來(lái)源：好玩的數學(xué)
求解問(wèn)題是最為獨特的自發(fā)性思考。
——威廉·詹姆斯（William James，美國心理學(xué)家，1842-1910）
0 瑛 姑
金庸（1924年3月10日-2018年10月30日）
瑛姑是金庸先生 《射雕英雄傳》中的“神算子”。在小說(shuō)中，瑛姑與黃蓉是用幾道數學(xué)題過(guò)招的。黃蓉（請注意，她老爹是東邪黃藥師，擅長(cháng)“奇門(mén)數術(shù)”）臨走時(shí)給瑛姑出的三道難題如下：
第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、羅睺、計都的“七曜九執天竺筆算”；
第二道是“立方招兵支銀給米題”；
第三道是“鬼谷算題”："今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問(wèn)物幾何？"
其中第三道題最有名，涉及數論中著(zhù)名的中國剩余定理，我們曾在好幾篇文章中介紹過(guò)，參見(jiàn)
第二道題涉及高階等差數列的求和，我也在給中學(xué)生和大學(xué)生的通俗報告中提到過(guò)，見(jiàn)
至于第一題，恕我無(wú)知，至今仍不清楚金庸先生具體指的是哪個(gè)問(wèn)題。毫無(wú)疑問(wèn)的是，黃蓉出的第二題與第三題分別代表了我國古代數學(xué)的兩項杰出成就，由此可以揣測，第一題也當如此。照西北大學(xué)數學(xué)史家曲安京教授的看法，中國古代數學(xué)有三部集大成的代表作，《九章算術(shù)》（西漢）、《數書(shū)九章》（南宋）與《四元玉鑒》（元代）。黃蓉出的第二題與第三題之詳細討論，就分別見(jiàn)于后兩部著(zhù)作。
相信讀者已經(jīng)看出，鄙人確實(shí)是金庸的忠實(shí)粉絲。實(shí)際上，我幾年前就有想法要給金庸先生寫(xiě)封信，問(wèn)詢(xún)他老人家何以會(huì )想到在《射雕英雄傳》中塑造這樣一個(gè)“神算子”形象，并借黃蓉之口道出中國古代數學(xué)的這些杰出成就，他又是何以了解到中國古代數學(xué)這些杰出成就的。后來(lái)我將這一想法轉告了香港中文大學(xué)的陳方正教授，他告訴我，金庸先生身體不好，建議我不要打擾，我就作罷了。
最近我從網(wǎng)上讀到一篇文章，對我的問(wèn)題給出了一個(gè)指引，其中有這樣一段：
金庸年輕時(shí)在《大公報》上寫(xiě)過(guò)一篇隨筆《圓周率的推算》（后來(lái)收進(jìn)《三劍樓隨筆》，全文見(jiàn)本號二條），里面提到一本《算學(xué)的故事》：“我在初中讀書(shū)時(shí)，教我數學(xué)的是章克標先生*，他因寫(xiě)小說(shuō)出名，為人很是滑稽，同學(xué)們經(jīng)常和他玩鬧而不大聽(tīng)他講書(shū)。他曾寫(xiě)過(guò)一部《算學(xué)的故事》，其中說(shuō)到有一個(gè)歐洲青年花了極長(cháng)的時(shí)間，把圓周率推算到小數點(diǎn)后六百多位。這個(gè)圓周率，當然是毫無(wú)實(shí)用價(jià)值的?！?nbsp;
*注：章克標（1900-2007）是東京高等師范學(xué)校數學(xué)系的學(xué)生，回國后任教于中學(xué)與大學(xué)，先教數學(xué)，轉向文學(xué)后，又教過(guò)語(yǔ)文。有興趣的讀者，可見(jiàn)其自傳《世紀揮手》，書(shū)名乃金庸手書(shū)。
今天我要寫(xiě)的這個(gè)題目，一方面是受到黃蓉提問(wèn)的啟發(fā)，另一方面也是受到金庸《天龍八部》里的一段情節（第46節，酒后君問(wèn)三語(yǔ)，西夏公主提問(wèn)招親）的啟發(fā)，有興趣的讀者可見(jiàn)下述視頻，我不再展開(kāi)（我覺(jué)得這本質(zhì)上是一個(gè)對偶的話(huà)題：你所提出的最好的問(wèn)題是什么？）：
西夏公主（毋寧說(shuō)是金庸前輩）提出三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：
你一生中最逍遙快活的地方在哪里？
你生平最心愛(ài)的人是誰(shuí)？
你最?lèi)?ài)的這個(gè)人相貌如何？
讓天下群雄盡顯各自本色（最令人唏噓的是喬峰的回答，不過(guò)在原著(zhù)中，喬峰是先行離開(kāi)從而回避了這些問(wèn)題）。好了，我們就此打住?，F在我們來(lái)看幾位著(zhù)名人物所分享的刻骨銘心的數學(xué)題吧！
1 楊振寧（1922-）
楊振寧
在華東師范大學(xué)數學(xué)系張奠宙教授對楊振寧先生的訪(fǎng)談（參見(jiàn)《楊振寧和當代數學(xué)》）中， 楊振寧先生提到了他在西南聯(lián)大時(shí)，陳省身先生給他們出的一個(gè)題目：
在西南聯(lián)大，我很可能旁聽(tīng)過(guò)陳省身的好幾門(mén)數學(xué)課，但是根據保存至今的成績(jì)單，我只是在1940年秋季學(xué)期正式選修過(guò)他講授的微分幾何課程。當時(shí)我是物理系的三年級學(xué)生。
張：這門(mén)課您有所得益吧?
