明朝數學(xué)發(fā)展
(2013-03-10 16:26:34) ?。ㄒ唬?strong>數學(xué)發(fā)展的階段特征
數學(xué)史家杜石然先生將明代數學(xué)按年代先后為序，大致分為三個(gè)階段，每一階段大約１００年。
?。?。第一階段入明之后，由明朝政府主持的最重要的學(xué)術(shù)工作，當推《永樂(lè )大典》的編輯。此書(shū)完全是根據永樂(lè )皇帝的意愿編輯的。永樂(lè )六年（１４０８年）書(shū)成，共２２９３７卷，１１０９５冊。全書(shū)均系手抄本，無(wú)刊本。后世流傳者即僅有嘉靖年間另抄的一個(gè)副本。
《永樂(lè )大典》自明萬(wàn)歷年間即開(kāi)始殘缺，但清修《四庫全書(shū)》時(shí)，戴震等人仍從中輯出古算經(jīng)若干種，可見(jiàn)《永樂(lè )大典》于清初時(shí)大部尚在，可惜１９００年庚子之役，大部散佚。６０年代初，中華書(shū)局從世界各地搜集到殘本約８００卷，影印刊行。
《永樂(lè )大典》中有關(guān)的數學(xué)條目，大都集中于 事韻 、算字之下，原有３６卷，現被影印者為僅存的１６３４３- １６３４４卷（現藏英國劍橋大學(xué)圖書(shū)館）。據各方資料分析，算字條下各冊，內容系采自以下各書(shū)：屬于漢唐十部算書(shū)者有《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》七種；屬于宋元算書(shū)者有《數書(shū)九章》、《益古演段》、《詳解〈九章〉算法》、《日用算法》、《乘除通變本末》、《田畝比類(lèi)乘除捷法》、《續古摘奇算法》、《透簾細草》、《丁巨算法》、《革象新書(shū)》、《錦囊啟蒙》、《算法全能集》、《詳明算法》等；屬于明初算書(shū)者僅有一種即《通原算法》，但其內容十分淺顯。
《永樂(lè )大典》所收算書(shū)情況表明：在明朝初年，古代的《算經(jīng)十書(shū)》和宋元時(shí)代的各種算書(shū)，還不能說(shuō)已經(jīng)失傳。但是《大典》只有抄本而無(wú)刻本，其編纂本意是供皇帝御覽而不是用于流傳。因此《大典》雖然收入了許多算書(shū)，但并不能說(shuō)明這些算書(shū)在明初都是一般人可以讀得到的。當時(shí)，要想讀到這么些算書(shū)似乎非常困難。
以《九章算術(shù)》為例，大約到了明王朝建立后的百年左右，就已經(jīng)很難見(jiàn)得到了。吳敬尋訪(fǎng)多年之后才獲得一部《九章算術(shù)》的手抄本。至于宋元算書(shū)，除楊輝所著(zhù)各種實(shí)用算術(shù)書(shū)籍仍然流行于世外，其余的宋元諸大家，如秦九韶、李冶、朱世杰等人的著(zhù)作，則很少見(jiàn)有問(wèn)津者。程大位在其所著(zhù)《算法統宗》一書(shū)附錄有算學(xué)源流，給出了歷代算書(shū)名單，其中關(guān)于宋元算書(shū)，秦九韶和朱世杰的著(zhù)作均未列入。
以上情況說(shuō)明自明初到１５世紀中葉期間，中國古代漢唐《十書(shū)》和宋元算書(shū)大都處于衰廢狀態(tài)。
