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又唐代釋道宣《釋迦方志》卷上也記述了古代印度的宇宙模型，細節上恰可與上述記載相互補充∶……蘇迷盧山，即經(jīng)所謂須彌山也，在大海中，據金輪表，半出海上八萬(wàn)由旬，日月回薄于其腰也。外有金山七重圍之，中各海水，具八功德。根據這些記載，古代印度宇宙模型與《周髀算經(jīng)》蓋天宇宙模型卻是有驚人的相似之處，在細節上幾乎處處吻合∶一、兩者的天、地都是圓形的平行平面；二、“璇璣”和“迷盧山”同樣扮演了大地中央的“天柱”角色；三、周地和印度都被置于各自宇宙中大地的南半部分；四、“璇璣”和“迷盧上”的正上方都是各種天體旋轉的樞軸----北極；五、日月星辰在天上環(huán)繞北極作平面圓周運動(dòng)。六、如果說(shuō)印度迷盧山外的“七山七?！痹跀底稚鲜谷寺?lián)想到《周髀算經(jīng)》的“七衡六間”的話(huà)，那么印度宇宙中太陽(yáng)天輪的180條軌道無(wú)論從性質(zhì)還是功能來(lái)說(shuō)都與七衡六間完全一致(太陽(yáng)在七衡之間的往返也是每天連續移動(dòng)的)。七、特別值得指出，《周髀算經(jīng)》中天與地的距離是八萬(wàn)里，而迷盧山也是高出海上“八萬(wàn)由旬”，其上即諸天輪所在，是其天地距離恰好同為八萬(wàn)單位，難道純屬偶然?在人類(lèi)文明發(fā)展史上，文化的多元自發(fā)生成是完全可能的，因此許多不同文明中相似之處，也可能是偶然巧合。但是《周髀算經(jīng)》的蓋天宇宙模型與古代印度宇宙模型之間的相似程度實(shí)在太高----從整個(gè)格局到許多細節都一一吻合，如果仍用“偶然巧合”去解釋?zhuān)瑹o(wú)論如何總顯得過(guò)于勉強。當然，如果我們就此立刻進(jìn)入關(guān)于“誰(shuí)源于誰(shuí)”的考據之中，那又將遠遠超出本文的范圍。2、寒暑五帶的知識來(lái)自何處?《周髀算經(jīng)》中有相當于現代人熟知的關(guān)于地球上寒暑五帶的知識。這是一個(gè)非常令人驚異的現象----因為這類(lèi)知識是以往兩千年間，中國傳統天文學(xué)說(shuō)中所沒(méi)有、而且不相信的。這些知識在《周髀算經(jīng)》中主要見(jiàn)于卷下第9節∶[4]極下不生萬(wàn)物，何以知之?……北極左右，夏有不釋之冰。中衡去周七萬(wàn)五千五百里。中衡左右，冬有不死之草，夏長(cháng)之類(lèi)。此陽(yáng)彰陰微，故萬(wàn)物不死，五谷一歲再熟。凡北極之左右，物有朝生暮獲，冬生之類(lèi)。這里需要先作一些說(shuō)明：上引第二則中，所謂“中衡左右”即趙爽注文中所認為的“內衡之外，外衡之內”；再由本文圖1[5]就明確可知，這一區域正好對應于地球寒暑五帶中的熱帶(南緯23°30′至北緯23°30′之間)----盡管《周髀算經(jīng)》中并無(wú)地球的觀(guān)念。上引第三則中，說(shuō)北極左右“物有朝生暮獲”，這就必須聯(lián)系到《周髀算經(jīng)》蓋天宇宙模型對于極晝、極夜現象的演繹和描述能力。據前所述，圓形大地中央的“璇璣”之底面直徑為23,000里，則半徑為11,500里，而《周髀算經(jīng)》所設定的太陽(yáng)光芒向其四周照射的極限距離是167,000里；[6]于是，由本文圖1清楚可見(jiàn)，每年從春分至秋分期間，在“璇璣”范圍內將出現極晝----晝夜始終在陽(yáng)光之下；而從秋分到春分期間則出現極夜----陽(yáng)光在此期間的任何時(shí)刻都照射不到“璇璣”范圍之內。這也就是趙爽注文中所說(shuō)的“北極之下，從春分至秋分為晝，從秋分至春分為夜”，因為是以半年為晝、半年為夜。《周髀算經(jīng)》中上述關(guān)于寒暑五帶的知識，其準確性是沒(méi)有疑問(wèn)的。然而這些知識卻并不是以往兩千年間中國傳統天文學(xué)中的組成部分。對于這一現象，可以從幾方面來(lái)加以討論。首先，為《周髀算經(jīng)》作注的趙爽，竟然就表示不相信書(shū)中的這些知識。例如對于北極附近“夏有不釋之冰”，趙爽注稱(chēng)∶“冰凍不解，是以推之，夏至之日外衡之下為冬矣，萬(wàn)物當死----此日遠近為冬夏,非陰陽(yáng)之氣，爽或疑焉?！庇秩鐚τ凇岸胁凰乐荨?、“陽(yáng)彰陰微”、“五谷一歲再熟”的熱帶，趙爽表示“此欲以?xún)群庵?、外衡之內，常為夏也。然其修廣，爽未之前聞”----他從未聽(tīng)說(shuō)過(guò)。我們從趙爽為《周髀算經(jīng)》全書(shū)所作的注釋來(lái)判斷，他毫無(wú)疑問(wèn)是那個(gè)時(shí)代夠格的天文學(xué)家之一，為什么竟從未聽(tīng)說(shuō)過(guò)這些寒暑五帶知識?比較合理的解釋似乎只能是∶這些知識不是中國傳統天文學(xué)體系中的組成部分，所以對于當時(shí)大部分中國天文學(xué)家來(lái)說(shuō)，這些知識是新奇的、與舊有知識背景格格不入的，因而也是難以置信的。其次，在古代中國居傳統地位的天文學(xué)說(shuō)----渾天說(shuō)中，由于沒(méi)有正確的地球概念，是不可能提出寒暑五帶之類(lèi)的問(wèn)題來(lái)的。