熵最小的那個(gè)特殊面，也稱(chēng)之為量子極端面。就像名字所顯示的那樣，我們可以認為最小面只是量子極端面在經(jīng)典極限下的近似?？偨Y來(lái)說(shuō)，可以把恩格哈特與沃爾所提議的半經(jīng)典的廣義熵公式表述為
其中等式右邊除了第一項面積，第二項表示來(lái)自極端面到邊界之間子區域內所有量子場(chǎng)貢獻的馮諾伊曼熵，可以看作是微小的量子修正項。為了顯示量子極端面的特殊性，我們將其分成兩步，第一步“Ext”表示需要發(fā)現極端面X，使得這些面上的廣義熵都處于極端值中；第二步，在所有極端面X中，“Min”表示尋找其中使得廣義熵最小的那一個(gè)。值得強調的是，雖然第二項相比于領(lǐng)頭階的面積項只是一個(gè)極其微小的量子修正，但是仍然可以導致量子極端面偏離最小面非常遠。而這也是解決黑洞信息佯謬，獲得佩奇曲線(xiàn)的關(guān)鍵。
5 蒸發(fā)黑洞的玩具模型
前面的內容已經(jīng)介紹了計算糾纏熵的基本工具，至少在A(yíng)dS時(shí)空中，看起來(lái)應該可以檢測一個(gè)蒸發(fā)黑洞的熵是否真的滿(mǎn)足佩奇曲線(xiàn)了?？墒菃?wèn)題卻沒(méi)有那么簡(jiǎn)單。雖然在A(yíng)dS時(shí)空中，可以借助強大的AdS/CFT作為工具，可是與現實(shí)時(shí)空或者漸近平直時(shí)空不同的是，AdS時(shí)空的邊界就像是一堵無(wú)形的墻，可以將輻射不停地反射回AdS時(shí)空中，這導致無(wú)法在A(yíng)dS時(shí)空中實(shí)現黑洞從形成到蒸發(fā)的過(guò)程。例如圖3(a)顯示了AdS時(shí)空中黑洞的彭羅斯圖，這樣的黑洞也被稱(chēng)為永恒黑洞，因為即使經(jīng)過(guò)無(wú)窮的時(shí)間之后，黑洞也依然存在著(zhù)，并維持著(zhù)同樣的溫度。
圖5 二維AdS時(shí)空中的蒸發(fā)黑洞模型。右邊的時(shí)空是半個(gè)二維平直時(shí)空，代表一個(gè)溫度為零的冰箱。在粘合了左右兩個(gè)時(shí)空之后，黑洞將不斷蒸發(fā)，溫度逐漸降低
如何在A(yíng)dS時(shí)空中構造一個(gè)溫度不斷減小的蒸發(fā)黑洞呢？答案其實(shí)非常簡(jiǎn)單：將黑洞放在一個(gè)冰箱里，使其不斷降溫。最先實(shí)現這樣構造的是阿爾姆海里、恩格哈特、馬洛夫 (Donald Marolf) 、麥克斯菲爾德(后面簡(jiǎn)稱(chēng)AEMM)。他們在2019年5月的一篇文章中[3]，考慮在二維引力理論中，通過(guò)將右側的黑洞與半個(gè)平直時(shí)空相粘貼，構造了一個(gè)完全可解的二維蒸發(fā)黑洞模型(圖5)。這相當于將AdS右側的邊界打開(kāi)，因為黑洞是具有一定溫度的，而右側無(wú)引力區域 (“冰箱”) 的溫度為零，所以根據熱平衡，很容易發(fā)現黑洞會(huì )通過(guò)向右側時(shí)空不斷釋放霍金輻射而不斷蒸發(fā)，不斷降溫。當然，更為重要的是AEMM的計算發(fā)現，通過(guò)量子極端曲面計算黑洞的熵，得到的曲線(xiàn)就是佩奇所預言的曲線(xiàn)。在經(jīng)過(guò)佩奇時(shí)間之后，他們的結果顯示熵不再增加，而是不斷減小。在忽略量子修正時(shí)，面積項的貢獻來(lái)自最小面，如果一直使用最小面計算熵，最后得到的就是圖2中霍金發(fā)現的結果：熵隨著(zhù)時(shí)間增加。但是AEMM發(fā)現，量子極端面只在早期和最小面重合，在黑洞蒸發(fā)過(guò)程中，會(huì )在某一時(shí)間之后跳躍到另一個(gè)面上，亦即圖5中綠色區域所表示的面。通過(guò)量子極端面，他們發(fā)現蒸發(fā)黑洞的熵在經(jīng)過(guò)這次轉變之后開(kāi)始隨著(zhù)時(shí)間減小，就像佩奇所預言的曲線(xiàn)那樣。這意味著(zhù)，AEMM模型中蒸發(fā)黑洞經(jīng)歷的演化其實(shí)是符合量子力學(xué)要求的幺正演化，黑洞內部的信息可以逃逸出來(lái)，蒸發(fā)的黑洞并不會(huì )丟失任何信息。所以，霍金的黑洞信息佯謬已經(jīng)有了明確的答案。在A(yíng)EMM文章出現的同時(shí)，斯坦福大學(xué)的博士生彭寧頓也意識到了廣義熵和量子極端面在黑洞蒸發(fā)中的重要作用。于同年同月獨自發(fā)表的文章中[2]，他通過(guò)研究高維漸近AdS時(shí)空中的蒸發(fā)黑洞也得到了與AEMM類(lèi)似的想法和結論。
