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喜歡魔術(shù)的朋友經(jīng)常會(huì )為魔術(shù)師眼花繚亂的手法感到驚奇。紙牌魔術(shù)就是魔術(shù)師們經(jīng)常表演的一種魔術(shù)形式。魔術(shù)師在使用紙牌進(jìn)行魔術(shù)表演的時(shí)候經(jīng)常會(huì )涉及到“洗牌”的操作。今天我們就帶大家來(lái)看一看洗牌的“魔法”。
你是怎樣洗牌的呢？我們許多人的洗牌方式都很不起眼，甚至有的朋友就是把牌鋪在桌子上攤成一堆，再把牌打亂。今天您算是來(lái)著(zhù)了，我們來(lái)講講怎么像一個(gè)專(zhuān)業(yè)人士一樣洗牌。
如何完美洗牌
拿一副牌然后把他們分成數量相等的兩摞（我們假定你手里拿的是一副標準的52張的撲克牌，也就是說(shuō)有偶數張）?，F在我們把這兩摞牌完美地交疊排列，也就是說(shuō)按這樣的順序：第一摞的第一張牌、第二摞的第一張牌、第一摞的第二張牌、第二摞的第二張牌，以此類(lèi)推。這樣洗好的牌就是所謂的“完美洗牌”（perfect shuffle）
威爾·休斯敦展示如何完美洗牌（來(lái)源：https://youtu.be/2TTrHmFC2bM）
在進(jìn)行了一次完美洗牌操作后，你的牌組會(huì )被按照兩種方式中的一種被洗牌重組。如果你的第一摞牌是原來(lái)牌組的上半部分，那么洗好之后的牌組的第一張牌就是原來(lái)牌組的第一張牌，而洗好之后的牌組的最后一張牌則是原來(lái)牌組的最后一張牌——這就是所謂的“外洗法（out-shuffle）”，這樣一來(lái)牌組的首張牌和最后一張牌相當于是固定住了，它們保持了原始的位置。而其他的牌則是被交疊在了一起。
如果你和我們一樣都不是魔術(shù)師的話(huà)，你可以一步一步、一張一張慢慢來(lái)完成這個(gè)洗牌操作。如果你是一個(gè)紙牌玩家，或者是像威爾·休斯敦這樣的杰出魔術(shù)師，你可以幾乎瞬間完成這個(gè)操作！
如果你交換一下你的兩摞牌組，再按照同樣的方式把這兩摞牌交疊起來(lái)，就可以得到另一種洗牌方式，即所謂的“內洗法（in-shuffle）”。
外
洗
法
假設你的牌組有12張牌，它們由上到下按這個(gè)順序排列：
A，2，3，4，5，6，7，8，9，J，Q
我們把它們從中間分成兩摞：
第一摞是A，2，3，4，5，6；第二摞是7，8，9，J，Q
那么外洗法就是把牌按照這個(gè)順序重新排列：
A，7， 2， 8， 3，9，4，10， 5， J， 6，Q
第一張牌是A，最后一張牌是Q，和洗牌之前的原始牌組中的位置是一樣的。
內
洗
法
這次我們先交換一下牌組，因此第一摞牌就變成了原始牌組的下半部分：
7，8，9，J，Q
而原始牌組的上半部分變成了第二摞牌：
A，2，3，4，5，6
內洗法就是把牌組按這個(gè)順序重新排序：
7，A， 8， 2，9， 3，10， 4，J， 5， Q， 6
有了完美洗牌之后，魔術(shù)師能做什么？
魔術(shù)師威爾·休斯敦
我們有幸可以看到常駐倫敦帝國學(xué)院和皇家音樂(lè )學(xué)院表演科學(xué)中心的魔術(shù)師威爾·休斯敦是怎樣進(jìn)行完美洗牌操作的。如你所見(jiàn)，威爾·休斯敦對紙牌仿佛有著(zhù)魔法一樣的掌控力，他甚至可以進(jìn)行完美洗牌的變種操作——從一張一張交疊變成兩張兩張交疊。他對紙牌的操縱令人難以置信。
“魔術(shù)師對于把不可能的是變?yōu)楝F實(shí)很感興趣，”休斯敦說(shuō)?！澳軌蛑獣耘平M被搞混搞亂后會(huì )發(fā)生什么也屬于這一范疇?！奔偃缒阆霃囊粋€(gè)排列成特殊順序的牌組開(kāi)始，但是又想讓觀(guān)眾以為牌組已經(jīng)被完全洗亂?！澳g(shù)師不會(huì )只靠嘴皮說(shuō)服觀(guān)眾的！”休斯敦向我們保證。
