很早就想為COS寫(xiě)一篇關(guān)于計算機試驗的東西?？墒鞘冀K也未敢動(dòng)筆，覺(jué)得自己才疏學(xué)淺，生怕寫(xiě)得偏頗。但是另外一方面，又覺(jué)得這是COS上一塊空白的話(huà)題，沒(méi)有人提及過(guò)。今天寫(xiě)這篇文章，主要是為拋磚引玉，另外豐富一下主站文章的題材。

在這篇文章中，我想大致介紹一下計算機試驗的設計以及建模，另外會(huì )有一些R中專(zhuān)門(mén)做計算機試驗的包的相關(guān)介紹。

目前，比較流行的計算機試驗設計與建模的教材有兩本(似乎也只有這兩本)。一本是Thomas J. Santner， Brian J.Williams以及William I.Notz合著(zhù)的，Springer2003年出版的《The Design and Analysis of Computer Experiment》。另外一本是Kai-Tai Fang ,Runze Li以及Agus Sudjianto合著(zhù)的，2005年由Chapman&Hall出版的《Design and Modeling for Computer Experiment》。所謂的計算機試驗（computer experiment），是相對于傳統的實(shí)體試驗（physical experiment）而言的。我們都知道，實(shí)體試驗的數據（比如農業(yè)試驗，生物試驗等得到的數據）總是會(huì )受到隨機誤差的影響，因此在實(shí)體試驗設計中，引入了“重復”的原則，目的就是要通過(guò)重復的試驗，減小隨機誤差對于分析的影響。（關(guān)于實(shí)體試驗的設計以及建模，國內外已經(jīng)有很多教材討論這些，我相信大多數統計專(zhuān)業(yè)的同學(xué)所學(xué)習的試驗設計入門(mén)課程都是在學(xué)習實(shí)體試驗的設計以及數據分析。）與此相對的，計算機試驗得到的數據并不受到隨機誤差的干擾。因為一段固定的代碼，在計算機上無(wú)論運行多少次，得到的結果都是一樣的。

計算機試驗，通常比實(shí)體試驗包含了更多的變量，用于研究特別復雜的系統，比如航天探測器。對于這些特別復雜的系統，往往需要用一個(gè)更加簡(jiǎn)單的擬模型（meta model）來(lái)逼近。計算機試驗的目的之一，就是要通過(guò)在計算機上，利用代碼模擬某個(gè)復雜的設備或者某個(gè)過(guò)程，得到了試驗的數據之后，通過(guò)分析建模，從而得到一個(gè)相對更簡(jiǎn)單的模型，被稱(chēng)為擬模型，擬模型是非常有用的。

由于計算機試驗具有復雜性，以及輸出結果的確定性，做計算機試驗收集數據的時(shí)候，我們需要一些特殊的設計。

試驗設計，總是和模型緊密相聯(lián)系的。事實(shí)上，試驗設計是一種收集數據的策略。在實(shí)體試驗中，當我們需要比較某種因子不同水平之間的差別，我們通常會(huì )選用因析設計。因析設計事實(shí)上就是和因子模型相對應而產(chǎn)生的收集數據的策略。另外，所謂的最優(yōu)設計，也是相對應于模型的最優(yōu)化準則而產(chǎn)生的收集數據的策略。而在計算機試驗中，常用的是模型是所謂的全局均值模型（overall mean model）。

不失一般性，我們考慮試驗區域是一個(gè)s維的單位立方Cs=[0,1]s。當試驗次數給定了，比如說(shuō)n次，我們就需要考慮如何找到一個(gè)好的試驗Dn={x1,?,xn},使得f(x)?g(x)對于試驗區域上的所有點(diǎn)，都盡可能的小。其中f(x)是真實(shí)的模型，而g(x)是擬模型。我們考慮到，對于所有的點(diǎn)，都要求上述差分達到最小是很困難的。因此，很多學(xué)者都將該問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化，轉而去尋找全局均值E(y)=∫Csf(x)dx的最佳的估計值。而通常，都用樣本均值，也就是平均數yˉ(Dn)=1n∑ni=1f(xi)來(lái)估計總體均值。因此，我們的問(wèn)題也就轉化為了如何找到一個(gè)試驗，使得這個(gè)試驗得到的數據做樣本均值來(lái)估計總體均值是最好的。這也就是計算機試驗設計的動(dòng)因。

從統計學(xué)的角度來(lái)看，如果樣本點(diǎn)x1,?,xn是在Cs上均勻分布上獨立抽取的，那么樣本均值是無(wú)偏的，并且方差為var(f(x))n。但是，通常來(lái)說(shuō)，這個(gè)方差太大了。因此很多學(xué)者提出了不同的抽樣方法來(lái)降低這個(gè)樣本均值的方差。1979年，McKay,Beckman和Conover基于分層抽樣提出了一種新的抽樣方法，這種方法使得隨機選擇的樣本點(diǎn)并不獨立，并且邊際分布相同，因此

Var(yˉ(Dn))=1nVar(f(x))+n?1nCov(f(x1),f(x2))