[7]因此直到明朝末年，來(lái)華的耶穌會(huì )傳教士在他們的中文著(zhù)作中向中國讀者介紹寒暑五帶知識時(shí)，仍被中國人目為未之前聞的新奇學(xué)說(shuō)。[8]正式這些耶穌會(huì )傳教士的中文著(zhù)作才使中國學(xué)者接受了地球寒暑五帶之說(shuō)。而當清朝初年“西學(xué)中源”說(shuō)甚囂塵上時(shí)，梅文鼎等人為寒暑五帶之說(shuō)尋找中國源頭，找到的正是《周髀算經(jīng)》----他們認為是《周髀算經(jīng)》等中國學(xué)說(shuō)在上古時(shí)期傳入西方，才教會(huì )了希臘人、羅馬人和阿拉伯人掌握天文學(xué)知識的。[9]現在我們面臨一系列尖銳的問(wèn)題∶既然在渾天學(xué)說(shuō)中因沒(méi)有地球概念而不可能提出寒暑五帶的問(wèn)題，那么《周髀算經(jīng)》中同樣沒(méi)有地球概念，何以卻能記載這些知識?如果說(shuō)《周髀算經(jīng)》的作者身處北溫帶之中，只是根據越向北越冷、越往南越熱，就能推衍出北極“夏有不釋之冰”、熱帶“五谷一歲再熟”之類(lèi)的現象，那渾天家何以偏就不能?再說(shuō)趙爽為《周髀算經(jīng)》作注，他總該是接受蓋天學(xué)說(shuō)之人，何以連他都對這些知識不能相信?這樣看來(lái)，有必要考慮這些知識來(lái)自異域的可能性。大地為球形、地理經(jīng)緯度、寒暑五帶等知識，早在古希臘天文學(xué)家那里就已經(jīng)系統完備，一直沿用至今。五帶之說(shuō)在亞里士多德著(zhù)作中已經(jīng)發(fā)端，至“地理學(xué)之父”埃拉托色尼（Eratosthenes,275-195B.C.）的《地理學(xué)概論》中，已有完整的五帶∶南緯24°至北緯24°之間為熱帶，兩極處各24°的區域為南、北寒帶，南緯24°至66°和北緯24°至66°之間則為南、北溫帶。從年代上來(lái)說(shuō)，古希臘天文學(xué)家確立這些知識早在《周髀算經(jīng)》成書(shū)之前?！吨荀滤憬?jīng)》的作者有沒(méi)有可能直接或間接地從古希臘人那里獲得了這些知識呢?這確實(shí)是耐人尋味的問(wèn)題。3、坐標系問(wèn)題以渾天學(xué)說(shuō)為基礎的傳統中國天文學(xué)體系，完全屬于赤道坐標系統。在此系統中，首先要確定觀(guān)測地點(diǎn)所見(jiàn)的“北極出地”度數----即現代所說(shuō)的當地地理緯度，由此建立起赤道坐標系。天球上的坐標系由二十八宿構成，其中入宿度相當于現代的赤經(jīng)差，去極度相當于現代赤緯的余角，兩者在性質(zhì)和功能上都與現代的赤經(jīng)、赤緯等價(jià)。與此赤道坐標系統相適應，古代中國的測角儀器----以渾儀為代表----也全是赤道式的。中國傳統天文學(xué)的赤道特征，還引起近代西方學(xué)者的特別注意，因為從古代巴比倫和希臘以下，西方天文學(xué)在兩千余年間一直是黃道系統，直到十六世紀晚期，才在歐洲出現重要的赤道式天文儀器（這還被認為是丹麥天文學(xué)家Tycho的一大發(fā)明）。因而在現代中外學(xué)者的研究中，傳統中國天文學(xué)的赤道特征已是公認之事。然而，在《周髀算經(jīng)》全書(shū)中，卻完全看不到赤道系統的特征。首先，在《周髀算經(jīng)》中，二十八宿被明確認為是沿著(zhù)黃道排列的。這在《周髀算經(jīng)》原文以及趙爽注文中都說(shuō)得非常明白?！吨荀滤憬?jīng)》卷上第4節云∶月之道常緣宿，日道亦與宿正。此處趙爽注云∶內衡之南，外衡之北，圓而成規，以為黃道，二十八宿列焉。月之行也，一出一入，或表混里，五月二十三分月之二十而一道一交，謂之合朔交會(huì )及月蝕相去之數，故曰“緣宿”也。日行黃道，以宿為正，故曰“宿正”。根據上下文來(lái)分析，可知上述引文中的“黃道”，確實(shí)與現代天文學(xué)中的黃道完全相當----黃道本來(lái)就是根據太陽(yáng)周年視運動(dòng)的軌道定義的。而且，趙爽在《周髀算經(jīng)》第6節“七衡圖”下的注文中，又一次明確地說(shuō)　　　黃圖畫(huà)者，黃道也，二十八宿列焉，日月星辰躔焉。日月所躔，當然是黃道(嚴格地說(shuō)，月球的軌道白道與黃道之間有5°左右的小傾角，但古人論述時(shí)常省略此點(diǎn))。其次，在《周髀算經(jīng)》中，測定二十八宿距星坐標的方案又是在地平坐標系中實(shí)施的。這個(gè)方案詳載于《周髀算經(jīng)》卷下第10節中。由于地平坐標系的基準面是觀(guān)測者當地的地平面，因此坐標系中的坐標值將會(huì )隨著(zhù)地理緯度的變化而變化，地平坐標系的這一性質(zhì)使得它不能應用于記錄天體位置的星表。但是《周髀算經(jīng)》中試圖測定的二十八宿各宿距星之間的距度，正是一份記錄天體位置的星表，故從現代天文學(xué)常識來(lái)看，《周髀算經(jīng)》中上述測定方案是失敗的。另外值得注意的一點(diǎn)是，《周髀算經(jīng)》中提供的唯一一個(gè)二十八宿距度數值----牽牛距星的距度為8°，據研究卻是襲自赤道坐標系的數值(按照《周髀算經(jīng)》的地平方案此值應為6°)。