“我們知道外洗法可以保證牌組的首尾兩張不變。對于一副標準的52張的撲克牌，如果你利用外洗法進(jìn)行了八次完美的洗牌操作，整副牌組最后都會(huì )恢復到原始的順序。誠然這會(huì )費一點(diǎn)時(shí)間，但如果你想在一開(kāi)始搞一點(diǎn)小把戲，讓觀(guān)眾以為你已經(jīng)把牌組完全洗亂了，不妨就連續做八次外洗法洗牌。其他人百分百會(huì )相信牌組已經(jīng)被洗亂了，因為他們確實(shí)看到你把牌混了好幾次，但事實(shí)上牌組已經(jīng)按照你想要的順序準備好了?！?/p>
來(lái)一點(diǎn)數學(xué)吧！
下面來(lái)點(diǎn)數學(xué)！我們看看為什么八次“外洗”之后牌組會(huì )復原。我們對休斯敦所說(shuō)的八次外洗法能夠把52張撲克牌組成的牌組復原這件事深感好奇！事實(shí)上有許多數學(xué)上的方法可以對此進(jìn)行證明。但是我們要介紹的是一種最直接明顯的方法。這種方法由數學(xué)家——同時(shí)也是一位魔術(shù)師，Tori Noquez提出。
這里我們感興趣的是原始牌組中卡牌的順序，所以我們不管牌的大小和花色，只把它們按照在原始牌組中的位置進(jìn)行標號。同時(shí)為了在數學(xué)上方便一點(diǎn)，我們把最上面也就是第一張牌標記為0，第二張牌為1，以此類(lèi)推。假設我們手頭有一副標準的52張的撲克牌（事實(shí)上這種數學(xué)上的標記對于任何偶數張數的牌組都是適用的），我們把這些牌標記為：
0，1，2，3，…，49，50，51
這里0代表第一張牌，51代表最后一張牌。
外洗法首先將牌組分成兩摞，上半部分作為第一摞牌（0，1，…，25），下半部分作為第二摞牌（26，27，…，51），再把它們按照下面的順序排列：
0，26，1，27，2，…，24，50，25，51
第一張牌，也就是標號為0的牌，在洗過(guò)之后仍然在第一位，也就是0位置。同樣最后一張牌仍然是標號51的牌，所以我們只關(guān)心中間部分也就是標號1到50的牌在外洗操作前后發(fā)生了什么就可以了。
第一摞牌也就是原牌組上半部分，標號x滿(mǎn)足1≤x≤25的牌，在一次外洗操作后被移到了位置2x，也就是說(shuō)標號1的牌現在在位置2，標號2的牌在位置4，以此類(lèi)推，最后標號25的牌在位置50。
而第二摞牌也就是原始牌組下半部分的牌，標號x滿(mǎn)足26≤x≤50，在新牌組中它們被移到了位置2x-51。也就是說(shuō)標號為26的牌在位置1（因為2×26-51=1），以此類(lèi)推最后標號50的牌在位置49。
運用一點(diǎn)模計算的知識（關(guān)于模計算的一些簡(jiǎn)介你可以戳這里），我們可以把上面的這種變化表示為同一條法則：標號x的牌在新的牌組中被移到了位置“2x（mod 51）”。
所以對于標號x（其中1≤x≤50）的卡牌：
一次外洗操作使得卡牌移到了位置2x（mod 51）；
兩次外洗操作使得卡牌移到了22x（mod 51）；
以此類(lèi)推，一般情況，k次外洗操作把標號x的牌移到了位置2kx（mod 51），為了把牌組復原成原始順序，我們需要找到滿(mǎn)足下面關(guān)系式的k：
2kx ≡ x（mod 51）
也就是滿(mǎn)足關(guān)系式：
2k ≡ 1（mod 51）
2的冪次的前八個(gè)的數值如下：
從這里我們可以看到八次外洗操作就能夠把我們的牌組復原了，這也是通過(guò)外洗法復原牌組的最小次數。
同樣的數學(xué)技巧可以針對任意數量N的牌組（但是要記住這里的N是偶數，這樣你才可以把牌組等分）。要使得牌組順序復原的話(huà)，我們需要找到滿(mǎn)足下面關(guān)系式的最小的k值：
2k ≡ 1（mod N-1）
所以k次外洗法操作就把N張牌組成的牌組復原了。
如果是不完美洗牌，魔術(shù)師能做什么？
