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兼評“中國古算與實(shí)數系統”

蒙  虎

（中國社會(huì )科學(xué)院哲學(xué)研究所科技哲學(xué)研究室，北京 100732）

摘  要：基于便捷的計數法和解決實(shí)際問(wèn)題的需要，中國古算在《九章算術(shù)》中即已建立起分數表示的有理數系與小數數系，構成此后算法數學(xué)的基礎。在西方，希臘人從數與數的比出發(fā)，在克服數學(xué)危機的努力中，建立起有理數域和“量”的比例理論；歐洲近代數學(xué)由于代數、解析幾何和微積分的發(fā)展，在“數”與“量”的混合中，把有理數域擴展代數數域。十九世紀末，適應于分析的嚴格化，各種無(wú)理數（量）被統一為有理數的極限，然后，在有理數子集的等價(jià)類(lèi)的意義上建立起實(shí)數系，完成實(shí)數理論。本文通過(guò)中西兩種數系發(fā)展的歷史考察，說(shuō)明它們的建立、擴展和完成有著(zhù)很大的差異，并由此對“中國古算與實(shí)數系統”一文的主要觀(guān)點(diǎn)提出置疑。

關(guān)鍵詞：數系  數  量  中國古算  西方數學(xué)

    我國數學(xué)家吳文俊先生曾兩次撰文強調：“中國的勞動(dòng)人民，在長(cháng)期的實(shí)踐過(guò)程中，創(chuàng )造與發(fā)展了從計數、分數、小數、正負數以及無(wú)限逼近任一實(shí)數的方法，實(shí)質(zhì)上，達到了整個(gè)實(shí)數系統的完成?！痹诖嘶A上，他進(jìn)一步認為：“早在公元263年時(shí)，劉徽即已通過(guò)十進(jìn)制小數以及極限過(guò)程完成了現代意義下的實(shí)數系統”（著(zhù)重號為原文所加）。并通過(guò)兩種數系的比較，說(shuō)明在數系的擴展中一個(gè)關(guān)鍵的步驟——引進(jìn)無(wú)理數的問(wèn)題上，中國古算“這種引進(jìn)既簡(jiǎn)單又自然，由于數與形的結合，根本上排除了危機”[1]。本文從簡(jiǎn)要分析現代實(shí)數系的特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)兩種數系演化的分析、比較，說(shuō)明中國古算與西方數學(xué)（指希臘、近代歐洲和現代數學(xué)）建立、擴展和完成數系的方式有著(zhù)很大的差異，吳文俊先生的以上結論值得商榷。

一、現代數系的基本意義

    著(zhù)名數學(xué)史家M.克萊因認為：“數學(xué)史上最使人驚奇的事實(shí)之一，是實(shí)數系的邏輯基礎竟遲至十九世紀后葉才建立起來(lái)。在那時(shí)以前，即使正負有理數與無(wú)理數的最簡(jiǎn)單性質(zhì)也沒(méi)有邏輯地建立，連這些數的定義也還沒(méi)有”[2]。這說(shuō)明現代數學(xué)中的數系有著(zhù)特定的含義，它不同于歷史上曾經(jīng)出現的各種“數的集合”及其運算?，F代實(shí)數系并不是代數數（域）和超越數集合的并集，而是通過(guò)自然數的等價(jià)類(lèi)對實(shí)數的存在性及其四則運算給出重新定義。

    現代實(shí)數系的建立，關(guān)鍵是無(wú)理數存在及其運算法則的確立。十九世紀末，由于分析嚴格化的需要，各種形式的個(gè)別無(wú)理數被統一于有理數列的極限。正是康托爾和戴德金把實(shí)數（包括有理數和無(wú)理數）定義為有理數列或者有理數子集的等價(jià)類(lèi)，同時(shí)，把實(shí)數系的有序性和代數運算都建立在這種等價(jià)類(lèi)的意義之上，從而把稠密的代數數域擴展為連續的實(shí)數域，使現代實(shí)數系成為有序、連續的代數域，成為序結構、代數結構和拓撲結構完美結合的統一體。然后，把有理數定義為整數的有序對，整數規定為自然數的有序對，這樣通過(guò)有理數而把實(shí)數系邏輯地建立在自然數之上。

