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作者：曹則賢 (中國科學(xué)院物理研究所)

摘要  1900~1928年間是物理學(xué)史上最激動(dòng)人心的時(shí)代，一群天才，主要是年輕人，在不到三十年的時(shí)間里構造了嶄新的量子力學(xué)體系，從而改變了物理學(xué)的面貌，也徹底地改變了人類(lèi)社會(huì )的面貌。本文將系統地解釋什么是量子(quantum)、什么是力學(xué)(mechanics)，在對量子力學(xué)創(chuàng )建過(guò)程的回顧中講述構成量子力學(xué)的具體內容，然后會(huì )介紹幾例量子力學(xué)帶來(lái)的新技術(shù)。量子力學(xué)從來(lái)都不是什么革命，它只是經(jīng)典物理學(xué)自然的、邏輯的延續。量子力學(xué)一如物理學(xué)的其它分支，都是人類(lèi)思想智慧的結晶。量子力學(xué)，還有相對論，這些百多年前的頭腦風(fēng)暴，今天應該成為受教育者的知識標配。

關(guān)鍵詞 (能量、作用量、相空間)量子，量子化，黑體輻射，光譜線(xiàn)，玻爾模型，躍遷，量子化條件，矩陣力學(xué)，波動(dòng)力學(xué)，波函數，量子數，自旋，群論，相對論量子力學(xué)，反粒子

1900~1928 年間是物理學(xué)史上最激動(dòng)人心的時(shí)代，一群天才，主要是年輕人，在不到三十年的時(shí)間里構造了嶄新的量子力學(xué)體系。若將1900 年普朗克得到黑體輻射譜的數學(xué)表達作為量子力學(xué)誕生的標志，則量子力學(xué)至今已誕生120 年了。量子力學(xué)不僅改變了物理學(xué)的面貌，也徹底地改變了人類(lèi)社會(huì )的面貌。量子力學(xué)是人類(lèi)思想智慧的結晶，百多年前它是天才頭腦風(fēng)暴的產(chǎn)物，在今天它應該成為受教育者的知識標配。本文將在對量子力學(xué)創(chuàng )建過(guò)程的回顧中系統講述構成量子力學(xué)的具體內容。文章的大致章節安排如下：

Quantum mechanics， 量子力學(xué)， 其中的quantum 來(lái)自拉丁語(yǔ)形容詞“多少”的中性形式。拉丁語(yǔ)形容詞“多少”的陽(yáng)性、中性、陰性形式分別是quantus，quantum，quanta。在拉丁語(yǔ)系的現代語(yǔ)言中，比如意大利語(yǔ)， quantum 的同源詞都明顯是多少的意思，比如Quanto costano(這東西多少錢(qián))？Quanti anni hai (你有幾個(gè)歲，即貴庚幾何)? 如今英文的quantity，quantitate，quantitative 都源于quantum， 和數量有關(guān)，是定量、量化的意思。實(shí)際上，在英語(yǔ)中quantum 這個(gè)詞的原形也一直被當作“數量”在用，比如見(jiàn)于quantum of rainfall (降雨量)。在著(zhù)名的007 系列中，有一集為quantum of solace，被翻譯成了“量子危機”。其實(shí)這里的quantum 不可以作“量子”解。Quantum of solace 是舒適度、安全度的意思。過(guò)去的江湖人士、而今的特工或者明星到了任何地方，都要本能地迅速評估出環(huán)境的安全度或者舒適度，電影Quantum of solace要反映的就是特工007 的這種本領(lǐng)。在和量子力學(xué)有關(guān)的西語(yǔ)語(yǔ)境中， quantum (quant)被當成名詞單數，而quanta (quanten)被當成名詞復數用，偶爾也有用quantal的。

