撰文 | 孟子楊
來(lái)源 | 選自《物理》2020年第11期
引 子
有的童話(huà)穿越歷史，變成了一個(gè)民族心中的文化圖騰，如西游記之于中國人，安徒生和格林童話(huà)之于歐洲人。有的童話(huà)停留的時(shí)間稍短，但也是一代人甚至幾代人心中共同的啟蒙故事，如《星際旅行》、《鐵臂阿童木》、《機器貓》甚至《哈利波特》。對中國的孩子來(lái)說(shuō)，尤其是在1980年代至1990年代成長(cháng)起來(lái)的孩子，這樣的童話(huà)應屬皮皮魯和魯西西的故事了。這些故事填補了彼時(shí)孩子們十分枯燥和閉塞的學(xué)校教育的空白 (現在也許不閉塞了，但是否枯燥不得而知)，讓他們感受到了想象力的震撼和獨立思考帶來(lái)的樂(lè )趣?，F在回頭看，皮皮魯和魯西西的那些奇遇從技術(shù)上講十分落伍，在科學(xué)上有的更是完全不合理，當然也無(wú)法和現在的硬核工業(yè)黨穿越科幻相比，但是皮皮魯和魯西西好就好在不按照彼時(shí)學(xué)校里和社會(huì )上灌輸給孩子們的教條行事，總愛(ài)搞些小玩鬧、小探索，卻總能在無(wú)意中發(fā)現一個(gè)新的世界，讓彼時(shí)的孩子們知道，好奇心和對不公正的一點(diǎn)點(diǎn)小反抗不但不是罪惡，反而是特別正確和特別好玩的事，在特立獨行和無(wú)拘無(wú)束中才能學(xué)會(huì )真正的同情心和責任感。
一晃幾十年過(guò)去，彼時(shí)的孩子都長(cháng)成了大人，他們中有人也開(kāi)始教育自己的孩子按照當下學(xué)校里和社會(huì )上的教條行事，而他們自己也努力地學(xué)著(zhù)當下社會(huì )上的通行規范，扮演著(zhù)一個(gè)好員工、好同事、好下屬、好老師或者好領(lǐng)導的角色，童話(huà)嘛，畢竟是要遠去的。但是大家偶爾想起皮皮魯和魯西西，又似乎心有不甘，想著(zhù)畢竟什么時(shí)候還是要做出一些像他們那樣出格的、有趣的事情，嘗試一些與眾不同的、能夠發(fā)現新的世界的探索，人生才不算白過(guò)。若是有人完全忘記了皮皮魯和魯西西，那么這樣的人要么是對自身徹頭徹尾的失望者，要么就是在當下社會(huì )中徹頭徹尾的成功者。在筆者熟悉的量子多體計算領(lǐng)域，就有一群這樣不能忘情的人，還總想著(zhù)皮皮魯和魯西西，總喜歡玩些在行業(yè)內的正人君子們、行業(yè)內的成功者們看來(lái)離經(jīng)叛道，吃力不討好的游戲。好在他們自己覺(jué)得有趣，在這樣的玩鬧中自己的好奇心和求知欲得到了極大的滿(mǎn)足，并且漸漸開(kāi)始影響和鼓勵著(zhù)身邊的朋友們。最近就有這樣一個(gè)故事，這幾個(gè)童心未泯的小伙伴，用蒙特卡洛和張量重正化群的計算方法，完成了好幾個(gè)好玩的計算，還鼓動(dòng)著(zhù)實(shí)驗物理學(xué)家們驗證了他們的結果，實(shí)驗的伙伴們更發(fā)現了有趣的新問(wèn)題。大家就這樣一路樂(lè )此不疲地玩下去。
下面就是他們的故事，為了講好這個(gè)故事，為了向皮皮魯和魯西西致敬，姑且稱(chēng)這樣一群人都是蒙蒙卡和張量量吧。
蒙蒙卡與張量量探索量子材料
