北 京 四 中
編 稿：王潤嵐 審 稿：谷 丹 責 編：趙云潔
列一元二次方程，分式方程，分式方程組解應用題
一、內容綜述：
1．列方程解應用題的一般步驟是：
（1）審題：透徹理解題意，明確哪些是已知數，哪些是未知數，以及它們之間的關(guān)系。
（2）設未知數：根據題意，可直接設未知數，也可間接設未知數，未知數必須寫(xiě)明單位，語(yǔ)言敘述要完整。
（3）列代數式和方程：根據題中給出的條件，用含有所設未知數的代數式表示其他未知數，利用等量關(guān)系，列出方程或方程組，一般列方程的個(gè)數與所設未知數的個(gè)數相同。
（4）解方程或方程組應注意解題技巧，準確地求出方程或方程組的解。
（5）檢驗答案：解應用題要檢驗有無(wú)增根，又要檢驗是否符合題意，最后做出符合題目要求的答案。
在這些步驟中，審題是解題的基礎，列方程是解題的關(guān)鍵。
在列方程時(shí)，要注意列出的方程必須滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：
（1）方程兩邊表示同類(lèi)量
（2）方程兩邊的同類(lèi)量的單位一樣
（3）方程兩邊的數值相等
二、例題分析：
例1．某人用1000元人民幣購買(mǎi)一年期的甲種債券，到期后兌換人民幣并將所得利息購買(mǎi)一年期的乙種債券，若乙種債券的年利率比甲種債券低2個(gè)百分點(diǎn)，到期后某人的乙種債券可兌換人民幣108元，求甲種債券的年利率。
分析：利息=本金×利率×存期
本息=本金+利息
甲種債券利息×（1+乙種債券利率）×存期=108
解：設甲種債券的年利率為x，依題意，甲種債券的利息為1000x元，乙種債券的年利率為x-0.02，則
1000x(1+x-0.02)=108
整理得：250x2+245x-27=0
(10x-1)(25x+27)=0
x1=0.1 x2=-
∵x2=-
不合題意，舍去
∴x=0.1=10%
答：甲種債券的年利率為10%。
例2．某電廠(chǎng)規定該廠(chǎng)家屬區的每戶(hù)居民如果一個(gè)月的用電量不超過(guò)A度，那么這個(gè)月這戶(hù)只需交10元用電費，如果超過(guò)A度，則這個(gè)月除了仍要交10元用電費外，超過(guò)部分還要按每度
元交費。
（1）該廠(chǎng)某戶(hù)居民2月份用電90度，超過(guò)了規定的A度，則超過(guò)部分應該交電費多少元（用A表示）
（2）下表是這戶(hù)居民3月、4月的用電情況和交費情況： 月份
用電量（度）
交電費總數（元）
3月
80
25
4月
45
10
根據上表的數據，求電廠(chǎng)規定A度為多少？
分析：本題是原于現實(shí)生活中的經(jīng)濟問(wèn)題，情景熟悉，但問(wèn)題有障礙，不能直接看出問(wèn)題的答案，必須認真閱讀和思考。
問(wèn)題（1）較簡(jiǎn)單，超過(guò)部分應交電費
(90-A)元，問(wèn)題（2），從表中看到，45<A<80，根據3月份用電80度，交電費25元，可列出方程：
10+
(80-A)=25
整理得，A2-80A+1500=0
解得：A1=50 A2=30
但A2=30<45，不合題意舍去
∴A=50
解略。
例3．某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷(xiāo)售，增加盈利，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當的降價(jià)措施，經(jīng)調查發(fā)現，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件。
若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價(jià)多少元？
解：設每件襯衫應降價(jià)x元，
由題意可得：
(40-x)(20+2x)=1200
整理，得x2-30x+200=0
x1=10 x2=20
根據題意x=10不合題意，舍去
所以x=20
答：每件襯衫應降價(jià)20元。
說(shuō)明：此題是一元二次方程在市場(chǎng)經(jīng)濟中的應用，利用已知條件，列方程，解方程都比較簡(jiǎn)單，但得出方程的根后，考查它們是否符合題意是個(gè)難點(diǎn)，已知中有“盡快減少庫存”的要求，而每降低1元，則平均每天可售出2件，所以x=10，不合題意舍去。
例4．某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠(chǎng)家需付甲、乙兩隊共8700元，乙、丙兩隊合做10天完成，廠(chǎng)家需付乙、丙兩隊共9500元，甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的
，廠(chǎng)家需付甲、丙兩隊共5500元。
（1）求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超過(guò)15天完成全部工程，問(wèn)可由哪隊單獨完成此項工程花錢(qián)最少？請說(shuō)明理由。
分析：此題是用數學(xué)知識解決簡(jiǎn)單的生產(chǎn)問(wèn)題，這也是初中數學(xué)的教學(xué)目的。