[10]《周髀算經(jīng)》在天球坐標問(wèn)題上確實(shí)有很大的破綻∶它既明確認為二十八宿是沿黃道排列的，卻又試圖在地平坐標系中測量其距度，而作為例子給出的唯一數值竟又是來(lái)自赤道系統。這一現象值得深思，在它背后可能隱藏著(zhù)某些重要線(xiàn)索。4、結語(yǔ)反復研讀《周髀算經(jīng)》全書(shū)，給人以這樣一種印象∶即它的作者除了具有中國傳統天文學(xué)知識之外，他還從別處獲得了一些新的方法----最重要的就是筆者在文獻[1]中著(zhù)重討論的公理化方法(《周髀算經(jīng)》是中國古代唯一一次對公理化方法的認真實(shí)踐)；以及一些新的知識----比如印度式的宇宙結構、希臘式的寒暑五帶知識之類(lèi)。這些尚不知得自何處的新方法和新知識與中國傳統天文學(xué)說(shuō)不屬于同一體系，然而作者顯然又極為珍視它們，因此他竭力揉合二者，試圖創(chuàng )造出一種中西合璧的新的天文學(xué)說(shuō)。作者的這種努力在相當程度上可以說(shuō)是成功的?！吨荀滤憬?jīng)》確實(shí)自成體系、自具特色，盡管也不可避免地有一些破綻。那么，《周髀算經(jīng)》的作者究竟是誰(shuí)?他在構思、撰寫(xiě)《周髀算經(jīng)》時(shí)有過(guò)何種特殊的際遇?《周髀算經(jīng)》中這些異域天文學(xué)成分究竟來(lái)自何處?……所有這些問(wèn)題現在都還沒(méi)有答案、但是筆者強烈認為，《周髀算經(jīng)》背后極可能隱藏著(zhù)一個(gè)古代中西方文化交流的大謎。（《自然科學(xué)史研究》 1997年16卷3期）《周髀算經(jīng)》蓋天宇宙結構考摘要：長(cháng)期以來(lái)，《周髀算經(jīng)》蓋天宇宙模型中的天地形狀一直被認為是雙重球冠，并將這一點(diǎn)視為《周髀算經(jīng)》“自相矛盾”之處。本文通過(guò)對《周髀算經(jīng)》全書(shū)的系統分析，從演繹體系、數理結構、語(yǔ)詞辨析等多方面論證了“雙重球冠說(shuō)”之誤。再進(jìn)而給出了《周髀算經(jīng)》蓋天宇宙模型的正確結構和形狀——新給出的結構和形狀在全書(shū)中非常自洽。一、問(wèn)題的提出：《周髀算經(jīng)》是否“自相矛盾”？在《周髀算經(jīng)》所述蓋天宇宙模型中，天與地的形狀如何，現代學(xué)者們有著(zhù)普遍一致的看法，這里舉出敘述最為簡(jiǎn)潔易懂的一種作為代表：《周髀》又認為，“天象蓋笠，地法覆盤(pán)”，天和地是兩個(gè)相互平行的穹形曲面。天北極比冬至日道所在的天高60,000里，冬至日道又比天北極下的地面高20,000里。同樣，極下地面也比冬至日道下的地面高60,000里。[1]然而，同樣普遍一致地,這種看法的論述者總是在同時(shí)指出：上述天地形狀與《周髀算經(jīng)》中有關(guān)計算所暗含的假設相互矛盾。仍舉出一例為代表：天高于地八萬(wàn)里,在《周髀》卷上之二,陳子已經(jīng)說(shuō)過(guò)，他假定地面是平的；這和極下地面高于四旁地面六萬(wàn)里,顯然是矛盾的?！灰缘厥瞧降? 而說(shuō)地如覆盤(pán)。[2]其實(shí)這種認為《周髀算經(jīng)》在天地形狀問(wèn)題上自相矛盾的說(shuō)法，早在唐代李淳風(fēng)為《周髀算經(jīng)》所作注文中就已發(fā)其端。李淳風(fēng)認為《周髀算經(jīng)》在這一問(wèn)題上“語(yǔ)術(shù)相違,是為大失”。[3]但是，所有持上述說(shuō)法的論著(zhù), 事實(shí)上都在無(wú)意之中犯了一系列未曾覺(jué)察的錯誤。從問(wèn)題的表層來(lái)看, 這似乎只是誤解了《周髀算經(jīng)》的原文語(yǔ)句,以及過(guò)于輕信前賢成說(shuō)而遞相因襲，未加深究而已。然而再往深一層看,何以會(huì )誤解原文語(yǔ)句? 原因在于對《周髀算經(jīng)》體系中兩個(gè)要點(diǎn)的意義缺乏認識——這兩個(gè)要點(diǎn)是: “日影千里差一寸”和“北極璇璣”。前一個(gè)要點(diǎn)筆者已有另文專(zhuān)門(mén)討論，[4] 下文僅略述其大要，重點(diǎn)則在討論第二個(gè)要點(diǎn)，再分析對原文語(yǔ)句的誤解問(wèn)題。二、“日影千里差一寸”及其意義《周髀算經(jīng)》中的蓋天學(xué)說(shuō)是一個(gè)公理化體系，其中的宇宙模型有明確的幾何結構，由這一結構進(jìn)行推理演繹時(shí)又有具體的、絕大部分能夠自洽的數理?！叭沼扒Ю锊钜淮纭闭窃谝粋€(gè)不證自明的前提、亦即公理——“天地為平行平面”——之下推論出來(lái)的定理。這個(gè)定理且能推廣其應用，即所謂“勾之損益寸千里”。然而，認定《周髀算經(jīng)》是“自相矛盾”的論者，總是勇于指出“天地為平行平面”這一前提之謬誤，卻不去注意這條公理在《周髀算經(jīng)》體系中的地位?！疤斓貫槠叫衅矫妗惫倘徊环辖裉斓某ＷR，卻未必不符合古人的常識。更重要的是，在“天地為平行平面”與“日影千里差一寸”這對公理-定理之間，有嚴密的數學(xué)推理所支持，并無(wú)任何矛盾 (俱詳見(jiàn)[4])。