撰文：Sean Carroll
我們每天體驗到的世界，它的基礎是核心理論：這是一個(gè)量子場(chǎng)論，描述了某一組實(shí)體粒子（費米子）和媒介粒子（玻色子）的動(dòng)力學(xué)和相互作用，其中同時(shí)包含了粒子物理學(xué)的標準模型和愛(ài)因斯坦的廣義相對論（弱引力場(chǎng)的情況）。在本文中，我們將非常簡(jiǎn)略地探究核心理論中的這些場(chǎng)和相互作用的一些具體細節。我們的討論會(huì )像電報那么簡(jiǎn)略，其中充滿(mǎn)了術(shù)語(yǔ)和難解的想法。
我們這場(chǎng)討論的高潮只有一個(gè)公式，那就是：
○ 核心理論的本質(zhì)——也就是掌管日常生活的物理法則——的公式表述。這個(gè)公式就是從一個(gè)特定的場(chǎng)構型轉移到另一個(gè)場(chǎng)構型的量子幅，表達為對連接兩者的所有可能路徑的求和。
這就是所謂量子力學(xué)的路徑積分表述，理查德·費曼是研究它的先驅。波函數描述了你正在考慮的系統所有可能構型的一個(gè)疊加態(tài)。對于核心理論來(lái)說(shuō)，它的構型就是所有場(chǎng)在空間中所有點(diǎn)上的具體值。費曼形式的量子演化（跟薛定諤形式的等價(jià)，只是寫(xiě)法不同）能告訴你，假設系統在先前的某個(gè)時(shí)刻處于包含在之前的波函數中的某個(gè)構型的話(huà)，最后這個(gè)系統落到現在的波函數包含的某個(gè)特定構型的概率是多少?；蛘吣阋部梢詮闹蟮牟ê瘮党霭l(fā)然后反推；費曼的公式和薛定諤公式一樣，在拉普拉斯的意義上都是完全可逆的。只有當我們開(kāi)始進(jìn)行觀(guān)察時(shí)，量子力學(xué)才會(huì )違反可逆性。
這就是W這個(gè)量的實(shí)質(zhì)，它就是我們所說(shuō)的從一個(gè)場(chǎng)構型轉移到另一個(gè)場(chǎng)構型的“振幅”。它由費曼路徑積分給出，也就是對場(chǎng)在兩者之間演化的所有路徑的求和。如果上過(guò)微積分的課，你也許記得積分就是將無(wú)限個(gè)無(wú)限小的東西加起來(lái)的一種方法，比如說(shuō)我們在計算曲線(xiàn)下的面積時(shí)會(huì )將無(wú)限小的區域加起來(lái)。在這里，我們加起來(lái)的是場(chǎng)在開(kāi)端和結尾之間可能做的任何事情帶來(lái)的貢獻，我們就簡(jiǎn)單地將其稱(chēng)為場(chǎng)構型可以取的“路徑”。
那么，我們要積分的，或者說(shuō)要加起來(lái)的，到底是什么？對于系統可以選取的每條可能路徑，我們可以計算一個(gè)叫作用量的數值，傳統上用S來(lái)表示。如果這個(gè)系統在四處隨意跳來(lái)跳去，它的作用量會(huì )很大；如果它移動(dòng)得更平滑，作用量就會(huì )相對較小。路徑作用量的這個(gè)概念即使在經(jīng)典力學(xué)中也扮演了重要的角色；在我們可以想象系統能走的所有可能路徑之中，系統真正選取的路徑（也就是說(shuō)遵循經(jīng)典運動(dòng)方程的路徑）擁有最小的作用量。每個(gè)經(jīng)典理論都能用這種方式定義：先說(shuō)出系統的作用量是什么，然后尋找能最小化作用量的運動(dòng)方式。
在量子力學(xué)中，作用量又再出現，但這次有點(diǎn)變化。費曼提出了一種方法，其中我們想象量子系統會(huì )沿著(zhù)所有路徑演化，而不僅僅是經(jīng)典理論允許的那一條。我們對每條路徑賦予某個(gè)特定的相位因子exp{iS}。這個(gè)記號告訴我們要先取歐拉常數e = 2.7181……，然后求它的iS次冪，其中i是-1的平方根這個(gè)虛數，而S是路徑的作用量。