楊：當然。不過(guò)我已經(jīng)記不清楚上課的情形了，只有一件事印象很深：如何證明每一個(gè)二維曲面保角等價(jià)于平面？我知道如何把度量張量化成
的形式，但是想了很久都想不出怎樣使A=B。有一天，陳先生告訴我要用復變量，并寫(xiě)下：
這個(gè)式子。學(xué)到這簡(jiǎn)單的妙訣，是我畢生難忘的經(jīng)歷。
最近我從西北大學(xué)數學(xué)系劉建新博士的博士論文中得知，原來(lái)這結果和技巧都歸功于高斯（Gauss）。楊振寧這段回顧的重點(diǎn)是，陳省身令他認識到復數的重要性。陳省身先生常說(shuō)的一句話(huà)是，復數使數學(xué)簡(jiǎn)單化（一個(gè)最顯著(zhù)的例子是代數基本定理：多項式在復數域內必有零點(diǎn)）。我想法國數學(xué)家阿達瑪 (Hadamard) 的一句名言很能夠表達這個(gè)意思：
2 徐利治（1920-2019）
徐利治
在我讀過(guò)的所有中國數學(xué)家的傳記與訪(fǎng)談錄中，我最喜歡的是關(guān)于徐利治的一本：《徐利治訪(fǎng)談錄》（袁向東、郭金海訪(fǎng)談?wù)?，湖南教育出版社?009年）。徐利治在書(shū)中談到了許多有趣的東西，如他眼中的華羅庚、陳省身與許寶騄等（參見(jiàn)徐利治先生訪(fǎng)談錄：我所知道的華羅庚與陳省身）。他在書(shū)中分享了在西南聯(lián)大求學(xué)時(shí)請教陳省身的一道題目（見(jiàn)上書(shū)73-74頁(yè)）：
我在西南聯(lián)大二年級的時(shí)候，有一次到數學(xué)系辦公室請教陳先生一個(gè)級數求和問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題是：
如何計算？
陳先生看了很久，沒(méi)有回答出來(lái)。后來(lái)我才知道，這個(gè)求和問(wèn)題沒(méi)有精確的公式表達，但可以用歐拉-麥克勞林求和公式（Euler–Maclaurin formula）做近似計算?？梢?jiàn)，當時(shí)陳先生的分析基礎也不是十分強。
這里徐利治先生分享了他的后見(jiàn)之明：這個(gè)和是求不出來(lái)的——其結果沒(méi)有一個(gè)簡(jiǎn)單的公式表達。那么能做的，只是近似求和，即，求出這個(gè)和的一個(gè)近似值。換言之，我們所能解決的，是下述問(wèn)題（請注意，這里改變了問(wèn)題的提法，唯有如此，方才可解）：
問(wèn)題0：求
的近似值。
徐利治想到的方法是用歐拉-麥克勞林求和。照理說(shuō)，這個(gè)方法如此基本，陳省身不大可能不知道。所以，更有可能的是，陳省身裝作不知，讓徐利治自己去鉆研。
上面將問(wèn)題重新表述的變通策略，正好印證了挪威數學(xué)家阿貝爾（Abel）的高見(jiàn)：
人們應該力求給問(wèn)題一種形式，使得它總是可解的，這總是可能的。以恰當選擇的形式提出問(wèn)題，其敘述本身就會(huì )包含著(zhù)解答的種子。
阿貝爾
3 何兆武（1921-）
何兆武
我還想到西南聯(lián)大的另一位杰出校友，他叫何兆武，著(zhù)名的歷史學(xué)家。在其自傳《上學(xué)記》（何兆武口述，文靖執筆）一書(shū)（90-91頁(yè)）中，他曾回憶起他參加1939年西南聯(lián)大高考時(shí)所遇到的一道數學(xué)題：
那一年數學(xué)考題非常之難，也不知道是誰(shuí)出的，比我們中學(xué)所學(xué)的更深。其中有一個(gè)題目我還記得，在橢圓上任取一個(gè)點(diǎn)，問(wèn)：把這個(gè)點(diǎn)到橢圓上每個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)連接起來(lái)，是什么圖形，并列出方程。