三、“北極璇璣”究竟是何物?解決《周髀算經(jīng)》中蓋天宇宙模型天地形狀問(wèn)題的另一關(guān)鍵就是所謂“北極璇璣”。此“北極璇璣”究竟是何物，現有的各種論著(zhù)中對此莫衷一是。錢(qián)寶琮贊同顧觀(guān)光之說(shuō)，認為“北極璇璣也不是一顆實(shí)際的星”，而是“假想的星”。[5] 陳遵媯則明確表示：“北極璇璣”是指當時(shí)觀(guān)測的北極星；……《周髀》所謂“北極璇璣”，即指北極中的大星，從歷史上的考據和天文學(xué)方面的推算，大星應該是帝星即小熊座β星。[6]但是，《周髀算經(jīng)》談到“北極璇璣”或“璇璣”至少有三處，而上述論述都只是針對其中一處所作出的。對于其余幾處，論著(zhù)者們通常都完全避而不談----實(shí)在是不得不如此，因為在“蓋天宇宙模型中天地形狀為雙重球冠形”的先入之見(jiàn)的框架中，對于《周髀算經(jīng)》中其余幾處涉及“北極璇璣”的論述，根本不可能作出解釋。如果又將思路局限在“北極璇璣”是不是實(shí)際的星這樣的方向上，那就更加無(wú)從措手了。《周髀算經(jīng)》中直接明確談到“璇璣”的共三處，依次見(jiàn)于原書(shū)卷下之第8、9、12節，[7] 先依照順序錄出如下：欲知北極樞、璇璣四極，常以夏至夜半時(shí)北極南游所極，冬至夜半時(shí)北游所極，冬至日加酉之時(shí)西游所極，日加卯之時(shí)東游所極，此北極璇璣四游。正北極璇璣之中，正北天之中，正極之所游……(以下為具體觀(guān)測方案)。璇璣徑二萬(wàn)三千里，周六萬(wàn)九千里（《周髀算經(jīng)》全書(shū)皆取圓周率=3）。此陽(yáng)絕陰彰，故不生萬(wàn)物。牽牛去北極……。術(shù)曰∶置外衡去北極樞二十三萬(wàn)八千里，除璇璣萬(wàn)一千五百里，……。東井去北極……。術(shù)曰∶置內衡去北極樞十一萬(wàn)九千里，加璇璣萬(wàn)一千五百里，……。從上列第一條論述可以清楚地看到，“北極”、“北極樞”和“璇璣”是三個(gè)有明確區分的概念：那個(gè)“四游”而劃出圓圈的天體，陳遵媯認為就是當時(shí)的北極星，這是對的，但必須注意，《周髀算經(jīng)》原文中分明將這一天體稱(chēng)為“北極”，而不是如上引陳遵媯論述中所說(shuō)的“北極璇璣”。“璇璣”則是天地之間的一個(gè)柱狀空間，這個(gè)圓柱的截面就是“北極”——當時(shí)的北極星（究竟是今天的哪一顆星還有爭議）——作拱極運動(dòng)在天上所劃出的圓。至于“北極樞”，則顯然就是北極星所劃圓的圓心——它才能真正對應于天文學(xué)意義上的北極。在上面所作分析的基礎上，我們就完全不必再回避上面所引《周髀算經(jīng)》第9、第12節中的論述了。由這兩處論述可知，“璇璣”并非假想的空間，而是被認為實(shí)際存在于大地之上——處在天上北極的正下方，它的截面直徑為23,000里，這個(gè)數值對應于《周髀算經(jīng)》第8節中所述在周地地面測得的北極東、西游所極相差2尺3寸，仍是由“勾之損益寸千里”推導而得。北極之下大地上的這個(gè)直徑為23,000里的特殊區域在《周髀算經(jīng)》中又被稱(chēng)為“極下”，這是“璇璣”的同義語(yǔ)。如果僅僅到此為止，我們對“璇璣”的了解仍是不完備的。所幸《周髀算經(jīng)》還有幾處對這一問(wèn)題的論述，可以幫助我們解破疑團。這些論述見(jiàn)于原書(shū)卷下第7、第9節：極下者，其地高人所居六萬(wàn)里，滂沲四頹而下。極下不生萬(wàn)物，何以知之? ……于是又可知：“璇璣”又指一個(gè)實(shí)體，它高達60,000里，上端是尖的，以弧線(xiàn)向下逐漸增粗，至地面時(shí)，其底的直徑為23,000里（參見(jiàn)本文圖）；而在此69,000里圓周范圍內，如前所述是“陽(yáng)絕陰彰，故不生萬(wàn)物”。這里必須特別討論一下“滂沲四頹而下”這句話(huà)。所有主張《周髀算經(jīng)》宇宙模型中天地形狀為雙重球冠形的論著(zhù)，幾乎都援引“滂沲四頹而下”一語(yǔ)作為證據，卻從未注意到“極下者，其地高人所居六萬(wàn)里”這句話(huà)早已完全排除了天地為雙重球冠形的任何可能性。其實(shí)只要稍作分析就可發(fā)現，按照天地形狀為雙重球冠形的理解，大地的中央（北極之下）比這一球冠的邊緣——亦即整個(gè)大地的邊界——高六萬(wàn)里；但這樣一來(lái)，“極下者，其地高人所居六萬(wàn)里”這句話(huà)就絕對無(wú)法成立了，因為在球冠形模式中，大地上比極下低六萬(wàn)里的面積實(shí)際上為零——只有球冠邊緣這一線(xiàn)圓周是如此，而“人所居”的任何有效面積所在都不可能低于極下六萬(wàn)里。比如，周地作為《周髀算經(jīng)》作者心目中最典型的“人所居”之處，按照雙重球冠模式就絕對不可能低于極下六萬(wàn)里。此外，如果接受雙重球冠模式，則極下之地就會(huì )與整個(gè)大地合為一體，沒(méi)有任何實(shí)際的邊界可以將兩者區分，這也是明顯違背《周髀算經(jīng)》原意的----如前所述，極下之地本是一個(gè)直徑23,000里、其中“陽(yáng)絕陰彰，不生萬(wàn)物”、陰寒死寂的特殊圓形區域。