?。?。第二階段到了１５世紀中葉，恰好是在１４５０年（景泰元年），吳敬出版了他自己編著(zhù)的《九章算法比類(lèi)大全》，它是僅存的最早的刻本算書(shū)。全書(shū)卷首是乘除開(kāi)方起例，之后按《九章算術(shù)》的體例并以《九章》的章名命名各章，全書(shū)所收問(wèn)題分 古問(wèn) （即采用《九章》等書(shū)原有的問(wèn)題）、 比類(lèi) 、 詩(shī)詞 （詩(shī)詞體例的數學(xué)問(wèn)題）等等。值得指出的是：從體例和全書(shū)的整體思想上講，《大全》仍然繼承了以《九章》為代表的中國古代數學(xué)的傳統，即以政府管理上所需要的實(shí)用數學(xué)為主要內容。關(guān)于宋元時(shí)代的成就，如天元術(shù)、四元術(shù)、內插法、級數求和等內容，《大全》均未涉及。而關(guān)于開(kāi)方、開(kāi)立方、開(kāi)高次方，吳敬所用的只是利用開(kāi)方作法本源的 立成釋鎖法 而不用比較先進(jìn)的 增乘開(kāi)方法.書(shū)中有很多民間商業(yè)數學(xué)方面的內容，楊輝算書(shū)和朱世杰《算學(xué)啟蒙》等算書(shū)所開(kāi)創(chuàng )的方向，在吳敬書(shū)中得到了繼承和發(fā)展。這對程大位所著(zhù)《算法統宗》以及明中葉以后的數學(xué)著(zhù)作，產(chǎn)生了重大的影響。
除上述吳敬所著(zhù)《九章算法比類(lèi)大全》之外，還出現下述一些算書(shū)。
現僅有抄本傳世的《通證古今算學(xué)寶鑒》（王文素，自序于１５２４年）。
有刻本傳世的《勾股算術(shù)》（１５３３年）、《測圓海鏡分類(lèi)釋術(shù)》（１５５０年）、《弧矢算術(shù)》（１５５２年）、《測圓算術(shù)》（１５５３年），以上均為顧應祥所著(zhù)。
《勾股六論》，是與顧應祥同時(shí)代的唐順之所著(zhù)。有抄本傳世的《神道大編歷宗算會(huì )》（周述學(xué)，１５５８年）。
上述所列顧應祥所著(zhù)各書(shū)涉及宋元算書(shū)內容較多。據顧應祥《勾股算術(shù)》序中的自述：他 自幼性好數學(xué)，然無(wú)師傳，……又得《周髀》及《四元玉鑒》，在《測圓海鏡分類(lèi)釋術(shù)》序中說(shuō)晚得荊川唐太守（即唐順之）所錄《測圓海鏡》一書(shū)等等，可知像顧、唐這樣的高級官吏曾經(jīng)搜求并研究過(guò)宋元算書(shū)?？上У氖穷?、唐等人對宋元數學(xué)中的成就，如天元術(shù)幾乎完全不理解。由于他自己沒(méi)有學(xué)通，就把天元術(shù)有關(guān)的內容刪去了。宋元數學(xué)成就至此已不絕者僅如一線(xiàn)，幾乎就成為絕學(xué)了。
?。?。第三階段在此后直至明亡的不到一百年的時(shí)間里（即從１６世紀中葉至１６４４年），在數學(xué)史上發(fā)生了必須提到的兩件事。其一是珠算盤(pán)廣泛被利用，另一就是西方數學(xué)開(kāi)始傳入我國。
珠算盤(pán)產(chǎn)生于元末，在朱世杰《算學(xué)啟蒙》（１３０３年）中可以看到當時(shí)已經(jīng)完成了乘除法的口訣化。入明以后，在吳敬《九章算法比類(lèi)大全》和王文素《通證古今算學(xué)寶鑒》二書(shū)中，雖然沒(méi)有出現關(guān)于珠算盤(pán)的明確記載，但都記述了一些似乎只能是在珠算運算中才可能出現的算法。在流傳至今的算書(shū)中，最早記述了珠算并附有算盤(pán)插圖的刊本算書(shū)是《盤(pán)珠算法》（徐心魯，１５７３年）。此外還有《數學(xué)通軌》（柯尚遷，１５７８年）、《算學(xué)新說(shuō)》（朱載堉，１５８４年）、《盤(pán)法指南》（黃龍吟，１６０４年）等書(shū)。
