方弦 發(fā)表于 2016-10-22 15:52
前文回顧：
小朋友的涂鴉（一）：從8和9說(shuō)起球面覆蓋
我們每天睡覺(jué)親密接觸的被褥，它的衛生狀況值得重視，偶爾就要把被套拆下來(lái)洗一洗，洗完再套上去。但這不是個(gè)順當的活計，盡管有系繩，但固定還是相當困難，手藝不好的，實(shí)在是難以把它弄得服服帖帖，總是會(huì )有些褶皺。這時(shí)候難免萌生出偷懶的想法，懶得把被套拉鏈拉開(kāi)然后把內芯塞進(jìn)去了，就隨便用被套把內芯當粽子捆了，反正嚴格來(lái)說(shuō)，的確也是用被套把內芯“套住了”，被套也完成了自身的責任：把內芯的每一處都“擋住”，不讓睡覺(jué)的人把內芯弄臟?？上П惶滓话銢](méi)有彈性不能延伸，包起來(lái)的“粽子”實(shí)用面積實(shí)在太小，否則這也不失為一個(gè)好辦法。
無(wú)論是正常的還是包粽子的方法，我們都可以說(shuō)，被套把內芯“覆蓋”了。最完美的當然是從頭到尾平整光滑的覆蓋，內芯上每個(gè)地方都被一層被套覆蓋；稍差一些，有點(diǎn)皺褶的話(huà)，皺褶的地方就會(huì )有至少三層被套覆蓋著(zhù)內芯的同一個(gè)地方，而且還會(huì )有一些“分支點(diǎn)”，皺褶在這些點(diǎn)上開(kāi)始，又在這些點(diǎn)上終結。如果是包粽子的話(huà)，那就不好說(shuō)了，不過(guò)可以肯定的是，內芯上每個(gè)點(diǎn)至少有兩層被套覆蓋。
覆蓋的折痕，來(lái)自Wikipedia
在數學(xué)家眼中，被套可以看成一個(gè)球面：假設被套有彈性，那么在里邊裝一個(gè)氣球，再把氣球吹起來(lái)，被套自然會(huì )鼓起來(lái)變成球面。同樣，內芯也可以看成一個(gè)球面。如果我們先在內芯放一個(gè)氣球，然后把內芯和覆蓋它的被套縫起來(lái)，不讓它們移位，最后將氣球吹起來(lái)，那么我們就得到了被套這個(gè)球面對內芯這個(gè)球面的一個(gè)覆蓋。這樣的覆蓋變化多端，可以是平滑的，也可以有皺褶，在每一點(diǎn)處，覆蓋可以是單薄的，也可以是多重的。
把這些直觀(guān)印象翻譯成數學(xué)概念，這是數學(xué)家們的拿手好戲。球面之間的覆蓋，用數學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是從一個(gè)球面（被套）到另一個(gè)球面（內芯）的連續滿(mǎn)射函數ff，如果xx是被套上的一點(diǎn)，那么f(x)f(x)就是內芯上被xx這一點(diǎn)覆蓋的點(diǎn)。我們要求函數是連續的，因為我們不想把被套扯壞，所以要求被套上的一小塊“保護”的也是內芯上的一小塊，而不是“分隔異地”的兩塊；我們要求函數是滿(mǎn)射，因為我們希望保護內芯不被弄臟，所以要求內芯上的每一點(diǎn)都有被套保護。當然，數學(xué)畢竟是數學(xué)，比現實(shí)要更天馬行空一些?，F實(shí)中的被套不能穿過(guò)自身，而數學(xué)中的覆蓋則可以。正因為如此，在數學(xué)中我們可以把覆蓋的皺褶“撫平”，只留下一個(gè)個(gè)孤立的分支點(diǎn)，這在現實(shí)中是不可能的。而我們要求除了分支點(diǎn)以外，球面上的其他點(diǎn)被覆蓋的次數都相同，這個(gè)次數又被稱(chēng)為球面覆蓋的次數。
視頻原作者：Dugan Hammock，他的
Youtube頻道上有更多關(guān)于曲面的精美視頻。