那么quantum mechanics 中的mechanics 是什么意思呢？Mechanic 是個(gè)希臘語(yǔ)詞，與機械、工程有關(guān)， 比如希臘語(yǔ)的工程師是μηχανικ??(mechanikos)， 照相機是φωτογρακ? μηχαν? (photograkee mechanee)。弓箭、拋石機是人類(lèi)最早的機械，機械手表可說(shuō)是機械制造的巔峰。Mechanics，mechanism， 正確的理解是機巧、道理、機制， how it goes，類(lèi)似漢語(yǔ)的“道”。十九世紀人們用機械觀(guān)來(lái)理解遇到的各種物理現象，故有熱的機械觀(guān)(the mechanics of heat)，電的機械觀(guān)(the mechanics of electricity)，原子的機械觀(guān)(the mechanics of atom)。Mechanics 被漢譯為力學(xué)是錯譯，英語(yǔ)的力學(xué)是theory of force，德語(yǔ)為die Kraftslehre， 但是力的概念在1894 年已經(jīng)被赫茲踢出了物理學(xué)，后來(lái)的物理學(xué)基本不再拿力來(lái)說(shuō)事情。Analytical mechanics ( 分析力學(xué))， statistical mechanics (統計力學(xué))，都不是力學(xué)，如果說(shuō)analytical mechanics 還偶爾有force 這個(gè)概念出現的話(huà)，在statistical mechanics 就根本沒(méi)有力的蹤影。至于把熱功轉換的學(xué)問(wèn)，thermodynamics(dynamis， 功、能力、威力)，給理解為熱—力學(xué)，將之連同electrondynamics (電—動(dòng)力學(xué)) 一起都歸于所謂的四大“力”學(xué)，其害不淺。Quantum Mechanics， 字面上大約可以理解為關(guān)于小物理量世界的道，日本人把它翻譯成量子力學(xué)。

當我們將量子，quantum，的概念引入科學(xué)時(shí)，我們看中或者說(shuō)試圖賦予它什么特性呢？一個(gè)事物之最小構成單元就是quantum，它具有完整性、不可分辨性。沙丁魚(yú)群的quantum就是一條一條的沙丁魚(yú)。談?wù)摿孔訂?wèn)題要關(guān)注兩個(gè)詞， atom和integer， 不要把它們簡(jiǎn)單地按照英漢字典理解成“原子”和“整數”，而是應該按照拉丁語(yǔ)字面理解為不可分(a-tom)和不相連(in-teger)。Atom 和integer 就體現了量子的精神，這種精神在日常生活中就有應用。試舉一例。春秋時(shí)期，齊景公麾下有三個(gè)猛士公孫接、田開(kāi)疆、古冶子，因居功自傲得罪了相國晏嬰(“晏子過(guò)而趨，三子者不起”)，結果“一朝被讒言，二桃殺三士?！睘槭裁炊夷軞⑷磕?？因為桃在被“計功而食”的語(yǔ)境中就有了不可分的特性(atomicity)， 兩個(gè)桃子三個(gè)人分，只好爭搶。三個(gè)猛士因爭搶引起了羞辱感，結果全自殺身亡，這完全是著(zhù)了人家的量子計謀(圖1)。量子(quantum)，不可分性(atomicity)或者分立的特性(discreteness)， 相對應的是連續、彌散的分布。尊重分立性的存在，也是古老的生活智慧。人民解放軍有一位將軍皮定均中將，據傳他就規定他的部隊里“吃雞蛋必須以煮雞蛋的形式發(fā)到士兵手里，不許做成雞蛋湯、炒雞蛋?！敝箅u蛋體現的是一個(gè)一個(gè)雞蛋的分立存在，忽略雞蛋個(gè)頭上的差別，則吃到了就是吃到了，一點(diǎn)不含糊。與之相對，炒雞蛋、雞蛋湯語(yǔ)境下的雞蛋是攪合到一起的，雞蛋失去了其量子特征，則就有了很大的可含糊的余地：“二斤雞蛋炒兩個(gè)辣椒和二斤辣椒炒兩個(gè)雞蛋，都是辣椒炒雞蛋?！?一般教科書(shū)中將經(jīng)典物理放到量子物理的對立面上，暗示經(jīng)典物理不關(guān)注discreteness 的問(wèn)題，恕筆者不敢茍同。

圖1 二桃殺三士，選自《南陽(yáng)漢畫(huà)像石精萃》

量子是存在的最小單元，涉及不可分和分立性，則當我們談?wù)撚缮贁祹讉€(gè)單元組成的體系時(shí)，要抱著(zhù)一種謹慎的態(tài)度，因為這里要用到不同的處理問(wèn)題的方式或者哲學(xué)。比如我國2018 年GDP 總量約是93 萬(wàn)億元，以人民幣的量子來(lái)表示，就是9300 萬(wàn)億分，是一個(gè)16 位數。我們說(shuō)增長(cháng)率是6.6%，這個(gè)數值單純從算術(shù)的角度來(lái)看是合理的；其實(shí)就是說(shuō)增長(cháng)率為6.612724568932% 也行。但是，若我們說(shuō)某單位工資額比去年同比漲了6.61%就可能不是很科學(xué)，因為工資可能就是分幾檔漲的，其中就不含6.61%這一檔。此外，漲工資更多的是關(guān)系到個(gè)人的事情，含糊的、近似的平均漲6.61% 的說(shuō)法數學(xué)上沒(méi)大毛病但也不科學(xué)。一個(gè)極端的例子是，若提到誰(shuí)家的人口增長(cháng)，比如說(shuō)老馬家的人口去年增長(cháng)了6%， 雖然百分比后面都沒(méi)有小數點(diǎn)，它也顯得不是人話(huà)。對于家庭這種由少數幾個(gè)量子(人)組成的體系，說(shuō)清楚馬王家到底幾口人添了幾個(gè)孩子才恰當。大家這感覺(jué)到了吧，量子的概念及關(guān)聯(lián)的思維不是多么邪乎，它就存在于我們的日常生活中。