在許多關(guān)于珠算術(shù)的算書(shū)中，程大位所著(zhù)的《算法統宗》（１５９２年）是最重要的。許多珠算書(shū)籍的出現，特別是《算法統宗》受到的歡迎，標志著(zhù)到明末珠算已廣泛流行，中國古代的籌算終于被珠算所代替。珠算盤(pán)這種便于使用、便于攜帶，其算法程序化和口訣化了的簡(jiǎn)便計算工具，直至今日，依然被我國人民廣泛應用著(zhù)。由于珠算術(shù)的發(fā)展，籌算和建立在籌算基礎上的天元術(shù)、四元術(shù)、高次方程和方程組的數值解法等宋元數學(xué)的諸多成就便進(jìn)一步被人們遺忘和衰廢了。在程大位的《算法統宗》中雖然也引用了開(kāi)方作法本源，但程大位卻注明 此圖雖吳氏《九章》內有，自平方至五乘方，卻不云如何作用，注釋不明，可見(jiàn)程大位對吳敬書(shū)中載錄的立成釋鎖法 也已經(jīng)不通用了。
與珠算術(shù)流行的同時(shí)，在明末，伴隨著(zhù)西方傳教士來(lái)華的早期活動(dòng)，西方的數學(xué)知識也開(kāi)始傳入我國。最早傳入的數學(xué)知識，大都集中在徐光啟等人所編的《崇禎歷書(shū)》和李之藻所編的《天學(xué)初函》之中。詳細情況見(jiàn)本書(shū)有關(guān)中外交流章節。
?。ǘ兑圾櫵惴ā?br> ?。?。作者及成書(shū)年代
《一鴻算法》四卷，余楷撰，１５８５年刊印完成。長(cháng)期以來(lái)，人們都以為該書(shū)早已失傳。最近，李迪先生發(fā)現明代原刊本并進(jìn)行了研究。該書(shū)是一部珠算書(shū)，有大量詩(shī)歌和口訣，還有形式不同于程大位《算法統宗》所載的丈量步車(chē)和 制車(chē) 等新內容。
?。?。主要內容及其貢獻全書(shū)主要由歌訣與算題構成，歌訣有 歌 、 訣和法三種形式，共３６首，多數都無(wú)韻。卷一有算題４９道，卷二有２３道，卷三有３６道，共１０８道，卷四因體例不同無(wú)算題。所有算題除兩道外均以今有開(kāi)頭，每題都有答 和 法.一般是先歌后題，有些地方有解釋和說(shuō)明，這是明代數學(xué)著(zhù)作一種較普遍的風(fēng)格。
全書(shū)內容淺顯，系一種普及性讀物。該書(shū)的發(fā)現給明代數學(xué)史研究提供了新的資料。
《一鴻算法》卷二 度之章 主要講述余楷本人參加田畝丈量和各種形狀田畝面積計算問(wèn)題。開(kāi)頭是一首丈量田地歌，接下去有一長(cháng)段小注性文字，就是記述他受命進(jìn)行丈量一事。
特別重要的是，余楷在書(shū)中記錄了兩種當時(shí)使用的丈量工具——制繩和制車(chē)。制繩也稱(chēng)丈繩，每一丈做一記號。 制車(chē)與《算法統宗》所記之丈量步車(chē)制法雖不同，但原理完全一樣，都是卷尺。丈量步車(chē)用篾做繩，而制車(chē)則用麻繩。制繩可以獨立使用，而主要是用在制車(chē)上。其制車(chē)方法是：用圍長(cháng)１尺、干長(cháng)４尺的竹子，上半段留下１。５尺左右，中間從兩面鋸下，使成通槽形，即所謂燈籠架樣.再從未鋸下的兩側面中間穿上一根帶搖柄的鐵軸。把長(cháng)１。５尺的６片竹篾穿于通槽內鐵軸上，為紡車(chē)形.皮繩繞于其上，起收放皮繩的作用。在將竹子鋸成通槽形時(shí)于前面留一齒，高、寬各１。５寸，中鑿一方孔，安裝一管狀滑溜，使皮繩從中順利通過(guò)。
