在數學(xué)教學(xué)中要避免“理解的要執行，不理解的也要執行”?！都t與黑》的作者馬利-亨利·貝爾（筆名司湯達）曾經(jīng)因為老師未讓他理解“負負得正”而在多年后還“耿耿于懷”，這說(shuō)明教師讓學(xué)生理解數學(xué)多么重要！數學(xué)教學(xué)中的理解有其特殊性，教師要把握這種特殊性，在數學(xué)教學(xué)中，自覺(jué)創(chuàng )造適合學(xué)生的理解。
一、
學(xué)生對數學(xué)的理解是有差異的
《義務(wù)教育數學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標》）提出了使“不同的人在數學(xué)上得到不同發(fā)展”的課程基本理念，這實(shí)際上就是承認學(xué)生在數學(xué)學(xué)習上是有差異的。對數學(xué)學(xué)習來(lái)說(shuō)，如果認為“沒(méi)有教不好的學(xué)生，只有不會(huì )教的老師”，那么這種人肯定是數學(xué)和數學(xué)教學(xué)的外行。
正是因為公開(kāi)承認學(xué)生在數學(xué)上的差異，《課標》給出了選學(xué)內容，并且明確指出選學(xué)內容不列入中考要求。教材呈現也遵循學(xué)生認知發(fā)展的規律，切合學(xué)生學(xué)習數學(xué)的心理過(guò)程，遵循學(xué)生學(xué)習數學(xué)的規律，密切聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗設計內容的呈現形式和編排方式，使之生動(dòng)、新穎、活潑，增強對學(xué)生的吸引力。提煉和精選學(xué)生全面發(fā)展和終身發(fā)展必備的、最基本的知識內容，做到容量適當，難易適度。在每一章和每一節的內容安排上注意由實(shí)例引入，做到從具體到抽象、從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復雜、從知識到能力逐步展開(kāi)，循序漸進(jìn)。
對數學(xué)的理解只存在一種正確的理解，不存在外行人的理解方法。所以沒(méi)有人能夠寫(xiě)出關(guān)于數學(xué)最新成果的通俗讀物。人們對初中數學(xué)教材中某些概念的理解也經(jīng)歷了漫長(cháng)的過(guò)程，像數“0”、負數、無(wú)理數等概念，歷史上有些著(zhù)名的數學(xué)家在一開(kāi)始也不接受。所以，在數學(xué)學(xué)習過(guò)程中，我們的學(xué)生對某些概念一時(shí)不能正確理解是很正常的。但一時(shí)不能正確理解不等于不理解。對這些概念的理解應因人而異，創(chuàng )造適合不同水平學(xué)生的理解方法，并應根據每個(gè)學(xué)生的理解情況，采取循序漸進(jìn)的理解方式，引導學(xué)生逐步加深對這些概念的理解。
二、
會(huì )證明不等于理解
我們也許認為，對數學(xué)定理只要為學(xué)生給出證明，學(xué)生就能理解。其實(shí)不然，理解和證明往往并不是一回事。盡管我們可以用自然數公理證明2＋3＝5，但我們不會(huì )對學(xué)生給出證明，學(xué)生一般也不會(huì )對老師提出證明它的要求。學(xué)生之所以能夠理解2＋3＝5，是因為學(xué)生從感覺(jué)上把握了這一數學(xué)事實(shí)，而不是通過(guò)證明。對定理我們之所以要給出證明，從根本上說(shuō)，不是要求學(xué)生會(huì )寫(xiě)出證明，而是通過(guò)探索定理的證明過(guò)程，引導學(xué)生從感覺(jué)上把握定理所要表達的數學(xué)事實(shí)，從而加深對定理的理解。
