方弦 發(fā)表于 2016-10-20 03:22
從8和9說(shuō)起
看到題目，你也許會(huì )問(wèn)：8和9，兩個(gè)普通的數字，又有什么可說(shuō)的呢？但在數學(xué)家眼中，這兩個(gè)數字可不尋常：9比8大1，8是一個(gè)立方數，它是2的立方，而9是一個(gè)平方數，它是3的平方。8和9，就是一個(gè)立方數緊緊挨著(zhù)平方數的例子。那么，數學(xué)家自然會(huì )問(wèn)：還有沒(méi)有別的立方數，它緊緊挨著(zhù)一個(gè)平方數呢？
或者用數學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，x2?y3=1x2?y3=1這個(gè)方程，除了x=3,y=2x=3,y=2外，還有別的正整數解嗎？
我們先在直覺(jué)上探索一下，平方數和立方數，當它們越變越大的時(shí)候，在所有正整數當中也會(huì )越來(lái)越稀疏。就像兩個(gè)越來(lái)越不喜歡出外的人，即使是鄰居，也許一開(kāi)始會(huì )打個(gè)照面，但之后出門(mén)的次數越來(lái)越少，也就越來(lái)越不可能碰上面。數學(xué)家們甚至猜測，即使不限定于平方數和立方數，就算是任意大于1的次方數，它們“碰面”也只有8和9這一回。用嚴謹的數學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是方程xa?yb=1xa?yb=1，在aa和bb大于1的條件下，只有一組解，就是x=3,a=2,y=2,b=3x=3,a=2,y=2,b=3。這又被稱(chēng)為卡特蘭猜想（Catalan's conjecture）。
直覺(jué)上，卡特蘭猜想應該是對的，但直覺(jué)畢竟是直覺(jué)，它不是數學(xué)證明。雖然平方數和立方數它們越來(lái)越稀疏，但是正整數有無(wú)限多個(gè)，它們有無(wú)數次碰面的機會(huì )，誰(shuí)知道它們會(huì )不會(huì )在通向無(wú)限地平線(xiàn)的路途中就抓住了又一次機會(huì )呢？所以，我們需要數學(xué)證明，只有數學(xué)證明，才能從邏輯上根本地否決這種可能性。
我們來(lái)看看數學(xué)家是怎么思考的。
數學(xué)家們想要的是一個(gè)數學(xué)證明。我們重新考慮方程xa?yb=1xa?yb=1。在這個(gè)方程里什么東西最麻煩呢？減法很簡(jiǎn)單，等于號很簡(jiǎn)單，剩下的就是乘冪操作了。那么，有什么辦法能去掉乘冪這個(gè)麻煩事呢？這個(gè)辦法就是對數，大家在中學(xué)都學(xué)過(guò)。對數能將乘冪轉化為更簡(jiǎn)單的乘法：ln(xa)=aln(x)ln?(xa)=aln?(x))。我們先將方程改寫(xiě)成xa=yb+1xa=yb+1，然后兩邊取對數，就得到了aln(x)=ln(yb+1)aln?(x)=ln?(yb+1)。
現在，方程里最麻煩的又是什么呢？就是對數里邊的加法，因為對數和乘法很友好，但跟加法實(shí)在談不來(lái)，ln(x+y)ln?(x+y)并沒(méi)有一個(gè)好的表達式。有什么方法可以繞過(guò)去呢？我們想到，ybyb是一個(gè)次方數，它可以非常大，要多大有多大，而相比之下，加上去的這個(gè)1非常小非常小，小得幾乎可以忽略不計。而對數函數增長(cháng)得又非常慢非常慢，ln(20)大概是3，ln(400)大概是6，要想對數值增加3，原來(lái)的數要增加20倍，要等到10131013，也就是萬(wàn)億，對數值才達到30。而對于一萬(wàn)億來(lái)說(shuō)，這個(gè)小小的1實(shí)在是零頭中的零頭。
對數函數的圖像
但數學(xué)是嚴謹的，雖然這個(gè)1很小，帶來(lái)的影響更小，但我們不能直接說(shuō)可以把1去掉。但這難不倒數學(xué)家：既然不是直接相等，劃個(gè)界限總可以吧？用一點(diǎn)簡(jiǎn)單的高等數學(xué)，我們可以得到如下的不等式：
bln(y)<ln(yb+1)<bln(y)+y?bbln?(y)<ln?(yb+1)<bln?(y)+y?b