在滑溜的下方，把竹筒削成像手掌寬那樣的柄，以便插于地上。
顯然，余楷的制車(chē)較原始，不如《算法統宗》內之丈量步車(chē)成熟。在前后相差六七年的兩部書(shū)里記有不全相同的丈量工具這一事實(shí)，清楚地說(shuō)明：萬(wàn)歷初年為適應全國田畝丈量的需要，數學(xué)家們都在研究既省工又能提高工作效率的丈量工具。
?。ㄈ端惴ńy宗》
?。?。概述《新編直指算法統宗》十七卷及首篇一卷（１５９２年），程大位著(zhù)。它流傳廣泛，對明末以至清代民間數學(xué)知識的普及與中國古算知識的繼承均有不容忽視的作用。
該書(shū)系參會(huì )諸家之法，附以一得之愚，纂集成編.以整體而言，卷三至卷十二即方田至勾股諸卷為主體，以示統宗于《九章算術(shù)》，冠以算學(xué)常識與珠算知識，附以難題雜法等項。盡管某些內容不無(wú)重復，仍不失條理清楚。
?。?。學(xué)術(shù)價(jià)值據李兆華先生研究，該書(shū)中的新意，有下列各點(diǎn)：丈量步車(chē) 卷三載有新制丈量步車(chē)圖，圖后有說(shuō)，圖文結合說(shuō)明其構造及尺寸。所謂丈量步車(chē)類(lèi)似今之皮卷尺，是一種量田工具。其主要零件包括一個(gè)木框架、一個(gè)木轉輪、一條竹篾以及提把兒、搖把兒、鉆腳。竹篾易于舒卷，搖把兒與木轉輪為固定聯(lián)接，轉動(dòng)搖把兒即可將竹篾纏繞于木轉輪外周。木框架與木轉輪由搖把兒聯(lián)接，兼有束服竹篾的作用。竹篾上依步分厘制刻劃長(cháng)度單位：篾上逐寸寫(xiě)字。每寸為二厘，二寸為四，三寸為六，四寸為八，不必厘字。五寸為一分，自一分至九分俱用分字。五尺為一步，依次而增至三十步以上或四十步以下可止。因五尺為一步，故五寸為一分，半寸為一厘或即一寸為二厘。如以此步車(chē)量得方田邊長(cháng)為若干步分厘，自乘，以畝法二百四十步除之，則逕得方田積為若干畝分厘。古代量田常用弓，每弓五尺。其形制見(jiàn)諸《算法全能集》卷上。步車(chē)較之弓，方便而準確，這是進(jìn)了一步。
截兩成斤歌 卷四衡法節的截兩成斤歌給出斤下帶兩諸數相加的簡(jiǎn)便方法。歌由 一退十五，二退十四 至 十五退一共十五句口訣組成。程氏說(shuō)：觀(guān)算盤(pán)梁子上二子為十，梁之下五子，共有十五兩。論一斤該數十六兩，欠一兩。故曰一退十五以成一斤。據該書(shū)說(shuō)，當時(shí)斤下帶兩之諸數相加，法各不一，或者用斤兩口訣將諸零兩數化為十進(jìn)小數相加，或者于斤數下隔位置零兩數相加而后除以十六。此二法皆不如程氏此法逕得相加結果若干斤若干兩。從進(jìn)位制角度言之，程法同時(shí)進(jìn)行兩種進(jìn)位制加法：斤以上逢十進(jìn)一，零兩數逢十六進(jìn)一。