找到或者定義了一個(gè)物理量的量子，就是量子化。量子力學(xué)里量子化了什么物理量呢？首先被量子化了的是能量，具體地，先被量子化的是分子的動(dòng)能。到了1913 年前后，為了給氫原子中電子的能量取分立的值找個(gè)借口，有了角動(dòng)量或者作用量(action)的量子化，作用量的量子為普朗克常數h。1924 年，玻色(Satyendra Nath Bose，1894—1974)假設相空間的體積是量子化的，其量子為h³。能量、作用量、相空間三者的量子化，是量子力學(xué)的三個(gè)里程碑。注意，作用量，角動(dòng)量以及對應一個(gè)廣義坐標的相空間體積都具有相同的量綱。

量子這個(gè)概念，最先走進(jìn)科學(xué)，見(jiàn)于黎曼1854 年的論文über die Hypothesen， welche der Geometrie zu Grunde liegen (論作為幾何學(xué)基礎的幾個(gè)假設)。在這篇論文中，黎曼提出了流形的概念，奠立了微分幾何(廣義相對論的數學(xué)基礎啊)，還第一次將量子(Quanta)用于科學(xué)：“流形之通過(guò)某些特征或者邊界相區分的部分稱(chēng)為Quanta (圖2)。Quanta之量的比較依其性質(zhì)或者是通過(guò)計數得來(lái)的分立量，或者是通過(guò)測量得來(lái)的連續量?！绷孔踊?jiàn)于幾何，不稀奇。晶體的幾何量子就是它的單胞(unit cell)，截角八面體、平行六面體都可以是三維空間的全同量子。

圖2 黎曼1854 年的論文截圖

物理意義上的第一個(gè)量子概念是能量量子，確切說(shuō)是分子動(dòng)能的量子化，出現在玻爾茲曼(Ludwig Boltzmann ， 1844 — 1906) 1877 年的論文里。為了得到氣體的麥克斯韋分布，

到了1900 年，為了擬合黑體輻射的實(shí)驗結果(圖3)，即找出空腔中光的能量體積密度隨頻率的分布，柏林大學(xué)的熱力學(xué)老師普朗克(Max Planck， 1858—1947)大膽地從熱力學(xué)著(zhù)手來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。普朗克主要是在維恩工作的基礎上往前摸索的。他從熵概念出發(fā)，假設

圖3 黑體輻射示意圖及實(shí)驗得到的譜分布

這個(gè)瞎湊的公式的巨大成功帶來(lái)了極大的困惑。于是，普朗克另辟蹊徑，另行從統計物理的角度著(zhù)手。普朗克假設P=U_ν/hν是個(gè)整數(原文中提到，不是整數就取近似整數。普朗克一點(diǎn)也不激進(jìn))，這P 個(gè)能量單元來(lái)自N個(gè)頻率為ν的諧振子， 則平衡態(tài)對應W = (P-N-1)!P!/(N-1)! 取最大值。利用普朗克首先寫(xiě)成如下形式的玻爾茲曼熵公式S=klogW， 得

1905 年，愛(ài)因斯坦(Albert Einstein， 1879—1955) 利用輻射具有基本能量單元hν 的假說(shuō)，成功地解釋了光電效應的實(shí)驗結果^[6]。愛(ài)因斯坦進(jìn)一步假設固體吸收光也是按照吸收整個(gè)能量單位方式進(jìn)行的， 這樣， 出射的光電子動(dòng)能為E_kin = hν - ? ，就能很好地解釋光電效應的測量結果(圖4)。至此，光有能量單位一事塵埃落定。后來(lái)，愛(ài)因斯坦還提出光的能量單元還有動(dòng)量單元hν/c。