四、《周髀算經(jīng)》蓋天宇宙模型的正確形狀根據前面幾節的討論，我們已經(jīng)知道《周髀算經(jīng)》所述蓋天宇宙模型的基本結構是：天與地為平行平面，在北極下方的大地中央矗立著(zhù)高60,000里、底面直徑為23,000里的上尖下粗的“璇璣”。剩下需要補充的細節還有三點(diǎn)：一是天在北極處的形狀。大地在北極下方有矗立的“璇璣”，天在北極處也并非平面，《周髀算經(jīng)》在卷下第7節對此敘述得非常明確∶極下者，其地高人所居六萬(wàn)里，滂沲四頹而下。天之中央，亦高四旁六萬(wàn)里。也就是說(shuō)，天在北極處也有柱形向上聳立----其形狀與地上的“璇璣”一樣。這一結構已明確表示于本文圖1。該圖為《周髀算經(jīng)》蓋天宇宙模型的側視剖面圖，由于以北極為中心，圖形是軸對稱(chēng)的，故只需繪出其一半；圖中左端即“璇璣”的側視半剖面。二是天、地兩平面之間的距離。在天地為平行平面的基本假設之下，這一距離很容易利用表影測量和勾股定理推算而得（推算之法及其有關(guān)討論詳見(jiàn)[4]）。即《周髀算經(jīng)》卷上第3節所說(shuō)的“從髀至日下六萬(wàn)里而髀無(wú)影，從此以上至日則八萬(wàn)里”。日在天上，天地又為平行平面，故日與“日下”之地的距離也就是天與地的距離。而如果將蓋天宇宙模型的天地理解成雙重球冠形曲面，這些推算都無(wú)法成立。李淳風(fēng)以下，就是因此而誤斥《周髀算經(jīng)》為“自相矛盾”。其實(shí)，《周髀算經(jīng)》關(guān)于天地為平行平面以及天地距離還有一處明確論述，見(jiàn)卷下第7節：天離地八萬(wàn)里，冬至只日雖在外衡，常出極下地上二萬(wàn)里。“極下地”即“璇璣”的頂部，它高出地面六萬(wàn)里，故上距天為二萬(wàn)里。《周髀算經(jīng)》宇宙結構示意圖（因為是軸對稱(chēng)的，只需畫(huà)出半個(gè)）

三是蓋天宇宙的總尺度。蓋天宇宙是一個(gè)有限宇宙，天與地為兩個(gè)平行的平面大圓形，此兩大圓平面的直徑皆為810,000里——此值是《周髀算經(jīng)》依據另一條公理“日照四旁各十六萬(wàn)七千里”推論而得出 (參見(jiàn)[4])，有關(guān)論述見(jiàn)于卷上第4、第6節∶冬至晝，夏至夜，差數所及，日光所逮觀(guān)之，四極徑八十一萬(wàn)里，周二百四十三萬(wàn)里。日冬至所照過(guò)北衡十六萬(wàn)七千里，為徑八十一萬(wàn)里，周二百四十三萬(wàn)里。北衡亦即外衡，這是蓋天宇宙模型中太陽(yáng)運行到距其軌道中心——北極——最遠之處，此處的日軌半徑為238,000里，太陽(yáng)在此處又可將其光芒向四周射出167,000里，兩值相加得宇宙半徑為405,000里，故宇宙直徑為810,000里。上圖中各參數之意義及其數值，依據《周髀算經(jīng)》原文所載，開(kāi)列如下∶J   北極(天中)Z   周地(洛邑)所在X   夏至日所在(日中之時(shí))F   春、秋分日所在(日中之時(shí))D   冬至日所在(日中之時(shí))r   極下璇璣半徑 = 11,500里Rx  夏至日道半徑 = 119,000里Rf  春、秋分日道半徑 = 178,500里Rd  冬至日道半徑 = 238,000里L   周地距極遠近 = 103,000里H   天地距離 = 80,000里h   極下璇璣之高 = 60,000里綜上所述，《周髀算經(jīng)》中蓋天宇宙幾何模型的正確形狀結構如圖1所示。這一模型既然處處與《周髀算經(jīng)》原文文意吻合，在《周髀算經(jīng)》的數理結構中也完全自洽可通，為何前賢卻一直將天地形狀誤認為雙重球冠形曲面呢? 這就必須仔細辨析“天象蓋笠，地法覆盤(pán)”八個(gè)字了。五、對“天象蓋笠，地法覆盤(pán)”的明顯誤解《周髀算經(jīng)》卷下第7節有“天象蓋笠，地法覆盤(pán)”一語(yǔ)，這八個(gè)字是雙重球冠說(shuō)最主要的依據，不可不詳加辨析。這八個(gè)字本來(lái)只是一種文學(xué)性的比擬和描述，正如趙爽在此八字的注文中所闡述的：見(jiàn)乃謂之象，形乃謂之法。在上故準蓋，在下故擬盤(pán)。象法義同，蓋盤(pán)形等?；ノ漠惼?，以別尊卑；仰象俯法，名號殊矣。這里趙爽強調，蓋、盤(pán)只是比擬。這樣一句文學(xué)性的比喻之辭，至多也只能是表示宇宙的大致形狀，其重要性與可信程度根本無(wú)法和《周髀算經(jīng)》的整個(gè)體系以及其中的數理結構——我們的討論已經(jīng)表明，“天地為平行平面”是上述體系結構中必不可少的前提——相提并論。再退一步說(shuō)，即使要依據這八個(gè)字去判斷《周髀算經(jīng)》中蓋天宇宙模型的形狀，也無(wú)論如何推論不出“雙重球冠”的形狀——恰恰相反，仍然只能得出“天地為平行平面”的結論。試逐字分析如次：蓋，車(chē)蓋、傘蓋之屬也。其實(shí)物形象，今天仍可從傳世的古代繪畫(huà)、畫(huà)像磚等處看到，它們幾乎無(wú)一例外都是圓形平面的，四周有一圈下垂之物，中央有一突起（連接曲柄之處），正與本文圖所示天地形狀極為吻合。而球冠形的蓋，至少筆者從未見(jiàn)到過(guò)。笠，斗笠之屬，今日仍可在許多地方。通常也呈圓形平面，中心有圓錐形凸起，亦與本文圖所示天地形狀吻合。