“三角形的內角和等于180°”是《幾何原本》第1卷的命題32，歐幾里得對此給出了證明。盡管如此，對這個(gè)結論，沒(méi)有人有強烈的直覺(jué)說(shuō)它是對的。甚至據說(shuō)大數學(xué)家高斯在19世紀早期曾試圖以實(shí)驗方法檢驗這一結論。在教學(xué)過(guò)程中，我們通過(guò)把三角形的三個(gè)內角剪下來(lái)然后拼在一起的方法引導學(xué)生發(fā)現這一結論，也是為了強化學(xué)生對這一結論的直覺(jué)。我們知道，四色定理——“要為平面里的任何地圖著(zhù)色，只需要四種顏色就已足夠”的證明需要使用計算機，它的證明是第一個(gè)無(wú)人能解讀其完整證明的定理。證明的一部分需要非常多案例的分析，使得沒(méi)有人能搞懂它們的全部。無(wú)奈，數學(xué)家只能以確認檢查所有這些案例的計算機程序來(lái)滿(mǎn)足自己。在這里，證明這一定理和理解它似乎沒(méi)有關(guān)系！
我們可以利用乘法法則推出（證明），大部分學(xué)生都可以完成推導。但在具體運用公式的過(guò)程中，
這是因為學(xué)生盡管會(huì )推導，但可能并沒(méi)有建立對該公式的直觀(guān)感覺(jué)。因此，在推導出公式后，我們還需要利用下圖給學(xué)生進(jìn)行解釋?zhuān)宰寣W(xué)生建立對該公式的直覺(jué)。
讓學(xué)生通過(guò)計算和比較認識到自己的錯誤。但這樣做僅僅是為了糾正學(xué)生的計算錯誤，并不一定有助于學(xué)生對完全平方公式的理解。
對“負負得正”，可以用如下兩種理解方式：
方式一：用學(xué)生可以直觀(guān)感知的生活實(shí)例解釋。
假設小明每天都會(huì )花10元買(mǎi)零食。從現在起他的父母不再給他零花錢(qián)，那么他的存款每天都會(huì )減少10元。過(guò)去1天少10元，過(guò)去2天就少20元。過(guò)去n天，就是減少10n元，表示為－10n。如果n＝－1，即昨天比今天要多10元，即(－10)×(－1)＝10。前天就是n＝－2，比今天要多20元，即(－10)×(－2)＝20。由此可得“負負得正”。
方式二：用運算律推出“負負得正”。
我們有10＋(－10) ＝0，在等式的兩邊同乘以(－1)得
[10＋(－10) ]×(－1)＝0。
根據分配律得
10×(－1)＋(－10) ×(－1) ＝0。
由于
10×(－1) ＝10×(1－2) ＝10×1－10×2＝－10，
所以
－10＋(－10) ×(－1) ＝0。
兩邊同加上10得
(－10) ×(－1) ＝10。
這兩種方式哪種方式好呢？當然是方式一，因為證明不等于理解！
三、
會(huì )計算不等于理解
在數學(xué)學(xué)習中，有許多知識一時(shí)無(wú)法做到真正理解，有理數的運算法則就是其中之一。有理數加法法則是：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。在講授有理數加法時(shí)，教師如果一上來(lái)就給出法則，然后要求學(xué)生運用法則進(jìn)行操練，這樣就完全偏離了數學(xué)的本質(zhì)，把數學(xué)變成了按部就班的程序化的東西，使數學(xué)學(xué)習變成了對機械程序的記憶、模仿和操練，從而就不是在教數學(xué)。有理數加法法則實(shí)際上把加法運算歸納為兩步：首先確定和的符號，然后確定和的絕對值。它是為了提高學(xué)生的運算速度和準確性而對運算技巧的歸納，應該是在學(xué)生對有理數加法法則進(jìn)行了合理理解后，教師引導學(xué)生所作的概括。當然，僅僅讓學(xué)生“依葫蘆畫(huà)瓢”，不管懂不懂，只要按照運算法則操作就是了，這樣做也可以保證運算結果的正確。但這不是正確學(xué)習數學(xué)的方法，這樣學(xué)習數學(xué)也是走不遠的。
根據加法交換律，可以得出2＋3＝3＋2。但在這里不是指2和3這兩個(gè)數可以交換，而是指加2和加3這兩種運算可以交換。給學(xué)生強化運算交換，不僅有助于學(xué)生理解交換律的本質(zhì)，也會(huì )對學(xué)生以后的學(xué)習帶來(lái)幫助。
解方程x+4=6，只要將+4從左邊移到右邊（移項），就可得到x=6－4，即x=2。這里要讓學(xué)生明白：將+4從左邊移到右邊（移項），實(shí)際上是根據等式的性質(zhì)，將方程的兩邊都減去4。如果僅僅要求學(xué)生“依葫蘆畫(huà)瓢”，就會(huì )導致學(xué)生知其然而不知其所以然。在初學(xué)解方程時(shí)，應該要求學(xué)生指出每個(gè)步驟的數學(xué)依據。
