| 上帝擲骰子嗎——量子物理史話(huà)（5） [閱讀： 3200] | [教育科技] 2006-4-15 |
| 第五章 曙光 一 屬于海森堡的篇章要從1924年7月開(kāi)始講起。那個(gè)月份對于海森堡可算是喜訊不斷，他的關(guān)于反常塞曼效應的論文通過(guò)審核，從而使他晉升為講師，獲得在德國大學(xué)的任意級別中講學(xué)的資格。而玻爾——他對這位出色的年輕人顯然有著(zhù)明顯的好感——也來(lái)信告訴他，他已經(jīng)獲得了由洛克菲勒（Rockefeller）財團資助的國際教育基金會(huì )（IEB）的獎金，為數1000美元，從而讓他有機會(huì )遠赴哥本哈根，與玻爾本人和他的同事們共同工作一年。也是無(wú)巧不成書(shū)，海森堡原來(lái)在哥廷根的導師波恩正好要到美國講學(xué)，于是同意海森堡到哥本哈根去，只要在明年5月夏季學(xué)期開(kāi)始前回來(lái)就可以了。從后來(lái)的情況看，海森堡對哥本哈根的這次訪(fǎng)問(wèn)無(wú)疑對于量子力學(xué)的發(fā)展有著(zhù)積極的意義。 玻爾在哥本哈根的研究所當時(shí)已經(jīng)具有了世界性的聲名，和哥廷根，慕尼黑一起，成為了量子力學(xué)發(fā)展史上的“黃金三角”。世界各地的學(xué)者紛紛前來(lái)訪(fǎng)問(wèn)學(xué)習，1924年的秋天有近10位訪(fǎng)問(wèn)學(xué)者，其中6位是IEB資助的，而這一數字很快就開(kāi)始激增，使得這幢三層樓的建筑不久就開(kāi)始顯得擁擠，從而不得不展開(kāi)擴建。海森堡在結束了他的暑假旅行之后，于1924年9月17日抵達哥本哈根，他和另一位來(lái)自美國的金（King）博士住在一位剛去世的教授家里，并由孀居的夫人照顧他們的飲食起居。對于海森堡來(lái)說(shuō)，這地方更像是一所語(yǔ)言學(xué)?！窃愀獾挠⒄Z(yǔ)和丹麥語(yǔ)水平都在逗留期間有了突飛猛漲的進(jìn)步。 言歸正傳。我們在前面講到，1924，1925年之交，物理學(xué)正處在一個(gè)非常艱難和迷茫的境地中。玻爾那精巧的原子結構已經(jīng)在內部出現了細小的裂紋，而輻射問(wèn)題的本質(zhì)究竟是粒子還是波動(dòng)，雙方仍然在白熱化地交戰?？灯疹D的實(shí)驗已經(jīng)使得最持懷疑態(tài)度的物理學(xué)家都不得不承認，粒子性是無(wú)可否認的，但是這就勢必要推翻電磁體系這個(gè)已經(jīng)扎根于物理學(xué)百余年的龐然大物。而后者所依賴(lài)的地基——麥克斯韋理論看上去又是如此牢不可破，無(wú)法動(dòng)搖。 我們也已經(jīng)提到，在海森堡來(lái)到哥本哈根前不久，玻爾和他的助手克萊默（Kramers）還有斯雷特（Slater）發(fā)表了一個(gè)稱(chēng)作BKS的理論以試圖解決波和粒子的兩難。在BKS理論看來(lái)，在每一個(gè)穩定的原子附近，都存在著(zhù)某些“虛擬的振動(dòng)”（virtual oscillator），這些神秘的虛擬振動(dòng)通過(guò)對應原理一一與經(jīng)典振動(dòng)相對應，從而使得量子化之后仍然保留有經(jīng)典波動(dòng)理論的全部?jì)?yōu)點(diǎn)（實(shí)際上，它是想把粒子在不同的層次上進(jìn)一步考慮成波）。然而這個(gè)看似皆大歡喜的理論實(shí)在有著(zhù)難言的苦衷，它為了調解波動(dòng)和微粒之間的宿怨，甚至不惜拋棄物理學(xué)的基石之一：能量守恒和動(dòng)量守恒定律，認為它們只不過(guò)是一種統計下的平均情況。這個(gè)代價(jià)太大，遭到愛(ài)因斯坦強烈反對，在他影響下泡利也很快轉換態(tài)度，他不止一次寫(xiě)信給海森堡抱怨“虛擬的振動(dòng)”還有“虛擬的物理學(xué)”。 BKS的一些思想倒也不是毫無(wú)意義?？巳R默利用虛擬振子的思想研究了色散現象，并得出了積極的結果。海森堡在哥本哈根學(xué)習的時(shí)候對這方面產(chǎn)生了興趣，并與克萊默聯(lián)名發(fā)表了論文在物理期刊上，這些思路對于后來(lái)量子力學(xué)的創(chuàng )立無(wú)疑也有著(zhù)重要的作用。但BKS理論終于還是中途夭折，1925年4月的實(shí)驗否定了守恒只在統計意義上成立的說(shuō)法，光量子確實(shí)是實(shí)實(shí)在在的東西，不是什么虛擬波。BKS的崩潰標志著(zhù)物理學(xué)陷入徹底的混亂，粒子和波的問(wèn)題是如此令人迷惑而頭痛，以致玻爾都說(shuō)這實(shí)在是一種“折磨”（torture）。對于曾經(jīng)信奉BKS的海森堡來(lái)說(shuō)，這當然是一個(gè)壞消息，但是就像一盆冷水，也能讓他清醒一下，認真地考慮未來(lái)的出路何在。 哥本哈根的日子是緊張而又有意義的。海森堡無(wú)疑地感到了一種競爭的氣氛，并以他那好勝的性格加倍努力著(zhù)。當然，競爭是一回事，哥本哈根的自由精神和學(xué)術(shù)氣氛在全歐洲都幾乎無(wú)與倫比，而這一切又都和尼爾斯?玻爾這位量子論的“教父”密切相關(guān)。毫無(wú)疑問(wèn)在哥本哈根的每一個(gè)人都是天才，但他們卻都更好地襯托出玻爾本人的偉大來(lái)。這位和藹的丹麥人對于每個(gè)人都報以善意的微笑，并引導人們暢所欲言，探討一切類(lèi)型的問(wèn)題。人們像眾星拱月一般圍繞在他身邊，個(gè)個(gè)都為他的學(xué)識和人格所折服，海森堡也不例外，而且他更將成為玻爾最親密的學(xué)生和朋友之一。玻爾常常邀請海森堡到他家（就在研究所的二樓）去分享家藏的陳年好酒，或者到研究所后面的樹(shù)林里去散步并討論學(xué)術(shù)問(wèn)題。玻爾是一個(gè)極富哲學(xué)氣質(zhì)的人，他對于許多物理問(wèn)題的看法都帶有深深的哲學(xué)色彩，這令海森堡相當震撼，并在很大程度上影響了他本人的思維方式。從某種角度說(shuō)，在哥本哈根那“量子氣氛”里的熏陶以及和玻爾的交流，可能會(huì )比海森堡在那段時(shí)間里所做的實(shí)際研究更有價(jià)值。 那時(shí)候，有一種思潮在哥本哈根流行開(kāi)來(lái)。這個(gè)思想當時(shí)不知是誰(shuí)引發(fā)的，但歷史上大約可以回溯到馬赫。這種思潮說(shuō)，物理學(xué)的研究對象只應該是能夠被觀(guān)察到被實(shí)踐到的事物，物理學(xué)只能夠從這些東西出發(fā)，而不是建立在觀(guān)察不到或者純粹是推論的事物上。這個(gè)觀(guān)點(diǎn)對海森堡以及不久后也來(lái)哥本哈根訪(fǎng)問(wèn)的泡利都有很大影響，海森堡開(kāi)始隱隱感覺(jué)到，玻爾舊原子模型里的有些東西似乎不太對頭，似乎它們不都是直接能夠為實(shí)驗所探測的。最明顯的例子就是電子的“軌道”以及它繞著(zhù)軌道運轉的“頻率”。我們馬上就要來(lái)認真地看一看這個(gè)問(wèn)題。 1925年4月27日，海森堡結束哥本哈根的訪(fǎng)問(wèn)回到哥廷根，并開(kāi)始重新著(zhù)手研究氫原子的譜線(xiàn)問(wèn)題——從中應該能找出量子體系的基本原理吧？海森堡的打算是仍然采取虛振子的方法，雖然BKS倒臺了，但這在色散理論中已被證明是有成效的方法。海森堡相信，這個(gè)思路應該可以解決玻爾體系所解決不了的一些問(wèn)題，譬如譜線(xiàn)的強度。