數學(xué)是科學(xué)之首。一切科學(xué)，如果缺乏數學(xué)的參與，都將不成其為科學(xué)。然而一切科學(xué)，包括數學(xué)，均產(chǎn)生于人類(lèi)大腦的思維，而人類(lèi)思維的奧秘，又均經(jīng)過(guò)語(yǔ)言，最終直達邏輯，所以，事實(shí)上，數學(xué)與邏輯，天然地具有著(zhù)內在最深邃的淵源。
歷史上的數學(xué)，經(jīng)過(guò)近代數學(xué)史家的總結認為，至少曾發(fā)生過(guò)三次最大的危機，每一次危機都可能給數學(xué)的發(fā)展帶來(lái)巨大的推進(jìn)，但有時(shí)也可能帶來(lái)巨大的困境。例如公元前發(fā)生的第一次數學(xué)危機，由于無(wú)理數的發(fā)現，導致了不可通約性（整數）的危機，這次危機大大推進(jìn)了古典邏輯和歐幾里得幾何學(xué)的發(fā)生和發(fā)展；十七世紀發(fā)生的第二次數學(xué)危機是實(shí)數的危機，由于負數的開(kāi)方形成了虛數的不可直觀(guān)性，又由于連續與離散的矛盾性帶來(lái)了無(wú)窮大和無(wú)窮小等問(wèn)題的不可直觀(guān)性，等等，這次危機大大推進(jìn)了數學(xué)分析，例如微分方程論、函數論，乃至集合論等等的巨大發(fā)展。第三次數學(xué)危機是涉及整個(gè)數學(xué)基礎的危機，發(fā)生于十九世紀末和二十世紀初，關(guān)于這次的危機，有一本著(zhù)名的書(shū)專(zhuān)門(mén)加以論述，即M．克萊因的《數學(xué)：確定性的喪失》（湖南科學(xué)技術(shù)出版社，第一推動(dòng)叢書(shū)，2000年版）。
十九世紀末是人類(lèi)近代數學(xué)思想發(fā)展最活躍的時(shí)期，種種不同的數學(xué)思想流派互相競爭，紛紛對數學(xué)的精確性、嚴密性的基礎進(jìn)行不同方面的延拓和加固。人們雄心勃勃，都想以自己的方式一統全人類(lèi)數學(xué)的江山。例如，以弗雷格、羅素為代表的邏輯主義學(xué)派，以布勞威爾、魏爾為代表的直覺(jué)主義學(xué)派、以希爾伯特為代表的形式主義學(xué)派、以龐加萊為代表的約定主義學(xué)派，以及以康托的集合論為基礎的集合論公理化學(xué)派，等等。然而，所有這些學(xué)派的統一全部數學(xué)系統的雄心壯志，全都在第三次數學(xué)危機的襲擊中化為了泡影。
第三次的數學(xué)危機導源于數理邏輯學(xué)與集合論中一系列悖論的發(fā)生，最早引起震動(dòng)的是由羅素提出的悖論。其實(shí)，這種悖論在過(guò)去早就存在，只不過(guò)人們并不把它們看得那么嚴重罷了，而羅素悖論的出現則不然，它使不少的數學(xué)家簡(jiǎn)直感到了數學(xué)基礎的“天塌地陷”。例如著(zhù)名的數理邏輯學(xué)家弗雷格，在他得知羅素悖論的消息之后，在他剛出版的《算術(shù)的基本法則》第二卷的跋中寫(xiě)道：“一位科學(xué)家不會(huì )碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎卻垮掉了。這本書(shū)等待付印的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于了這種境地?！迸c此幾乎同時(shí)，另一位著(zhù)名的數學(xué)家戴德金，也把準備付印的《連續性及無(wú)理數》一書(shū)的第三版抽了回來(lái)，他同樣也感到了羅素悖論對整個(gè)數學(xué)基礎的沖擊。第三次數學(xué)的危機發(fā)生了深遠的影響，可以說(shuō)直到今天，它的陰云仍舊籠罩在人類(lèi)數學(xué)思維領(lǐng)域，甚至全部人類(lèi)科學(xué)思維領(lǐng)域的上空。