也就是說(shuō)，去掉1和不去掉1，對于對數值的影響只有y?by?b，也就是ybyb的倒數。因為ybyb可以非常大，它的倒數也就非常小。如果它增長(cháng)十倍，它的倒數就會(huì )變成原來(lái)的十分之一。我們剛才說(shuō)到，ybyb要達到萬(wàn)億，它的對數值達到30，這時(shí)候它的倒數，也就是加1造成的誤差，只有萬(wàn)億分之一。這是個(gè)什么概念呢？相當于在測量地球到太陽(yáng)的距離時(shí)，不小心多加了根頭發(fā)絲。在現實(shí)世界中，即使多么嚴謹的測量，這種程度的誤差可能也就放過(guò)去了。但在數學(xué)中，無(wú)論多小的誤差，不應該舍棄的時(shí)候就不能舍棄。
將這個(gè)誤差的結論代入原來(lái)的方程，我們得到：
|aln(x)?bln(y)|<y?b|aln?(x)?bln?(y)|<y?b
也就是說(shuō)，我們要尋找兩個(gè)正整數，它們的對數值的某個(gè)倍數非常接近。這就需要對正整數的對數進(jìn)行深入的研究。在1966年到1967年，數學(xué)家阿蘭·貝克（Alan Baker）寫(xiě)出了一系列的文章，其中給出了正整數乃至所謂“代數數”（也就是多項式方程的解），它們的對數的倍數之間距離的一個(gè)下界。也就是說(shuō)，上面的不等式左邊其實(shí)不會(huì )太小，它會(huì )大于某一個(gè)關(guān)于a,b,x,ya,b,x,y的函數，可以寫(xiě)成：
C(x,y,a,b)<|aln(x)?bln(y)|C(x,y,a,b)<|aln?(x)?bln?(y)|
那么，如果我們能證明對于絕大部分的x,y,a,bx,y,a,b都有C(x,y,a,b)>y?bC(x,y,a,b)>y?b，那么兩個(gè)不等式就會(huì )產(chǎn)生矛盾，方程也就不可能有整數解，這不就解決了卡塔蘭猜想了嗎？
Alan Baker
當然，實(shí)際上這種簡(jiǎn)單粗暴的方法并不能解決問(wèn)題。C(x,y,a,b)C(x,y,a,b)這個(gè)函數，雖然可以明確計算出來(lái)，然而得出的函數太小，不足以解決問(wèn)題。但引出矛盾的方法不只一種。為了證明這類(lèi)型的結論，貝克發(fā)明了一種方法，可以在不同的角度上引出矛盾。而另一位數學(xué)家Tijdeman利用貝克的方法，找到了一個(gè)巧妙的角度，證明了當aa和bb足夠大的時(shí)候，方程必定沒(méi)有解。而此前人們已經(jīng)證明了，當aa和bb固定的時(shí)候，關(guān)于xx和yy的方程最多只有有限個(gè)解，而且給出了這些解的一個(gè)上界。結合兩個(gè)結果，數學(xué)家們證明了，整個(gè)關(guān)于a,b,x,ya,b,x,y的方程最多只有有限個(gè)解?，F在在波爾多大學(xué)的數學(xué)家米歇爾·朗之萬(wàn)（Michel Langevin）計算出了一個(gè)明確的上界：
eeee730.eeee730.
也就是說(shuō)，只要檢查比這個(gè)數小的所有正整數，如果沒(méi)有找到別的解，那么就說(shuō)明8和9是唯一一對靠在一起的次方數。但這個(gè)任務(wù)看起來(lái)容易，做起來(lái)卻是無(wú)計可施。eeee730eeee730有多大？在現實(shí)中，能與其相比的數字根本不存在，即使是1后面添上宇宙里所有的原子當作0，這樣得到的無(wú)量大數，還是連零頭的零頭都趕不上。對于這么大的數字，表達它都有困難，更何況檢查！
數目遠超銀河中原子個(gè)數，圖片來(lái)自Wikipedia
你可能覺(jué)得，這樣找正整數的對數之間的關(guān)系，又有什么用呢？好不容易得出一個(gè)結果，卻只是“原則上可以驗證”，根本不能實(shí)際計算，這種方法又有什么用？但不要忘記，方法之所以是方法，就是因為它能應用到許多問(wèn)題上。貝克的這套方法，可以應用到所謂的“丟番圖方程”，也就是系數和解都是正整數的方程。大家耳熟能詳的費馬大定理，可能大家不太熟悉的完美長(cháng)方體問(wèn)題，都是懸而未決的丟番圖方程。而對這類(lèi)方程的研究，涉及數論的方方面面。貝克的方法給丟番圖方程地研究帶來(lái)了全新的工具，他也因此獲得了1970年的菲爾茲獎，那時(shí)離他發(fā)表相關(guān)論文還不到四年。