圖4 幾種不同金屬作為電極的光電效應實(shí)驗結果

量子力學(xué)的另一個(gè)源起是光譜學(xué)的研究。氫氣的液化溫度為20.28 K，這使得氫是倒數第二個(gè)被液化的氣體。有了液化氫就有了純凈的氫氣。氫氣放電的光譜那時(shí)可見(jiàn)四條線(xiàn)，波長(cháng)分別為6562.10，4860.74，4340.10 和4101.2?。這四個(gè)波長(cháng)包含什么秘密呢？1885 年，瑞士一中學(xué)數學(xué)老師巴爾莫(Johann Balmer， 1825—1898)發(fā)現這四個(gè)數是3645.6的9/5， 16/12， 25/21和36/32倍。寫(xiě)成公式就是正比于λ ∝ n²/(n² - 2²)，n=3，4，5，6。那么，n=7 呢？將n=7 代進(jìn)去，果然在計算所得波長(cháng)處發(fā)現有第五條譜線(xiàn)。這說(shuō)明氫的光譜線(xiàn)還真是有規律的，可是從這個(gè)表達式能看出什么名堂呢？里茲(Walther Ritz， 1878—1909) 建議把公式λ ∝ n²/(n²– 2²) 倒過(guò)來(lái)，寫(xiě)成1/λ∝ 1/2² – 1/n² 的形式。這引導人們猜測也許公式1/λ∝ 1/n² – 1/m² ，n=1， 2， 3，4......，m>n，對應的波長(cháng)處都有譜線(xiàn)，實(shí)驗發(fā)現果然如此。那么如何解釋這個(gè)公式1/λ∝ 1/n² – 1/m² 給出的氫原子譜線(xiàn)的規律呢？

圖5 氫光譜照片

1913 年，玻爾(Niels Bohr， 1885—1962)提出了氫原子的行星模型，他認為氫原子中電子以平方反比力被質(zhì)子所束縛，電子如同行星一樣有固定的運行軌道。光是電子從高能量軌道向低能量軌道跳躍(jump，Sprung)后發(fā)出的，躍遷解釋了公式1/λ∝ 1/n² – 1/m² 里的減號?？墒?，行星體系的能量是連續的， 為什么在氫原子體系里變成了E_n=ε₀-C/n² 的形式。玻爾假設電子的軌道角動(dòng)量是量子化的， ∮pdx = nh ，在這個(gè)前提下去解平方反比力下的兩體問(wèn)題， 得

圖6 氫光譜的全譜示意圖

然而，關(guān)于光譜線(xiàn)，除了位置以外，譜線(xiàn)的特征還包括亮度、寬度、精細結構、簡(jiǎn)并度等諸多因素。12 年后的1925 年，在哥廷恩給玻恩(Max Born， 1882-1970 )當助手的海森堡(Werner Heisenberg， 1901-1976)試圖回答譜線(xiàn)的強度問(wèn)題，遂引出了矩陣力學(xué)。注意，放光過(guò)程，躍遷，和兩個(gè)軌道有關(guān)系，那譜線(xiàn)強度也應該和兩個(gè)軌道有關(guān)系吧？如果把一組軌道的能量先橫排，然后豎著(zhù)排，考察它們之間的能量躍遷，這自然引入一個(gè)矩陣的形象。海森堡試著(zhù)從軌道的傅里葉展開(kāi)中引入譜線(xiàn)的頻率，將之表示為兩項之差的方式。如果認定譜線(xiàn)是來(lái)自振蕩的話(huà)， 其強度應該是和振幅的平方成正比。海森堡將他的這一套思想試著(zhù)在諧振子上尋找思路，得到了x(0)和p(0) 的表達式

然后呢，然后海森堡也不知道怎么好了，就把結果寫(xiě)了下來(lái)， 放到玻恩教授的辦公桌上，自己度假去了。玻恩教授認出海森堡寫(xiě)成的東西是數學(xué)里的矩陣。玻恩計算矩陣形式的xp，發(fā)現xp - px = i?I ，這是有別于玻爾量子化條件的量子化條件。注意，愛(ài)因斯坦認為處理輻射強度問(wèn)題應該用經(jīng)典的躍遷幾率的概念替代振幅的概念。也許不算巧合的是， 從A經(jīng)許多不同的B 到達C 的過(guò)程，經(jīng)典概率的算法就是矩陣的乘法！玻恩將海森堡的這些內容整理后以海森堡的名義發(fā)表。玻恩的助手約當(Pascual Jordan， 1902—1980) 發(fā)現如接受xp - px = i?I ，則這意味著(zhù)p ? -i??x ，即動(dòng)量是關(guān)于坐標的微分算符。這個(gè)p ? -i??x 是量子力學(xué)關(guān)鍵的一步。后來(lái)， 玻恩和約當一起發(fā)了一篇文章， 玻恩和約當、海森堡又一起發(fā)了一篇文章，這就是關(guān)于量子力學(xué)的一種形式，矩陣力學(xué)，的三部曲^[8—10]。同時(shí)期，英國的狄拉克(P. A. M. Dirac， 1902—1984)獨立地發(fā)展了躍遷概率理論^[11]。