相位因子exp{iS}是一個(gè)復數，有實(shí)數部分和虛數部分，每部分可正可負。對所有路徑的所有貢獻求和，通常會(huì )牽涉一堆正數和一堆負數，而所有東西都會(huì )幾乎相互抵消，只剩下一個(gè)很小的結果。唯一的例外是有一組相近的路徑擁有非常相似的作用量，那么它們的相位因子也會(huì )很相似，將它們加起來(lái)會(huì )累積而不是抵消。這樣的事情恰好會(huì )在作用量接近最小值的時(shí)候發(fā)生，對應的就是經(jīng)典理論允許的路徑。所以看上去幾乎是經(jīng)典的演化會(huì )得到最大的量子概率。這就是為什么我們可以用經(jīng)典力學(xué)為日常生活的世界建立很好的模型；正是經(jīng)典行為向量子態(tài)的轉變概率作出了最大的貢獻。
我們可以把方程每部分拆開(kāi)來(lái)看。
先看看標著(zhù)“量子力學(xué)”那部分的方程。就是在這個(gè)地方，振幅被寫(xiě)成了關(guān)于一組場(chǎng)后面再加上“exp i……”的積分（符號是∫）。記號DgDψ指出了其中包含的場(chǎng)。字母D的意思就是“我們要在積分中累加的無(wú)窮小量”，而其他符號則代表了場(chǎng)本身。引力場(chǎng)是g，其他的玻色子力場(chǎng)（電磁相互作用，強核力和弱核力）被歸類(lèi)到符號A之中，所有費米子一起被歸類(lèi)到了符號ψ（希臘字母，可以寫(xiě)成Psi），而希格斯玻色子則是Φ（希臘字母，可以寫(xiě)成Phi）。記號“exp”的意思是“e的……次方”；i是-1的平方根，而i后面的所有東西就是核心理論中的作用量S。所以量子力學(xué)進(jìn)入這個(gè)表達式的方式就是：“對所有場(chǎng)可以選取的所有路徑下e的i乘以作用量次方進(jìn)行積分”。
有趣的事情都發(fā)生在作用量本身。許多職業(yè)粒子物理學(xué)家花上了人生中相當一部分的時(shí)間去寫(xiě)出不同場(chǎng)的組合下可能出現的不同作用量。但每個(gè)人都會(huì )從來(lái)自核心理論的這個(gè)作用量開(kāi)始。
作用量是一個(gè)對于整個(gè)空間，以及從初始構型到終末構型這個(gè)時(shí)間段內的積分。這就是記號∫d?x的作用；x代表了時(shí)空所有維度上的坐標，而4是為了提醒我們時(shí)空是四維的。在“時(shí)空”標簽之下還潛伏著(zhù)一個(gè)額外的因子，也就是某種叫做-g的東西的平方根。正如你能從字母g中猜測到的那樣，這與引力有關(guān)，特別是與時(shí)空彎曲的這個(gè)事實(shí)相關(guān)；這一部分說(shuō)明了一個(gè)事實(shí)，就是（我們積分的）時(shí)空的容積會(huì )被時(shí)空彎曲的方式影響。
方括號[]內的項就是所有不同的場(chǎng)對作用量的貢獻，包含了它們的內稟性質(zhì)和相互作用方式。它們能分成“引力”、“其他力”、“物質(zhì)”和“希格斯場(chǎng)”這些類(lèi)別。
“引力”這一項相當簡(jiǎn)單，它反映了愛(ài)因斯坦廣義相對論的那種脫俗的優(yōu)雅。數量R被稱(chēng)為曲率標量，它刻畫(huà)了任何一點(diǎn)上有多少某種特定的時(shí)空彎曲。它還要乘以一個(gè)常數mp2/2，這里mp是普朗克質(zhì)量。這其實(shí)就是牛頓的引力常數G的一種奇怪的表達方法，這個(gè)常數刻畫(huà)了引力的強度：mp2 = 1/(8πG)。我這里用的是“自然單位制”，其中光速和量子力學(xué)中的普朗克常數都被固定為單位1。曲率標量R可以從引力場(chǎng)計算得出，而廣義相對論的作用量很簡(jiǎn)單，就是正比于R在時(shí)空區域上的積分。最小化這個(gè)積分的值，就能給出愛(ài)因斯坦的引力場(chǎng)方程。
下一步就是標上了“其他力”的這一項，其中數量F出現了兩次，還帶著(zhù)一些上標和下標。數量F又叫場(chǎng)強張量，在我們的記號中，它包括了來(lái)自電磁相互作用、強核力和弱核力的貢獻。本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，場(chǎng)強張量告訴我們這些場(chǎng)在時(shí)空中是如何扭曲和震蕩的，就像曲率標量告訴了我們時(shí)空本身的幾何如何扭曲和震蕩。對于電磁相互作用來(lái)說(shuō)，場(chǎng)強張量同時(shí)整合了電場(chǎng)和磁場(chǎng)。