6 量子極端孤島
雖然在A(yíng)EMM的模型中，實(shí)現了對二維AdS蒸發(fā)黑洞的熵計算，但是一個(gè)懸而未決的問(wèn)題是，如何計算霍金輻射的糾纏熵。另外，讀者也很容易意識到，AEMM模型是建立在A(yíng)dS/CFT之上的，所以整個(gè)系統本身就暗含了幺正性。在沒(méi)有AdS/CFT的漸近平直時(shí)空，或者類(lèi)似現實(shí)宇宙的漸近德西特時(shí)空中，黑洞信息問(wèn)題又該如何解決呢？
這些問(wèn)題很快就得到了解答。在2019年8月緊接著(zhù)AEMM的文章，阿爾姆海里和同樣在普林斯頓高等研究院的馬哈詹 (Raghu Mahajan)、馬爾達西那和趙穎 (Ying Zhao) 合作提出[12]，可以通過(guò)一個(gè)類(lèi)似廣義熵的、被稱(chēng)為“孤島公式” (Island formula) 的式子來(lái)計算霍金輻射的糾纏熵：
其中領(lǐng)頭階是孤島邊界的面積項，類(lèi)似愛(ài)因斯坦引力中的貝肯斯坦—霍金熵，而第二項表示量子場(chǎng)的馮諾伊曼熵。這其中最為關(guān)鍵的是，量子修正部分中不僅僅考慮了輻射部分的貢獻，同時(shí)也需要考慮另一個(gè)完全孤立部分的熵：量子極端孤島。他們提出的公式受到了黑洞廣義熵的啟發(fā)，其中量子極端孤島的邊界就是量子極端面，這也是量子極端孤島的名字中前綴部分的由來(lái)。接下來(lái)讓我們解釋為什么這是一個(gè)“孤島”。
圖6 一般的蒸發(fā)黑洞的彭羅斯圖。黑色陰影區表示塌縮物質(zhì)區域，黃色虛線(xiàn)表示截斷面，紅色虛線(xiàn)代表黑洞視界(a)蒸發(fā)的早期，佩奇時(shí)間之前，輻射糾纏熵不斷增加；(b)佩奇時(shí)間之后，與輻射不相連的量子極端島出現在黑洞內部，輻射的糾纏熵隨時(shí)間遞減
考慮一個(gè)正在蒸發(fā)的黑洞，如圖6所示。根據AEMM模型的經(jīng)驗，可以通過(guò)量子極端面來(lái)計算黑洞的廣義熵，這其中量子修正部分的貢獻來(lái)自黑洞外部區域 (圖6中的灰色區域) 量子場(chǎng)的貢獻。而當轉而考慮霍金輻射的熵時(shí)，實(shí)際考慮的是與黑洞互補的部分。根據馮諾伊曼熵的互補性，這時(shí)需要考慮的熵來(lái)自與灰色區域互補的區域，即內部區域 (圖6中的紅色區域) 。而在蒸發(fā)中后期，由于量子極端面的出現，可以發(fā)現，這時(shí)內部區域包含了完全不相連的兩片區域，其一是收集了霍金輻射的區域，另一部分則完全處于黑洞內部，也就是被稱(chēng)為量子極端孤島的區域。正是由于量子極端孤島與輻射區域完全不相連，就像是大海中的孤島一般，這才因此得名。由于量子極端孤島的出現，霍金輻射的糾纏熵開(kāi)始隨著(zhù)時(shí)間遞減，而不是霍金所計算的那樣隨時(shí)間逐漸增加。利用全新的孤島公式，研究人員得以更正了霍金43年前計算中的不足，進(jìn)而發(fā)現蒸發(fā)黑洞中霍金輻射的糾纏熵完全滿(mǎn)足佩奇曲線(xiàn)。
圖7 雖然黑洞內的量子極端孤島與輻射在它們所在的時(shí)空沒(méi)有物理地連接在一起，可是卻通過(guò)更高一維度的全息時(shí)空連接，類(lèi)似于 ER = EPR 的思想
雖然量子極端孤島和黑洞外部的輻射區域沒(méi)有任何連接，可是在黑洞蒸發(fā)的中后期卻突然涌現在黑洞內部，并與外部的輻射相互糾纏。而這樣一種物理圖像 (圖7) 恰好說(shuō)明了一個(gè)更為激進(jìn)的猜想：ER = EPR 。早在2013年，薩斯坎德和馬爾達西那猜測[13]，兩個(gè)粒子之間的相互糾纏可以解釋成兩者之間通過(guò)一個(gè)蟲(chóng)洞相連。這個(gè)猜想的左邊指的是愛(ài)因斯坦-羅森橋 (Einstein-Rosenbridge)，亦即蟲(chóng)洞，而等式的右邊是愛(ài)因斯坦-波多爾斯基-羅森 (Einstein-Podolsky-Rosen) 三人名字的首字母，暗指量子糾纏。