第一問(wèn)是工程問(wèn)題，工程問(wèn)題中有三個(gè)量：工作總量，工作效率，工作時(shí)間，這三個(gè)量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間。
第二問(wèn)只要求出每天應各付甲、乙、丙各隊多少 錢(qián)，并由第一問(wèn)求出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工作所需的天數，即可求出在規定時(shí)間內單獨完成此項工程哪個(gè)隊花錢(qián)最少。
解：（1）設甲隊單獨做x天完成，乙隊單獨做y天完成，丙隊單獨做z天完成
由題意可得：
解這個(gè)方程組得：
經(jīng)檢驗此解是所列方程組的解
答：甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做15天完成，丙隊單獨做30天完成。
（2）設付給甲隊一天a元，付給乙隊一天b元，付給丙隊一天c元。
解這個(gè)方程組得
又∵規定時(shí)間要求不超過(guò)15天
∴不能用丙隊，
∵10a=8000（元） 15b=9750（元）
答：由甲隊單獨完成此工程花錢(qián)最少。
說(shuō)明：數學(xué)教學(xué)新大綱中要求“能夠運用所學(xué)知識解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”。能夠解決實(shí)際問(wèn)題是指：能夠解決帶有實(shí)際意義和相關(guān)學(xué)科中的數學(xué)問(wèn)題，以及解決生產(chǎn)和日常生活中的實(shí)際問(wèn)題；能夠使用數學(xué)語(yǔ)言表達問(wèn)題，展開(kāi)交流，形成用數學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的意識，以上四題就反映了新大綱要求，這種形式的問(wèn)題頻繁出現在近兩年的中考試卷中，這應引起我們的重視。
例5．A、B兩地間的路程為15千米，早晨6時(shí)整，甲從A地出發(fā)步行前往B地，20分鐘后，乙從B地出發(fā)騎車(chē)前往A地，乙到達A地后停留40分鐘，然后騎車(chē)按原路原速返回，結果甲、乙兩人同時(shí)到達B地，如果乙騎車(chē)比甲步行每小時(shí)多走10千米，問(wèn)幾點(diǎn)鐘甲，乙兩人同時(shí)到達B地？
分析：此題是行程問(wèn)題，行程問(wèn)題中有三個(gè)基本量：速度、時(shí)間、路程，并且路程=速度×時(shí)間。此題若間接設元，設甲步行每小時(shí)走x千米，乙騎自行車(chē)每小時(shí)走(x+10)千米，又已知AB兩地路程為15千米，則可利用甲乙所用的時(shí)間找等量關(guān)系。
解：設甲步行每小時(shí)走x千米，
則乙騎車(chē)每小時(shí)走(x+10)千米
由題意得：
+1=
整理得：x2+25x-150=0
解這個(gè)方程得：x1=5,x2=-30
經(jīng)檢驗：x1=5,x2=-30都是所列方程的根，
但x=-30不合題意舍去
∴x=5
這時(shí) 15÷5=3（小時(shí)）
答：上午9點(diǎn)整，甲、乙兩人同時(shí)到達B地。
例6．甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)，經(jīng)過(guò)C地去B地，已知Ｃ、Ｂ相距180千米，出發(fā)時(shí)，甲每小時(shí)比乙多行5千米，因此，乙經(jīng)過(guò)C地比甲晚半小時(shí)，為趕上甲，乙從C地將車(chē)速每小時(shí)增加10千米，結果兩車(chē)同時(shí)到達B，求兩車(chē)出發(fā)時(shí)速度？
分析：解決此題的關(guān)鍵是：從C地到B地，甲比乙多走半小時(shí)。
解：設乙速為x千米/時(shí)。
則甲速為(x+5)千米/時(shí)
-
=
整理得：x2+15x-1750=0
解這個(gè)方程：x1=35, x2=-50
經(jīng)檢驗：x1=35,x2=-50都是所列方程的根
但x=-50不合題意，舍去
∴x=35
∴x+5=35+5=40
答：甲出發(fā)時(shí)速度為40千米/時(shí)，乙出發(fā)時(shí)速度為35千米/時(shí)。
例7．甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)同向出發(fā)，甲經(jīng)過(guò)B地后，再經(jīng)過(guò)3小時(shí)12分在C地追上乙，這時(shí)兩人所走的路程和為36千米，而A、C兩地的距離等于乙走5小時(shí)的路程，求A、B兩地的距離？
分析：此題間接設元比較方便，如可設甲、乙兩人速度分別為x千米/時(shí)，y千米/時(shí)，可以利用“兩人所走的路程和為36千米”及“甲從A到C所用的時(shí)間與乙從B到C所用的時(shí)間相等”這兩個(gè)等量關(guān)系建立方程組。
解：設甲速為x千米/時(shí)，乙速為y千米/時(shí)
則AC長(cháng)5y千米，BC長(cháng)為
x千米（3小時(shí)12分=
小時(shí)）
AB長(cháng)(5y-
x)千米
由題意可得
解這個(gè)方程組得：
經(jīng)檢驗它們都是所列方程組的解
又∵
不合題意舍去
∴
∴ 5y-
x=5×4-
=4
答：A、B兩地長(cháng)4千米。