    需要強調說(shuō)明的是，傳統的數系——代數數域、有理數域、整數環(huán)等——只有在等價(jià)類(lèi)和運算同構的意義上成為現代實(shí)數系的子類(lèi)。例如，作為現代實(shí)數的無(wú)理數是有理數的非常數列的柯西等價(jià)類(lèi)，而其中的有理數是傳統有理數的常數列的等價(jià)類(lèi)；同樣，作為有理數的整數是有序數對（m,1）(其中m是整數)。也正是在這種等價(jià)類(lèi)和同構性的意義上，現代實(shí)數系邏輯地建立在自然數之上[3]。這就是M.克萊因所說(shuō)的實(shí)數的邏輯基礎的建立。

    在實(shí)數理論建立之后，皮亞諾和弗雷格試圖進(jìn)一步尋求自然數的邏輯基礎——把自然數建立在集合論之上——的努力由于集合論悖論的出現而受阻。這就使得自然數成為現代數學(xué)的真正的基礎，正如克羅內克的名言：“上帝創(chuàng )造了自然數，其余的數都是人造的”。

    僅從邏輯線(xiàn)索來(lái)看，從自然數出發(fā)，數系擴展的關(guān)鍵就是把分數、小數或者有理數、負數、虛數、無(wú)理數、代數數和超越數等的存在性及其運算解釋為自然數集合的等價(jià)類(lèi)及其運算。而從歷史發(fā)展的角度看，數系起源于早期人類(lèi)的計數和測量活動(dòng)，前者發(fā)展出自然數及其（代數）運算，后者形成量的稠密性和連續性（拓撲）概念，在一定意義上這已經(jīng)構成此后數系乃至于全部數學(xué)的基礎[4]。離散的自然數的算術(shù)運算的擴展和連續量的數值表示成為此后數系擴展的兩種基本方式：從自然數、有理數的算術(shù)運算到代數數域的建立，從直觀(guān)的空間連續性經(jīng)由幾何連續量的有理數表示直至實(shí)數的連續性的建立?；谇逦淖匀粩岛椭庇^(guān)的連續量這個(gè)共同的基礎，在不同傳統的數學(xué)中發(fā)展出各種不同的數系，但是它們和現代數學(xué)中的數系有著(zhù)很大的差異。以下我們考察中西兩種數系的發(fā)展過(guò)程，以及它們與現代數系之間的關(guān)系。

二、西方數系的發(fā)展

    從清晰明白的自然數和直觀(guān)的連續量出發(fā)，西方數系的發(fā)展大約經(jīng)歷以下三個(gè)階段：希臘時(shí)期的有理數域和量的比例理論的建立；近代歐洲，在代數方程和解析幾何以及后來(lái)的微積分（無(wú)窮小算法數學(xué)）的推動(dòng)下，通過(guò)方程的根、幾何量、字母的代數運算等方式，把希臘人的有理數（域）推廣到包括負數、（個(gè)別）無(wú)理數和虛數在內的豐富而混亂的“數系”，然后，通過(guò)高斯的幾何解釋確立了負數與復數的存在性，從而建立起稠密的代數數域。最后，由分析的嚴格化開(kāi)始，通過(guò)把無(wú)理數統一為有理數的極限這一關(guān)鍵步驟而走向實(shí)數連續統的建立。

    人們直觀(guān)地認為一切量都可以用數和數的比直接表示，基于這種樸素的常識和理性自然觀(guān)的需要[5]，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派確立了“萬(wàn)物皆數”的自然哲學(xué)信念。而這里的“數”就是自然數，所以他們把數與數的比加以區別。用數和數的比直接表示一切（特別是幾何）量的嘗試是數系擴展的開(kāi)始。也是在用數和數的比表示幾何量的過(guò)程中畢達哥拉斯學(xué)派自己發(fā)現了邏輯矛盾，即在用數的比表示 時(shí)出現了邏輯矛盾。這種邏輯矛盾說(shuō)明用數與數的比去直接表示幾何量不具有普遍性，這就和畢達哥拉斯的自然哲學(xué)的信念相沖突，也正是在這種意義上——邏輯矛盾與哲學(xué)信念的動(dòng)搖——引發(fā)了第一次數學(xué)危機。