而球冠形的斗笠，不知何處有之?覆盤(pán)，倒扣著(zhù)的盤(pán)子。盤(pán)子是古今常用的器皿，自然也只能是平底的，試問(wèn)誰(shuí)見(jiàn)過(guò)球冠形的盤(pán)子——那樣的話(huà)它還能放得穩嗎?綜上所述，用“天象蓋笠，地法覆盤(pán)”八字去論證雙重球冠之說(shuō)，實(shí)在不知道是何所據而云然。而前賢遞相祖述，俱不深察，甚可怪也。究其原因，或許是因為首創(chuàng )此說(shuō)者權威之大，后人崇敬之余，難以想象智者之千慮一失。《周髀算經(jīng)》：中國古代唯一的公理化嘗試一、引言根據現代學(xué)者認為比較可信的結論，《周髀算經(jīng)》約成書(shū)于公元前100年。自古至今，它一直毫無(wú)疑問(wèn)地被視為最純粹的中國國粹。而今視《周髀算經(jīng)》為西方式的公理化體系，似乎有一點(diǎn)異想天開(kāi)。然而，如果我們能夠先捐棄成見(jiàn)，并將眼界從中國擴展到其它古代文明，再來(lái)仔細研讀《周髀算經(jīng)》原文，就會(huì )驚奇地發(fā)現，上述問(wèn)題不僅不是那么異想天開(kāi)，而且還有很深刻的科學(xué)史和科學(xué)哲學(xué)意義。西方科學(xué)史上的公理化方法，用之于天文學(xué)上時(shí)，主要表現為構建宇宙的幾何模型。從Eudoxus, Callippus, Aristotle, 到Hipparchus, 構建了一系列這樣的模型，至Ptolemy而集前人之大成——Almagest（《至大論》）中的幾何模型成為公理化方法在天文學(xué)方面的典范。直至近代，Copernicus, Tycho, Kepler等人的工作也仍是幾何模型。古代中國的傳統天文學(xué)幾乎不使用任何幾何方法?！皽喬煺f(shuō)”雖有一個(gè)大致的“渾天”圖象，不失為一種初步的宇宙學(xué)說(shuō)，但其中既無(wú)明確的結構（甚至連其中的大地是何形狀這樣的基本問(wèn)題都還令后世爭論不休），更無(wú)具體的數理，自然也不是宇宙的幾何模型。事實(shí)上古代中國天文學(xué)家心目中通常根本沒(méi)有幾何模型這種概念，他們用代數方法也能相當精確地解決各種天文學(xué)問(wèn)題，宇宙究竟是什么形狀或結構，他們完全可以不去過(guò)問(wèn)。然而，《周髀算經(jīng)》是古代中國在這方面唯一的例外——《周髀算經(jīng)》構建了古代中國唯一的一個(gè)幾何宇宙模型。這個(gè)蓋天宇宙的幾何模型有明確的結構，有具體的、絕大部分能夠自洽的數理?！吨荀滤憬?jīng)》的作者使用了公理化方法，他引入了一些公理，并能在此基礎上從他的幾何模型出發(fā)進(jìn)行有效的演繹推理，去描述各種天象。盡管這些描述與實(shí)際天象吻合得并不十分好，然而確實(shí)是應用公理化方法的一次認真嘗試。對于古代中國科學(xué)史上這樣一個(gè)突出的特例，有必要專(zhuān)門(mén)探討一番。二、“日影千里差一寸”及其意義在《周髀算經(jīng)》中，陳子向榮方陳述蓋天學(xué)說(shuō)，劈頭第一段就是討論“日影千里差一寸”這一公式，見(jiàn)卷上第3節：[1]夏至南萬(wàn)六千里，冬至南十三萬(wàn)五千里，日中立竿無(wú)影。此一者天道之數。周髀長(cháng)八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也；正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。這里一上來(lái)就指出了日影千里差一寸。參看圖1：日影，指八尺之表（即“周髀”）正午時(shí)刻在陽(yáng)光下投于地面的影長(cháng)，即圖1中的 l,八尺之表即 h,當：h = 8尺l = 1尺6寸時(shí)，向南16,000里處“日中立竿無(wú)影”，即太陽(yáng)恰位于此處天頂中央，這意味著(zhù)：L = 16,000里，或H = 80,000里這顯然就有：L/l = 16,000里/1尺6寸 = 1,000里/1寸即日影千里差一寸。接著(zhù)又明確指出，這一關(guān)系式是普適的——從夏至日正午時(shí) l = 1尺6寸之處（即周地），向南移1,000里，日影變?yōu)?尺5寸；向北移1,000里，則日影增為1尺7寸。這可以在圖中看得很清楚。“日影千里差一寸”示意圖    

同時(shí)，由圖1中的相似三角形，顯然還有：L/l = H/h = 1,000里/1寸在上式中代入 h = 8尺，即可得到：H = 80,000里即《周髀算經(jīng)》中天與地相距八萬(wàn)里的結論，見(jiàn)原文卷上第3節：候勾六尺，……從髀至日下六萬(wàn)里而髀無(wú)影。從此以上至日則八萬(wàn)里。即在圖中令 l = 6尺，L = 60,000里，h = 8尺，就可得出 H = 80,000里。日在天上，故從“髀無(wú)影”之地“上至日”80,000里，自然就是天地相距80,000里。上述關(guān)系式其實(shí)無(wú)論l（即勾，也即日影）是否為6尺都能成立，《周髀算經(jīng)》之所以要“候勾六尺”，是因為它只掌握勾股定理在“勾三股四弦五”時(shí)的特例，[2] 故必須湊數據以便套用這一特例——勾6尺即表至日下60,000里，天地相距80,000里，于是從表“邪（即斜）至日”為100,000里，正是3、4、5的倍數。