量子材料研究是很好玩的事情，因為量子材料是一個(gè)很大的筐，什么東西都放得進(jìn)去：從超越摩爾定律的新一代集成電路人工智能芯片材料，到具有解決能源危機潛力的高溫超導體，還有現在十分流行的轉角石墨烯二維范德瓦爾斯層狀材料，再到希望成為量子計算機信息存儲載體的拓撲物態(tài)，都算量子材料的內容。但是對于這些材料性能的研究需要嚴格處理其中阿伏伽德羅常數量級的滿(mǎn)足量子物理學(xué)規律的電子行為(因此這類(lèi)問(wèn)題也被稱(chēng)為量子多體問(wèn)題)，計算量子多體系統在溫度、壓力和磁場(chǎng)等外界環(huán)境變化時(shí)的響應，從而確定其在科研和工業(yè)應用中合適的參數范圍。這樣復雜的問(wèn)題已經(jīng)不是鉛筆和白紙般古典時(shí)代的推算可以解決得了，很多時(shí)候以微擾論為基礎平均場(chǎng)計算甚至不能提供定性正確的結果，遑論定量。取而代之的，大規模量子多體計算方法，伴隨著(zhù)全球范圍內計算平臺的迅猛發(fā)展和普及，輔之以場(chǎng)論、對稱(chēng)性和拓撲性質(zhì)分析等高級數學(xué)語(yǔ)言的應用，逐漸成為現代物理、化學(xué)、材料科學(xué)的主流研究方式，使得科學(xué)家和工程師們可以不斷地發(fā)現具有更加優(yōu)異性能的材料，拓展量子物質(zhì)科學(xué)的內涵和外延，造福人類(lèi)生活。
在量子多體計算研究這個(gè)廣大的領(lǐng)域之中，量子蒙特卡洛方法 (是為蒙蒙卡) 和張量重正化群方法 (是為張量量)，無(wú)疑是兩種最具有代表性的手段。前者及其最近的發(fā)展筆者在這個(gè)系列的前幾篇文章中已反復介紹過(guò)，主要是通過(guò)設計抓住問(wèn)題物理實(shí)質(zhì)的晶格模型，然后在如是模型的合適相空間中進(jìn)行蒙特卡洛抽樣，計算量子多體問(wèn)題的配分函數和各種物理觀(guān)測量的系綜平均值和誤差。而后者則一路從密度矩陣重正化群演化而來(lái) (見(jiàn)參考文獻，哦不對，見(jiàn)蒙蒙卡和張量量迷宮地圖之[1])，主要關(guān)注于量子多體基態(tài)波函數的張量網(wǎng)絡(luò )表示與其重正化群操作。
當然，傳統的蒙蒙卡和張量量研究，主要還是專(zhuān)注于量子多體模型性質(zhì)的計算，比如Hubbard模 型，t—J模型，Heisenberg模型，還有之前在這個(gè)系列中提到的費米子—玻色子耦合模型。如果嚴格計算真實(shí)量子材料的性質(zhì)，考慮到材料本身的復雜性(多種相互作用和晶格的物理、化學(xué)環(huán)境所帶來(lái)的指數墻問(wèn)題)，即使對于蒙蒙卡和張量量這樣充滿(mǎn)活力的小伙伴，大多數時(shí)候也無(wú)能為力。但是問(wèn)題有意思的地方就在于是否敢于嘗試，敢于特立獨行不按教條行事，找到走出迷宮的神秘地圖，這里的故事就是一個(gè)成功的事例 (見(jiàn)蒙蒙卡和張量量迷宮地圖之[2，3])。
格結構為三角晶格，通過(guò)物理和化學(xué)結構的分析，人們認為三角晶格量子伊辛模型似乎是一個(gè)合適的出發(fā)點(diǎn)，但是問(wèn)題是精確模型參數該如何得到？這里張量量發(fā)揮了很大的作用。一直以來(lái)，在張量重正化群領(lǐng)域中，人們普遍地喜歡開(kāi)發(fā)新的方法，從DMRG，TMRG到后面的LTRG，CTMRG，PEPS，iDMRG，TEBD，METTS，SETTN等等，不一而足，讓外行人看得眼花繚亂、一頭霧水，只見(jiàn)業(yè)內專(zhuān)家們口吐蓮花般拋出許多新名詞與它們的骨感縮寫(xiě)。其實(shí)領(lǐng)域內部大家主要還是關(guān)注量子多體模型基態(tài)波函數的張量表示，以及為了達到某種精度在張量的數值操作上如何降低計算復雜度等等。但在外人看來(lái)，這個(gè)領(lǐng)域就顯得對于實(shí)際量子材料系統的熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)關(guān)注比較少，也就很難和行業(yè)之外的物理學(xué)家(如實(shí)驗物理學(xué)家)進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的溝通。