然而，這些東西跟多項式又有什么關(guān)系呢？
對于數學(xué)家來(lái)說(shuō)，關(guān)系非常大。因為他們知道，復數組成的復平面，差不多就是一個(gè)球面。有一種叫“球極平面投影”的方法，可以將復平面轉化為只缺一個(gè)點(diǎn)的球面。而如果我們將“無(wú)窮大”也加到復平面里，就能把球面缺的點(diǎn)補上，得到的就是所謂的“黎曼球面”。而黎曼球面上的有理函數，也就是兩個(gè)多項式的商，實(shí)際上就是一個(gè)球面覆蓋。通過(guò)研究球面覆蓋的性質(zhì)，數學(xué)家們就能間接得知對應的有理函數的性質(zhì)。
球極平面投影，來(lái)自Wikipedia
我們接下來(lái)考慮有理函數給出的球面覆蓋。球面覆蓋的許多性質(zhì)都被它的分支點(diǎn)所決定，因為分支點(diǎn)以外的地方都非常平滑，到了乏善可陳的地步，而分支點(diǎn)正是曲面“疊起來(lái)”的地方，自然包含了我們想要的性質(zhì)。我們可以說(shuō)，球面覆蓋的分支點(diǎn)越少，它就越簡(jiǎn)單。
那么，對于有理函數來(lái)說(shuō)，怎么尋找它的分支點(diǎn)呢？還是拿被套作例子。當被套有皺褶時(shí)，皺褶的部分實(shí)際上是三層被套覆蓋同一點(diǎn)，但同樣應該屬于皺褶一部分的分支點(diǎn)上，卻只有一層被套。也就是說(shuō)，分支點(diǎn)覆蓋的層數比正常的要少一些。如此類(lèi)推，對于函數f(x)f(x)引出的球面覆蓋來(lái)說(shuō)，假設它的覆蓋次數是dd，那么說(shuō)某個(gè)點(diǎn)aa是分支點(diǎn)，就相當于說(shuō)f(x)=af(x)=a這個(gè)方程的解值少于dd個(gè)，因為這個(gè)方程的每一個(gè)解其實(shí)都是“被套”上覆蓋aa的一點(diǎn)。換句話(huà)說(shuō)，aa是分支點(diǎn)當且僅當f(x)=af(x)=a有重根。
舉個(gè)實(shí)際的例子。我們考慮函數
f(x)=?(x?1)3(x?9)64xf(x)=?(x?1)3(x?9)64x
顯然方程f(x)=0f(x)=0有三次重根x=1x=1，所以0是它的一個(gè)分支點(diǎn)；而稍微令人意想不到的是，如果我們將它減去1，就會(huì )得到
f(x)?1=?(x2?6x?3)264xf(x)?1=?(x2?6x?3)264x
可以看出來(lái)，方程f(x)?1=0f(x)?1=0有兩個(gè)二次重根，分別是二次方程x2?6x?3x2?6x?3的兩個(gè)解，所以1也是一個(gè)分支點(diǎn)。最后還有一個(gè)分支點(diǎn)比較難想像，那就是無(wú)窮遠點(diǎn)，因為當xx趨向無(wú)窮或者0時(shí)，f(x)f(x)也趨向于無(wú)窮，所以無(wú)窮遠點(diǎn)也是一個(gè)分支點(diǎn)?？梢宰C明，這個(gè)函數再也沒(méi)有別的分支點(diǎn)了。
最簡(jiǎn)單的球面覆蓋，一個(gè)分支點(diǎn)都沒(méi)有，就是最標準的把內芯塞進(jìn)被套里的方法。球面到自身的恒等映射f(x)=xf(x)=x就是這樣的一個(gè)例子?？梢宰C明，不存在只有一個(gè)分支點(diǎn)的球面覆蓋，也就是說(shuō)，接下來(lái)第二簡(jiǎn)單的情況就是擁有兩個(gè)分支點(diǎn)的球面覆蓋?？梢宰C明，所有擁有兩個(gè)分支點(diǎn)的球面覆蓋，都可以利用適當的變換來(lái)“拉扯”變形到f(x)f(x)是多項式的情況。