但是當他興致勃勃地展開(kāi)計算后，他的樂(lè )觀(guān)態(tài)度很快就無(wú)影無(wú)蹤了：事實(shí)上，如果把電子輻射按照虛振子的代數方法展開(kāi)，他所遇到的數學(xué)困難幾乎是不可克服的，這使得海森堡不得不放棄了原先的計劃。泡利在同樣的問(wèn)題上也被難住了，障礙實(shí)在太大，幾乎無(wú)法前進(jìn)，這位脾氣急躁的物理學(xué)家是如此暴跳如雷，幾乎準備放棄物理學(xué)。“物理學(xué)出了大問(wèn)題”，他叫嚷道，“對我來(lái)說(shuō)什么都太難了，我寧愿自己是一個(gè)電影喜劇演員，從來(lái)也沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)物理是什么東西！”（插一句，泡利說(shuō)寧愿自己是喜劇演員，這是因為他是卓別林的fans之一） 無(wú)奈之下，海森堡決定換一種辦法，暫時(shí)不考慮譜線(xiàn)強度，而從電子在原子中的運動(dòng)出發(fā)，先建立起基本的運動(dòng)模型來(lái)。事實(shí)證明他這條路走對了，新的量子力學(xué)很快就要被建立起來(lái)，但那卻是一種人們聞所未聞，之前連想都不敢想象的形式——Matrix。 Matrix無(wú)疑是一個(gè)本身便帶有幾分神秘色彩，像一個(gè)Enigma的詞語(yǔ)。不論是從它在數學(xué)上的意義，還是電影里的意義（甚至包括電影續集）來(lái)說(shuō)，它都那樣撲朔迷離，叫人難以把握，望而生畏。事實(shí)上直到今天，還有很多人幾乎不敢相信，我們的宇宙就是建立在這些怪物之上。不過(guò)不情愿也好，不相信也罷，Matrix已經(jīng)成為我們生活中不可缺少的概念。理科的大學(xué)生逃不了線(xiàn)性代數的課，工程師離不開(kāi)MatLab軟件，漂亮MM也會(huì )常常掛念基諾?里維斯，沒(méi)有法子。 從數學(xué)的意義上翻譯，Matrix在中文里譯作“矩陣”，它本質(zhì)上是一種二維的表格。比如像下面這個(gè)2*2的矩陣，其實(shí)就是一種2*2的方塊表格： 也可以是長(cháng)方形的，比如這個(gè)2*3的矩陣： 但是，我已經(jīng)提醒過(guò)大家，我們即將進(jìn)入的是一個(gè)不可思議的光怪陸離的量子世界。在這個(gè)世界里，一切都看起來(lái)是那樣地古怪不合常理，甚至有一些瘋狂的意味。我們日常的經(jīng)驗在這里完全失效，甚至常常是靠不住的。物理世界沿用了千百年的概念和習慣在量子世界里轟然崩坍，曾經(jīng)被認為是天經(jīng)地義的事情必須被無(wú)情地拋棄，而代之以一些奇形怪狀的，但卻更接近真理的原則。是的，世界就是這些表格構筑的。它們不但能加能乘，而且還有著(zhù)令人瞠目結舌的運算規則，從而導致一些更為驚世駭俗的結論。而且，這一切都不是臆想，是從事實(shí)——而且是唯一能被觀(guān)測和檢驗到的事實(shí)——推論出來(lái)的。海森堡說(shuō)，現在已經(jīng)到了物理學(xué)該發(fā)生改變的時(shí)候了。 我們這就出發(fā)開(kāi)始這趟奇幻之旅。 『二』 物理學(xué)，海森堡堅定地想，應當有一個(gè)堅固的基礎。它只能夠從一些直接可以被實(shí)驗觀(guān)察和檢驗的東西出發(fā)，一個(gè)物理學(xué)家應當始終堅持嚴格的經(jīng)驗主義，而不是想象一些圖像來(lái)作為理論的基礎。玻爾理論的毛病，就出在這上面。 我們再來(lái)回顧一下玻爾理論說(shuō)了些什么。它說(shuō)，原子中的電子繞著(zhù)某些特定的軌道以一定的頻率運行，并時(shí)不時(shí)地從一個(gè)軌道躍遷到另一個(gè)軌道上去。每個(gè)電子軌道都代表一個(gè)特定的能級，因此當這種躍遷發(fā)生的時(shí)候，電子就按照量子化的方式吸收或者發(fā)射能量，其大小等于兩個(gè)軌道之間的能量差。 嗯，聽(tīng)起來(lái)不錯，而且這個(gè)模型在許多情況下的確管用。但是，海森堡開(kāi)始問(wèn)自己。一個(gè)電子的“軌道”，它究竟是什么東西？有任何實(shí)驗能夠讓我們看到電子的確繞著(zhù)某個(gè)軌道運轉嗎？有任何實(shí)驗可以確實(shí)地測出一個(gè)軌道離開(kāi)原子核的實(shí)際距離嗎？誠然軌道的圖景是人們所熟悉的，可以類(lèi)比于行星的運行軌道，但是和行星不同，有沒(méi)有任何法子讓人們真正地看到電子的這么一個(gè)“軌道”，并實(shí)際測量一個(gè)軌道所代表的“能量”呢？沒(méi)有法子，電子的軌道，還有它繞著(zhù)軌道的運轉頻率，都不是能夠實(shí)際觀(guān)察到的，那么人們怎么得出這些概念并在此之上建立起原子模型的呢？ 我們回想一下前面史話(huà)的有關(guān)部分，玻爾模型的建立有著(zhù)氫原子光譜的支持。每一條光譜線(xiàn)都有一種特定的頻率，而由量子公式E1-E2 = hν，我們知道這是電子在兩個(gè)能級之間躍遷的結果。但是，海森堡爭辯道，你這還是沒(méi)有解決我的疑問(wèn)。沒(méi)有實(shí)際的觀(guān)測可以證明某一個(gè)軌道所代表的“能級”是什么，每一條光譜線(xiàn)，只代表兩個(gè)“能級”之間的“能量差”。所以，只有“能級差”或者“軌道差”是可以被直接觀(guān)察到的，而“能級”和“軌道”卻不是。 為了說(shuō)明問(wèn)題，我們還是來(lái)打個(gè)比方。小時(shí)候的樂(lè )趣之一是收集各種各樣的電車(chē)票以扮作售票員，那時(shí)候上海的車(chē)票通常都很便宜，最多也就是一毛幾分錢(qián)。但規矩是這樣的：不管你從哪個(gè)站上車(chē)，坐得越遠車(chē)票就相對越貴。比如我從徐家匯上車(chē)，那么坐到淮海路可能只要3分錢(qián)，而到人民廣場(chǎng)大概就要5分，到外灘就要7分，如果一直坐到虹口體育場(chǎng)，也許就得花上1毛錢(qián)。當然，近兩年回去，公交早就換成了無(wú)人售票和統一計費——不管多遠都是一個(gè)價(jià)，車(chē)費也早就今非昔比了。 讓我們假設有一班巴士從A站出發(fā)，經(jīng)過(guò)BCD三站到達E這個(gè)終點(diǎn)站。這個(gè)車(chē)的收費沿用了我們懷舊時(shí)代的老傳統，不是上車(chē)一律給2塊錢(qián)，而是根據起點(diǎn)和終點(diǎn)來(lái)單獨計費。我們不妨訂一個(gè)收費標準：A站和B站之間是1塊錢(qián)，B和C靠得比較近，0.5元。C和D之間還是1塊錢(qián)，而D和E離得遠，2塊錢(qián)。這樣一來(lái)車(chē)費就容易計算了，比如我從B站上車(chē)到E站，那么我就應該給0.5+1+2=3.5元作為車(chē)費。反過(guò)來(lái)，如果我從D站上車(chē)到A站，那么道理是一樣的：1+0.5+1=2.5塊錢(qián)。 現在玻爾和海森堡分別被叫來(lái)寫(xiě)一個(gè)關(guān)于車(chē)費的說(shuō)明貼在車(chē)子里讓人參考。玻爾欣然同意了，他說(shuō)：這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，車(chē)費問(wèn)題實(shí)際上就是兩個(gè)站之間的距離問(wèn)題，我們只要把每一個(gè)站的位置狀況寫(xiě)出來(lái)，那么乘客們就能夠一目了然了。于是他就假設，A站的坐標是0，從而推出：B站的坐標是1，C站的坐標是1.5，D站的坐標是2.5，而E站的坐標是4.5。