解數學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉化，關(guān)鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問(wèn)題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問(wèn)題標準化、復雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。
換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡(jiǎn)化。
它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應用。
換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱(chēng)整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數式幾次出現，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先變形為設2 ＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖捣匠痰膯?wèn)題。
三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數y＝ ＋ 的值域時(shí)，易發(fā)現x∈[0,1]，設x＝sin α ，α∈[0, ]，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會(huì )想到如此設，其中主要應該是發(fā)現值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x ＋y ＝r （r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問(wèn)題。
均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設x＝ ＋t，y＝ －t等等。
我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和α∈[0, ]。
Ⅰ、再現性題組：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.設f(x ＋1)＝log (4－x ) （a>1），則f(x)的值域是_______________。
3.已知數列{a }中，a ＝－1，a ·a ＝a －a ，則數列通項a ＝___________。
4.設實(shí)數x、y滿(mǎn)足x ＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。
5.方程 ＝3的解是_______________。
6.不等式log (2 －1) ·log (2 －2)〈2的解集是_______________。
【簡(jiǎn)解】1小題：設sinx+cosx＝t∈[－ , ]，則y＝ ＋t－ ，對稱(chēng)軸t＝－1，當t＝ ，y ＝ ＋ ；
2小題：設x ＋1＝t (t≥1)，則f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域為(－∞,log 4]；
3小題：已知變形為 － ＝－1,設b ＝ ，則b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；
4小題：設x＋y＝k，則x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小題：設3 ＝y，則3y ＋2y－1＝0,解得y＝ ，所以x＝－1；
6小題：設log (2 －1)＝y，則y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈(log ,log 3)。
Ⅱ、示范性題組：
例1. 實(shí)數x、y滿(mǎn)足4x －5xy＋4y ＝5 （ ①式） ，設S＝x ＋y ，求 ＋ 的值。（93年全國高中數學(xué)聯(lián)賽題）
【分析】 由S＝x ＋y 聯(lián)想到cos α＋sin α＝1,于是進(jìn)行三角換元，設 代入①式求S 和S 的值。
【解】設 代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5
解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤ ≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α＝ 的有界性而求，即解不等式：| |≤1。這種方法是求函數值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”。
【另解】 由S＝x ＋y ，設x ＝ ＋t，y ＝ －t，t∈[－ ， ]，
則xy＝± 代入①式得：4S±5 =5，
移項平方整理得 100t +39S －160S＋100＝0 。
∴ 39S －160S＋100≤0 解得： ≤S≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S＝x ＋y 與三角公式cos α＋sin α＝1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現用三角換元，將代數問(wèn)題轉化為三角函數值域問(wèn)題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值換元的思路，設x ＝ ＋t、y ＝ －t，減少了元的個(gè)數，問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數法。
和“均值換元法”類(lèi)似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)，可以設x＝a＋b，y＝a－b，這稱(chēng)為“和差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數式。本題設x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a ＋13b ＝5 ，求得a ∈[0, ]，所以S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝2(a ＋b )＝ ＋ a ∈[ , ]，再求 ＋ 的值。
例2． △ABC的三個(gè)內角A、B、C滿(mǎn)足：A＋C＝2B， ＋ ＝－ ，求cos 的值。（96年全國理）
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形內角和等于180°”的性質(zhì)，可得 ；由“A＋C＝120°”進(jìn)行均值換元，則設 ，再代入可求cosα即cos 。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,
由A＋C＝120°，設 ，代入已知等式得：
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－2 ,
解得：cosα＝ ， 即：cos ＝ 。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－
＝－2 ，設 ＝－ ＋m， ＝－ －m ，
所以cosA＝ ，cosC＝ ，兩式分別相加、相減得：
cosA＋cosC＝2cos cos ＝cos ＝ ，
cosA－cosC＝－2sin sin ＝－ sin ＝ ，
即：sin ＝－ ，＝－ ，代入sin ＋cos ＝1整理得：3m －16m－12＝0,解出m ＝6，代入cos ＝ ＝ 。
【注】 本題兩種解法由“A＋C＝120°”、“ ＋ ＝－2 ”分別進(jìn)行均值換元，隨后結合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－ ＝－2 ，即cosA＋cosC＝－2 cosAcosC，和積互化得：