在另外的方向上，康普頓(Arthur Compton，1892—1962) 1923 年研究X-射線(xiàn)的電子散射， 發(fā)現散射后散射角越大，X-射線(xiàn)變得越長(cháng)?？灯疹D接受光的量子有能量ε=hν和動(dòng)量p=hν/c=h/λ的說(shuō)法， 利用經(jīng)典的彈球碰撞模型， 求得散射后X 射線(xiàn)波長(cháng)同散射角之間的關(guān)系， 即康普頓散射公式

圖7 γ光子轟擊原子核產(chǎn)生電子—正電子對過(guò)程的氣泡室內粒子徑跡照片

1923 年，德布羅意(Louis de Broglie， 1892—1987)提出了物質(zhì)波的概念，電子這樣的粒子也是波，粒子的波長(cháng)為λ=h/p，頻率ν=E/h^[12]。德布羅意的博士論文傳到德國，愛(ài)因斯坦表示說(shuō)“很有意思”，德拜(Peter Debye， 1884—1966) 嘟囔了一句“總該有個(gè)波動(dòng)方程吧？” 而薛定諤(Erwin Schr?dinger， 1887—1961)， 他早就對經(jīng)典力學(xué)—經(jīng)典光學(xué)之間的類(lèi)比有深刻研究(證據見(jiàn)于薛定諤的多本筆記)，很快就領(lǐng)會(huì )了德布羅意論文的內容。薛定諤于1925 年圣誕節上了一個(gè)滑雪場(chǎng)，在那里待了一周，得到了著(zhù)名的薛定諤方程-i??ψ/?t = Hψ 。他將這個(gè)方程應用到了氫原子上，得到方程形式為

復雜得嚇人，其解

樣子也很?chē)樔耍?而得到的量子化的能量為E_n?m∝ -1/n² ，與玻爾的結果看起來(lái)完全相同。但是，這個(gè)能量表達式與玻爾的結果相比有質(zhì)的飛躍，這里的能量是三個(gè)變量或曰量子數，( n,?,m )的函數。這樣，量子力學(xué)就有了第二種形式，波動(dòng)力學(xué)。薛定諤的文章題目為量子化是本征值問(wèn)題(Quantisierung als Eigenwertproblem)， 題目大有深意。文章分為四部分，發(fā)表于1926年^[13]。

到了1926 年，光的粒子性算是確立了， 于是化學(xué)家路易(Gilbert N. Lewis)造了photon(光子)一詞。1927 年，戴維森(Clinton Davisson，1881—1958) 和革末(Lester Halbert Germer，1896—1971)用電子束轟擊Ni 晶體。玻恩認識到那花樣是晶體對波的散射的結果。至此，電子具有波動(dòng)性質(zhì)得到確認。

那么，薛定諤方程-i??ψ/?t = Hψ 的主角，波函數ψ ，的物理意義是什么？按照薛定諤的說(shuō)法，eψ* ψ 是電子的電荷在空間中的分布，而玻恩指出電子是粒子， ψ* ψdτ 是電子在空間體積元dτ出現的幾率，這就是波函數的幾率詮釋。這個(gè)詮釋同波函數作為矢量的性質(zhì)是相關(guān)的， 這也是波函數也稱(chēng)為波矢的原因。對波函數有許多不負責任的詮釋。

1924 年，泡利(Wolfgang Pauli， 1900—1958)根據許多實(shí)驗， 包括銀原子束在不均勻磁場(chǎng)中的偏轉， 推斷電子還存在一個(gè)二值的自由度， 并提出了“ 不相容原理”， 指向了電子自旋這一內稟自由度。泡利矩陣是描寫(xiě)自旋角動(dòng)量的數學(xué)工具。1927 年，泡利針對薛定諤方程給出了H = 1/2m[σ ?(p-qA)]² + q? 形式的哈密頓量，包含電子同電磁場(chǎng)的相互作用，將這個(gè)哈密頓量用之于薛定諤方程-i??ψ/?t = Hψ ，則必須要求波函數是二分量的，