這就行了，玻爾說(shuō)，車(chē)費就是起點(diǎn)站的坐標減掉終點(diǎn)站的坐標的絕對值，我們的“坐標”，實(shí)際上可以看成一種“車(chē)費能級”，所有的情況都完全可以包含在下面這個(gè)表格里： 站點(diǎn) 坐標（車(chē)費能級） 這便是一種經(jīng)典的解法，每一個(gè)車(chē)站都被假設具有某種絕對的“車(chē)費能級”，就像原子中電子的每個(gè)軌道都被假設具有某種特定的能級一樣。所有的車(chē)費，不管是從哪個(gè)站到哪個(gè)站，都可以用這個(gè)單一的變量來(lái)解決，這是一個(gè)一維的傳統表格，完全可以表達為一個(gè)普通的公式。這也是所有物理問(wèn)題的傳統解法。 現在，海森堡說(shuō)話(huà)了。不對，海森堡爭辯說(shuō)，這個(gè)思路有一個(gè)根本性的錯誤，那就是，作為一個(gè)乘客來(lái)說(shuō)，他完全無(wú)法意識，也根本不可能觀(guān)察到某個(gè)車(chē)站的“絕對坐標”是什么。比如我從C站乘車(chē)到D站，無(wú)論怎么樣我也無(wú)法觀(guān)察到“C站的坐標是1.5”，或者“D站的坐標是2.5”這個(gè)結論。作為我——乘客來(lái)說(shuō)，我所能唯一觀(guān)察和體會(huì )到的，就是“從C站到達D站要花1塊錢(qián)”，這才是最確鑿，最堅實(shí)的東西。我們的車(chē)費規則，只能以這樣的事實(shí)為基礎，而不是不可觀(guān)察的所謂“坐標”，或者“能級”。 那么，怎樣才能僅僅從這些可以觀(guān)察的事實(shí)上去建立我們的車(chē)費規則呢？海森堡說(shuō)，傳統的那個(gè)一維表格已經(jīng)不適用了，我們需要一種新類(lèi)型的表格，像下面這樣的： . A B C D E 這里面，豎的是起點(diǎn)站，橫的是終點(diǎn)站?，F在這張表格里的每一個(gè)數字都是實(shí)實(shí)在在可以觀(guān)測和檢驗的了。比如第一行第三列的那個(gè)1.5，它的橫坐標是A，表明從A站出發(fā)。它的縱坐標是C，表明到C站下車(chē)。那么，只要某個(gè)乘客真正從A站坐到了C站，他就可以證實(shí)這個(gè)數字是正確的：這個(gè)旅途的確需要1.5塊車(chē)費。 好吧，某些讀者可能已經(jīng)不耐煩了，它們的確是兩種不同類(lèi)型的東西，可是，這種區別的意義有那么大嗎？畢竟，它們表達的，不是同一種收費規則嗎？但事情要比我們想象的復雜多了，比如玻爾的表格之所以那么簡(jiǎn)潔，其實(shí)是有這樣一個(gè)假設，那就是“從A到B”和“從B到A”，所需的錢(qián)是一樣的。事實(shí)也許并非如此，從A到B要1塊錢(qián)，從B回到A卻很可能要1.5元。這樣玻爾的傳統方式要大大頭痛了，而海森堡的表格卻是簡(jiǎn)潔明了的：只要修改B為橫坐標A為縱坐標的那個(gè)數字就可以了，只不過(guò)表格不再按照對角線(xiàn)對稱(chēng)了而已。 更關(guān)鍵的是，海森堡爭辯說(shuō)，所有的物理規則，也要按照這種表格的方式來(lái)改寫(xiě)。我們已經(jīng)有了經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)方程，現在，我們必須全部把它們按照量子的方式改寫(xiě)成某種表格方程。許多傳統的物理變量，現在都要看成是一些獨立的矩陣來(lái)處理。 在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)周期性的振動(dòng)可以用數學(xué)方法分解成為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，這個(gè)方法叫做傅里葉展開(kāi)。想象一下我們的耳朵，它可以靈敏地分辨出各種不同的聲音，即使這些聲音同時(shí)響起，混成一片嘈雜也無(wú)關(guān)緊要，一個(gè)發(fā)燒友甚至可以分辨出CD音樂(lè )中樂(lè )手翻動(dòng)樂(lè )譜的細微沙沙聲。人耳自然是很神奇的，但是從本質(zhì)上說(shuō)，數學(xué)家也可以做到這一切，方法就是通過(guò)傅立葉分析把一個(gè)混合的音波分解成一系列的簡(jiǎn)諧波。大家可能要感嘆，人耳竟然能夠在瞬間完成這樣復雜的數學(xué)分析，不過(guò)這其實(shí)是自然的進(jìn)化而已。譬如守門(mén)員抱住飛來(lái)的足球，從數學(xué)上說(shuō)相當于解析了一大堆重力和空氣動(dòng)力學(xué)的微分方程并求出了球的軌跡，再比如人本能的趨利避害的反應，從基因的角度說(shuō)也相當于進(jìn)行了無(wú)數風(fēng)險概率和未來(lái)獲利的計算。但這都只是因為進(jìn)化的力量使得生物體趨于具有這樣的能力而已，這能力有利于自然選擇，倒不是什么特殊的數學(xué)能力所導致。 回到正題，在玻爾和索末菲的舊原子模型里，我們已經(jīng)有了電子運動(dòng)方程和量子化條件。這個(gè)運動(dòng)同樣可以利用傅立葉分析的手法，化作一系列簡(jiǎn)諧運動(dòng)的疊加。在這個(gè)展開(kāi)式里的每一項，都代表了一個(gè)特定頻率?，F在，海森堡準備對這個(gè)舊方程進(jìn)行手術(shù)，把它徹底地改造成最新的矩陣版本。但是困難來(lái)了，我們現在有一個(gè)變量p，代表電子的動(dòng)量，還有一個(gè)變量q，代表電子的位置。本來(lái)，在老方程里這兩個(gè)變量應當乘起來(lái)，現在海森堡把p和q都變成了矩陣，那么，現在p和q應當如何再乘起來(lái)呢？ 這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得好：你如何把兩個(gè)“表格”乘起來(lái)呢？ 或者我們不妨先問(wèn)自己這樣一個(gè)問(wèn)題：把兩個(gè)表格乘起來(lái)，這代表了什么意義呢？ 為了容易理解，我們還是回到我們那個(gè)巴士車(chē)費的比喻?，F在假設我們手里有兩張海森堡制定的車(chē)費表：矩陣I和矩陣II，分別代表了巴士I號線(xiàn)和巴士II號線(xiàn)在某地的收費情況。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設每條線(xiàn)都只有兩個(gè)站，A和B。這兩個(gè)表如下： I號線(xiàn)（矩陣I）： II號線(xiàn)（矩陣II）： 好，我們再來(lái)回顧一下這兩張表到底代表了什么意思。根據海森堡的規則，數字的橫坐標代表了起點(diǎn)站，縱坐標代表了終點(diǎn)站。那么矩陣I第一行第一列的那個(gè)1就是說(shuō)，你坐巴士I號線(xiàn)，從A地出發(fā)，在A(yíng)地原地下車(chē)，車(chē)費要1塊錢(qián)（??？為什么原地不動(dòng)也要付1塊錢(qián)呢？這個(gè)……一方面是比喻而已，再說(shuō)你可以把1塊錢(qián)看成某種起步費。何況在大部分城市的地鐵里，你進(jìn)去又馬上出來(lái)，的確是要在電子卡里扣掉一點(diǎn)錢(qián)的）。同樣，矩陣I第一行第二列的那個(gè)2是說(shuō)，你坐I號線(xiàn)從A地到B地，需要2塊錢(qián)。但是，如果從B地回到A地，那么就要看橫坐標是B而縱坐標是A的那個(gè)數字，也就是第二行第一列的那個(gè)3。矩陣II的情況同樣如此。 好，現在我們來(lái)做個(gè)小學(xué)生水平的數學(xué)練習：乘法運算。只不過(guò)這次乘的不是普通的數字，而是兩張表格：I和II。I×II等于幾？ 讓我們把習題完整地寫(xiě)出來(lái)?，F在，boys and girls，這道題目的答案是什么呢？