數學(xué)家們接下來(lái)要研究的，自然就是擁有三個(gè)分支點(diǎn)的球面覆蓋。利用有名的莫比烏斯變換
z?az+bcz+d,z?az+bcz+d,
我們可以將三個(gè)分支點(diǎn)分別移動(dòng)到0、1和無(wú)窮遠點(diǎn)（∞），而莫比烏斯變換不會(huì )改變球面覆蓋的本質(zhì)。所以說(shuō)，我們只需要研究分支點(diǎn)分別在0、1和∞的球面覆蓋，而能產(chǎn)生這樣的球面覆蓋的函數又叫別雷函數（Belyi function，正確地說(shuō)是球面上的特殊情況），它的名字來(lái)源于20世紀的俄羅斯數學(xué)家別雷（G. V. Belyi）。但實(shí)際上，別雷并不是第一個(gè)研究別雷函數的人。早在19世紀末，大數學(xué)家菲利克斯·克萊因（Felix Klein）就已經(jīng)利用別雷函數構造過(guò)一些特殊的球面覆蓋（更精確地說(shuō)，是單值群為有限單群PSL(2,11)的球面覆蓋，它是一個(gè)11次覆蓋）。
節選自《M?bius Transformations Revealed》，原作者為Douglas Arnold和Jonathan Rogness，完整版本可在
視頻頁(yè)面找到。
但球面覆蓋畢竟太抽象，即使是數學(xué)家，不借助適當的工具也難以“腦補”某個(gè)具體函數引出的覆蓋，而對于一般人來(lái)說(shuō)，光是球面可以穿過(guò)自身這一點(diǎn)就足夠喝一壺的了，更不要說(shuō)想像那些“折痕”都集中在幾個(gè)分支點(diǎn)上的高次覆蓋。要研究這些球面覆蓋，似乎是難于登天。
但數學(xué)家卻說(shuō)，三個(gè)分支點(diǎn)的球面覆蓋，其實(shí)簡(jiǎn)單得連小朋友都能畫(huà)出來(lái)。
小朋友的涂鴉
要討論別雷函數，就要對球面覆蓋和復分析有些更深入的了解。接下來(lái)的內容可能有一點(diǎn)抽象，如果實(shí)在不適應，可以跳過(guò)，直接看本節最后的結論。
我們要研究的，是分支點(diǎn)分別在0、1和∞的球面覆蓋，或者說(shuō)某個(gè)別雷函數f(x)f(x)。既然球面覆蓋的所有玄妙之處都蘊藏在分支點(diǎn)里，那么肯定要抓住這些分支點(diǎn)來(lái)研究。我們之前考慮過(guò)一個(gè)例子：
f(x)=?(x?1)3(x?9)64xf(x)=?(x?1)3(x?9)64x
它是一個(gè)別雷函數，對應著(zhù)一個(gè)球面覆蓋。用一點(diǎn)點(diǎn)復分析的知識（代數基本定理），容易知道除去一些特殊情況外，對于任意的常數aa，f(x)=af(x)=a都有4個(gè)解。也就是說(shuō)，這個(gè)別雷函數對應著(zhù)一個(gè)次數為4的球面覆蓋。我們再來(lái)看看這個(gè)函數的分支點(diǎn)。它在f(x)=0f(x)=0處有一個(gè)分支點(diǎn)，因為x=1x=1是這個(gè)方程的三重根，但它還有另一個(gè)根x=9x=9，也就是說(shuō)，0這個(gè)分支點(diǎn)實(shí)際上對應兩個(gè)不同的點(diǎn)：三重根x=1x=1和單根x=9x=9。同理，1這個(gè)分支點(diǎn)同樣對應兩個(gè)不同的點(diǎn)，兩個(gè)都是雙重根。我們能看到，兩個(gè)分支點(diǎn)的分支方式不同，但既然它們從屬于同一個(gè)球面覆蓋，那么之間必然有某種聯(lián)系。怎么樣才能考察它們之間的聯(lián)系呢？