    以邏輯嚴格性為根本的希臘數學(xué)，從此就再不敢將數的運算簡(jiǎn)單地類(lèi)比到量的運算上去，這正是希臘人的高明和智慧。同時(shí)，也正是這種強烈的理性意識，希臘人努力去重新建立“量”的運算——歐多克斯的比例理論。這種理論的高明就在于它繞開(kāi)了用數表示量的可能性這個(gè)難題，在量的比與數的比之間建立一種等價(jià)關(guān)系，把量的比轉化為（等價(jià)于）數的比。這既保持了數的運算的直觀(guān)明見(jiàn)性，也使量的運算達到邏輯嚴格性，無(wú)理量的存在和運算被歸于量的理論之中。這是希臘數系發(fā)展的第一個(gè)成果，也由此導致數與量的分離。

    歐多克斯的量的理論相當復雜，只用于嚴格的邏輯證明，而且回避了“用數如何表示量”的問(wèn)題。歐幾里得《原本》中只比較兩個(gè)幾何量的大小，而不去具體計算面積、體積等幾何量，但是數學(xué)（包括測地術(shù)和音樂(lè )、天文等）又無(wú)法避開(kāi)“用數表示量”的問(wèn)題。這一難題在阿基米德的工作中得到既嚴格又巧妙的解決。他用“窮竭法”把（幾何）量直接界定在兩個(gè)有理數之間——而不是借助于某種計數法把量直接表示為數[6]，然后他又用比例理論對量的運算加以證明[7]，他的工作標志著(zhù)希臘數系發(fā)展的第二個(gè)關(guān)鍵的步驟：通過(guò)用“有理數”界定“無(wú)理量”，把量的運算建立在數和數的比的運算之上。這種方法是走向現代數系的重要步驟[8]。但阿基米德的方法并沒(méi)有使得“無(wú)理量”變成“無(wú)理數”[9]，數與量的分離依舊。

    希臘數系發(fā)展的第三個(gè)重要的步驟是丟番圖在《算術(shù)》中第一次把數和數的比統一為一個(gè)整體，遵守相同的運算，由此把自然數系擴展到有理數域。他的半文辭代數，在符號表示的意義上，淡化了數與數的比的區別。但是，希臘人在有理數系的問(wèn)題上也并沒(méi)有形成統一的看法，如尼克馬科斯把數的理解恢復到畢達哥拉斯的意義——自然數與自然數的比加以區別[10]。

    總的說(shuō)來(lái)，希臘人的數系是清晰嚴格的，卻是相互分離的。在算術(shù)與幾何學(xué)中，建立起清晰的數與數的比的運算和嚴格的比例理論；在半文辭代數中借助于符號本身的抽象意義把數與數的比的運算統一起來(lái)構成有理數（域），而在測地術(shù)、天文學(xué)等的實(shí)用數學(xué)中，用有理數來(lái)界定或者近似表示量，并達到了很好的邏輯嚴格性。同時(shí)，有理數與量嚴格區別。

    適應于解決物理學(xué)（自然哲學(xué)）和實(shí)際應用問(wèn)題的需要，近代歐洲人淡化了希臘人的邏輯嚴格性要求，忽略了比例理論這個(gè)嚴格而復雜的證明手段，模糊了數與量的區別，開(kāi)始直接“用數表示量”。數系的發(fā)展承接著(zhù)丟番圖和阿基米德的工作，差不多回到了前希臘的巴比倫和埃及時(shí)代[11]?；诎胛霓o代數的有理數系（域）和連續量的有理數表示（界定），這兩個(gè)傳統在近代歐洲交織在一起，使得數系的問(wèn)題變得異常的混亂，同時(shí)也異?；钴S。經(jīng)過(guò)三百多年混亂得令希臘人難以接受的發(fā)展過(guò)程，把希臘人清晰的有理數域擴展到包括幾何量、方程的根、抽象流量（包括無(wú)窮小量）等在內的豐富而復雜的數、量混合的代數數域[12]。