********* 1925年，當海森堡做出他那突破性的貢獻的時(shí)候，他剛剛24歲。盡管在物理上有著(zhù)極為驚人的天才，但海森堡在別的方面無(wú)疑還只是一個(gè)稚氣未脫的大孩子。他興致勃勃地跟著(zhù)青年團去各地旅行，在哥本哈根逗留期間，他抽空去巴伐利亞滑雪，結果摔傷了膝蓋，躺了好幾個(gè)禮拜。在山谷田野間暢游的時(shí)候，他高興得不能自已，甚至說(shuō)“我連一秒種的物理都不愿想了”。 量子論的發(fā)展幾乎就是年輕人的天下。愛(ài)因斯坦1905年提出光量子假說(shuō)的時(shí)候，也才26歲。玻爾1913年提出他的原子結構的時(shí)候，28歲。德布羅意1923年提出相波的時(shí)候，31歲。而1925年，當量子力學(xué)在海森堡的手里得到突破的時(shí)候，后來(lái)在歷史上閃閃發(fā)光的那些主要人物也幾乎都和海森堡一樣年輕：泡利25歲，狄拉克23歲，烏侖貝克25歲，古德施密特23歲，約爾當23歲。和他們比起來(lái)，36歲的薛定諤和43歲的波恩簡(jiǎn)直算是老爺爺了。量子力學(xué)被人們戲稱(chēng)為“男孩物理學(xué)”，波恩在哥廷根的理論班，也被人叫做“波恩幼兒園”。 不過(guò)，這只說(shuō)明量子論的銳氣和朝氣。在那個(gè)神話(huà)般的年代，象征了科學(xué)永遠不知畏懼的前進(jìn)步伐，開(kāi)創(chuàng )出一個(gè)前所未有的大時(shí)代來(lái)。“男孩物理學(xué)”這個(gè)帶有傳奇色彩的名詞，也將在物理史上鐫刻出永恒的光芒。 三 上次我們布置了一道練習題，現在我們一起來(lái)把它的答案求出來(lái)。 ┏1 2┓ .┏1 3┓ .┏a b┓ 但是，那答案到底是什么？我們該怎么求出abcd這四個(gè)未知數？更重要的是，I×II的意義是什么呢？ 海森堡說(shuō)，I×II，表示你先乘搭巴士I號線(xiàn)，然后轉乘了II號線(xiàn)。答案中的a是什么呢？a處在第一行第一列，它也必定表示從A地出發(fā)到A地下車(chē)的某種收費情況。海森堡說(shuō)，a，其實(shí)就是說(shuō)，你搭乘I號線(xiàn)從A地出發(fā)，期間轉乘II號線(xiàn)，最后又回到A地下車(chē)。因為是乘法，所以它表示“I號線(xiàn)收費”和“II號線(xiàn)收費”的乘積。但是，情況還不是那么簡(jiǎn)單，因為我們的路線(xiàn)可能不止有一種，a實(shí)際代表的是所有收費情況的“總和”。 如果這不好理解，那么我們干脆把題目做出來(lái)。答案中的a，正如我們已經(jīng)說(shuō)明了的，表示我搭I(lǐng)號線(xiàn)從A地出發(fā)，然后轉乘II號線(xiàn)，又回到A地下車(chē)的收費情況的總和。那么，我們如何具體地做到這一點(diǎn)呢？有兩種方法：第一種，我們可以乘搭I(lǐng)號線(xiàn)從A地到B地，然后在B地轉乘II號線(xiàn)，再從B地回到A地。此外，還有一種辦法，就是我們在A(yíng)地上了I號線(xiàn)，隨即在原地下車(chē)。然后還是在A(yíng)地再上II號線(xiàn)，同樣在原地下車(chē)。這雖然聽(tīng)起來(lái)很不明智，但無(wú)疑也是一種途徑。那么，我們答案中的a，其實(shí)就是這兩種方法的收費情況的總和。 現在我們看看具體數字應該是多少：第一種方法，我們先乘I號線(xiàn)從A地到B地，車(chē)費應該是多少呢？我們還記得海森堡的車(chē)費規則，那就看矩陣I橫坐標為A縱坐標為B的那個(gè)數字，也就是第一行第二列的那個(gè)2，2塊錢(qián)。好，隨后我們又從B地轉乘II號線(xiàn)回到了A地，這里的車(chē)費對應于矩陣II第二行第一列的那個(gè)4。所以第一種方法的“收費乘積”是2×4＝8。但是，我們提到，還有另一種可能，就是我們在A(yíng)地原地不動(dòng)地上了I號線(xiàn)再下來(lái)，又上II號線(xiàn)再下來(lái)，這同樣符合我們A地出發(fā)A地結束的條件。這對應于兩個(gè)矩陣第一行第一列的兩個(gè)數字的乘積，1×1＝1。那么，我們的最終答案，a，就等于這兩種可能的疊加，也就是說(shuō)，a＝2×4＋1×1＝9。因為沒(méi)有第三種可能性了。 同樣道理我們來(lái)求b。b代表先乘I號線(xiàn)然后轉乘II號線(xiàn)，從A地出發(fā)最終抵達B地的收費情況總和。這同樣有兩種辦法可以做到：先在A(yíng)地上I號線(xiàn)隨即下車(chē)，然后從A地坐II號線(xiàn)去B地。收費分別是1塊（矩陣I第一行第一列）和3塊（矩陣II第一行第二列），所以1×3＝3。還有一種辦法就是先乘I號線(xiàn)從A地到B地，收費2塊（矩陣I第一行第二列），然后在B地轉II號線(xiàn)原地上下，收費1塊（矩陣II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最終答案：b＝1×3＋2×1＝5。 大家可以先別偷看答案，自己試著(zhù)求c和d。最后應該是這樣的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3×3＋1×1＝10。所以：
很抱歉讓大家如此痛苦不堪，不過(guò)我們的確在學(xué)習新的事物。如果你覺(jué)得這種乘法十分陌生的話(huà)，那么我們很快就要給你更大的驚奇，但首先我們還是要熟悉這種新的運算規則才是。圣人說(shuō)，溫故而知新，我們不必為了自己新學(xué)到的東西而沾沾自喜，還是鞏固鞏固我們的基礎吧，讓我們把上面這道題目驗算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其實(shí)沒(méi)有那么乏味，我們可以把乘法的次序倒一倒，現在驗算一遍II×I：
我知道大家都在唉聲嘆氣，不過(guò)我還是堅持，復習功課是有益無(wú)害的。我們來(lái)看看a是什么，現在我們是先乘搭I(lǐng)I號線(xiàn)，然后轉I號線(xiàn)了，所以我們可以從A地上II號線(xiàn)，然后下來(lái)。再上I號線(xiàn)，然后又下來(lái)。對應的是1×1。另外，我們可以坐II號線(xiàn)去B地，在B地轉I號線(xiàn)回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。 喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我們遇到問(wèn)題了。在我們的驗算里，a＝10，不過(guò)我還記得，剛才我們的答案說(shuō)a＝9。各位把筆記本往回翻幾頁(yè)，看看我有沒(méi)有記錯？嗯，雖然大家都沒(méi)有記筆記，但我還是沒(méi)有記錯，剛才我們的a＝2×4＋1×1＝9?？磥?lái)是我算錯了，我們再算一遍，這次可要打起精神了：a代表A地上車(chē)A地下車(chē)。所以可能的情況是：我搭I(lǐng)I號線(xiàn)在A(yíng)地上車(chē)A地下車(chē)（矩陣II第一行第一列），1塊。然后轉I號線(xiàn)同樣在A(yíng)地上車(chē)A地下車(chē)（矩陣I第一行第一列），也是1塊。1×1＝1。還有一種可能是，我搭I(lǐng)I號線(xiàn)在A(yíng)地上車(chē)B地下車(chē)（矩陣II第一行第二列），3塊。然后在B地轉I號線(xiàn)從B地回到A地（矩陣II第二行第一列），3塊。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。 嗯，奇怪，沒(méi)錯啊。那么難道前面算錯了？我們再算一遍，好像也沒(méi)錯，前面a＝1＋8＝9。那么，那么……誰(shuí)錯了？哈哈，海森堡錯了，他這次可丟臉了，他發(fā)明了一種什么樣的表格乘法啊，居然導致如此荒唐的結果：I×II ≠ II×I。 我們不妨把結果整個(gè)算出來(lái)：