當f(x1)與f(x2)負相關(guān)時(shí)，方差就減小了。這種方法被人不斷的推廣，創(chuàng )新。成為了現在計算機試驗設計中一塊非常重要的內容——拉丁超立方體設計（Latin-Hypercube design）。在后來(lái)的不斷發(fā)展中，拉丁超立方和正交表相結合，產(chǎn)生了很多正交拉丁超立方設計。此外，當引入一些準則時(shí)，比如熵準則，最大最小距離準則等，也產(chǎn)生了對應該準則的最優(yōu)的設計，包括最大最小拉丁超立方等。這些設計在計算機試驗中應用非常廣泛，最近也有人將這種設計用在變量選擇的過(guò)程中，通過(guò)模擬，大大提高了變量選擇的精確度。

與拉丁超立方設計相對應的另外一種設計，是由我國科學(xué)家方開(kāi)泰，王元在上世紀八十年代提出的均勻設計。均勻設計這一想法的提出，起源于偽蒙特卡洛方法中的Koksma-Hlawaka不等式。|E(y)?yˉ(Dn)|≤V(f)D(Dn)。其中D(Dn)是設計Dn的星偏差（star-discrepancy），而V(f)是方程f的總體變動(dòng)情況。其中星偏差是一種均勻性的度量，當試驗點(diǎn)在試驗區域分布越均勻時(shí)，星偏差的值就越小，因此，樣本均值與總體均值之差的絕對值的上界也就越小，相當于提高了估計的精度。一個(gè)試驗區域上具有最小星偏差的設計，就是所謂的均勻設計。均勻設計由我國科學(xué)家自主提出，并且在國際上得到了非常好的反響以及應用。之后，有很多學(xué)者，對于均勻設計做出了改進(jìn)，使得均勻設計也不斷地發(fā)展壯大。

下面簡(jiǎn)單介紹一下對于計算機試驗得到的數據建模的常用方法。事實(shí)上，統計學(xué)習中的常用的建模方法都可以用來(lái)對計算機試驗數據進(jìn)行建模。包括樣條回歸，局部回歸，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )等，都可以對數據進(jìn)行建模。這里要要重點(diǎn)介紹的是一種非常常用的模型，高斯-克里金模型（Gaussian-Kriging models）?？死锝鹗悄戏堑刭|(zhì)學(xué)家，他在其碩士論文中分析礦產(chǎn)數據的時(shí)候，提出了克里金模型，后來(lái)由幾位統計學(xué)家發(fā)展了他的模型，得到了目前在計算機試驗中非常常用的高斯-克里金模型。

y(x)=∑Lj=0βjBj(x)+z(x)

其中Bj(x)是選定的基函數，z(x)是隨機誤差，來(lái)自于高斯過(guò)程。該高斯過(guò)程零均值，方差為σ2,協(xié)方差函數為r(θ,s,t)=corr(z(s),z(t))。通常情況下r是預先選定的?？梢宰C明，高斯克里金模型的預測值是BLUP。

關(guān)于計算機試驗數據的建模，方法很多，但是建模方法僅僅是建模方法，無(wú)論是計算機試驗還是實(shí)體試驗，建模方法往往通用，因此，這里不做展開(kāi)論述了。

下面簡(jiǎn)單介紹一下R語(yǔ)言中，做計算機試驗的一些包。

lhs包，主要用來(lái)生成拉丁超立方體設計。DiceDesign包可以生成更多的一些空間填充設計。DiceKriging提供了對計算機試驗數據構建高斯-克里金模型的功能，DiceView則提供了多維模型可視化的手段。以上的包在task view中都有所介紹。此外，值得一提的是VizCompX包，其對計算機試驗的數據擬合高斯模型，并且提供可視化的手段。感興趣的童鞋可以參看這幾個(gè)包的幫助文檔，幫助文檔都不長(cháng)，容易上手。

最后，提一點(diǎn)我個(gè)人的小感想。我認為，計算機試驗中，更應該引人注意的話(huà)題應該是試驗的設計。一個(gè)好的設計，不光能夠提高試驗的精度，更能體現一種美感。生成一個(gè)好的設計，大致上有兩種路可以走，一種是預先設定一個(gè)準則，然后利用最優(yōu)化的算法，進(jìn)行搜索。常用的算法包括一些全局的最優(yōu)算法，比如門(mén)限接受算法，模擬退火算法等。另外一種方法，則是利用數學(xué)中其他學(xué)科，比如伽羅瓦理論，編碼理論等，通過(guò)這些學(xué)科的理論特點(diǎn)，精巧地構造一個(gè)設計。這兩種構造設計的方法相互補充，相輔相成，提供了非常廣大的研究空間。另外，這些為計算機試驗而提出的設計，也可以用在很多其他的統計學(xué)的課題中，比如之前已經(jīng)提到過(guò)的變量選擇方法精確度的提升方面?？傊?，試驗設計是研究如何有效收集數據的，無(wú)論數據是來(lái)自于實(shí)體試驗，還是計算機試驗，一個(gè)設計了的試驗，往往都可以提高效率，提高精度。這也是試驗設計這門(mén)課程的意義所在。越南的Nyuan開(kāi)發(fā)了一款試驗設計的軟件Gendex，通過(guò)輸入試驗的行數，列數，選擇你所需要的設計種類(lèi)，便可以生成多種不同的設計陣。這款軟件，是目前可以生成設計陣種類(lèi)最多的，感興趣的童鞋，不妨搜來(lái)玩一玩。