把牌直接搞亂混在一起是我們最熟知的一種“不完美”洗牌方法
所謂“不完美”的洗牌也就是通常我們認為的正常的、公平的洗牌?！安煌昝赖南磁瓶赡芤彩亲詈玫南磁?，因為洗牌本身的目的就是把紙牌混成隨機的順序?！毙菟苟厝缡钦f(shuō)道。要想做一次不完美的洗牌，你可能要把牌大概其分成兩半，然后把兩部分的牌按一個(gè)隨機的順序重新排列，比如隨機替換兩三張牌，當然也可以換一張牌。正是兩部分的牌重新交疊排列的方式體現了隨機性，而這也正是使得一次洗牌是“公平的”的關(guān)鍵所在。
數學(xué)家們對“不完美的洗牌”也很感興趣。Persi Diaconis是一位統計學(xué)家，同時(shí)也是一個(gè)杰出的魔術(shù)師，他主要做一些工作來(lái)尋找把一副牌組隨機混合的最優(yōu)洗牌次數。Diaconis研發(fā)了一個(gè)流程，可以先把后面三分之一的牌拿掉，然后把剩余的牌近似分成兩部分，再按照之前描述的方案進(jìn)行一次不完美洗牌操作，最后再把之前拿掉的三分之一的牌放在最上面?！叭绻惆堰@個(gè)程序重復七次，就會(huì )得到洗牌次數的最佳平衡并且最后把牌的順序徹底打亂?！?/p>
這個(gè)數學(xué)上的見(jiàn)解在諸如賭場(chǎng)一類(lèi)的場(chǎng)所是很有用的，因為在這些場(chǎng)所人們獲取到的錢(qián)的數目很依賴(lài)洗牌的隨機性：“牌洗得越公平隨機，對于賭場(chǎng)而言是越有利的，因為他們可以充分利用他們在游戲規則中的數學(xué)優(yōu)勢。這意味著(zhù)他們會(huì )比玩家贏(yíng)得更多?！比欢看吻f家洗牌的時(shí)候玩家并不是在打牌或者下注，所以賭場(chǎng)需要制定一個(gè)洗牌的流程來(lái)平衡他們從玩家手中拿到的賭注的數目。
完美的魔術(shù)
不完美洗牌的目的在于你不想得到一副有特定的、可以預測的順序的牌組。一想到牌組的特殊順序，我們想的就是牌組按大小順序、按花色順序排好，就像我們新買(mǎi)的撲克牌組一樣。但是休斯敦的一個(gè)最有意思的紙牌魔術(shù)就是基于上述我們對于牌組順序的固有認知。
威爾·休斯敦和吉姆·卡特在節目The Next Great Magician中
（視頻鏈接：https://vimeo.com/191677714）
在休斯敦和他的觀(guān)眾把牌組完全混合好之后，我們毫不驚訝地發(fā)現，這些牌已經(jīng)“看上去”是隨機排列的了。而這些牌地隨機性在魔術(shù)結尾觀(guān)眾的巨大震驚中再一次得到了強調。
盡管休斯敦不能夠透露魔術(shù)背后的秘密，但是他還是告訴了我們是什么驅使了他去設計了這樣一個(gè)魔術(shù)：“我一直在琢磨順序的問(wèn)題，為什么人們會(huì )覺(jué)得有的排列順序是重要的，而有的排列順序就不重要呢？舉個(gè)例子，一副搞混后的牌組已經(jīng)是很無(wú)序的了，而人們關(guān)心的一副新買(mǎi)的牌組的順序——他們覺(jué)得這個(gè)很重要。我覺(jué)得設計一個(gè)小把戲來(lái)看看一個(gè)看似不'重要’的順序實(shí)際上會(huì )有多'重要’，這應該挺好玩的?！?/p>
我們已經(jīng)了解了如何進(jìn)行完美洗牌，但是實(shí)際上當我們在家里和朋友打牌，或者在賭場(chǎng)下注的時(shí)候，我們真正想要的是“不完美”——正如我們看到的，除了其中的“魔法”之外，簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的洗牌中還蘊含了大量的數學(xué)技巧，有機會(huì )我們再和大家更詳細地說(shuō)明。
作者：Rachel Thomas
翻譯：Dannis
審校：C&C
原文鏈接：
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