的確，I×II ≠ II×I。這可真讓人惋惜，原來(lái)我們還以為這種表格式的運算至少有點(diǎn)創(chuàng )意的，現在看來(lái)浪費了大家不少時(shí)間，只好說(shuō)聲抱歉。但是，慢著(zhù)，海森堡還有話(huà)要說(shuō)，先別為我們死去的腦細胞默哀，它們的死也許不是完全沒(méi)有意義的。 大家冷靜點(diǎn)，大家冷靜點(diǎn)，海森堡搖晃著(zhù)他那漂亮的頭發(fā)說(shuō)，我們必須學(xué)會(huì )面對現實(shí)。我們已經(jīng)說(shuō)過(guò)了，物理學(xué)，必須從唯一可以被實(shí)踐的數據出發(fā)，而不是靠想象和常識習慣。我們要學(xué)會(huì )依賴(lài)于數學(xué)，而不是日常語(yǔ)言，因為只有數學(xué)才具有唯一的意義，才能告訴我們唯一的真實(shí)。我們必須認識到這一點(diǎn)：數學(xué)怎么說(shuō)，我們就得接受什么。如果數學(xué)說(shuō)I×II ≠ II×I，那么我們就得這么認為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來(lái)譏笑我們，我們也不能改變這一立場(chǎng)。何況，如果仔細審查這里面的意義，也并沒(méi)有太大的荒謬：先搭乘I號線(xiàn)，再轉II號線(xiàn)，這和先搭乘II號線(xiàn)，再轉I號線(xiàn)，導致的結果可能是不同的，有什么問(wèn)題嗎？ 好吧，有人諷刺地說(shuō)，那么牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？ 海森堡冷冷地說(shuō)，牛頓力學(xué)是經(jīng)典體系，我們討論的是量子體系。永遠不要對量子世界的任何奇特性質(zhì)過(guò)分大驚小怪，那會(huì )讓你發(fā)瘋的。量子的規則，并不一定要受到乘法交換率的束縛。 他無(wú)法做更多的口舌之爭了，1925年夏天，他被一場(chǎng)熱病所感染，不得不離開(kāi)哥廷根，到北海的一個(gè)小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養。但是他的大腦沒(méi)有停滯，在遠離喧囂的小島上，海森堡堅定地沿著(zhù)這條奇特的表格式道路去探索物理學(xué)的未來(lái)。而且，他很快就獲得了成功：事實(shí)上，只要把矩陣的規則運用到經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)公式里去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅實(shí)的矩陣磚塊構造起來(lái)的方程，海森堡可以自然而然地推導出量子化的原子能級和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強行附加一個(gè)不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數學(xué)解釋一切，我們的想象是靠不住的。 雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味著(zhù)什么，無(wú)論對于海森堡，還是當時(shí)的所有人來(lái)說(shuō)，都還仍然是一個(gè)謎題，但量子力學(xué)的基本形式卻已經(jīng)得到了突破進(jìn)展。從這時(shí)候起，量子論將以一種氣勢磅礴的姿態(tài)向前邁進(jìn)，每一步都那樣雄偉壯麗，激起滔天的巨浪和美麗的浪花。接下來(lái)的3年是夢(mèng)幻般的3年，是物理史上難以想象的3年，理論物理的黃金年代，終于要放射出它最耀眼的光輝，把整個(gè)20世紀都裝點(diǎn)得神圣起來(lái)。 海森堡后來(lái)在寫(xiě)給好友范德沃登的信中回憶道，當他在那個(gè)石頭小島上的時(shí)候，有一晚忽然想到體系的總能量應該是一個(gè)常數。于是他試著(zhù)用他那規則來(lái)解這個(gè)方程以求得振子能量。求解并不容易，他做了一個(gè)通宵，但求出來(lái)的結果和實(shí)驗符合得非常好。于是他爬上一個(gè)山崖去看日出，同時(shí)感到自己非常幸運。 是的，曙光已經(jīng)出現，太陽(yáng)正從海平線(xiàn)上冉冉升起，萬(wàn)道霞光染紅了海面和空中的云彩，在天地間流動(dòng)著(zhù)奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡面對著(zhù)壯觀(guān)的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無(wú)窮無(wú)盡的遠方。是的，他知道，this is the moment，他已經(jīng)作出生命中最重要的突破，而物理學(xué)的黎明也終于到來(lái)。 ********* 我們已經(jīng)看到，海森堡發(fā)明了這種奇特的表格，I×II ≠ II×I，連他自己都沒(méi)把握確定這是個(gè)什么怪物。當他結束養病，回到哥廷根后，就把論文草稿送給老師波恩，讓他評論評論。波恩看到這種表格運算大吃一驚，原來(lái)這不是什么新鮮東西，正是線(xiàn)性代數里學(xué)到的“矩陣”！回溯歷史，這種工具早在1858年就已經(jīng)由一位劍橋的數學(xué)家Arthur Cayley所發(fā)明，不過(guò)當時(shí)不叫“矩陣”而叫做“行列式”（determinant，這個(gè)字后來(lái)變成了另外一個(gè)意思，雖然還是和矩陣關(guān)系很緊密）。發(fā)明矩陣最初的目的，是簡(jiǎn)潔地來(lái)求解某些微分方程組（事實(shí)上直到今天，大學(xué)線(xiàn)性代數課還是主要解決這個(gè)問(wèn)題）。但海森堡對此毫不知情，他實(shí)際上不知不覺(jué)地“重新發(fā)明”了矩陣的概念。波恩和他那精通矩陣運算的助教約爾當隨即在嚴格的數學(xué)基礎上發(fā)展了海森堡的理論，進(jìn)一步完善了量子力學(xué)，我們很快就要談到。 數學(xué)在某種意義上來(lái)說(shuō)總是領(lǐng)先的。Cayley創(chuàng )立矩陣的時(shí)候，自然想不到它后來(lái)會(huì )在量子論的發(fā)展中起到關(guān)鍵作用。同樣，黎曼創(chuàng )立黎曼幾何的時(shí)候，又怎會(huì )料到他已經(jīng)給愛(ài)因斯坦和他偉大的相對論提供了最好的工具。 喬治?蓋莫夫在那本受歡迎的老科普書(shū)《從一到無(wú)窮大》（One, Two, Three…Infinity）里說(shuō)，目前數學(xué)還有一個(gè)大分支沒(méi)有派上用場(chǎng)（除了智力體操的用處之外），那就是數論。古老的數論領(lǐng)域里已經(jīng)有許多難題被解開(kāi)，比如四色問(wèn)題，費馬大定理。也有比如著(zhù)名的哥德巴赫猜想，至今懸而未決。天知道，這些理論和思路是不是在將來(lái)會(huì )給某個(gè)物理或者化學(xué)理論開(kāi)道，打造出一片全新的天地來(lái)。 四 從赫爾格蘭回來(lái)后，海森堡找到波恩，請求允許他離開(kāi)哥廷根一陣，去劍橋講課。