在這里以及方程的其他地方，那些上標和下標標記的是不同的分量，比如說(shuō)我們談?wù)摰氖悄膫€(gè)場(chǎng)（光子、膠子、還是W和Z玻色子），但還包括場(chǎng)的具體部分，比如說(shuō)“電場(chǎng)指向x軸的部分”。當你看到兩個(gè)量時(shí)，比如說(shuō)這一項里的兩個(gè)F，如果它們上面有相同的指標，這就是“對于所有可能性求和”的代號。這是一種非常緊湊的記號，讓我們能在寥寥幾個(gè)符號中隱藏巨大的復雜度；這就是為什么這一項就能包括來(lái)自所有不同力場(chǎng)的貢獻。
當我們查看方程中被標上“物質(zhì)”的部分時(shí)，事情就有點(diǎn)棘手了。物質(zhì)場(chǎng)都是費米子，字母ψ代表了所有這些物質(zhì)場(chǎng)。跟玻色子一樣，這一個(gè)符號就一下子包括了所有費米子。第一項中ψ出現了兩次，希臘字母γ（gamma）一次，還有另一個(gè)D。這個(gè)γ代表了英國物理學(xué)家保羅·狄拉克（PaulDirac）引入的狄拉克矩陣，它們在費米子的行為中扮演了重要的角色，還詮釋了費米子一般都有對應的反粒子這個(gè)事實(shí)。在這里的D代表了場(chǎng)的導數或者說(shuō)變化率。所以這一項對費米子做的事情跟之前那些項對傳遞力的玻色子做的事情一樣：它告訴我們這些場(chǎng)在時(shí)空中如何變化。但在導數中還隱藏著(zhù)別的東西（這又是緊湊記號的魔法）：費米子和攜帶力的玻色子之間的耦合，或者說(shuō)相互作用，這種耦合依賴(lài)于費米子的荷。舉個(gè)例子，電子和光子相互作用的方式就是作用量中的這一項刻畫(huà)的。
接下來(lái)的一項牽涉另一種耦合，就是費米子和希格斯場(chǎng)Φ之間的耦合。跟核心理論作用量的其他部分不同，希格斯場(chǎng)和費米子之間的相互作用可以說(shuō)有點(diǎn)巴洛克風(fēng)格，沒(méi)什么吸引力。但它就在這里：兩個(gè)ψ和一個(gè)Φ，告訴我們這一項概括了費米子和希格斯場(chǎng)是如何相互作用的。有兩件事讓它如此復雜，第一件事就是符號Vij，它又被稱(chēng)為混合矩陣，記錄了費米子可以互相“混合”的事實(shí)——例如，當頂夸克衰變時(shí)，它實(shí)際上會(huì )衰變成下夸克、奇異夸克和底夸克的某種特定混合。
另一個(gè)令事情更為復雜的地方就是，你能看到一個(gè)費米子場(chǎng)有著(zhù)下標L，而另一個(gè)的下標則是R。它們代表了“左手性”和“右手性”的場(chǎng)。想象一下，將你的左手拇指朝向某個(gè)帶有自旋的粒子的運動(dòng)方向，別的手指就定義了自旋的一種可能朝向。如果粒子的自旋就是這個(gè)方向，它就是左手性的，如果自旋方向相反就是右手性。這些下標出現在核心理論的這一項，代表著(zhù)這個(gè)理論會(huì )區別對待左手性和右手性，至少在亞原子的層面上是這樣。這個(gè)特征引人注目，但也是必須存在的，因為自然以不同的方式對待左手性和右手性的粒子。這種現象又叫宇稱(chēng)不守恒，第一次被發(fā)現時(shí)震驚了粒子物理學(xué)家，但現在我們單純把它看作不同種類(lèi)的場(chǎng)相互作用時(shí)會(huì )發(fā)生的那種事情。
這一項的結尾“h.c.”代表了厄米共軛。這是一種花哨的寫(xiě)法，說(shuō)明了前面一項是復數，但作用量需要是實(shí)數，所以我們要減掉虛數部分，只留下一個(gè)純粹的實(shí)數量。
最后，我們還有作用量中關(guān)于希格斯場(chǎng)Φ的部分。它相當簡(jiǎn)單，第一部分是“動(dòng)能”項，代表了場(chǎng)變化的程度，第二項是“勢能”項，代表了即使在場(chǎng)不改變的情況下，場(chǎng)本身固定了多少能量。正是第二項讓希格斯場(chǎng)與眾不同。跟其他場(chǎng)一樣，希格斯場(chǎng)也希望靜靜地安坐在能夠擁有的最低能量上；跟其他已知的場(chǎng)不同的是，處于能量最低的狀態(tài)時(shí)，希格斯場(chǎng)自身并不會(huì )消失，而是擁有非零的值。正是這一點(diǎn)讓希格斯場(chǎng)即使在“真空”中也能夠存在，讓它能影響所有在其中運動(dòng)的其他粒子。