辦法很簡(jiǎn)單：直接把兩個(gè)點(diǎn)連起來(lái)就好了。也就是說(shuō)，我們希望觀(guān)察這兩個(gè)分支點(diǎn)的每一層覆蓋分支之間是如何連接起來(lái)的。
更具體地說(shuō)，因為球面覆蓋就是一個(gè)球面覆蓋著(zhù)另一個(gè)球面，只要在被覆蓋的球面上連結0和1兩個(gè)點(diǎn)，在得到的線(xiàn)段上涂上極濃重的顏料，等到顏料滲透到覆蓋的每一層之后，再將覆蓋展開(kāi)，得到的就是球面上的一幅圖。用術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是研究f?1([0,1])f?1([0,1])。那么，我們得到的圖像會(huì )是怎么樣的呢？還是用剛才的函數來(lái)舉例，我們得到的圖像如下：
由方弦使用Maple制作
在上圖中，黑點(diǎn)代表0對應的點(diǎn)x=1x=1和x=9x=9，而白點(diǎn)代表1對應的點(diǎn)x=3+23–√x=3+23和x=3?23–√x=3?23。因為這個(gè)球面覆蓋的次數是4，所以線(xiàn)段[0,1]上的點(diǎn)實(shí)際上被覆蓋了四次，也就是說(shuō)，當覆蓋展開(kāi)之后，我們將會(huì )看到四段曲線(xiàn)（四條邊），它們連接著(zhù)0對應的兩個(gè)點(diǎn)x=1x=1和x=9x=9，還有1對應的兩個(gè)點(diǎn)x=3+23–√x=3+23和x=3?23–√x=3?23。三重根x=1x=1上連著(zhù)三條邊，單根x=9x=9只有一條，而兩個(gè)雙重根x=3+23–√x=3+23和x=3?23–√x=3?23各自連接兩條邊。函數在x=0x=0和x=∞x=∞兩個(gè)點(diǎn)上發(fā)散，而這個(gè)圖恰好又有兩個(gè)面，外部的面對應x=∞x=∞，而內部的面對應x=0x=0，而這些面的度數（也就是邊界的長(cháng)度）與函數在對應點(diǎn)上發(fā)散的度數相關(guān)。也就是說(shuō)，單單從這幅圖像里，我們就能讀出函數本身的許多代數性質(zhì)。如果把頂點(diǎn)連接的邊的數目稱(chēng)為頂點(diǎn)的度數的話(huà)，圖像性質(zhì)與代數性質(zhì)的對應可以歸納成下面的列表：
別雷函數平面二部地圖
覆蓋的次數邊的條數
0處的分支點(diǎn)黑色頂點(diǎn)
1處的分支點(diǎn)白色頂點(diǎn)
∞處的分支點(diǎn)面
0處和1處分支點(diǎn)的重數頂點(diǎn)的度數
∞處分支點(diǎn)的重數面的度數的一半
實(shí)際上，對于所有的別雷函數，展開(kāi)對應的球面覆蓋后，線(xiàn)段[0,1]的圖像總是包含著(zhù)我們想要的很多代數性質(zhì)：邊的數目對應著(zhù)覆蓋的次數，黑點(diǎn)對應著(zhù)f(x)=0f(x)=0的分支，白點(diǎn)對應著(zhù)f(x)=1f(x)=1的分支，面對應著(zhù)無(wú)窮大的分支，而每一個(gè)點(diǎn)和每一個(gè)面連接多少條邊，都對應著(zhù)球面覆蓋在對應的分支上“折疊”起來(lái)的方法。
那么，別雷函數對應的這些圖像，到底又是什么呢？