《周髀算經(jīng)》明確建立日影千里差一寸的關(guān)系式之后，接著(zhù)就拓展這一關(guān)系式的應用范圍。卷上第4節云：周髀長(cháng)八尺，勾之損益寸千里?！窳⒈砀甙顺?，以望極，其勾一丈三寸，    由此觀(guān)之，則從周北十萬(wàn)三千里而至極下。此處日影不再必要，這只需將圖1中的 S 點(diǎn)（原為太陽(yáng)所在位置）想象為北極位置，就可一目了然，現在：h = 8尺l = 1丈3寸L = 103,000里“勾之損益寸千里”的關(guān)系式仍可照用不誤。在《周髀算經(jīng)》下文對各種問(wèn)題的討論中，這一關(guān)系式多次被作為已經(jīng)得到證明的公式加以使用（必須始終在“正南北”方向上）。討論到這里，有一點(diǎn)必須特別注意，就是：無(wú)論上引第3節還是第4節中所述千里影差一寸的關(guān)系式，若要成立，必須有一個(gè)暗含的前提——天與地為平行平面。這在圖1中是顯而易見(jiàn)的，如果沒(méi)有這一前提，上述各種關(guān)系式以及比例、相似三角形等等全都會(huì )無(wú)從談起。這就是說(shuō)，《周髀算經(jīng)》將天地為平行平面這一點(diǎn)視為不證自明的當然前提。要理解這一狀況，對于現代人來(lái)說(shuō)會(huì )比古人困難得多。因為現代人已有現代教育灌輸給他的先入之見(jiàn)——大地為球形；所以現代人見(jiàn)到古人這一前提，首先想到的是它的謬誤。但古人卻無(wú)此成見(jiàn)，他們根據直觀(guān)經(jīng)驗很容易相信天與地是平行平面。這也正是《周髀算經(jīng)》中“勾之損益寸千里”之說(shuō)在古代曾廣泛被接受的原因。古人認為推出這一結論是顯而易見(jiàn)、不容置疑的，這里不妨舉一些例：欲知天之高，樹(shù)表高一丈，正南北相去千里，同日度其陰，北表二尺，南表尺九寸，是南千里陰短寸；南二萬(wàn)里則無(wú)影，則直日下也。[3]日正南千里而（影）減一寸。[4]懸天之景，薄地之儀，皆移千里而差一寸。[5]這些說(shuō)法都只要看圖即可了然。古人后來(lái)當然也發(fā)現了“勾之損益寸千里”不符合觀(guān)測事實(shí)，但這已是很晚的事了。[6]　在《周髀算經(jīng)》成書(shū)以及此后相當長(cháng)的年代里，古人對于這一關(guān)系式看來(lái)并不懷疑。一些現代論著(zhù)也曾經(jīng)注意到《周髀算經(jīng)》中“勾之損益寸千里”是以天地為平行平面作為前提的，但作者們首先想到的是這一前提的謬誤（這一前提當然是謬誤的），而他們在指出這“自然都是錯誤的”之后，[7]　也就不再深究，轉而別顧了。指出《周髀算經(jīng)》中的錯誤，在今天來(lái)說(shuō)確實(shí)已經(jīng)沒(méi)有多少意義；然而，如果我們分析討論“勾之損益寸千里”及其前提“天地為平行平面”在《周髀算經(jīng)》的蓋天學(xué)說(shuō)中究竟有什么樣的地位和意義，卻是大有意義之事。三、公理與定理在西方歷史上，建立科學(xué)學(xué)說(shuō)有所謂“公理化方法”（axiomatic method），意指將所持學(xué)說(shuō)構造成一個(gè)“演繹體系”（deductive system）。這種體系的理想境界，按照科學(xué)哲學(xué)家 J.Losee 的概括，有如下三要點(diǎn)：A. 公理與定理之間有演繹關(guān)系；B. 公理本身為不證自明之真理；C. 定理與觀(guān)測結果一致。其中，B 是 Aristotle 特別強調的。而 Euclid 的《幾何原本》被認為是公理化方法確立的標志。但是在天文學(xué)上，由于這一學(xué)科的特殊性，應用公理化方法會(huì )有所變通：在理論天文學(xué)中，那些遵循著(zhù)“說(shuō)明現象”傳統的人采取了不同態(tài)度。他們擯棄了Aristotle 的要求——為了能說(shuō)明現象，只要由公理演繹出來(lái)的結論與觀(guān)測相符即可。這樣，公理本身即使看起來(lái)是悖謬的甚至是假的，也無(wú)關(guān)緊要。[8]也就是說(shuō)，只需前述三要點(diǎn)中的一、三兩點(diǎn)即可。這個(gè)說(shuō)法確實(shí)可以在天文學(xué)史上得到證實(shí)，Aristotle 的“水晶球”體系、Ptolemy 的地心幾何體系，以及中世紀阿拉伯天文學(xué)家種種奇情異想的宇宙幾何模型，都曾被當時(shí)的天文學(xué)家當作公理（在這里類(lèi)似于現代科學(xué)家所謂的“工作假說(shuō)”）來(lái)使用而不問(wèn)其真假。現在再來(lái)看《周髀算經(jīng)》中的蓋天學(xué)說(shuō)，就不難發(fā)現，“天地為平行平面”和“勾之損益寸千里”兩者之間，正是公理與定理的關(guān)系。仔細體味《周髀算經(jīng)》全書(shū)，“天地為平行平面”這一前提是被作為“不證自明之真理”，或者說(shuō)，是被作為蓋天學(xué)說(shuō)系統的公理（亦即基本假設）之一的。