珠算歸除開(kāi)立方法 此法見(jiàn)于卷六。珠算歸除開(kāi)方（包括平方、立方）是相對于較早出現的珠算商除開(kāi)方而言，皆屬于《九章算術(shù)》開(kāi)方系統而非增乘開(kāi)方系統。至于《算學(xué)新說(shuō)》（１５８４年）所載開(kāi)立方法乃是一種簡(jiǎn)化的珠算商除開(kāi)立方法而不是珠算歸除開(kāi)立方法。此外，《算法統宗》卷六還介紹了珠算歸除開(kāi)平方法并在卷一開(kāi)平方法一節說(shuō)明 今新增歸除開(kāi)方而法之便矣。 然而，珠算歸除開(kāi)平方法已見(jiàn)于《算學(xué)新說(shuō)》，故事實(shí)上已不屬新增。
珠算開(kāi)帶從諸乘方 卷六 帶從開(kāi)平方法 一節所述帶從開(kāi)平方，減積開(kāi)平方， 長(cháng)闊相和歌 一節減從開(kāi)平方，開(kāi)帶從立方節帶從開(kāi)立方，開(kāi)三乘方；卷七環(huán)田截積歌一節所述帶從開(kāi)三乘方，皆屬珠算開(kāi)諸乘方及帶從諸乘方最早的記載，為研究籌算開(kāi)方法到珠算開(kāi)方法的演變提供了原始資料。
?。ㄋ模端惴ㄗ胍?br> ?。?。撰者目的程大位在出版了《算法統宗》后六年，又編輯《算法纂要》（１５９８年）
一書(shū)刊行。程大位編輯此書(shū)的目的有下面三個(gè)方面：為了便于初學(xué)者：程大位刊行《算法統宗》后，感到其內容龐雜，卷帙浩繁，初學(xué)者尚不便使用，故將《統宗》刪其繁蕪，揭其要領(lǐng)，編成此書(shū)。
《纂要》全書(shū)共６４個(gè)條目，其中取自《統宗》的有５６條。
為使珠算廣為應用：《算法統宗》包括了當時(shí)的各種數學(xué)知識，珠算只是做為計算工具來(lái)介紹的。全書(shū)共十七卷，介紹珠算的只有兩卷，僅占一小部分。但是，當時(shí)廣大群眾，特別是商業(yè)人員，并不一定要求掌握高深的數學(xué)知識，比如方程、勾股之類(lèi)，而最需要的是將珠算學(xué)到手，以便日常應用。
所以編輯一部以珠算為主，附以應用數學(xué)知識，簡(jiǎn)明扼要的算法書(shū)是非常需要的。程大位編輯《纂要》的目的就是滿(mǎn)足這方面的需要?！蹲胍饭菜木?，論珠算的就有兩卷多。特別是從第四卷的內容分析，可以看出程大位有意突出了珠算。
為了抵制坊間刻本錯誤的不良影響：程大位在《算法纂要？識語(yǔ)》中說(shuō)：萬(wàn)歷壬辰，余編算法統宗四本，……明年癸巳，書(shū)坊射利，將版翻刻。圖象字義均訛，致誤后學(xué).程大位看到這種致誤后學(xué)的情況，甚為憤慨，一方面聲明買(mǎi)者須從本鋪原版，方不差謬，以免上當外，另一方面便采取積極措施，就是編輯是書(shū)出版，以抵制坊間刻本的不良影響。
?。??；咎攸c(diǎn)和作用李培業(yè)先生認為：《纂要》除采自《統宗》者外，也增加了少量?jì)热荨?br> 一種是新增條目，如 數名釋義 ；一種是增加一些例題，如 異乘同除條增加兩題，乘法題內增加了 五個(gè)山頭五只虎 的趣味題，物不知總中增加兩題， 一掌金 中增加一題。
從全書(shū)選材看，《統宗》共有條目２９０個(gè)（包括１０８個(gè)難題），《纂要》取錄５９條，只占全書(shū)的百分之二十多。其中總論部分（基本算法）原書(shū)５７條，選?。常笚l；方田章原書(shū)１２條，選?。保皸l，這兩部分所選最多。其余粟米章選３條，衰分章選２條，商功章選３條，少廣章選１條，都是極少數。