我們先忽略那些點(diǎn)和線(xiàn)的具體位置和形狀，而只關(guān)注它們是如何在球面上連結起來(lái)的。用數學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是先忽略它們的幾何性質(zhì)，而專(zhuān)注于它們的組合性質(zhì)。首先，因為每條邊實(shí)際上都來(lái)自線(xiàn)段[0,1]，所以它們連結的必定是一個(gè)對應著(zhù)f(x)=0f(x)=0的黑點(diǎn)和一個(gè)對應著(zhù)f(x)=1f(x)=1的白點(diǎn)。也就是說(shuō)，別雷函數對應的圖像，實(shí)際上可以抽象成一個(gè)二部圖，這類(lèi)圖的頂點(diǎn)，一黑一白，而每條邊的兩端恰好是一黑一白兩個(gè)頂點(diǎn)。但這些圖像跟一般所說(shuō)的二部圖不完全一樣。在數學(xué)中，一個(gè)圖就是一堆頂點(diǎn)加上連結頂點(diǎn)的一些邊，但連結同一個(gè)頂點(diǎn)的邊之間并沒(méi)有什么特別的關(guān)系。但別雷函數對應的圖像實(shí)際上是一個(gè)畫(huà)在了球面上的圖，所以連結同一個(gè)頂點(diǎn)的邊會(huì )在圍繞在頂點(diǎn)周?chē)?，這就給它們賦予了順序關(guān)系。這樣畫(huà)在了球面（或者別的封閉曲面）上的圖，又叫組合地圖。而別雷函數對應的圖像，正式的名稱(chēng)是平面上的二部地圖。在這里，組合地圖即使畫(huà)歪了一點(diǎn)，只要保持頂點(diǎn)、邊以及邊之間的關(guān)系，還算是同一個(gè)地圖。
一個(gè)虧格為1的二部地圖，由方弦制作
現在我們知道，每個(gè)別雷函數都對應著(zhù)一個(gè)平面上的二部地圖，那么是不是所有這樣的地圖都對應著(zhù)一個(gè)別雷函數呢？事實(shí)上，利用一些復分析方面的知識，可以證明別雷函數與球面上的二部地圖有著(zhù)一一對應的關(guān)系。不僅如此，我們還能把這些別雷函數限定為系數是代數數的分式（代數數就是整系數多項式方程的解）。這實(shí)際上就是別雷的貢獻：他在1979年證明了，對于一大類(lèi)重要函數（所謂的“光滑代數曲線(xiàn)”），它們（的適當的等價(jià)類(lèi)）與別雷函數引出的球面覆蓋有著(zhù)一一對應的關(guān)系。這些“光滑代數曲線(xiàn)”可以粗略理解為分支點(diǎn)只有0、1和∞，系數是代數數的分式。也就是說(shuō)，如果我們要找分支點(diǎn)滿(mǎn)足某些條件的分式，只需要看看根據這些條件能不能在平面上畫(huà)出一個(gè)二部地圖就可以了。
總結一下：三個(gè)分支點(diǎn)的球面覆蓋，等價(jià)于所謂的“平面上的二部地圖”，在這個(gè)地圖上有黑色和白色兩種頂點(diǎn)，而每條邊都連接一黑一白兩個(gè)頂點(diǎn)，從而把所有頂點(diǎn)連成一片。而球面覆蓋的許多性質(zhì)，都能反映在地圖上的頂點(diǎn)、邊和面上。別雷證明了，“光滑代數曲線(xiàn)”（大概就是某一類(lèi)系數是代數數的分式）與三個(gè)分支點(diǎn)的球面覆蓋有著(zhù)一一對應的關(guān)系。所以，要尋找分支點(diǎn)滿(mǎn)足某些條件的分式，只需要看看能不能畫(huà)出滿(mǎn)足對應條件的二部地圖。而任意一個(gè)二部地圖，哪怕是小朋友的涂鴉作品，也必然存在對應的分式，它的球面覆蓋展開(kāi)之后就是這個(gè)二部地圖。
涂鴉的例子，作者為L(cháng)aurent Bartholdi
說(shuō)了半天，云里霧里的，這又有什么意義？
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