同時(shí)，他也把自己的論文給了波恩過(guò)目，問(wèn)他有沒(méi)有發(fā)表的價(jià)值。波恩顯然被海森堡的想法給迷住了，正如他后來(lái)回憶的那樣：“我對此著(zhù)了迷……海森堡的思想給我留下了深刻的印象，對于我們一直追求的那個(gè)體系來(lái)說(shuō)，這是一次偉大的突破。” 于是當海森堡去到英國講學(xué)的時(shí)候，波恩就把他的這篇論文寄給了《物理學(xué)雜志》（Zeitschrift fur Physik）,并于7月29日發(fā)表。這無(wú)疑標志著(zhù)新生的量子力學(xué)在公眾面前的首次亮相。 但海森堡古怪的表格乘法無(wú)疑也讓波恩困擾，他在7月15日寫(xiě)給愛(ài)因斯坦的信中說(shuō)：“海森堡新的工作看起來(lái)有點(diǎn)神秘莫測，不過(guò)無(wú)疑是很深刻的，而且是正確的。”但是，有一天，波恩突然靈光一閃：他終于想起來(lái)這是什么了。海森堡的表格，正是他從前所聽(tīng)說(shuō)過(guò)的那個(gè)“矩陣”！ 但是對于當時(shí)的歐洲物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，矩陣幾乎是一個(gè)完全陌生的名字。甚至連海森堡自己，也不見(jiàn)得對它的性質(zhì)有著(zhù)完全的了解。波恩決定為海森堡的理論打一個(gè)堅實(shí)的數學(xué)基礎，他找到泡利，希望與之合作，可是泡利對此持有強烈的懷疑態(tài)度，他以他標志性的尖刻語(yǔ)氣對波恩說(shuō)：“是的，我就知道你喜歡那種冗長(cháng)和復雜的形式主義，但你那無(wú)用的數學(xué)只會(huì )損害海森堡的物理思想。”波恩在泡利那里碰了一鼻子灰，不得不轉向他那熟悉矩陣運算的年輕助教約爾當（Pascual Jordan,再過(guò)一個(gè)禮拜，就是他101年誕辰），兩人于是欣然合作，很快寫(xiě)出了著(zhù)名的論文《論量子力學(xué)》（Zur Quantenmechanik），發(fā)表在《物理學(xué)雜志》上。在這篇論文中，兩人用了很大的篇幅來(lái)闡明矩陣運算的基本規則，并把經(jīng)典力學(xué)的哈密頓變換統統改造成為矩陣的形式。傳統的動(dòng)量p和位置q這兩個(gè)物理變量，現在成為了兩個(gè)含有無(wú)限數據的龐大表格，而且，正如我們已經(jīng)看到的那樣，它們并不遵守傳統的乘法交換率，p×q ≠ q×p。 波恩和約爾當甚至把p×q和q×p之間的差值也算了出來(lái)，結果是這樣的： pq – qp = (h/2πi) I h是我們已經(jīng)熟悉的普朗克常數，i是虛數的單位，代表-1的平方根，而I叫做單位矩陣，相當于矩陣運算中的1。波恩和約爾當奠定了一種新的力學(xué)——矩陣力學(xué)的基礎。在這種新力學(xué)體系的魔法下，普朗克常數和量子化從我們的基本力學(xué)方程中自然而然地跳了出來(lái)，成為自然界的內在稟性。如果認真地對這種力學(xué)形式做一下探討，人們會(huì )驚奇地發(fā)現，牛頓體系里的種種結論，比如能量守恒，從新理論中也可以得到。這就是說(shuō)，新力學(xué)其實(shí)是牛頓理論的一個(gè)擴展，老的經(jīng)典力學(xué)其實(shí)被“包含”在我們的新力學(xué)中，成為一種特殊情況下的表現形式。 這種新的力學(xué)很快就得到進(jìn)一步完善。從劍橋返回哥廷根后，海森堡本人也加入了這個(gè)偉大的開(kāi)創(chuàng )性工作中。11月26日，《論量子力學(xué)II》在《物理學(xué)雜志》上發(fā)表，作者是波恩，海森堡和約爾當。這篇論文把原來(lái)只討論一個(gè)自由度的體系擴展到任意個(gè)自由度，從而徹底建立了新力學(xué)的主體?，F在，他們可以自豪地宣稱(chēng)，長(cháng)期以來(lái)人們所苦苦追尋的那個(gè)目標終于達到了，多年以來(lái)如此困擾著(zhù)物理學(xué)家的原子光譜問(wèn)題，現在終于可以在新力學(xué)內部完美地解決?！墩摿孔恿W(xué)II》這篇文章，被海森堡本人親切地稱(chēng)呼為“三人論文”（Dreimannerarbeit）的，也終于注定要在物理史上流芳百世。 新體系顯然在理論上獲得了巨大的成功。泡利很快就改變了他的態(tài)度，在寫(xiě)給克羅尼格（Ralph Laer Kronig）的信里，他說(shuō)：“海森堡的力學(xué)讓我有了新的熱情和希望。”隨后他很快就給出了極其有說(shuō)服力的證明，展示新理論的結果和氫分子的光譜符合得非常完美，從量子規則中，巴爾末公式可以被自然而然地推導出來(lái)。非常好笑的是，雖然他不久前還對波恩咆哮說(shuō)“冗長(cháng)和復雜的形式主義”，但他自己的證明無(wú)疑動(dòng)用了最最復雜的數學(xué)。 不過(guò)，對于當時(shí)其他的物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，海森堡的新體系無(wú)疑是一個(gè)怪物。矩陣這種冷冰冰的東西實(shí)在太不講情面，不給人以任何想象的空間。人們一再追問(wèn)，這里面的物理意義是什么？矩陣究竟是個(gè)什么東西？海森堡卻始終護定他那讓人沮喪的立場(chǎng)：所謂“意義”是不存在的，如果有的話(huà)，那數學(xué)就是一切“意義”所在。物理學(xué)是什么？就是從實(shí)驗觀(guān)測量出發(fā)，并以龐大復雜的數學(xué)關(guān)系將它們聯(lián)系起來(lái)的一門(mén)科學(xué)，如果說(shuō)有什么圖像能夠讓人們容易理解和記憶的話(huà)，那也是靠不住的。但是，不管怎么樣，畢竟矩陣力學(xué)對于大部分人來(lái)說(shuō)都太陌生太遙遠了，而隱藏在它背后的深刻含義，當時(shí)還遠遠沒(méi)有被發(fā)掘出來(lái)。特別是，p×q ≠ q×p，這究竟代表了什么，令人頭痛不已。 一年后，當薛定諤以人們所喜聞樂(lè )見(jiàn)的傳統方式發(fā)布他的波動(dòng)方程后，幾乎全世界的物理學(xué)家都松了一口氣：他們終于解脫了，不必再費勁地學(xué)習海森堡那異常復雜和繁難的矩陣力學(xué)。當然，人人都必須承認，矩陣力學(xué)本身的偉大含義是不容懷疑的。 但是，如果說(shuō)在1925年，歐洲大部分物理學(xué)家都還對海森堡，波恩和約爾當的力學(xué)一知半解的話(huà)，那我們也不得不說(shuō)，其中有一個(gè)非常顯著(zhù)的例外，他就是保羅?狄拉克。在量子力學(xué)大發(fā)展的年代，哥本哈根，哥廷根以及慕尼黑三地搶盡了風(fēng)頭，狄拉克的崛起總算也為老牌的劍橋挽回了一點(diǎn)顏面。 保羅?埃德里安?莫里斯?狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）于1902年8月8日出生于英國布里斯托爾港。他的父親是瑞士人，當時(shí)是一位法語(yǔ)教師，狄拉克是家里的第二個(gè)孩子。許多大物理學(xué)家的童年教育都是多姿多彩的，比如玻爾，海森堡，還有薛定諤。但狄拉克的童年顯然要悲慘許多，他父親是一位非常嚴肅而刻板的人，給保羅制定了眾多的嚴格規矩。比如他規定保羅只能和他講法語(yǔ)（他認為這樣才能學(xué)好這種語(yǔ)言），于是當保羅無(wú)法表達自己的時(shí)候，只好選擇沉默。在小狄拉克的童年里，音樂(lè )、文學(xué)、藝術(shù)顯然都和他無(wú)緣，社交活動(dòng)也幾乎沒(méi)有。