在這段時(shí)期，英國的狄拉克在量子力學(xué)創(chuàng )立方面不斷取得進(jìn)展。他發(fā)展了躍遷概率理論，從經(jīng)典泊松括號得到了對應量子化條件的一般意義下的兩個(gè)算符之間的對易式， uv - vu = i?[u,v] 。他還想得到了相對論版的量子力學(xué)^[12]。從相對論質(zhì)能關(guān)系E² = p²c² + m²c⁴ 出發(fā)得到的克萊因—戈登方程

關(guān)于量子力學(xué)的創(chuàng )立，維格納(Eugene Wigner，1902—1995) 這個(gè)人也是要提的，他和外爾(Hermann Weyl， 1885—1955) 一起將群論引入了量子力學(xué)，有了群論的量子力學(xué)才能理解光譜的各種特征，包括譜線(xiàn)在電場(chǎng)下和磁場(chǎng)下的分裂(Stark效應，Zeeman 效應)。1922~1925 年間， 維格納在其博士論文中首次提到分子的激發(fā)態(tài)有能量展寬Δε， 它同平均壽命Δt 通過(guò)關(guān)系式Δε·Δt~h相聯(lián)系，而海森堡提出Δx·Δp~h 的不確定性關(guān)系是在1927 年。當然了，筆者再次強調，不存在什么不確定性原理所宣稱(chēng)的那些問(wèn)題，比如什么粒子位置測量得越準確、動(dòng)量就越不準確的渾話(huà)。如果大家拿一維方勢阱和諧振子的精確解計算一下的話(huà)，容易發(fā)現位置和動(dòng)量的不確定性是正相關(guān)的！

外爾首先是個(gè)數學(xué)家，業(yè)余時(shí)間對量子力學(xué)和相對論都做出了奠基性的工作，還創(chuàng )立了規范場(chǎng)論。據信是外爾幫助薛定諤求解了氫原子的薛定諤方程的。外爾這樣的數學(xué)家做的物理才更像物理。

1924 年，印度人玻色(Satyendra Nath Bose，1894—1974)在假設相空間具有體積單元h³ 的前提下也得出了黑體輻射公式。愛(ài)因斯坦接著(zhù)玻色的工作發(fā)展起了玻色—愛(ài)因斯坦統計。自旋為整數的粒子都滿(mǎn)足玻色—愛(ài)因斯坦統計，被稱(chēng)為玻色子。玻色1924 年的兩篇德語(yǔ)論文^[15,16]都是愛(ài)因斯坦翻譯的，這是科學(xué)史上難得的一段佳話(huà)。玻色的量子化讓量子化又回到了幾何。

1926 年， 馮·諾依曼(John von Neumann，1903—1957)指出，算符的本征態(tài)張成一個(gè)矢量空間并名之為希爾伯特空間，量子態(tài)可以看成希爾伯特空間中的一個(gè)矢量；1932 年， 馮·諾依曼撰寫(xiě)了《量子力學(xué)的數學(xué)基礎》一書(shū)。在這本書(shū)里，馮·諾依曼建議把測量理解為坍縮過(guò)程，一個(gè)處于疊加態(tài)的體系，當對它進(jìn)行測量時(shí)，會(huì )坍縮到待測量體系的一個(gè)本征態(tài)，測量結果為對應的本征值。這個(gè)測量原理是大有問(wèn)題的，首先這個(gè)說(shuō)法沒(méi)有根據。其次，所謂的測量是個(gè)相互作用過(guò)程，比這個(gè)簡(jiǎn)單的坍縮要表達的意思復雜的多。退一步說(shuō)，即便測量真的是坍縮到待測物理量的本征態(tài)上，許多物理問(wèn)題就沒(méi)有，比如關(guān)于位置的，完備集表示，自然也就沒(méi)有作為算符本征值的位置測量。

關(guān)于量子力學(xué)還有個(gè)關(guān)鍵的人物，索末菲(Arnold Sommerfeld， 1868—1951)。索末菲和玻恩一樣，是導師的大老師級的人物，泡利、海森堡、德拜(Peter Debye)、貝特(Hans Bethe)、鮑林(Linus Pauling)這些諾獎得主皆出自其門(mén)下。索末菲認為玻爾模型把電子限制在一個(gè)平面內，簡(jiǎn)化得太狠了些，電子是在整個(gè)三維空間內繞原子核運動(dòng)的。三維空間內繞一點(diǎn)的運動(dòng)可由距離r 和兩個(gè)角坐標，傾角θ和方位角? ，來(lái)描述。傾角θ和方位角? 分別引入了第二和第三量子數。1916 年索末菲引入三維的量子化模型，