但卡特蘭猜想仍然懸而未決。要等到2002年，羅馬尼亞的數學(xué)家Preda Mih?ilescu才最終證明了卡特蘭猜想。他的方法大量用到了分圓域與伽羅華模的知識，這些都是代數數論中的艱深概念，哪怕是稍稍涉獵，恐怕也需要本文十倍以上的篇幅才能講個(gè)大概。但無(wú)論如何，我們現在終于可以確定，8和9在自然數中的確是絕無(wú)僅有的一對，在無(wú)限的可能中，唯一一對能緊靠在一起的次方數。
卡特蘭猜想還有別的變體，比如說(shuō)人們猜想，對于任意的正整數k，間距為k的次方數對只有有限個(gè)。對這些變體的探索也非常引人入勝。
但這不是這篇文章的主題。
從整數到多項式
我們在中學(xué)里就學(xué)過(guò)多項式。對于一個(gè)變量x，我們取它的一些次方xa,xbxa,xb等等，乘上系數，然后加起來(lái)，就得到了一個(gè)多項式，比如說(shuō)x7+6x3+4x7+6x3+4，就是一個(gè)關(guān)于xx的多項式。在這里，我們考慮那些系數都是復數的多項式，也就是復系數多項式。
數學(xué)家們很早就發(fā)現，這些多項式與正整數有一種神奇的相似性：可以做加法、減法、乘法，也可以分解因數，可以求最大公約數和最小公倍數，同樣有著(zhù)唯一分解定理：正整數可以唯一分解成素數的乘積，而多項式也能唯一分解成所謂“不可約多項式”的乘積?；旧?，在數論中對正整數性質(zhì)的研究，很多都可以直接搬到多項式上來(lái)。于是，遇上有關(guān)正整數的問(wèn)題，把它遷移到多項式之中，未嘗不是一個(gè)提出問(wèn)題的好辦法。自然，因為多項式本來(lái)結構就比較復雜，相關(guān)的問(wèn)題也更難解決，但這不妨礙數學(xué)家的步伐，畢竟他們要攻克的就是難題。
注：更準確地說(shuō)，因為正整數和多項式都組成了所謂的“歐幾里德整環(huán)”（Eucliean domain），所以它們共享非常多的數論性質(zhì)，比如說(shuō)，它們都是所謂的“主理想整環(huán)”，它們的所有理想都是主理想，也就是某個(gè)元素的倍數組成的理想。此處插播一則笑話(huà)：為什么QQ只有QQ群？因為QQ沒(méi)有理想……
在1965年，Birch、Chowla、Hall和Schinzel問(wèn)了一個(gè)問(wèn)題：如果有兩個(gè)多項式PP和QQ，它們是互質(zhì)的，那么PP的平方和QQ的立方之間的差距，也就是說(shuō)P2?Q3P2?Q3，可以有多??？這個(gè)問(wèn)題很顯然是卡塔蘭猜想的延伸?？ㄋm猜想最原始的版本問(wèn)的是，除了8和9以外，平方數和立方數的距離能不能達到1。而B(niǎo)irch等人現在問(wèn)的是，多項式平方和立方的距離最小能達到多少？
當然，要回答這個(gè)問(wèn)題，首先要想辦法衡量多項式的大小。對于不同的多項式P(x)P(x)，當xx趨向于正無(wú)窮時(shí)，P(x)P(x)趨向無(wú)窮的速度各有千秋，而決定這個(gè)速度的主要因素，就是多項式的次數，也就是多項式中xx的最高次方是多少。所以，我們選擇多項式的次數作為衡量多項式大小的標尺?，F在，我們可以用更嚴謹的方式敘述那四位數學(xué)家的問(wèn)題：
對于某個(gè)正整數kk，假設有兩個(gè)互質(zhì)的多項式P,QP,Q，其中PP的次數是3k3k，QQ的次數是2k2k。那么，多項式R=P2?Q3R=P2?Q3的次數最小可以有多??？
我們能看出來(lái)，在這個(gè)問(wèn)題中PP和QQ的次數不是隨便選取的。如果PP的平方和QQ的立方次數不一樣的話(huà)，那么RR就跟P,QP,Q一樣大。只有上面的選擇方法，才能至少使兩者的最高次項互相抵消，使問(wèn)題變得不那么無(wú)聊。另外，對于任何一個(gè)例子，我們只要將所有多項式都乘上一個(gè)合適的常數，就能得到另一個(gè)本質(zhì)上相同的例子。所以，我們只考慮本質(zhì)上不同的那些例子。
在論文中，四位數學(xué)家給出了一個(gè)k=5k=5的例子：
P=127t15+13t12+43t9+83t6+52t3+12P=127t15+13t12+43t9+83t6+52t3+12