盈朒、方程、勾股各章，未選一題。從這里可以看出《纂要》是偏重于基本算法介紹及為解決日常計算問(wèn)題而編寫(xiě)的。
程大位在編《算法纂要》時(shí)，并非只做《統宗》的摘編工作，而是以《詳明算法》為藍本進(jìn)行選材，是繼承了《詳明算法》這一類(lèi)型算書(shū)的優(yōu)良風(fēng)格的。宋楊輝《日用算法》、賈亨《算法全能集》、何平子《詳明算法》的題目稱(chēng)日用型，《算法纂要》即屬于 日用型. 日用型算書(shū)除基本算法外，大多包括以下項目：異乘同除、就物抽分、差分、貴賤差分、斤秤問(wèn)題、堆垛、盤(pán)量倉庫、丈量田畝和土方計算。
日用型 算書(shū)在民間普及珠算及初等數學(xué)知識方面，起到了重要的作用。由于它的內容少、適用性強，以講述珠算為主，因而易于為廣大群眾接受，便于在民間廣為流傳。所以，這種類(lèi)型的算書(shū)，實(shí)際上成為明、清時(shí)代民眾的數學(xué)啟蒙讀物?！端惴ㄗ胍冯m因某種原因流傳不廣，但它的編輯目的及內容，仍然被繼承了下來(lái)，其他多種同類(lèi)著(zhù)作的出版，發(fā)展了這一編排體系。
?。ㄎ澹┲樗愕陌l(fā)展與普及
?。?。珠算的起源和發(fā)展元代民間已流行珠算，但士大夫們還沿用傳統的籌算。元代的算書(shū)，都用籌算，即其證明。到了明代，珠算和籌算的地位逐漸發(fā)生了變化，應用珠算的人越來(lái)越多，籌算所占領(lǐng)域逐漸縮小，最后終于讓位于珠算。這一過(guò)程是逐步演變的。如明代初期刊印的《魁本對相四言雜字》兒童讀物，既繪算盤(pán)，又繪算籌。明代中期的算書(shū)，如吳敬的《九章詳注比類(lèi)算法大全》和王文素的《通證古今算學(xué)寶鑒》中加減乘除用珠算，開(kāi)平方、立方用籌算。明代晚期的讀物如《金瓶梅》和《警世通言》等等，則只提珠算，不言籌算了。
明代后期的書(shū)如《盤(pán)珠算法》、《數學(xué)通軌》、《算法統宗》、《算法纂要》、《算學(xué)新說(shuō)》等等，已完全采用珠算。這時(shí)期的珠算，顯然已取代籌算了。
《魁本對相四言雜字》和《新編對相四言》是看圖識字的兒童讀物，四字一句，圖文對照。書(shū)中刊有算盤(pán)圖，此書(shū)是至今發(fā)現繪有算盤(pán)圖的最早的圖書(shū)。書(shū)中把算盤(pán)同骰子并列，這說(shuō)明算盤(pán)在明初是民間通行的算具，而不是陌生的新事物。書(shū)中既繪有算盤(pán)，又繪有算籌，這說(shuō)明算籌在明初社會(huì )上還存在，算盤(pán)和算籌兩者還同時(shí)并存。
《金瓶梅》卷首有明嘉靖三十七年（１５５８年）觀(guān)海道人序，據此推定是嘉靖年間編成。這部小說(shuō)的第八十二回 湯來(lái)保欺主肆風(fēng)狂 中有匹手奪過(guò)算盤(pán)一語(yǔ)?！毒劳ㄑ浴肪矶杏校?宋金寫(xiě)算精通，……喚他去掌算盤(pán)數語(yǔ)?！饵S山迷?shī)A竹桃》一書(shū)中有：這一遍算盤(pán)，真為小阿姐打不轉來(lái)數語(yǔ)。明刊本《金瓶梅》的 西門(mén)慶官作生涯 一回所插綢緞店圖，柜上有算盤(pán)一具；明刊本《占花魁》的禿涎一回所插小酒店圖，柜上也有算盤(pán)一具。這說(shuō)明明代各種店鋪廣泛使用算盤(pán)。