2cos cos ＝－ [cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos ＝ － cos(A-C)＝ － (2cos －1)，整理得：4 cos ＋2cos －3 ＝0,
解得：cos ＝
例3. 設a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值。
【解】 設sinx＋cosx＝t，則t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0），t∈[- , ]
t＝- 時(shí)，取最小值：－2a －2 a－
當2a≥ 時(shí)，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－ ；
當0<2a≤ 時(shí)，t＝2a，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值為－2a －2 a－ ，最大值為 。
【注】 此題屬于局部換元法，設sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx與sinx·cosx的內在聯(lián)系，將三角函數的值域問(wèn)題轉化為二次函數在閉區間上的值域問(wèn)題，使得容易求解。換元過(guò)程中一定要注意新的參數的范圍（t∈[- , ]）與sinx＋cosx對應，否則將會(huì )出錯。本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分類(lèi)討論的數學(xué)思想方法，即由對稱(chēng)軸與閉區間的位置關(guān)系而確定參數分兩種情況進(jìn)行討論。
一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設元的換元法，轉化為在閉區間上的二次函數或一次函數的研究。
例4. 設對所于有實(shí)數x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理）
【分析】不等式中log 、 log 、log 三項有何聯(lián)系？進(jìn)行對數式的有關(guān)變形后不難發(fā)現，再實(shí)施換元法。
【解】 設log ＝t，則log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，log ＝2log ＝－2t，
代入后原不等式簡(jiǎn)化為（3－t）x ＋2tx－2t>0，它對一切實(shí)數x恒成立，所以：
，解得 ∴ t<0即log <0
0< <1，解得0<a<1。
【注】應用局部換元法，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為什么會(huì )想到換元及如何設元，關(guān)鍵是發(fā)現已知不等式中log 、 log 、log 三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數運算十分熟練。一般地，解指數與對數的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對所給的已知條件進(jìn)行適當變形，發(fā)現它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。
例5. 已知 ＝ ，且 ＋ ＝ (②式)，求 的值。
【解】 設 ＝ ＝k，則sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin θ＋cos θ＝k (x +y )＝1,代入②式得： ＋ ＝ ＝ 即： ＋ ＝
設 ＝t，則t＋ ＝ , 解得：t＝3或 ∴ ＝± 或±
【另解】 由 ＝ ＝tgθ，將等式②兩邊同時(shí)除以 ，再表示成含tgθ的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg θ，設tg θ＝t，則3t —10t＋3＝0，
∴t＝3或 ， 解得 ＝± 或± 。
【注】 第一種解法由 ＝ 而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數。第二種解法將已知變形為 ＝ ，不難發(fā)現進(jìn)行結果為tgθ，再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數降低。
例6. 實(shí)數x、y滿(mǎn)足 ＋ ＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范圍。
【分析】由已知條件 ＋ ＝1，可以發(fā)現它與a ＋b ＝1有相似之處，于是實(shí)施三角換元。
【解】由 ＋ ＝1，設 ＝cosθ， ＝sinθ，
即： 代入不等式x＋y－k>0得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5時(shí)不等式恒成立。
【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數問(wèn)題（或者是解析幾何問(wèn)題）化為了含參三角不等式恒成立的問(wèn)題，再運用“分離參數法”轉化為三角函數的值域問(wèn)題，從而求出參數范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線(xiàn)的方程相似的代數式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線(xiàn)等有關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。
本題另一種解題思路是使用數形結合法的思想方法：在平面直角坐標系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的區域為直線(xiàn)ax＋by＋c＝0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問(wèn)題化為圖形問(wèn)題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上x＋y－k>0的區域。即當直線(xiàn)x＋y－k＝0在與橢圓下部相切的切線(xiàn)之下時(shí)。當直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)，方程組 有相等的一組實(shí)數解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3時(shí)原不等式恒成立。
Ⅲ、鞏固性題組：
1. 已知f(x )＝lgx (x>0)，則f(4)的值為_____。
A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
2. 函數y＝(x＋1) ＋2的單調增區間是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 設等差數列{a }的公差d＝ ，且S ＝145，則a ＋a ＋a ＋……＋a 的值為_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x ＋4y ＝4x，則x＋y的范圍是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，則 ＋ 的范圍是____________。
6. 不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。
7. 函數y＝2x＋ 的值域是________________。
8. 在等比數列{a }中，a ＋a ＋…＋a ＝2，a ＋a ＋…＋a ＝12，求a ＋a ＋…＋a 。
9. 實(shí)數m在什么范圍內取值，對任意實(shí)數x，不等式sin x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，頂點(diǎn)C(4,4)，A點(diǎn)在曲線(xiàn)x ＋y ＝2 (x>0,y>0)上移動(dòng)，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。