Q=19t10+23t7+53t4+43tQ=19t10+23t7+53t4+43t
R=136t6+754t3+4R=136t6+754t3+4
在這個(gè)例子里，P,Q,RP,Q,R的次數分別是15、10和6。雖然P2P2和Q3Q3的次數都是30，但是它們湊巧在前24項的系數都相同，而它們的差僅僅只是一個(gè)六次多項式，真是一個(gè)難得的巧合。但數學(xué)家總是有些貪心，面對這個(gè)例子，他們想的是：能不能把RR的次數再壓低一點(diǎn)？能不能找到差距更小的平方多項式和立方多項式？這個(gè)想法非常自然，但在反反復復的嘗試中，似乎找不到次數更低的例子了。于是，這四位數學(xué)家就猜想：這個(gè)例子是不是已經(jīng)無(wú)法改進(jìn)了呢？他們提出了這樣的猜想：
對于兩個(gè)互質(zhì)的多項式P,QP,Q，假設其中PP的次數是3k3k，QQ的次數是2k2k。那么，多項式R=P2?Q3R=P2?Q3的次數至少也有k+1k+1，而且總能找到使RR的次數恰好是k+1k+1的例子，也就是說(shuō)這個(gè)下界是緊的。
在剛才的例子中k=5k=5，而RR的次數恰好就是5+1=6，符合猜想。數學(xué)家們想尋找更多的這樣達到最小差距的例子，嘗試在其中尋找規律。但出人意料的是，k=5k=5的第二個(gè)例子，要到35年之后的2000年，才被Elkies發(fā)現，而且這個(gè)例子的復雜度遠遠超出了預期。在上面的例子中，我們看到的系數都是相對簡(jiǎn)單的分數。而現在，請看Elkies的這個(gè)例子：
P=x15?3x14+51x13?67x12+969x11+33x10+10963x9+9729x8P=x15?3x14+51x13?67x12+969x11+33x10+10963x9+9729x8
+96507x7+108631x6+580785x5+700503x4+2102099x3+96507x7+108631x6+580785x5+700503x4+2102099x3
+1877667x2+3904161x+1164691+1877667x2+3904161x+1164691
Q=x10?2x9+33x8?12x7+378x6+336x5Q=x10?2x9+33x8?12x7+378x6+336x5
+2862x4+2652x3+14397x2+9922x+18553+2862x4+2652x3+14397x2+9922x+18553
R=?26315(5x6?6x5+111x4+64x3+795x2+1254x+5477)R=?26315(5x6?6x5+111x4+64x3+795x2+1254x+5477)
在這個(gè)新例子中，多項式的系數大大膨脹了，這就解釋了為什么尋找第二個(gè)例子花了這么長(cháng)的時(shí)間。我們也能從另一個(gè)側面窺見(jiàn)這個(gè)問(wèn)題的難度。比方說(shuō)，我們希望用待定系數法尋找例子：先將多項式P,QP,Q的系數都設為未知數（最高次的系數設為1），然后計算RR的所有系數，它們都是之前未知數的多項式。在k=5k=5的情況下，我們要求RR從x29x29到x7x7的這23個(gè)系數都是0，這樣就得到了23個(gè)方程。將它們聯(lián)立起來(lái)，就得到了一個(gè)關(guān)于25個(gè)變量的23個(gè)方程組成的高次方程組，理論上只需要解出這個(gè)方程組，就能得到所有的例子。但問(wèn)題是，這個(gè)方程組的總次數是6198727824，大約是六十億！這樣的方程，不要說(shuō)是人腦，就是計算機也幾乎無(wú)法解開(kāi)。但至少，我們知道這些系數都是所謂的“代數數”，也就是代數方程的解。這樣龐大而困難的問(wèn)題，難免令人望而卻步。尋找新的例子已經(jīng)如此困難，更不要說(shuō)窮盡所有例子了。
但有一幫數學(xué)家，光是看了看問(wèn)題，在餐巾紙上隨手涂鴉了一下，就拍著(zhù)胸脯宣稱(chēng)：k=5k=5的情況一共就只有4個(gè)例子，還有兩個(gè)就繼續找吧；不光這樣，對于任意kk的情況，我們都能證明你們的猜想是對的，而且還能幫你們計算所有本質(zhì)上不一樣的例子一共有多少個(gè)。
這是什么魔法？