圖1 磁性晶體TMGO中的電子自旋排布與磁振子—渦旋對激發(fā)(見(jiàn)蒙蒙卡和張量量迷宮地圖之[2，3])
但還是有特立獨行的人，此次張量量小伙伴們是來(lái)自北京航空航天大學(xué)物理學(xué)院的李偉老師和他的研究生李涵和陳斌斌等，他們與合作者獨辟蹊徑，開(kāi)發(fā)出了指數熱態(tài)張量網(wǎng)絡(luò )方法 (Exponential ThermalTensor Network，XTRG，雖說(shuō)又多了一個(gè)名字……)，但這個(gè)方法可以在盡量保持計算結果精度的情況下，得到量子多體系統的熱力學(xué)信息 (細節見(jiàn)迷宮地圖之[7])。然后他們運用XTRG計算了TMGO模型系統的比熱、磁化率和磁矩等物理可觀(guān)測量隨著(zhù)溫度和磁場(chǎng)變化的行為，再通過(guò)與實(shí)驗結果進(jìn)行對比和調整模型參數，最終得到了TMGO的正確晶格模型——三角晶格量子伊辛模型及其精確模型參數。如圖2所示，XTRG算出的熵、比熱、磁化率和磁矩可以在很寬的溫度范圍內完美地擬合實(shí)驗觀(guān)測的磁比熱、熵曲線(xiàn)、磁化曲線(xiàn)等諸多磁熱力學(xué)性質(zhì)。
圖2 熱態(tài)張量網(wǎng)絡(luò )多體計算精確擬合TMGO磁熱力學(xué)測量數據
得到了材料的微觀(guān)模型之后，小伙伴中的真?理論物理學(xué)家復旦大學(xué)戚揚老師略作沉思，口占一偈道，“籍此三角晶格量子伊辛模型，磁性晶體TMGO將在特定的溫度范圍內展現出奇異的拓撲Kosterlitz—Thouless(KT)相”。鑒于戚老師講話(huà)常常暗含玄機，此處筆者不得不寫(xiě)下一個(gè)按語(yǔ)，原來(lái)Kosterlitz與Thouless是2016年諾貝爾物理學(xué)獎得主，是次諾獎頒發(fā)給拓撲物態(tài)的三位開(kāi)拓者，其中Kosterlitz與Thouless在1970年代便預言了量子磁性材料中可能存在的拓撲相，即現在用他們名字命名的KT相。此前人們在二維超流體和超導體中已經(jīng)觀(guān)察到KT相，但是經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀的尋找，KT相在量子磁性材料中卻一直沒(méi)有找到。戚揚老師掐指一算，口中念念有詞，“KT相將會(huì )在模型如此如此這般這般的參數范圍內出現，下面可以請蒙蒙卡君來(lái)為之一決”。
蒙蒙卡果然是好樣的，如筆者在之前的系列文章中所講，蒙蒙卡在最近的幾年里開(kāi)始逐漸揚棄如死磕square lattice Hubbard模型等等主流套路，劍走偏鋒，搗鼓出很多新的技能，其中一項就是從量子多體系統路徑積分的虛時(shí)關(guān)聯(lián)函數中，運用隨機解析延拓的方法得到系統在頻率空間的譜函數[8]。有了張量量給出的精確微觀(guān)模型，蒙蒙卡計算了如是模型的自旋動(dòng)力學(xué)譜函數，如圖3所示，如此的譜函數可以直接和TMGO材料在非彈性中子散射實(shí)驗中得到的自旋譜函數進(jìn)行比較。在圖3(a)中，可以看到模型計算所得的結果與實(shí)驗結果完全吻合。不僅如此，蒙蒙卡還確實(shí)看到了系統出現KT相的溫度范圍，并對于在這樣溫度范圍內應該看到的中子散射自旋能譜的色散關(guān)系和譜權重分布做了預測，結果如圖3(c)。