    代數的符號化和解方程的需要將傳統的有理數向著(zhù)負數和復數擴展。傳統的有理數的算術(shù)運算通過(guò)韋達的符號表示被直接擴展到代數運算。在解有理系數的代數方程時(shí)，把方程的根作為新的運算對象加入有理數域，通過(guò)規定它們的運算，把有理數的算術(shù)運算推廣到包括方程的根在內的代數運算[13]，事實(shí)上形成了有理數域的擴張域，最終建立起代數數域。特別重要的是，從笛卡爾開(kāi)始就把代數的與超越的加以區別[14]，到林德曼證明了這種區別[15]。對超越數的認識使得希臘人關(guān)于有理數與無(wú)理數（量）的區別這個(gè)重要的問(wèn)題進(jìn)一步深化，成為近代數系發(fā)展的一條重要的線(xiàn)索。

    解析幾何和微積分（特別是無(wú)窮級數）的發(fā)展使得傳統的有理數和無(wú)理量之間的區別逐漸消逝：放棄嚴格而復雜的歐多克斯的比例理論和阿基米德的嚴格巧妙的方法，把有理數的運算“直接”推廣到無(wú)理量。笛卡爾在《幾何》中明確提出“如何將算術(shù)運算轉化為幾何運算”[16]，在笛卡爾還通過(guò)單位線(xiàn)段把量的運算轉化為相同維數，而到了牛頓和萊布尼茨的微積分——無(wú)窮小量的代數演算，就直接把數的運算“形式地”推廣到抽象的量。后來(lái)柯西、波爾查諾把個(gè)別無(wú)理數統一為無(wú)窮數列的極限，到戴德金、康托爾干脆就將無(wú)理數定義為這種數列的等價(jià)類(lèi)，最終實(shí)現了由有理數域（代數數域）的稠密性向實(shí)數域的連續性的過(guò)渡。跳出感性經(jīng)驗，把實(shí)數統一為有理數子集的等價(jià)類(lèi)。需要特別注意的是，雖然在混亂的積累時(shí)期，人們完全忽視了歐多克斯的比例理論，但在無(wú)理數的邏輯基礎的建立中依然依然有著(zhù)歐多克斯比例理論的影響[17]，這表明西方數系發(fā)展的復雜性與曲折性以及追求邏輯嚴格的一貫性。

    有了完備的實(shí)數系，困擾西方數學(xué)的“數”與“量’的關(guān)系問(wèn)題最終解決：連續量和連續實(shí)數統一起來(lái)，傳統幾何的直線(xiàn)和新的實(shí)數系成為等價(jià)的連續統，成為抽象連續統的具體形式，而稠密的有理數在等價(jià)類(lèi)的意義上構成實(shí)數系的子集。

三、中國古算中數系的建立

    同樣從清晰明白的自然數概念出發(fā)，適應于測度計量的實(shí)際需要，借助于便捷的計數法和簡(jiǎn)單的算具，中國古算很早就建立起簡(jiǎn)潔的自然數的“九九算術(shù)”[18]，并逐步推廣到分數和小數運算，其中自然數和分數相當于希臘人的數、數的比，而小數成為獨立于分數的一個(gè)數類(lèi)，并由此發(fā)展出中國古算的數系——無(wú)限小數數系。

    在自然數四則運算的基礎上，《九章算術(shù)》給出明確的負數的加減運算（缺少負數的乘除運算）和正分數的四則運算，從而形成分數表示的有理數系（域）[19]。從明確引入負數及其加減運算法則的角度看，這個(gè)數域比希臘人（丟番圖）建立的正分數運算的有理數（域）更接近于現代的有理數域。但這一有理數域并沒(méi)有沿著(zhù)“代數化”的方向進(jìn)一步發(fā)展出現代代數數域的某種等價(jià)物。有理數的運算依然是算術(shù)運算，它不同于抽象符號的代數運算。