我知道連起來(lái)是一個(gè)內切小橢圓，給描出來(lái)了，可是列不出公式。有個(gè)同學(xué)數學(xué)學(xué)得非常好，考完了以后跟我講，這道題不能用正坐標（即直角坐標）表述，得用極坐標。經(jīng)他一說(shuō)，我就想起來(lái)了，所以印象特別深。另外，這件事也給了我極大的啟發(fā)，一個(gè)終生受益的啟發(fā)：當我們的思想解釋不通的時(shí)候，就得換一個(gè)坐標，不能死硬地按原來(lái)的模式去套。
我想，歷史中真正學(xué)術(shù)上、思想上的重大突破，大概都需要坐標的轉換。有些用原來(lái)的坐標解釋不了了，卻仍在那里生搬硬套，是行不通的。
威廉·詹姆斯：我這一代人的最大發(fā)現是，個(gè)人可以通過(guò)改變其態(tài)度來(lái)改變人生。
1939年高考題，即報考工學(xué)、理學(xué)、物理、化學(xué)、天文、氣象、土木、師范之數理化等專(zhuān)業(yè)者。當年的命題人是江澤涵（召集人）、楊武之、姜立夫、趙淞。
1939 年國立各院校統一招生數學(xué)試題 (應第二組考試者試之)
本人嘗試了一下，感覺(jué)這個(gè)問(wèn)題用直角坐標也很簡(jiǎn)單。不過(guò)，我對何兆武先生最后的領(lǐng)會(huì )（換坐標）深有共鳴。我們曾指出，江湖上有些算命術(shù)士很會(huì )利用坐標，見(jiàn)《? 算命是胡扯，猜姓卻不然——續篇》。
順便說(shuō)一句， 第一節里陳省身先生出給楊振寧的那個(gè)題目，其實(shí)就是證明曲面上存在等溫坐標（一種方便的坐標）。
4 阿諾德（V. I. Arnold，1937-2010）
阿諾德
跟俄國的許多數學(xué)大師（如柯?tīng)柲宸?、蓋爾范德）一樣，阿諾德 (1937-2010) 不僅是卓有成就的數學(xué)家，也是極優(yōu)秀的數學(xué)教育家。他曾寫(xiě)過(guò)一本書(shū)：
其中收入了為5-15歲的孩子準備的77個(gè)數學(xué)問(wèn)題，有興趣的讀者，也可以參見(jiàn) 《一位偉大數學(xué)家給孩子出的數學(xué)題》。
我們選取其中一道分享給讀者，尤其建議那些想了解國家公務(wù)員考試數學(xué)考題的讀者考慮一下，因為兩者水平相當。
問(wèn)題1：甲、乙兩個(gè)老太太在日出時(shí)同時(shí)出發(fā)，甲從A地往B地走，乙從B地往A地走，都是勻速前進(jìn)。她們在正午相遇，然后繼續不停地走，甲到達B地的時(shí)間是下午4點(diǎn)，而乙到達A地的時(shí)間是下午9點(diǎn)。問(wèn)，當天日出的時(shí)間是幾點(diǎn)？
阿諾德在1991年的Notices訪(fǎng)談中曾說(shuō)：“當時(shí)我花了一整天的時(shí)間來(lái)思考這個(gè)老掉牙的問(wèn)題，而答案則是一種出乎意料的方式得到的?！碑敃r(shí)他還是小學(xué)生，不知道今天的小學(xué)生要多久才能想出答案呢？
5 幾個(gè)補充的練習
《射雕英雄傳》之東邪西毒
問(wèn)題2（小學(xué)水平，加州大學(xué)伯克利分校數學(xué)系伍鴻熙教授提供）：
有一杯紅酒和一壺茶水，先從茶水中盛一勺倒入紅酒中，均勻攪拌后再盛一勺倒回茶水中。請問(wèn)此時(shí)杯中含有的茶水和壺中含有的紅酒，哪個(gè)更多？如果沒(méi)有攪拌均勻，情況又會(huì )怎樣？
（有興趣的讀者，可以參考伍鴻熙教授《數學(xué)家講解小學(xué)數學(xué)》第23章“一些有趣的應用題” 問(wèn)題4，中譯本（趙潔、林開(kāi)亮譯，北京大學(xué)出版社）第316頁(yè)）
問(wèn)題3（小學(xué)-初中水平，西北大學(xué)數學(xué)系劉建新博士提供）：
如圖，從A到B有兩條路線(xiàn)。綠色路線(xiàn)由一條豎直方向的線(xiàn)段和一條水平方向的線(xiàn)段組成；紅色路線(xiàn)是階梯狀的，每段線(xiàn)段分別是水平和豎直的。問(wèn)兩條路線(xiàn)哪個(gè)更近？