圖3 二維自旋阻挫量子磁體TMGO的量子多體蒙蒙卡動(dòng)力譜學(xué)模擬結果。(a)中的數據點(diǎn)為中子散射實(shí)驗結果，其后的背景為蒙蒙卡計算所得的量子伊辛模型自旋譜函數。(b)，(c)，(d)都是蒙蒙卡在不同模型參數下計算得到的材料自旋能譜
成功地得到了材料的微觀(guān)模型參數并解釋了已有的實(shí)驗結果，大家都覺(jué)得“量子磁體真是非常有趣的量子材料，豐富的多體效應中涌現出新奇的量子物態(tài)與相變，吸引著(zhù)我們在其中探尋凝聚態(tài)物理的新范式”，雖說(shuō)開(kāi)展精確理論計算并與實(shí)驗對比仍然是量子多體問(wèn)題亟待解決的前沿問(wèn)題。但在這項研究中，通過(guò)蒙蒙卡和張量量的配合，小伙伴們成功地完成了關(guān)聯(lián)量子晶體材料的熱力學(xué)—動(dòng)力學(xué)的多體計算?！澳敲聪旅嬉徊皆撊ツ睦锿嫠Ｄ?？”有人問(wèn)到。這時(shí)又是戚揚老師給大家指點(diǎn)迷津，“下面咱們去找實(shí)驗的朋友們，驗證已經(jīng)從理論上得到的結果，如KT相的探測和這種具有準長(cháng)程序和強烈磁性漲落的奇異物態(tài)的其他標度行為，豈不快哉？”，眾人皆歡喜不待。
蒙蒙卡和張量量找到了實(shí)驗的伙伴
為了能夠從實(shí)驗上看到KT相所特有的磁性漲落，需要十分精密的測量手段，小伙伴們找到了南京大學(xué)的溫錦生老師和中國人民大學(xué)的于偉強老師。溫老師那里可以長(cháng)出單晶樣品并完成磁化率在不同溫度和磁場(chǎng)下的測量，而于老師組里發(fā)展的核磁共振測量正是探測系統磁性漲落的敏感利器。實(shí)驗小伙伴們聽(tīng)明白了蒙蒙卡和張量量的話(huà)，不但欣然應允入伙，而且還發(fā)現因為材料中的面內磁矩具有多級矩的性質(zhì)，通過(guò)施加面內磁場(chǎng)剛好就可以收集
圖4 背景為磁性晶體TMGO中KT相的核磁共振信號。下面的平面中示意性地畫(huà)出在對應的溫度范圍內，系統處在高溫順磁、中間溫度KT相，與低溫下的磁有序相的自旋構型。右邊的背景為實(shí)驗生長(cháng)出的單晶照片
實(shí)驗的結果顯示在圖4這個(gè)示意圖的背景中 (順便說(shuō)一句，圖1和圖4這樣漂亮的示意圖，既有物理內容，又充滿(mǎn)藝術(shù)氣息，都出自張量量之北京航空航天大學(xué)物理學(xué)院的李涵同學(xué)和李偉老師，可見(jiàn)其玩心之大)。隨著(zhù)溫度的降低，系統處于順磁狀態(tài)，自旋晶格弛豫率隨著(zhù)溫度先降低，后開(kāi)始緩慢抬升，預示著(zhù)系統內部的磁性漲落在逐步增強；當溫度到達KT相
這時(shí)戚揚老師又口占一偈， “ 籍此實(shí)驗觀(guān)測，其實(shí)核磁共振的信號我們也可以從蒙卡計算所得的自旋動(dòng)力學(xué)能譜中獲得，蒙蒙卡你應該如此如此這般這般，就可以從數據中得到與實(shí)驗觀(guān)測類(lèi)似的物理量，在模型的層次上也抓住系統低能的磁性漲落。汝其為我一決?！泵擅煽ó斚乱烙嬓惺?，果然得到了圖5(b)的計算結果，與圖5(a)的實(shí)驗觀(guān)測定性相似。當然實(shí)際的材料總比理論模型復雜，實(shí)驗中還有很多有趣的細節，如溫錦生老師他們測得磁場(chǎng)下系統的磁化率，還可以分析出很多與KT相有關(guān)的有趣物理，這些實(shí)驗的小伙伴們自然會(huì )專(zhuān)門(mén)撰文解答，在此就不熬述了。細節也都在參考文獻 (哦不，蒙蒙卡和張量量迷宮地圖之[9]) 中。