在有理數的運算中使用計算器，或更一般地說(shuō)，僅僅利用計算器進(jìn)行數的運算，并不是教學(xué)中必須的。用計算器進(jìn)行計算，對于信息時(shí)代的原居民——學(xué)生來(lái)說(shuō)，并不需要老師教。連小商小販都操作自如的技能還怕我們的學(xué)生長(cháng)大后不會(huì )？但是，一旦延誤了計算技能的培養階段，就無(wú)法再補救。有理數運算的基本教學(xué)目標是：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際運算，逐步理解算理，提高運算技能。這種目標通過(guò)操作計算器是達不到的。
四、
數學(xué)基礎不等于教學(xué)基礎
“新數運動(dòng)”最根本的問(wèn)題就是把數學(xué)的基礎誤認為數學(xué)教育的基礎，所以要求學(xué)生學(xué)習現代數學(xué)的基礎內容?；A教育階段的數學(xué)學(xué)習必須考慮學(xué)生的認知水平，不可能做到形式化。數學(xué)教學(xué)中的理解不是按數學(xué)本身的邏輯順序進(jìn)行，而是主要依據學(xué)生的可接受能力循序漸進(jìn)地進(jìn)行的。
對于平面幾何的學(xué)習，教材并不是像《幾何原本》一樣從點(diǎn)、線(xiàn)、面開(kāi)始，而是從認識立體圖形開(kāi)始。學(xué)生生活在三維空間中，他看到的是三維物體，從三維物體到立體圖形，再到平面圖形和點(diǎn)、線(xiàn)、面，符合學(xué)生認識幾何圖形的實(shí)際和學(xué)生的認知特點(diǎn)。點(diǎn)、線(xiàn)、面是看不到的，它們是更抽象的概念。
盡管從邏輯上講，概率是統計的基礎，但課標和教材卻是把統計放在概率前面。在基礎教育階段統計比概率更重要，發(fā)展學(xué)生的數據分析觀(guān)念是本階段的核心目標。第一學(xué)段（1～3年級）不學(xué)概率；第二學(xué)段（4～6年級）稱(chēng)為“隨機事件發(fā)生的可能性”；第三學(xué)段（7～9年級）稱(chēng)為“事件的概率”。
極限是微積分的基礎，也是學(xué)生學(xué)習微積分的“攔路虎”，以致有人調侃說(shuō)：“為什么高數差，因為我剛學(xué)第一章就到極限了?！币虼?，根據高中生的認知水平，高中的導數概念對極限進(jìn)行了淡化。
五、
理解需要記憶和模仿
在學(xué)習過(guò)程中也不能一味強調理解，否則，就會(huì )喪失學(xué)習某些知識的時(shí)機。譬如母親在教幼兒語(yǔ)言時(shí)會(huì )多次重復相同的詞語(yǔ)，教幼兒模仿大人的發(fā)音，如果這時(shí)還講什么理解的話(huà)就麻煩了。而類(lèi)似這種機械訓練在一個(gè)人的成長(cháng)過(guò)程中也是必不可少的。
我們當然不能把機械記憶作為數學(xué)教學(xué)的目標，尤其要避免考查機械記憶。但由此認為數學(xué)學(xué)習完全不需要記憶，也是武斷的。在數學(xué)學(xué)習中，有些數學(xué)名詞、符號、書(shū)寫(xiě)規則等，就需要記憶；為了給數學(xué)探究留出更多的時(shí)間，一些基本概念、法則、公式等，也需要在理解的基礎上熟練地記憶?！笆熳x唐詩(shī)三百首，不會(huì )吟詩(shī)也會(huì )吟”是古人學(xué)習寫(xiě)詩(shī)的經(jīng)驗之談，這說(shuō)明記憶也可以通向理解。在數學(xué)學(xué)習中，對有些數學(xué)知識也需要“倒背如流”，如乘法口訣。對一些運算法則，能夠理解的要操練，一時(shí)不能理解的也要操練，在操練中慢慢理解。
英國數學(xué)學(xué)習心理學(xué)家斯根普（R.Skemp）把理解分成兩種：工具性理解和關(guān)系性理解。工具性理解就是“只知是什么，不知為什么”；關(guān)系性理解就是“不僅知道是什么，而且也知道為什么”。我們通常所說(shuō)的理解，往往是指關(guān)系性理解，而忽視工具性理解。但工具性理解也是一種理解，而且在數學(xué)學(xué)習中，只需要“工具性理解”的知識還不少。例如，為什么自然數從0開(kāi)始；為什么π是無(wú)理數；等等。
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