至此，我們有了波函數一分量的薛定諤方程、波函數二分量的泡利方程和波函數四分量的狄拉克方程， 以及克萊因—戈登方程，有了能量量子化(hν)，作用量量子化(h)， 和相空間量子化(h³)，量子力學(xué)的大框架就算有了。相空間量子化讓統計意義的量子力學(xué)走向了量子統計。還有一個(gè)值得注意的問(wèn)題是量子力學(xué)把物理量當作算符，而兩算符之間的對易關(guān)系決定了其在量子力學(xué)中的角色。筆者斗膽提出，量子力學(xué)中算符的對易關(guān)系可分為三重。第一重，兩算符對易， [A,B] = 0 ，這樣的一對算符有共同的本征態(tài)。量子力學(xué)一個(gè)任務(wù)是找一組相互對易算符的共同本征態(tài)作為解的完備集。第二重，對易，但對易子為常數，比如量子化條件， [x,p] = i? 。不對易的算符沒(méi)有共同本征態(tài)，但這個(gè)關(guān)系不足以確定本征態(tài)。類(lèi)似x， p 這樣的沒(méi)有共同本征態(tài)的一對算符讓海森堡于1927年一通發(fā)揮，遂有了所謂的不確定性原理，然后又有更不負責任的人給發(fā)揮得神乎其神。其實(shí)，關(guān)系[x,p] = i? 與傅里葉分析有關(guān)，其帶來(lái)的算符之均方差的關(guān)系， Robertson 于1929—1930 年有嚴格的數學(xué)研究， 不可以亂加詮釋的。第三重是類(lèi)似[J,J] = i?J ，這個(gè)和李代數有關(guān)。這個(gè)對易關(guān)系是一個(gè)更強的約束，實(shí)際上它已經(jīng)能確定下來(lái)自己的表示了，與經(jīng)典或者量子無(wú)關(guān)。有興趣的讀者請仔細思考一下角動(dòng)量的表示問(wèn)題。

至此，如果要問(wèn)什么是量子力學(xué)，我們可以說(shuō)量子力學(xué)就是由量子力學(xué)方程及伴隨的概念、觀(guān)念所構成的一個(gè)物理理論體系。量子力學(xué)是一個(gè)集體智慧的結晶，是人類(lèi)發(fā)展史上罕見(jiàn)的頭腦風(fēng)暴爆發(fā)。因為對發(fā)展量子力學(xué)的貢獻而獲得諾貝爾物理學(xué)獎?wù)甙ㄆ绽士?1918)，愛(ài)因斯坦(1922 年獲得1921 年度的)，玻爾(1922)，康普頓(1927)，德布羅意(1929)，海森堡(1932)，薛定諤與狄拉克(1933)， 泡利(1945)， 玻恩(1954)， 等等。其中，愛(ài)因斯坦獲得的是1921 年空缺的，玻恩則遲至1954 年才終于獲獎，而偏偏這兩位才是奠立量子力學(xué)的關(guān)鍵人物。人世間的事兒啊，想來(lái)令人唏噓。

回顧一下量子力學(xué)的創(chuàng )立過(guò)程，發(fā)現它就是一個(gè)猜的過(guò)程。構造量子力學(xué)，或者說(shuō)構造近代物理，這是一門(mén)藝術(shù)。用玻恩的話(huà)說(shuō)，是猜出正確公式的藝術(shù)(The art of guessing correct formulae)。當然應該看到，猜的人對經(jīng)典力學(xué)有深刻的理解。在1930 年以前構造量子力學(xué)過(guò)程中用到的所有物理，都是經(jīng)典物理。有人會(huì )問(wèn)，量子力學(xué)客觀(guān)嗎，量子力學(xué)正確嗎？關(guān)于客觀(guān)性，我覺(jué)得這是個(gè)偽問(wèn)題。人類(lèi)的物理學(xué)，取決于人這種存在自身的物理及其與環(huán)境間的相互作用，必然打上人的烙印，而且是特定時(shí)代的人的烙印。古希臘智者色諾芬說(shuō)，“如果牛有上帝，牛的上帝一定長(cháng)有犄角?！?可以想象，螃蟹設計的汽車(chē)，注定是橫行的。怎么可以要求我們人類(lèi)創(chuàng )造的量子力學(xué)是客觀(guān)的呢？它一定或多或少地帶上人類(lèi)的烙印。