關(guān)于悖論的產(chǎn)生，人們歸納出了很多方面的原因。羅素認為關(guān)鍵在發(fā)生了無(wú)限“惡性的循環(huán)”，龐加萊認為關(guān)鍵在概念的定義中運用了“非直斷性的語(yǔ)句”，魏爾則認為，困難的根源在于無(wú)窮集合和無(wú)限程序中所用到的無(wú)窮概念，魏爾甚至因此而認為，數學(xué)本來(lái)就是關(guān)于無(wú)限的科學(xué)，等等。
我認為，所有上述關(guān)于產(chǎn)生悖論的原因的回答，均沒(méi)有說(shuō)到問(wèn)題的關(guān)鍵，或要害，真正問(wèn)題的關(guān)鍵，或要害在于，迄今為止，人類(lèi)的數學(xué)語(yǔ)言，甚至人類(lèi)所有的自然語(yǔ)言，全都是基于二元性的邏輯的語(yǔ)言。這種基本邏輯的二元性，才是產(chǎn)生一切所謂悖論的根本原因。正是因此，邏輯主義學(xué)派僅僅基于二元論邏輯就想統一全部的數學(xué)，這是顯然的夢(mèng)想，所以在這場(chǎng)危機中，邏輯主義者失敗得最慘，形式主義者也好不到哪里去，惟一可以有一點(diǎn)自我安慰的是直覺(jué)主義者，但他們的語(yǔ)言，其實(shí)也同樣深深地扎根于二元論邏輯的土壤之中，如果認識不到這一點(diǎn)，他們也照樣難有大的數學(xué)進(jìn)展。真正想要擺脫這次危機陰云的籠罩，惟一的路，只能是徹底打破對二元論邏輯的依賴(lài)，尤其是必須徹底地拋棄排中律對于人類(lèi)思維的禁錮。我的主張是，用三全律，或索性用老子的“三生萬(wàn)物”律取代排中律，這是后話(huà)，以后再論。
1931年哥德?tīng)柼岢隽岁P(guān)于幾乎全部數學(xué)系統的不完全性定理的證明，可以說(shuō)，他基本上對第三次數學(xué)危機作出了最好的總結。實(shí)際上，這種總結不僅可以針對全部的數學(xué)，也同樣可以針對人類(lèi)全部的語(yǔ)言。這是因為，它們全都共同基礎于二元論的邏輯系統。說(shuō)白了，只要我們繼續堅持二元論的邏輯，我們的數學(xué)，同樣也包括我們的語(yǔ)言，就必然會(huì )存在它們系統內在的某些不可判定性的問(wèn)題。換言之，就是必然會(huì )存在某些發(fā)生悖論的問(wèn)題，即：既真又假，既是又非。顯然，這是對人類(lèi)迄今為止一直奉為圭臬的形式邏輯中的排中律的最直接的否定，也正是因此，克萊因稱(chēng)其書(shū)名為：《數學(xué)，確定性的喪失》。
隨著(zhù)第三次數學(xué)危機的發(fā)生，人們對于數學(xué)基礎的嚴密性的重視達到了幾乎無(wú)以復加的程度，但由于二元論邏輯的依然故我，數學(xué)發(fā)展的速度大大降低，同時(shí)，數學(xué)思想深化的進(jìn)度也同樣大大趨緩。人類(lèi)數學(xué)的發(fā)展事實(shí)上已經(jīng)進(jìn)入了全面停滯發(fā)展的膠著(zhù)狀態(tài)，甚至直到今天，也依然是如此。請問(wèn)今天的世界，尚有誰(shuí)，可以稱(chēng)之為真正偉大的數學(xué)思想家呢？這樣的大思想家今天有嗎？
