如果有人問(wèn)，人類(lèi)到目前為止研究進(jìn)展最緩慢的領(lǐng)域是什么？別的學(xué)科，見(jiàn)仁見(jiàn)智。但要是數學(xué)上的話(huà)，毫無(wú)疑問(wèn)是對于素數的研究。古老而又漫長(cháng)，有無(wú)數人前赴后繼去研究，然而，成果卻真心是不多。
上古大神——歐幾里得
公元前300年，歐幾里得最早研究了形如2N-1的素數，發(fā)現了這個(gè)性質(zhì)：
若2N-1是素數，則2N-1×(2N-1)是一個(gè)完全數。
這個(gè)性質(zhì)用等比數列的求和公式很容易驗證，也就是說(shuō)只要找到新的梅森素數，新的完全數也就誕生了。后來(lái)人們又發(fā)現了一個(gè)性質(zhì)：
若2N-1是素數，則N必定為素數。
我中學(xué)時(shí)代也曾經(jīng)琢磨過(guò)這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)這個(gè)問(wèn)題用因式分解就可以證明：
這個(gè)命題的逆命題卻不一定成立，事實(shí)上，假如逆命題也成立的話(huà)，那么素數的秘密恐怕在幾百年前就基本上揭露殆盡了。但是當N等于某一些素數的時(shí)候，2N-1卻真的可以是素數。
馬林·梅森（1588-1648）
費馬大法官在17世紀對于形如這樣的素數做了不少研究，馬林·梅森在歐幾里得，費馬的研究基礎上對這樣形式的素數做了大量系統性的研究，如此形式的素數也被稱(chēng)作梅森素數。1644年，梅森在一本著(zhù)作《物理數學(xué)隨感》中大膽斷言：
在不大于257的素數中，當p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時(shí)，2N-1是素數，其它都是合數。
之前費馬數的研究歷史中，我們發(fā)現，歷史上凡是關(guān)于可能構造出素數的猜想都會(huì )極大地吸引人們的研究熱情，梅森素數也不例外。幾百年前，只能靠手算，這是要花費多大的心血！偉大的歐拉在1772年，時(shí)年65歲，在雙目失明的情況下，心算驗證了M(31)是素數，這個(gè)數有10位，是當時(shí)已知的最大素數。梅森的猜想其實(shí)并不完全正確，人類(lèi)在1922年終于手動(dòng)驗算了梅森提出的所有p值。
哪里都有你——歐拉大神
手動(dòng)驗算的年代里發(fā)生過(guò)一件趣事，這是關(guān)于M(67)的素性檢驗。1903年，美國數學(xué)家柯?tīng)栐诿绹鴶祵W(xué)家大會(huì )上做了一次簡(jiǎn)短，精彩的報告。只見(jiàn)他走上講臺，一言不發(fā)，刷刷寫(xiě)了一行等式：
267-1=193707721×761838257287
人們久久才意識到這個(gè)等式的意義，紛紛鼓掌，祝賀他證明了M(67)不是素數。數學(xué)家們有時(shí)候就是這么簡(jiǎn)單，直白，充滿(mǎn)暴力美學(xué)。
超級計算機
從遠古時(shí)期到1922年，人們利用手算的方式一共找到了12個(gè)梅森素數。接下來(lái)人們利用電子計算機又找到了22個(gè)梅森素數。但是利用大型計算機成本太高了，曾幾何時(shí)，美國一些大學(xué)里的超級計算機只要一啟動(dòng)，整個(gè)城市至少有三分之一都要停電，能源消耗可想而知。然而世界互聯(lián)網(wǎng)的普及卻帶來(lái)了另外一種找尋梅森素數的思路。
分布式計算網(wǎng)格
1996年，在美國程序設計師沃特曼和庫爾沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的分布式計算項目——因特網(wǎng)梅森素數大搜索（GIMPS）。這個(gè)項目很好地利用了人們個(gè)人計算機的空閑算力來(lái)為科學(xué)研究做貢獻，就相當于Uber把私家車(chē)主吸引過(guò)來(lái)， 將他們私家車(chē)上的多余運力通過(guò)平臺發(fā)揮出來(lái)提供給需要的人。曾幾何時(shí)，人們也是通過(guò)這種分布式計算的方式找到了1萬(wàn)億個(gè)黎曼猜想的非平凡零點(diǎn)。
2018年12月21日，GIMPS宣布最大素數獲得驗證
人們把自己的個(gè)人計算機的空閑算力貢獻出來(lái)有酬勞嗎？基本上沒(méi)有，科學(xué)上的事情怎么能隨隨便便就說(shuō)要報酬呢？事實(shí)上，假如你運氣足夠好，你也可以獲得一筆不菲的獎勵。1999年，這個(gè)項目獎勵制度也開(kāi)始啟動(dòng)了。比如你找到第一個(gè)100萬(wàn)位的梅森素數，獎勵你5萬(wàn)美元；1000萬(wàn)位可以獲得10萬(wàn)美元，1億位15萬(wàn)美元。。。當然了，沒(méi)人會(huì )指望做這個(gè)發(fā)財致富，人們參與進(jìn)來(lái)的根本原因是為了求知和探索，如果自己真的發(fā)現了梅森素數，這份榮譽(yù)也是很難得的。
到目前為止，已經(jīng)有60萬(wàn)人加入了這個(gè)幾乎等同于公益性質(zhì)的項目了，在數百萬(wàn)臺個(gè)人計算機的加持之下，這個(gè)項目目前的算力可以達到2300萬(wàn)億次每秒，這個(gè)算力跟最厲害的超級計算機基本持平，但是成本卻幾乎為零。人們從這個(gè)項目里一共發(fā)現了16個(gè)梅森素數，當然也就發(fā)現16個(gè)新的完全數了。