這一切把狄拉克塑造成了一個(gè)沉默寡言，喜好孤獨，淡泊名利，在許多人眼里顯得geeky的人。有一個(gè)流傳很廣的關(guān)于狄拉克的笑話(huà)是這樣說(shuō)的：有一次狄拉克在某大學(xué)演講，講完后一個(gè)觀(guān)眾起來(lái)說(shuō)：“狄拉克教授，我不明白你那個(gè)公式是如何推導出來(lái)的。”狄拉克看著(zhù)他久久地不說(shuō)話(huà)，主持人不得不提醒他，他還沒(méi)有回答問(wèn)題。 “回答什么問(wèn)題？”狄拉克奇怪地說(shuō)，“他剛剛說(shuō)的是一個(gè)陳述句，不是一個(gè)疑問(wèn)句。” 1921年，狄拉克從布里斯托爾大學(xué)電機工程系畢業(yè)，恰逢經(jīng)濟大蕭條，結果沒(méi)法找到工作。事實(shí)上，很難說(shuō)他是否會(huì )成為一個(gè)出色的工程師，狄拉克顯然長(cháng)于理論而拙于實(shí)驗。不過(guò)幸運的是，布里斯托爾大學(xué)數學(xué)系又給了他一個(gè)免費進(jìn)修數學(xué)的機會(huì )，2年后，狄拉克轉到劍橋，開(kāi)始了人生的新篇章。 我們在上面說(shuō)到，1925年秋天，當海森堡在赫爾格蘭島作出了他的突破后，他獲得波恩的批準來(lái)到劍橋講學(xué)。當時(shí)海森堡對自己的發(fā)現心中還沒(méi)有底，所以沒(méi)有在公開(kāi)場(chǎng)合提到自己這方面的工作，不過(guò)7月28號，他參加了所謂“卡皮察俱樂(lè )部”的一次活動(dòng)?？ㄆげ欤≒.L.Kapitsa）是一位年輕的蘇聯(lián)學(xué)生，當時(shí)在劍橋跟隨盧瑟福工作。他感到英國的學(xué)術(shù)活動(dòng)太刻板，便自己組織了一個(gè)俱樂(lè )部，在晚上聚會(huì )，報告和討論有關(guān)物理學(xué)的最新進(jìn)展。我們在前面討論盧瑟福的時(shí)候提到過(guò)卡皮察的名字，他后來(lái)也獲得了諾貝爾獎。 狄拉克也是卡皮察俱樂(lè )部的成員之一，他當時(shí)不在劍橋，所以沒(méi)有參加這個(gè)聚會(huì )。不過(guò)他的導師福勒（William Alfred Fowler）參加了，而且大概在和海森堡的課后討論中，得知他已經(jīng)發(fā)明了一種全新的理論來(lái)解釋原子光譜問(wèn)題。后來(lái)海森堡把他的證明寄給了福勒，而福勒給了狄拉克一個(gè)復印本。這一開(kāi)始沒(méi)有引起狄拉克的重視，不過(guò)大概一個(gè)禮拜后，他重新審視海森堡的論文，這下他把握住了其中的精髓：別的都是細枝末節，只有一件事是重要的，那就是我們那奇怪的矩陣乘法規則：p×q ≠ q×p。 ********* 恩斯特?帕斯庫爾?約爾當（Ernst Pascual Jordan）出生于漢諾威。在我們的史話(huà)里已經(jīng)提到，他是物理史上兩篇重要的論文《論量子力學(xué)》I和II的作者之一，可以說(shuō)也是量子力學(xué)的主要創(chuàng )立者。但是，他的名聲顯然及不上波恩或者海森堡。 這里面的原因顯然也是多方面的，1925年，約爾當才22歲，無(wú)論從資格還是名聲來(lái)說(shuō)，都遠遠及不上元老級的波恩和少年成名的海森堡。當時(shí)和他一起做出貢獻的那些人，后來(lái)都變得如此著(zhù)名：波恩，海森堡，泡利，他們的光輝耀眼，把約爾當完全給蓋住了。 從約爾當本人來(lái)說(shuō)，他是一個(gè)害羞和內向的人，說(shuō)話(huà)有口吃的毛病，總是結結巴巴的，所以他很少授課或發(fā)表演講。更嚴重的是，約爾當在二戰期間站到了希特勒的一邊，成為一個(gè)納粹的同情者，被指責曾經(jīng)告密。這大大損害了他的聲名。 約爾當是一個(gè)作出了許多偉大成就的科學(xué)家。除了創(chuàng )立了基本的矩陣力學(xué)形式，為量子論打下基礎之外，他同樣在量子場(chǎng)論，電子自旋，量子電動(dòng)力學(xué)中作出了巨大的貢獻。他是最先證明海森堡和薛定諤體系同等性的人之一，他發(fā)明了約爾當代數，后來(lái)又廣泛涉足生物學(xué)、心理學(xué)和運動(dòng)學(xué)。他曾被提名為諾貝爾獎得主，卻沒(méi)有成功。約爾當后來(lái)顯然也對自己的成就被低估有些惱火，1964年，他聲稱(chēng)《論量子力學(xué)》一文其實(shí)幾乎都是他一個(gè)人的貢獻——波恩那時(shí)候病了。這引起了廣泛的爭議，不過(guò)許多人顯然同意，約爾當的貢獻應當得到更多的承認。 五 p×q ≠ q×p。如果說(shuō)狄拉克比別人天才在什么地方，那就是他可以一眼就看出這才是海森堡體系的精髓。那個(gè)時(shí)候，波恩和約爾當還在苦苦地鉆研討厭的矩陣，為了建立起新的物理大廈而努力地搬運著(zhù)這種龐大而又沉重的表格式方磚，而他們的文章尚未發(fā)表。但狄拉克是不想做這種苦力的，他輕易地透過(guò)海森堡的表格，把握住了這種代數的實(shí)質(zhì)。不遵守交換率，這讓我想起了什么？狄拉克的腦海里閃過(guò)一個(gè)名詞，他以前在上某一門(mén)動(dòng)力學(xué)課的時(shí)候，似乎聽(tīng)說(shuō)過(guò)一種運算，同樣不符合乘法交換率。但他還不是十分確定，他甚至連那種運算的定義都給忘了。那天是星期天，所有的圖書(shū)館都關(guān)門(mén)了，這讓狄拉克急得像熱鍋上的螞蟻。第二天一早，圖書(shū)館剛剛開(kāi)門(mén)，他就沖了進(jìn)去，果然，那正是他所要的東西：它的名字叫做“泊松括號”。 我們還在第一章討論光和菲涅爾的時(shí)候，就談到過(guò)泊松，還有著(zhù)名的泊松光斑。泊松括號也是這位法國科學(xué)家的杰出貢獻，不過(guò)我們在這里沒(méi)有必要深入它的數學(xué)意義?？傊?，狄拉克發(fā)現，我們不必花九牛二虎之力去搬弄一個(gè)晦澀的矩陣，以此來(lái)顯示和經(jīng)典體系的決裂。我們完全可以從經(jīng)典的泊松括號出發(fā)，建立一種新的代數。這種代數同樣不符合乘法交換率，狄拉克把它稱(chēng)作“q數”（q表示“奇異”或者“量子”）。我們的動(dòng)量、位置、能量、時(shí)間等等概念，現在都要改造成這種q數。而原來(lái)那些老體系里的符合交換率的變量，狄拉克把它們稱(chēng)作“c數”（c代表“普通”）。 “看。”狄拉克說(shuō)，“海森堡的最后方程當然是對的，但我們不用他那種大驚小怪，牽強附會(huì )的方式，也能夠得出同樣的結果。用我的方式，同樣能得出xy-yx的差值，只不過(guò)把那個(gè)讓人看了生厭的矩陣換成我們的經(jīng)典泊松括號[x,y]罷了。然后把它用于經(jīng)典力學(xué)的哈密頓函數，我們可以順理成章地導出能量守恒條件和玻爾的頻率條件。重要的是，這清楚地表明了，我們的新力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)是一脈相承的，是舊體系的一個(gè)擴展。c數和q數，可以以清楚的方式建立起聯(lián)系來(lái)。” 狄拉克把論文寄給海森堡，海森堡熱情地贊揚了他的成就，不過(guò)帶給狄拉克一個(gè)糟糕的消息：他的結果已經(jīng)在德國由波恩和約爾當作出了，是通過(guò)矩陣的方式得到的。想來(lái)狄拉克一定為此感到很郁悶，因為顯然他的法子更簡(jiǎn)潔明晰。隨后狄拉克又出色地證明了新力學(xué)和氫分子實(shí)驗數據的吻合，他又一次郁悶了——泡利比他快了一點(diǎn)點(diǎn)，五天而已。