    借助于量的連續性觀(guān)念，中國古算，從自然數、有限小數到無(wú)限小數，以簡(jiǎn)單概括、直觀(guān)類(lèi)比的方式，逐步推廣自然數算術(shù)運算，最終，在《九章算術(shù)·劉徽注》中，在“以面命之”的意義上，給出無(wú)限小數存在性的直觀(guān)判斷[20]，建立起類(lèi)似于實(shí)數連續統的無(wú)限小數數系。在嚴格的有理數（分數）域和樸素簡(jiǎn)潔的無(wú)限小數數系獨立并存的意義上，中國古算，在劉徽時(shí)代，已經(jīng)完成其數系的建立，并由此奠定此后中國數學(xué)發(fā)展的基礎。

    在現代實(shí)數系中，小數分為無(wú)限循環(huán)小數和無(wú)限不循環(huán)小數兩類(lèi)，有限小數就是循環(huán)節為0的無(wú)限循環(huán)小數，同時(shí)，有限小數和無(wú)限循環(huán)小數是相對的，取決于計數法所采用的進(jìn)位制。無(wú)限循環(huán)小數對應著(zhù)自然數常數列，而無(wú)限不循環(huán)小數對應非常數自然數列，它們的等價(jià)類(lèi)分別為有理數與無(wú)理數。這樣，無(wú)限小數成為定義實(shí)數的一種簡(jiǎn)潔有效的方式。

    中國傳統數系的發(fā)展不是從有理數系向實(shí)數系的過(guò)渡，而是直接從自然數、有限小數到無(wú)限小數的過(guò)渡。在解決實(shí)際測度計算的問(wèn)題中，十進(jìn)位位值制計數法被自然地推廣到有限小數，其四則運算法則完全等同于自然數，只需表明小數點(diǎn)的位置即可?；诒憬莸挠洈捣?，中國古算進(jìn)一步把清晰的自然數的運算直接延拓到“無(wú)限小數”上去，在這種意義上，形成簡(jiǎn)潔有效、直觀(guān)樸素的無(wú)限小數數系。在這里沒(méi)有對無(wú)限循環(huán)小數和無(wú)限不循環(huán)小數加以區別，也沒(méi)有對“有限”與“無(wú)限”這兩個(gè)重要概念嚴格區別。正因為沒(méi)有這兩個(gè)重要的區別，使得從有限小數經(jīng)由無(wú)限循環(huán)小數（有理數）向無(wú)限不循環(huán)小數（無(wú)理數）的過(guò)渡就“沒(méi)有任何困難”，沒(méi)有意識到從有限到無(wú)限的跨越，沒(méi)有遇到象西方數系發(fā)展的那種障礙。但無(wú)限小數的存在和運算法則都沒(méi)有重新界定，而只是自然數經(jīng)由有限小數到無(wú)限小數的類(lèi)推。

    由此可見(jiàn)，理解中國古算中數系的特點(diǎn)及其完成的程度，關(guān)鍵在于如何理解無(wú)限小數的存在及其運算，也就是看中國古算如何把無(wú)限小數的存在和運算建立在自然數及其運算的基礎之上。在《九章算術(shù)·劉徽注》中給這種無(wú)限小數的存在性給出說(shuō)明，這就是“中國古算與實(shí)數系統”一文第4部分詳細討論的“以面命之”的重要意義。即“面”在不同于有限小數的意義上確立無(wú)限小數作為一個(gè)完成了的結果[21]，相當于把無(wú)限小數統一為自然數列的極限，并“以面命之”，這是確立實(shí)數存在性的一種有效方式，是走向實(shí)數連續統的重要的一個(gè)步驟。但距離建立實(shí)數系統還有另一個(gè)重要的步驟，就是如何給這種“面”規定相應的運算，同時(shí)把這種運算建立在自然數運算的基礎之上。而在劉徽的工作中，“以面命之”的“面”只是無(wú)限小數的存在性的一種直觀(guān)的肯定，對“面”的運算的理解只是實(shí)際計算中的有限小數的運算法則的簡(jiǎn)單類(lèi)比。中國古算中是否明確給出這種“面”的運算法則需要進(jìn)一步考證[22]，這是中國古算中的小數數系能否成為一個(gè)實(shí)數系的關(guān)鍵所在。