量子力學(xué)正確不正確？這個(gè)問(wèn)題不好回答，但是我們轉而問(wèn)量子力學(xué)給我們帶來(lái)了什么新的關(guān)于自然的認知。試舉幾例。其一，將薛定諤方程用于晶體，周期勢場(chǎng)下薛定諤方程的解告訴我們什么是導體，什么是絕緣體。于是有了半導體的概念。半導體可以有n-型和p-型兩種載流子， 電導率可以在十幾個(gè)數量級范圍內變化， 可以制成不同的結， 由此才有了電子學(xué)和我們的信息化社會(huì )！其二， 量子力學(xué)導出的氫原子能量是四個(gè)量子數(n?m; m_s) 的函數。m_s 只取(1/2, -1/2)兩個(gè)值，而對于給定的自然數n,? = 0,1,…n - 1 ， m = -?, -? + 1,…? - 1,? 。這樣，對于給定的n， 四個(gè)量子數(n?m; m_s) 的組合共有2n² 種可能。2n² = 2,8,18,32…, 看到2,8,18,32( = 18+14) 人們會(huì )想起元素周期表。量子力學(xué)解釋了元素周期表就該長(cháng)成那個(gè)樣子。其三，普朗克分布律是量子力學(xué)的緣起，1917 年，愛(ài)因斯坦利用輻射~物質(zhì)相互作用處于熱平衡的模型重新得到了普朗克分布^[17]， 在這個(gè)工作中提出了受激輻射的概念。受激輻射是激光的概念基礎。1960年，人類(lèi)制造出了激光器。激光器在今天可說(shuō)是無(wú)處不在。

量子力學(xué)是約一百年前一伙兒天才們的頭腦風(fēng)暴的產(chǎn)出，它和相對論幾乎同步發(fā)展起來(lái)。量子力學(xué)和相對論是現代物理的兩大支柱，實(shí)際上它們都首先是關(guān)于光與電子的學(xué)問(wèn)。量子力學(xué)和相對論，從前是天才們的創(chuàng )造物，如今應該是受教育者的知識標配，至少該是中學(xué)生的知識標配。那么，如何學(xué)習量子力學(xué)呢？筆者個(gè)人的建議是， 如果你關(guān)注創(chuàng )造史，從量子力學(xué)構造的歷史著(zhù)手學(xué)習， 可以讀讀Mehra 的The historical development of quantum theory；如果你關(guān)注量子的哲學(xué)，可以讀讀Jammer 的The philosophy of quantum mechanics；如果你打算研究一下量子力學(xué)創(chuàng )立者的工作手冊， 可以讀讀Dirac 的The principles of quantum mechanics；如果你關(guān)注量子力學(xué)的數學(xué)，可以讀讀Von Neumann 的Mathematical foundations of quantum mechanics；如果你關(guān)注量子力學(xué)新論， 可以讀讀Weinberg 的Lectures on quantum mechanics；如果你只關(guān)注習題集，可以讀讀Flügge 的Practical quantum mechanics；如果你只想讀一本最淺顯的入門(mén)書(shū)， 不妨讀讀筆者的《量子力學(xué)—少年版》^[18]。但是，不管怎樣，如果你真想了解一點(diǎn)量子力學(xué)的話(huà)，請讀由物理學(xué)家撰寫(xiě)的關(guān)于量子力學(xué)的嚴肅讀物。子不語(yǔ)怪力亂神，切記！

坊間有云：量子力學(xué)要量力而學(xué)，這是說(shuō)量子力學(xué)很難學(xué)。筆者想說(shuō)的是，首先量子力學(xué)不難學(xué)；其次，再難學(xué)也要學(xué)不是。我必須再次強調，量子力學(xué)是一門(mén)嚴肅的學(xué)問(wèn)，是經(jīng)典物理的自然延續。人們學(xué)習量子力學(xué)的困難主要在于沒(méi)有認真學(xué)過(guò)經(jīng)典物理。在學(xué)習量子力學(xué)之前，如下的預備知識應該是學(xué)過(guò)或者至少聽(tīng)說(shuō)過(guò)的，這包括但不限于普通力學(xué)，分析力學(xué)，經(jīng)典光學(xué)，電磁學(xué)，流體力學(xué)，熱力學(xué)，原子物理，場(chǎng)論，相對論……微積分，變分法，常微分方程，數理方程，復分析，概率論，傅里葉分析，線(xiàn)性代數，群論，不變量理論，等等。一句話(huà)，量子力學(xué)“說(shuō)難學(xué)，也好學(xué)。人家咋著(zhù)咱咋著(zhù)！”跟隨嚴肅的學(xué)者，使用嚴肅的教科書(shū)，沒(méi)人會(huì )被量子力學(xué)拒之門(mén)外。

本文選自《物理》2020年第2期