問(wèn)題4（小學(xué)-初中水平，本人經(jīng)歷，猶記當時(shí)很多帶表的同學(xué)在撥動(dòng)發(fā)條）：
在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間的哪一個(gè)時(shí)刻，手表上的時(shí)針與分針重合？
問(wèn)題5（初中水平，本人初三經(jīng)歷，曾作為思考題在課堂上出給大一新生）：
在下述矩形中，已知三個(gè)角上的三角形的面積分別為3，4，5，求中間的三角形的面積。
注：對這個(gè)問(wèn)題，南開(kāi)數學(xué)所唐梓洲教授跟清華扶磊教授討論給出了一個(gè)小學(xué)水平的高明解法。
問(wèn)題6（高中水平，西北農林科技大學(xué)物理系劉昌勇教授提供，是1939年數學(xué)高考題第一題，見(jiàn)何兆武那一節的圖片）：
已知
為方程式
的一根，求其余各個(gè)根。
問(wèn)題7 （高中水平，中央民族大學(xué)數學(xué)系王兢老師提供，是波利亞《怎樣解題》中譯本75頁(yè)“定義”一節的例子）：
給定一條直線(xiàn)，又給定一條拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準線(xiàn)，用尺規作圖找出該直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)。
問(wèn)題8（大學(xué)水平，美國加州大學(xué)爾灣分校數學(xué)系陸志勤授提供）：
證明：在n維歐氏空間中，兩兩夾角為鈍角的向量至多有 n+1 個(gè)。
問(wèn)題9（大學(xué)水平，不久前準備一個(gè)科普報告時(shí)遇到，是劍橋大學(xué)本科生榮譽(yù)學(xué)位考試的題目，我也不會(huì )，一并求教方家）：
如圖，證明人在深水中平穩游泳時(shí)激起的波浪其夾角總是2arcsin(1/3)。
該題是橋大學(xué)數學(xué)系本科生主頁(yè)（https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad）上的一個(gè)Tripos考題。
6 結語(yǔ)
歡迎大家在留言區分享那些讓你刻骨銘心的數學(xué)題（不要太難哦）。這樣吧，我再借花獻佛，分享我一個(gè)好友（天津大學(xué)物理系劉云朋教授）的反饋：
我最先想到的是：走二維迷宮（在像二維碼一樣的方塊區域開(kāi)一個(gè)入口、一個(gè)出口，要在里面從入口走到出口那種）的通用解法：從入口摸著(zhù)一側的墻壁一直走下去就能出去了。照我的理解，迷宮的解就是找一條線(xiàn)把兩個(gè)彼此不連通的區域分開(kāi)，那么沿著(zhù)一個(gè)連通區域的邊界轉一圈就行了。從拓撲的角度看，迷宮就不迷了
好了，我要說(shuō)的說(shuō)完了，輪到你們啦。
《天龍八部》之天山童姥
致謝：感謝中科院自然科學(xué)史研究所郭金海研究員為我提供1939年的高考數學(xué)試卷文獻，感謝西北農林科技大學(xué)尹昌輝同學(xué)、姚健同學(xué)、聶嘉玥同學(xué)提供技術(shù)支持！感謝天津大學(xué)物理系劉云朋教授、數學(xué)系劉志新教授、西北農林科技大學(xué)物理系劉昌勇教授、上海交通大學(xué)數學(xué)系吳耀琨教授、李吉有教授、中央民族大學(xué)數學(xué)系王兢教授、中國傳媒大學(xué)陳見(jiàn)柯教授、中國礦業(yè)大學(xué)張漢雄教授、西北大學(xué)數學(xué)系劉建新博士、以及友人張寶群博士、張浩博士、葉盧慶老師的分享交流。
本文第一版曾發(fā)表于微信公眾號“好玩的數學(xué)”，此文為作者最新修訂版。
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