就是這樣，這就是核心理論的精簡(jiǎn)表達。只有一個(gè)方程，但能告訴我們一整套場(chǎng)從某個(gè)起始構型（波函數內疊加態(tài)中的一部分）轉移到某個(gè)終末構型的量子幅。
我們知道核心理論，也就是說(shuō)這個(gè)方程，并不是故事的結尾。宇宙中還有暗物質(zhì)，它并不能很好地符合任何已知的場(chǎng)。中微子擁有質(zhì)量，雖然我們寫(xiě)下的方程能適應這一點(diǎn)，但我們還沒(méi)有在實(shí)驗中證實(shí)我們寫(xiě)下的那些項的確是中微子擁有質(zhì)量的原因。另外，幾乎所有物理學(xué)家都相信有更多的粒子和場(chǎng)仍待發(fā)現，它們擁有更高的質(zhì)量和能量——但它們必須要么與我們的相互作用非常弱（類(lèi)似暗物質(zhì)），要么衰變得非?？?。
核心理論甚至不是關(guān)于所有我們已知存在的場(chǎng)的一個(gè)完整理論。比如說(shuō)還有量子引力的問(wèn)題。如果引力場(chǎng)很弱的話(huà)，我們寫(xiě)下的方程沒(méi)有問(wèn)題，但當引力變強的時(shí)候，比如說(shuō)在大爆炸附近或者在黑洞之中，它就不再生效。
這沒(méi)問(wèn)題。的確，這個(gè)理論的限制根植在它的形式化表達之中。在我們的方程中，有一個(gè)記號我們還沒(méi)有提到過(guò)：就在第一個(gè)積分符號，說(shuō)明我們要對所有不同的場(chǎng)構形關(guān)于時(shí)間求和那里，有一個(gè)下標是k < Λ，其中k是場(chǎng)的某個(gè)特定震動(dòng)模態(tài)的波數（wave number），而Λ又叫紫外截斷?；叵胍幌挛覀冊诘?4章討論過(guò)的，肯尼斯·威爾遜提倡的觀(guān)點(diǎn)：我們可以將每個(gè)場(chǎng)想象成振動(dòng)模態(tài)的組合，每個(gè)模態(tài)包含了具有特定波長(cháng)的振動(dòng)。波數就是標記這些模態(tài)的方法，大的k值對應短的波長(cháng)，也就是說(shuō)更高的能量。所以這個(gè)記號將我們在路徑積分中包含的場(chǎng)構型限制在了那些“振動(dòng)能量不太大”的可能性之中。這意味著(zhù)低能弱場(chǎng)的情況——但仍然足以描述你每天看見(jiàn)的世界中所有粒子和場(chǎng)這樣那樣的運動(dòng)。
換句話(huà)說(shuō)，核心理論是一個(gè)有效場(chǎng)論。它有著(zhù)非常具體、明確定義的適用范圍——也就是能量遠遠低于紫外截斷Λ的粒子之間的相互作用——而我們并不會(huì )假裝它在這個(gè)范圍以外仍然準確。它可以描述太陽(yáng)對地球施加的引力，但不能描述大爆炸時(shí)發(fā)生的事情。
這里講了很多東西，通常在研究生的物理課程才會(huì )講授這些內容。對那些并非已經(jīng)相當熟悉這些概念的人來(lái)說(shuō)，指望這一段濃縮后的介紹能帶來(lái)很多新的理解也不太合理。
但看到我們日常生活背后的核心理論，它是如此極端精簡(jiǎn)、嚴格并擁有明確的定義，這一點(diǎn)非常有用。核心理論中沒(méi)有模糊之處，也沒(méi)有空間足以引入我們現在仍然沒(méi)有察覺(jué)的重要新層面。
隨著(zhù)科學(xué)繼續得到更多關(guān)于宇宙的知識，我們會(huì )一直向核心理論添磚加瓦，甚至還可能找到它背后的一個(gè)更包羅萬(wàn)象的理論，其中完全不涉及量子場(chǎng)論。但這些都不會(huì )改變核心理論在它宣稱(chēng)的使用范圍內準確地描述了自然這個(gè)事實(shí)。我們成功構筑了這樣的一個(gè)理論，這個(gè)事實(shí)就是人類(lèi)智慧史上最偉大的勝利之一。
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