蒙蒙卡和張量量下面會(huì )去何處探險
至此，蒙蒙卡和張量量此番量子材料探索行跡已交代清楚，這樣無(wú)拘無(wú)束的探尋讓眾人嘗到了不按教條行事的樂(lè )趣。量子多體系統的巍峨群山、森森林海和廣闊原野就是他們自由自在馳騁的世界，轉角石墨烯、拓撲序的模型與材料實(shí)現、非費米液體和量子臨界金屬……等等勝地都是他們探尋路上行經(jīng)的風(fēng)景。也許有一天，他們會(huì )來(lái)到你的身邊，神氣活現地給你講起他們最近的奇遇。這時(shí)請耐心聽(tīng)，那其中也許又是新的驚喜，你也許也會(huì )按捺不住加入他們的行列的。
蒙蒙卡與張量量迷宮地圖
[1] 劉耘婧，陳斌斌，李偉. 有限溫度量子多體系統與熱態(tài)張量網(wǎng)絡(luò ). 物理，2017，46(7)：430
[2] Li H，Liao Y D，Chen B B et al. Kosterlitz-Thouless melting of magnetic order in the triangular quantum Ising material TmMgGaO4. Nature Communications，2020，11：1111
[3] 李偉，孟子楊，戚揚. 二維量子磁體中的“幽靈軟?！迸cKT物理. 物理，2020，49(5)：400
[4] Cevallos F A，Stolze K，Kong T et al. Anisotropic magnetic properties of the triangular plane lattice material TmMgGaO4. Mater. Res. Bull.，2018，105：154
[5] Li Y et al. Partial up-up-down order with the continuously distributed order parameter in the triangular antiferromagnet TmMgGaO4. Phys. Rev. X，2020，10：011007
[6] Shen Y et al. Intertwined dipolar and multipolar order in the triangular lattice magnet TmMgGaO4. Nat. Commun.，2019，10：4530
[7] Chen B B，Chen L，Chen Z Y et al. Exponential Thermal Tensor Network Approach for Quantum Lattice Models. Physical Review X，2018 8：031082
[8] 孟子楊. 海森伯模型的譜，到底有多靠譜. 物理，2018，47(9)：595
[9] Hu Z，Ma Z，Liao Y D et al. Evidence of the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Phase in a Frustrated Magnet. Nature Communications，2020，11：5631
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