哥廷根的這幫家伙，海森堡，波恩，約爾當，泡利，他們是大軍團聯(lián)合作戰，而狄拉克在劍橋則是孤軍奮斗，因為在英國懂得量子力學(xué)的人簡(jiǎn)直屈指可數。但是，雖然狄拉克慢了那么一點(diǎn)，但每一次他的理論都顯得更為簡(jiǎn)潔、優(yōu)美、深刻。而且，上天很快會(huì )給他新的機會(huì )，讓他的名字在歷史上取得不遜于海森堡、波恩等人的地位。 現在，在舊的經(jīng)典體系的廢墟上，矗立起了一種新的力學(xué)，由海森堡為它奠基，波恩，約爾當用矩陣那實(shí)心的磚塊為它建造了堅固的主體，而狄拉克的優(yōu)美的q數為它做了最好的裝飾?，F在，唯一缺少的就是一個(gè)成功的廣告和落成典禮，把那些還在舊廢墟上唉聲嘆氣的人們都吸引到新大廈里來(lái)定居。這個(gè)慶典在海森堡取得突破后3個(gè)月便召開(kāi)了，它的主題叫做“電子自旋”。 我們還記得那讓人頭痛的“反常塞曼效應”，這種復雜現象要求引進(jìn)1/2的量子數。為此，泡利在1925年初提出了他那著(zhù)名的“不相容原理”的假設，我們前面已經(jīng)討論過(guò)，這個(gè)規定是說(shuō)，在原子大廈里，每一間房間都有一個(gè)4位數的門(mén)牌號碼，而每間房只能入住一個(gè)電子。所以任何兩個(gè)電子也不能共享同一組號碼。 這個(gè)“4位數的號碼”，其每一位都代表了電子的一個(gè)量子數。當時(shí)人們已經(jīng)知道電子有3個(gè)量子數，這第四個(gè)是什么，便成了眾說(shuō)紛紜的謎題。不相容原理提出后不久，當時(shí)在哥本哈根訪(fǎng)問(wèn)的克羅尼格（Ralph Kronig）想到了一種可能：就是把這第四個(gè)自由度看成電子繞著(zhù)自己的軸旋轉。他找到海森堡和泡利，提出了這一思路，結果遭到兩個(gè)德國年輕人的一致反對。因為這樣就又回到了一種圖像化的電子概念那里，把電子想象成一個(gè)實(shí)實(shí)在在的小球，而違背了我們從觀(guān)察和數學(xué)出發(fā)的本意了。如果電子真是這樣一個(gè)帶電小球的話(huà)，在麥克斯韋體系里是不穩定的，再說(shuō)也違反相對論——它的表面旋轉速度要高于光速。 到了1925年秋天，自旋的假設又在荷蘭萊頓大學(xué)的兩個(gè)學(xué)生，烏侖貝克（George Eugene Uhlenbeck）和古德施密特（Somul Abraham Goudsmit）那里死灰復燃了。當然，兩人不知道克羅尼格曾經(jīng)有過(guò)這樣的意見(jiàn)，他們是在研究光譜的時(shí)候獨立產(chǎn)生這一想法的。于是兩人找到導師埃侖費斯特（Paul Ehrenfest）征求意見(jiàn)。埃侖費斯特也不是很確定，他建議兩人先寫(xiě)一個(gè)小文章發(fā)表。于是兩人當真寫(xiě)了一個(gè)短文交給埃侖費斯特，然后又去求教于老資格的洛侖茲。洛侖茲幫他們算了算，結果在這個(gè)模型里電子表面的速度達到了光速的10倍。兩人大吃一驚，風(fēng)急火燎地趕回大學(xué)要求撤銷(xiāo)那篇短文，結果還是晚了，埃侖費斯特早就給Nature雜志寄了出去。據說(shuō)，兩人當時(shí)懊惱得都快哭了，埃侖費斯特只好安慰他們說(shuō)：“你們還年輕，做點(diǎn)蠢事也沒(méi)關(guān)系。” 還好，事情并沒(méi)有想象的那么糟糕。玻爾首先對此表示贊同，海森堡用新的理論去算了算結果后，也轉變了反對的態(tài)度。到了1926年，海森堡已經(jīng)在說(shuō)：“如果沒(méi)有古德施密特，我們真不知該如何處理塞曼效應。”一些技術(shù)上的問(wèn)題也很快被解決了，比如有一個(gè)系數2，一直和理論所抵觸，結果在玻爾研究所訪(fǎng)問(wèn)的美國物理學(xué)家托馬斯發(fā)現原來(lái)人們都犯了一個(gè)計算錯誤，而自旋模型是正確的。很快海森堡和約爾當用矩陣力學(xué)處理了自旋，結果大獲全勝，很快沒(méi)有人懷疑自旋的正確性了。 哦，不過(guò)有一個(gè)例外，就是泡利，他一直對自旋深?lèi)和唇^。在他看來(lái)，原本電子已經(jīng)在數學(xué)當中被表達得很充分了——現在可好，什么形狀、軌道、大小、旋轉……種種經(jīng)驗性的概念又幽靈般地回來(lái)了。原子系統比任何時(shí)候都像個(gè)太陽(yáng)系，本來(lái)只有公轉，現在連自轉都有了。他始終按照自己的路子走，決不向任何力學(xué)模型低頭。事實(shí)上，在某種意義上泡利是對的，電子的自旋并不能想象成傳統行星的那種自轉，它具有1/2的量子數，也就是說(shuō)，它要轉兩圈才露出同一個(gè)面孔，這里面的意義只能由數學(xué)來(lái)把握。后來(lái)泡利真的從特定的矩陣出發(fā)，推出了這一性質(zhì)，而一切又被偉大的狄拉克于1928年統統包含于他那相對論化了的量子體系中，成為電子內稟的自然屬性。 但是，無(wú)論如何，1926年海森堡和約爾當的成功不僅是電子自旋模型的勝利，更是新生的矩陣力學(xué)的勝利。不久海森堡又天才般地指出了解決有著(zhù)兩個(gè)電子的原子——氦原子的道路，使得新體系的威力再次超越了玻爾的老系統，把它的疆域擴大到以前未知的領(lǐng)域中。已經(jīng)在迷霧和荊棘中彷徨了好幾年的物理學(xué)家們這次終于可以揚眉吐氣，把長(cháng)久郁積的壞心情一掃而空，好好地呼吸一下那新鮮的空氣。 但是，人們還沒(méi)有來(lái)得及歇一歇腳，欣賞一下周?chē)娘L(fēng)景，為目前的成就自豪一下，我們的快艇便又要前進(jìn)了。物理學(xué)正處在激流之中，它飛流直下，一瀉千里，帶給人暈眩的速度和刺激。自牛頓起250年來(lái)，科學(xué)從沒(méi)有在哪個(gè)時(shí)期可以像如今這般翻天覆地，健步如飛。量子的力量現在已經(jīng)完全蘇醒了，在接下來(lái)的3年間，它將改變物理學(xué)的一切，在人類(lèi)的智慧中刻下最深的烙印，并影響整個(gè)20世紀的面貌。 當烏侖貝克和古德施密特提出自旋的時(shí)候，玻爾正在去往萊登（Leiden）的路上。當他的火車(chē)到達漢堡的時(shí)候，他發(fā)現泡利和斯特恩（Stern）站在站臺上，只是想問(wèn)問(wèn)他關(guān)于自旋的看法，玻爾不大相信，但稱(chēng)這很有趣。到達萊登以后，他又碰到了愛(ài)因斯坦和埃侖費斯特，愛(ài)因斯坦詳細地分析了這個(gè)理論，于是玻爾改變了看法。在回去的路上，玻爾先經(jīng)過(guò)哥廷根，海森堡和約爾當站在站臺上。同樣的問(wèn)題：怎么看待自旋？最后，當玻爾的火車(chē)抵達柏林，泡利又站在了站臺上——他從漢堡一路趕到柏林，想聽(tīng)聽(tīng)玻爾一路上有了什么看法的變化。 人們后來(lái)回憶起那個(gè)年代，簡(jiǎn)直像是在講述一個(gè)童話(huà)。物理學(xué)家們一個(gè)個(gè)都被洪流沖擊得站不住腳：節奏快得幾乎不給人喘息的機會(huì )，爆炸性的概念一再地被提出，每一個(gè)都足以改變整個(gè)科學(xué)的面貌。但是，每一個(gè)人都感到深深的驕傲和自豪，在理論物理的黃金年代，能夠扮演歷史舞臺上的那一個(gè)角色。人們常說(shuō)，時(shí)勢造英雄，在量子物理的大發(fā)展時(shí)代，英雄們的確留下了最最偉大的業(yè)績(jì)，永遠讓后人心神向往。 回到我們的史話(huà)中來(lái)?，F在，花開(kāi)兩朵，各表一支。我們去看看量子論是如何沿著(zhù)另一條完全不同的思路，取得同樣偉大的突破的。 |
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