傳本《魯班木經(jīng)》卷二著(zhù)錄算盤(pán)的規格是： 一尺二寸長(cháng)，四寸二分大。
框六分厚，九分大，起碗底。線(xiàn)上二子，一寸一分；線(xiàn)下五子，三寸一分。
長(cháng)短大小，看子而做。 傳本《魯班木經(jīng)》大約永樂(lè )十九年（１４２１年）以后刊行。
《魯班木經(jīng)》所述算盤(pán)規格： 線(xiàn)上二子，一寸一分；線(xiàn)下五子，三寸一分 ，恰等于四寸二分大，顯然沒(méi)有橫梁，如果有梁，則寬度不止四寸二分。又因為有線(xiàn)上、線(xiàn)下的說(shuō)法，因此算史研究者對《魯班木經(jīng)》的算盤(pán)是否有橫梁，有種種推測。
?。?。重要珠算著(zhù)作及作者歷代珠算家的身世和事略，史書(shū)《藝文志》和《疇人傳》中大都記載不詳或者殘缺?，F依據有關(guān)資料，將明代珠算家的身世和事略及其著(zhù)作，簡(jiǎn)要介紹如下。
吳敬，《九章詳注比類(lèi)算法大全》首卷目錄和乘除開(kāi)方起例，一卷方田，二卷粟米，三卷衰分，四卷少廣，五卷商功，六卷均輸，七卷盈朒，八卷方程，九卷勾股，十卷開(kāi)方。一卷至十卷，每卷首述古問(wèn)，次 比類(lèi) （類(lèi)推應用題），再次 詩(shī)詞.《九章詳注比類(lèi)算法大全》首次著(zhù)錄珠算加減的上法、退法口訣，稱(chēng)為 起五訣 、 成十訣 、破五訣、破十訣.王文素，字尚彬，明成化年間山西汾州人，生卒年月不詳。成化年間自山西文林跟隨父親經(jīng)商于真定的饒陽(yáng)，就在那里定居。王文素喜歡研究算學(xué)。
收集了宋代楊輝、明代杜文高、夏源澤、金來(lái)朋等諸家的算書(shū)，加以研究。
他花了３０年時(shí)間，于明嘉靖三年（１５２４年）編成《通證古今算學(xué)寶鑒》四十一卷，時(shí)年已６０。由于無(wú)力刻印，因此四百多年來(lái)各收藏家和公私書(shū)目，都沒(méi)有著(zhù)錄。１９３５年左右北平圖書(shū)館于舊書(shū)店發(fā)現此書(shū)手抄本，才以善本珍藏，至今為海內孤本?！锻ㄗC古今算學(xué)寶鑒》四十一卷（自序作四十二卷），原分１２本（今訂成六冊），內容以傳統的九章為范圍，但推演廣泛，項目較多。
此書(shū)卷一也同吳敬《九章詳注比類(lèi)算法大全》一樣，著(zhù)錄珠算加減法的 起五訣 、 成十訣 、 破五訣 、破十訣，雖然沒(méi)有明言珠算，但乘除用 盤(pán)中定位數 （卷一）， 眾九相乘 條（卷五）明白指出計算工具是算盤(pán)。
徐心魯，籍貫和生卒年月不詳。據《盤(pán)珠算法》書(shū)前題 徐氏心魯訂正 ，知徐心魯在閩建書(shū)林訂正《盤(pán)珠算法》。此書(shū)沒(méi)有序、跋，成書(shū)的經(jīng)過(guò)不詳?！侗P(pán)珠算法》在中國已失傳，日本內閣文庫藏有一部。此書(shū)是刊有算盤(pán)圖、并以盤(pán)式對照口訣說(shuō)明算法的最早的珠算書(shū)。算盤(pán)梁上一珠，梁下五珠。
柯尚遷，福建長(cháng)樂(lè )下嶼人，生卒年月不詳。明嘉靖二十八年（１５４９年）