ER = EPR 猜想驚人地闡述了量子力學(xué)和時(shí)空幾何之間的潛在聯(lián)系。雖然猜想的證明似乎仍然遙不可及，但是神奇的量子極端孤島的出現，從某程度上正說(shuō)明了 ER = EPR 的思想。更重要的是，雖然孤島公式受到了全息理論中黑洞廣義熵的啟發(fā)，可是這個(gè)創(chuàng )新的公式卻不依賴(lài)于A(yíng)dS/CFT，而是可以推廣到更一般的與引力耦合的物質(zhì)系統。在研究量子場(chǎng)論系統中的糾纏熵或者馮諾伊曼熵時(shí)，理論物理學(xué)家并不是按照公式(2)直接計算密度矩陣的跡，因為所遇到的將是一個(gè)無(wú)窮維的矩陣！一種標準的工具是通過(guò)將密度矩陣表示為路徑積分形式，再利用“拷貝技術(shù)” (replica trick) 和解析延拓來(lái)計算。等價(jià)地，公式(2)的定義可以寫(xiě)成
這里的“拷貝”指的是并不直接計算公式(2)，而是在公式(7)中通過(guò)拷貝n個(gè)重復的部分，再取n = 1的極限。一般來(lái)說(shuō)，量子引力系統的路徑積分無(wú)法準確地計算，而且在計算n個(gè)拷貝的路徑積分中，也存在無(wú)數種不同的拓撲來(lái)連接n個(gè)部分。但是研究人員發(fā)現[14,15]，如果將n個(gè)拷貝完全連接則可以得到與量子極端面相同的答案。而霍金曾經(jīng)的計算方式則類(lèi)似于只考慮完全不相連的那一種可能。這樣，量子極端面，或者量子極端孤島的出現，可以解釋成在路徑積分中不連通相到連通相之間的轉變。這樣一種全新的鞍點(diǎn)也被稱(chēng)為“拷貝蟲(chóng)洞” (replica wormhole) 。更一般地，研究人員還可以在2維引力下得到考慮了所有可能的連接n個(gè)部分的平面拓撲求和后的結果[15]，通過(guò)解析的求解施溫格-戴森方程 (Schwinger-Dyson equation) ，得到精確的佩奇曲線(xiàn)行為，并發(fā)現在佩奇轉變發(fā)生的地方，熵有一個(gè)較大的修正使得轉變是連續過(guò)渡的。感興趣的讀者可以進(jìn)一步參考文獻[14—16]。
7 佯謬被徹底解決了嗎？
通過(guò)這一系列的工作，霍金的黑洞信息佯謬或許不再被稱(chēng)為佯謬。在蒸發(fā)黑洞中，物理學(xué)家終于實(shí)現了佩奇曲線(xiàn)的計算，不僅僅是對黑洞熵，還有霍金輻射的糾纏熵。這意味著(zhù)爭論了半個(gè)世紀的問(wèn)題有了明確的答案：黑洞蒸發(fā)過(guò)程中，信息會(huì )被釋放出來(lái)，正如量子力學(xué)要求的那樣，沒(méi)有任何信息的丟失。在成功的同時(shí)，也伴隨著(zhù)許多爭論與困惑。比如，雖然幺正性是量子力學(xué)的基本要求，但是至今所有的討論都局限于半經(jīng)典的引力理論。為什么在半經(jīng)典理論中仍然可以看到幺正性，這本身是一種“奇跡”，卻似乎也是一個(gè)問(wèn)題。另一方面，物理學(xué)家對信息從黑洞逃逸的方式仍然是一無(wú)所知，對于霍金輻射所代表的量子態(tài)也依然一無(wú)所知，對黑洞蒸發(fā)的末期也缺乏有力地預言，而這些或許我們很快就會(huì )得到答案，或許只有等到量子引力被發(fā)現的那一天，所有問(wèn)題的答案才會(huì )逐漸浮出水面。
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[15] Penington G，Shenker S H，Stanford D et al. Replica wormholes and the black hole interior. 2019，arXiv preprint arXiv:1911. 11977
[16] Almheiri A，Hartman T，Maldacena J et al. The entropy of Hawking radiation. 2020，arXiv preprint arXiv:2006.06872
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