另一方面，由于數理邏輯學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，以及基于二元論邏輯運算的電子計算機的突飛猛進(jìn)，電腦運算的非常高速化的技術(shù)，大大彌補了，同時(shí)也大大掩蓋了人類(lèi)大腦數學(xué)思維的學(xué)術(shù)深度發(fā)展的不足。到了21世紀的今天，電子、激光等等的數字化技術(shù)全面開(kāi)花結果，這種“科學(xué)技術(shù)”大大發(fā)展和推廣的異象，例如今天高度發(fā)展的網(wǎng)絡(luò )技術(shù)、全方位廣泛推行的數字化技術(shù)，等等等等，人類(lèi)愈來(lái)愈依賴(lài)電腦的快速方便的計算力量，而在不知不覺(jué)中卻漸漸忘記了繼續挖掘人腦自身的潛能，實(shí)際上，這已經(jīng)大大阻礙了人類(lèi)數學(xué)思維的更深入創(chuàng )新和發(fā)展的可能。也正是在這個(gè)時(shí)候，1976年，美國的數學(xué)家利用電子計算機來(lái)證明了“四色猜想”的問(wèn)題。可以說(shuō)，這是反映了上述時(shí)代狀況以及數學(xué)思維形勢的一個(gè)典型的事例。它通過(guò)數百億次的電腦的簡(jiǎn)單判斷號稱(chēng)“證明”了“四色猜想”問(wèn)題。如果按照直覺(jué)主義數學(xué)家對“證明”的理解，這種利用電子計算機的“證明”可以認為是非法的，甚至可以認為是應該加以否定的。因為它不是人類(lèi)通過(guò)構造性的有限步驟的蘊涵推理來(lái)達到的“證明”。數百億次的判斷，對于人類(lèi)來(lái)說(shuō)，已經(jīng)遠不能說(shuō)是“有限的”步驟，而且在這里，電腦的活躍事實(shí)上掩蓋了人腦的懶惰和無(wú)能。
怪不得有人會(huì )認為，終有一天，機器（電腦）會(huì )變得比人類(lèi)更聰明。例如美國的數學(xué)家庫克即曾如此認為（見(jiàn)《現代數學(xué)史》，內蒙古人民出版社，1982年版）。當機器全面變得比人類(lèi)更聰明之日，實(shí)際上也就是人類(lèi)全面自我滅絕之時(shí)。這種關(guān)于人類(lèi)總危機的預言是否有點(diǎn)危言聳聽(tīng)呢？我認為，這并不是完全不可能的。
當人對人的惡發(fā)展到極點(diǎn)之時(shí)，同時(shí)又當機器（電腦）的聰明程度發(fā)展到遠遠超過(guò)人類(lèi)之時(shí)，由于用進(jìn)廢退的原理，人類(lèi)的大腦實(shí)際上已經(jīng)擺脫不了對電腦的依賴(lài)，甚至人腦自身也已經(jīng)喪失了自然進(jìn)化的任何可能，這時(shí)，人類(lèi)的自我滅絕，恐怕就是難以避免的了。
雖然哥德?tīng)栐缇驼f(shuō)過(guò)，人永遠要對電子計算機說(shuō)最后一句話(huà)，但問(wèn)題在于，這說(shuō)最后一句話(huà)的人究竟是聰明的善人呢，還是愚昧的惡人呢？
用哥德?tīng)柕睦碚搧?lái)說(shuō)，這仍舊是個(gè)“不可判定的問(wèn)題”。但我要說(shuō)，這對二元論的數學(xué)和語(yǔ)言來(lái)說(shuō)雖然是個(gè)“不可判定的問(wèn)題”，然而，如果對今后人類(lèi)有可能發(fā)明和創(chuàng )造的三元論的數學(xué)和語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，它或許就已經(jīng)是個(gè)“可以判定的問(wèn)題”了。當然，這也可能只是我的一種希望。
但我不光只是在“希望”，我也在行動(dòng)。當我今天用我自己的大腦來(lái)破解“四色猜想”，并從而以盡可能的力量來(lái)擺脫人類(lèi)對電子計算機的思維依賴(lài)的時(shí)候，正也是我力求解決題目中所述種種“危機”的第一步。為此，我希望得到我的同胞，以及全人類(lèi)的理解和支持。2006,10,26.
聯(lián)系客服