至于“天地為平行平面”之不符合事實(shí)，也應從兩方面去分析。第一，如上所述，從公理化方法的角度來(lái)看，即使它不符合事實(shí)也不妨礙它作為公理的地位。第二，符合事實(shí)與否，也是一個(gè)歷史性的概念——我們今天知道這一公理不符合事實(shí)，當然不等于《周髀算經(jīng)》時(shí)代的人們也已經(jīng)如此。剩下的問(wèn)題是“定理與觀(guān)察結果一致”的要求。我們現在當然知道，由公理“天地為平行平面”演繹出來(lái)的定理“勾之損益寸千里”與事實(shí)是不一致的。演繹方法和過(guò)程固然無(wú)懈可擊，然而因引入的公理錯了，所以演繹的結果與事實(shí)不符。但對此仍應從兩方面去分析。第一，演繹結果與觀(guān)測結果一致仍是一個(gè)歷史性概念，在古人觀(guān)測精度尚很低的情況下，“勾之損益寸千里”無(wú)疑在相當程度上能夠與觀(guān)測結果符合。第二，也是更重要的，從公理演繹出的定理與客觀(guān)事實(shí)不符，只說(shuō)明《周髀算經(jīng)》所構造的演繹體系在描述事實(shí)方面不太成功，卻絲毫不妨礙它在結構上確實(shí)是一個(gè)演繹體系。四、“日照四旁”與宇宙尺度《周髀算經(jīng)》作為一個(gè)演繹體系，并不止一條公理。它的第二條公理是關(guān)于太陽(yáng)光照以及人目所見(jiàn)的極限范圍，見(jiàn)卷上第4節：日照四旁各十六萬(wàn)七千里。人所望見(jiàn)，遠近宜如日光所照。這是說(shuō)，日光向四周照射的極限距離是167,000里，而人極目遠望所能見(jiàn)到的極限距離也是同樣數值。換言之，日光照不到167,000里之外，人也不可能看見(jiàn)167,000l里之外的景物。從結構上看，這條原則也屬于《周髀算經(jīng)》中的基本假設，亦即公理。因為這條原則并非導出，而是設定的。以往學(xué)者們在這個(gè)問(wèn)題上的研究，主要是根據《周髀算經(jīng)》所交代的有關(guān)數學(xué)關(guān)系式，試圖去說(shuō)明此167,000里之值因何而取。盡管各種說(shuō)明方案在細節上互有出入，但主要結論是一致的，即認為這個(gè)數值是《周髀算經(jīng)》作者為構造蓋天宇宙模型而引入的，或者說(shuō)是湊出來(lái)的。然而這里必須注意，拼湊數據固然難免脫離客觀(guān)實(shí)際，同時(shí)卻也不能不承認這是作者采用公理化方法（或者至少是“準公理化方法”）構造蓋天幾何模型的必要步驟之一。而且還應該注意到，《周髀算經(jīng)》引入日照四旁167,000里之值后，在“說(shuō)明現象”方面確實(shí)能夠取得相當程度的成功。正如程貞一、席澤宗所指出的：由這光照半徑，陳子模型（按即指《周髀算經(jīng)》的蓋天宇宙模型）大致上可解釋晝夜現象及晝夜長(cháng)短隨著(zhù)太陽(yáng)軌道遷移的變化?！瑫r(shí)也可以解釋北極之下一年四季所見(jiàn)日光現象。[9]應該看到，在將近兩千年前的中國，構造出這樣一個(gè)幾何模型，并且能大致上解釋實(shí)際天象，實(shí)在已屬難能可貴。[10]《周髀算經(jīng)》的蓋天宇宙模型是一個(gè)有限宇宙：天、地為圓形的平行平面，兩平面間相距80,000里；而此兩平面大圓形的直徑為810,000里。[11]　此810，000里之值在《周髀算經(jīng)》中屬于導出數值。原書(shū)中有兩處相似的推導，一處見(jiàn)卷上第4節：冬至晝，夏至夜，差數所及，日光所逮觀(guān)之，四極徑八十一萬(wàn)里，周二百四十三萬(wàn)里。另一處見(jiàn)卷上第6節：日冬至所照過(guò)北衡十六萬(wàn)七千里，為徑八十一萬(wàn)里，周二百四十三萬(wàn)里。北衡即外衡，這是蓋天模型中冬至日太陽(yáng)運行到最遠之處，以北極為中心，此處的日軌半徑為238,000里；太陽(yáng)在此處又可將其光芒向四周射出167,000里，兩值相加，得到宇宙半徑為405,000里，故宇宙直徑為8i0,000里。注意這里宇宙直徑是在《周髀算經(jīng)》所設定的“日照四旁”167,000里之上導出的。五、結語(yǔ)《周髀算經(jīng)》的蓋天學(xué)說(shuō)，作為一個(gè)用公理化方法構造出來(lái)的幾何宇宙模型，和早于它以及約略與它同時(shí)代的古希臘同類(lèi)模型相比，在“說(shuō)明現象”方面固然稍遜一籌，然而我們在《周髀算經(jīng)》全書(shū)的論證過(guò)程中，確實(shí)可以明顯感受到古希臘科學(xué)的氣息。從科學(xué)思想史的角度來(lái)說(shuō)，公理化方法在兩千前的遙遠東方，畢竟也嘗試了，也實(shí)踐了，這是意味深長(cháng)的。《周髀算經(jīng)》之后，構造幾何模型的公理化方法就在古代中國絕響了。特別令人疑惑的是，《周髀算經(jīng)》的幾何宇宙模型究竟是某種外來(lái)影響的結果，還是中國本土科學(xué)中某種隨機出現的變異？而且，不論是上述哪一種情形，為何它曇花一現之后就歸于絕響？可惜這些令人興奮的問(wèn)題已經(jīng)超出了本文的范圍。注釋?zhuān)?div style="height:15px;">