貢生，任京師（今河北?。┑男吓_縣丞，曾撰著(zhù)《數學(xué)通軌》?！?strong>數學(xué)通軌》的成書(shū)早于程大位著(zhù)的《算法統宗》。此書(shū)卷首的初定算盤(pán)圖式是十三檔梁上二珠、梁下五珠的算盤(pán)。按照柯尚遷此書(shū)的序文，知此書(shū)由三部分組成，其一是學(xué)算須知，包括：數原、上法、退法、九九歌訣，九歸總歌。
其二是 歸除詮要 ，包括：因、乘、歸除、金蟬除、九歸、定身除、歸除法、乘法等。其三是九章釋例，將方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、盈朒、方程、勾股各舉例說(shuō)明解法。其中 學(xué)算須知 中有習數法語(yǔ)十條，與《通證古今算學(xué)寶鑒》中的 學(xué)算總訣 完全相同?！?strong>數學(xué)通軌》中的 九歸歌訣 、撞歸訣同吳敬、王文素算書(shū)的兩種歸法歌訣相同，只是吳、王二氏算書(shū)中對歸除的有歸無(wú)除，僅提處理方法，還沒(méi)有起一還原口訣?！?strong>數學(xué)通軌》已提出起一還原口訣，稱(chēng)為 還原法語(yǔ) ，同程大位《算法統宗》所載一致。
徐心魯訂正的《盤(pán)珠算法》在萬(wàn)歷元年刊印，柯尚遷《數學(xué)通軌》成書(shū)僅后五年。兩人一是福建人，一在福建作書(shū)，所采用 上法退法口訣、留頭乘口訣 、 九歸訣 、 歸除法訣 ，都是一致的，大約是萬(wàn)歷年間福建流行的口訣?！?strong>數學(xué)通軌》的水平高于《盤(pán)珠算法》。
由于《數學(xué)通軌》一書(shū)明清兩代沒(méi)有在社會(huì )上流傳，因而在珠算界沒(méi)有發(fā)揮應有的作用。但在日本的情況就不同。此書(shū)在日本流傳很廣，如高橋織之助的《算話(huà)拾■集》就引用《數學(xué)通軌》的序文。
程大位，在萬(wàn)歷二十六年又編印《算法纂要》一書(shū)。
朱載堉，于萬(wàn)歷十二年撰成《算學(xué)新說(shuō)》，萬(wàn)歷三十一年才刻完。此書(shū)介紹歸除開(kāi)平方、開(kāi)立方方法，用八十一檔大算盤(pán)，以求十二律。主要是為律呂服務(wù)的算書(shū)；所求平方根、立方根多至二十四、五位。
黃龍吟，名噓云（字龍吟），四川新都縣人。著(zhù)《新鐫易明捷徑算法指南》，此書(shū)明萬(wàn)歷三十二年刊行?！缎络澮酌鹘輳剿惴ㄖ改稀肥侵樗銜?shū)，書(shū)中所刊算盤(pán)圖是梁上一珠，梁下五珠，與《盤(pán)珠算法》的算盤(pán)圖相同。但此書(shū)說(shuō)明，算盤(pán)每行七珠，上梁二珠，下梁五珠，可見(jiàn)梁上少刻一珠。所錄九歸總念、 乘法歌訣 （留頭乘）、 歸除歌（包括撞歸起）同現在通行的歌訣一致，只是隔位乘法（指相乘二數的次位為零的乘算，如５０８×２０３，３０６×u65297X０５等題）與傳統的隔位乘性質(zhì)不同。此書(shū)把除數次位為零的除法（如６。４２６÷u65297X０２和３４。１７÷u65303X０５），稱(chēng)為隔位歸除法，通行的珠算書(shū)中沒(méi)有這個(gè)名稱(chēng)。書(shū)中著(zhù)錄的 金蟬退殼法 ，只用一進(jìn)一除，每次得商為１，與徐心魯訂正的《盤(pán)珠算法》的 二字算類(lèi)似，是金蟬退殼法 中的原始方法。
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