值得一提的是在2017年12月26日，美國人佩斯（不是中國佩斯）發(fā)現了第50個(gè)梅森素數，這個(gè)數大概有2300多萬(wàn)位，可以用277232917-1來(lái)表示，這是當時(shí)已知最大的素數（2018年12月7日發(fā)現了第51個(gè)梅森數M(82589933)）。
2017年發(fā)現的最大素數
有家日本出版社想了個(gè)絕妙的點(diǎn)子，他們就把這個(gè)長(cháng)達2300多萬(wàn)位的素數從頭到尾印刷成一本書(shū)，720頁(yè)全部是無(wú)窮無(wú)盡的數字?？墒钦l(shuí)也沒(méi)想到，該書(shū)居然在4天內售出1500本，后期居然還要加印才行！這在專(zhuān)業(yè)的數學(xué)類(lèi)書(shū)籍中里是很難看到的暢銷(xiāo)行情。沒(méi)人真的會(huì )把這本書(shū)從頭讀到尾，但是這個(gè)噱頭還是吸引了相當大的人群，創(chuàng )意真是無(wú)限精彩。不過(guò)我在想，這本書(shū)的版權應該屬于誰(shuí)呢？
2017年世界最大素數之書(shū)
說(shuō)到這里，肯定又有一些人要問(wèn)，人們耗費那么大精力去計算這種幾百萬(wàn)位的數字意義何在？
網(wǎng)絡(luò )信息安全的閘門(mén)——RSA加密算法
梅森素數在現代加密方式有著(zhù)重大的應用，著(zhù)名的RSA加密算法為什么如此可靠，就是基于對大數分解的困難性。我們學(xué)習基本的算法編程時(shí)，都做過(guò)很多跟素數相關(guān)的小程序，通常情況下，對于運算高達幾十億次每秒的個(gè)人計算機來(lái)說(shuō)，我們是基本上感受不到計算機運算時(shí)間的，因為數字太小。那假如給你一個(gè)幾千位的大數，你再去分解看看，恐怕等你的電腦算報廢了都不一定能分解出來(lái)。相反的，給你兩個(gè)數，讓你去驗證是否是某個(gè)超級大數的因子，這個(gè)卻非常容易。梅森素數給出了一種最純粹形式的素數，用的素數越大，分解這個(gè)大數的難度就越大，甚至近乎不可能。
其次這種需要大量計算的事件中，為了達到最終結果，算力是一方面，另外一方面更加重要的是算法的革新。如果算法復雜度很低，那么你就可以用很有限的算力，就可以獲得極高的成果。舉個(gè)最動(dòng)聽(tīng)的例子，2001年，一個(gè)叫魏德涅夫斯基的德國人通過(guò)分布式計算的方法，在世界上動(dòng)用幾萬(wàn)臺計算機來(lái)一起尋找黎曼猜想的非平凡零點(diǎn)，截止到2004年末，得到了大約1萬(wàn)億個(gè)非平凡零點(diǎn)。然而幾乎在同時(shí)，兩個(gè)法國年輕人宣布，用自己的幾臺個(gè)人計算機，用時(shí)1年，居然發(fā)現了10萬(wàn)億個(gè)非平凡零點(diǎn)，人們直呼不可思議。后來(lái)人們才了解，他們用了更加高明的計算公式，這個(gè)公式的執行效率遠比魏德涅夫斯基采用黎曼-西格爾公式高的多，所以就產(chǎn)生了如此戲劇性的事件。幾臺個(gè)人電腦居然PK掉了幾萬(wàn)臺計算機，甚至還高出了1個(gè)數量級！至此，魏德涅夫斯基用計算機找尋海量黎曼猜想非平凡零點(diǎn)的項目才停止下來(lái)。毫無(wú)疑問(wèn)，算法有效性提高的意義要遠遠高于計算力的提高。
考驗算法和算力的基本工作——π
那么我們怎么才能確切知道我們使用的算法是否有效呢？或者有效性可以提高多少，那就必須要驗證，于是這些看似“毫無(wú)意義”的重復計算就開(kāi)始了。事實(shí)上，世界上仍然有許多大型計算機在日夜不停地計算π的值，甚至到了1000萬(wàn)億位后仍不停歇。
拋開(kāi)上面兩個(gè)最實(shí)際的作用，即使梅森素數看不到任何實(shí)際的用途，科學(xué)家們也還是會(huì )去不停地找尋它。人類(lèi)發(fā)展進(jìn)步的動(dòng)力和源泉在哪里？那就是人們永無(wú)休止的探索欲，對未知世界的無(wú)限向往。這就像很久以前，有人問(wèn)一位著(zhù)名的登山家，你為什么總是要冒著(zhù)生命危險去攀登一座又一座高峰呢？“因為，我要登的山就在那里?！?/strong>
人類(lèi)永不停息的探索之旅
到目前為止，人們找尋一般的素數和梅森素數的腳步均未停止，數字越大，人們驚訝地發(fā)現，找到的最大素數幾乎都是梅森素數，這里絕不是巧合。我總感覺(jué)這里面應該有更加深層次的原因，可能大素數從根本上就和梅森素數在構造上同根同源，然而人們現在還遠遠沒(méi)有能力去探尋到這一步，畢竟對于一般素數的性質(zhì)人們其實(shí)都還知之甚少。
前面有個(gè)“abc猜想”揭示了加法，乘法，和素數之間可能存在的內在關(guān)系。我也希望后來(lái)的某天，會(huì )有位大神來(lái)揭露一般大素數和梅森素數之間隱藏的秘密。
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