    由此可見(jiàn)，劉徽的“以面命之”進(jìn)一步發(fā)展了《九章算術(shù)》建立的小數數系，在“以面命之”的意義上直觀(guān)地確立無(wú)限小數（包括無(wú)理數）的存在，繞開(kāi)了困擾希臘人的用有理數表示無(wú)理量的困難。但是這個(gè)數系和現代實(shí)數系之間的還有一定的差距。同時(shí)，中國古算中的有理數系是以分數的形式建立的，而小數是獨立于分數的一種數系。既沒(méi)有循環(huán)小數與不循環(huán)小數的區別，同時(shí)，在固定的計數制中，也沒(méi)有明確給出把無(wú)限循環(huán)小數轉化為分數的具體方法，這種由自然數的簡(jiǎn)單類(lèi)比建立的小數數系就不是建立在有理數（系）的基礎之上的。

    在《九章算術(shù)·劉徽注》建立起小數系以后，中國數學(xué)基本上在這樣的數系基礎上進(jìn)行，以這種簡(jiǎn)潔的小數數系和簡(jiǎn)單的算具為基礎的計算技術(shù)，脫離具體量的限制，發(fā)展出宋元時(shí)期的“高次方程數值解”，把中國傳統的算法數學(xué)發(fā)展到登峰造極的精巧程度。但在數系方面沒(méi)有大的變化，高次方程的解可以看作是廣義的“面”。特別是，中國古算只關(guān)心“面”的近似值的計算，幾乎沒(méi)有意識到這種“面”的解析表示和代數意義。

四、兩種數系的比較

    針對“中國古算與實(shí)數系統”一文的結論，以下說(shuō)明從自然數到無(wú)限小數而建立的中國古算的數系與從有理數經(jīng)由代數數到現代實(shí)數理論的西方數系之間存在著(zhù)很大的差異。

    首先，從總體來(lái)看，中國傳統數學(xué)與西方數學(xué)對于數的分類(lèi)不同，對數的運算意義的理解與西方不同。在中國古算中，數被分為自然數、分數和小數。理解中國古算中數系的關(guān)鍵是無(wú)限小數，作為無(wú)限小數存在性的“面”只是一個(gè)無(wú)限過(guò)程的結果（極限）的直觀(guān)判斷，不是一個(gè)明確的運算對象，在實(shí)際的運算中，面還是以一個(gè)有限小數出現的，遵從自然數的運算法則。這種“面”的集合是否應該理解為一個(gè)實(shí)數系，是需要進(jìn)一步考據研究的問(wèn)題。中國古算中的小數既不是西方數系中的有理數（自然數與數的比），也不是量（magnitude）的某種等價(jià)物，無(wú)限小數的存在性及其運算沒(méi)有達到希臘人的數的運算或者量的比例理論那樣的嚴格性，同時(shí)發(fā)揮著(zhù)兩者的作用：它滿(mǎn)足數的四則運算法則，又可以直接表示任何類(lèi)型的量（的近似值）。中國古算從自然數發(fā)展出小數系，試圖把簡(jiǎn)潔的自然數的運算法則推廣小數上去，獲得有效的計算工具。西方數系從自然數出發(fā)擴展出各種數系，同時(shí)又努力把新的數系的存在和運算的合理性回歸于自然數的基礎之上。

    其次，中西數學(xué)建立和發(fā)展數系的方式不同，特別是引入無(wú)理數的方式不同。在中國古算中，由自然數分別獨立地發(fā)展出分數（有理數）和無(wú)限小數，把自然數的運算類(lèi)比到無(wú)限小數，建立小數數系。在“以面命之”的意義上，“面”成為構成無(wú)限小數（集合）的基本元素，在這個(gè)“面”的集合中，沒(méi)有有理數（循環(huán)小數）與無(wú)理數的明確區分，沒(méi)有“面”的具體運算法則的明確規定。在具體運算中只涉及“面”的有限小數的近似值表示，而有限小數遵守自然數的運算法則。希臘數學(xué)，由于用數和數的比（分數）表示量時(shí)發(fā)現邏輯矛盾，由此區分了可公度量與不可公度量，在這種意義上發(fā)現了無(wú)理數（不可公度量）。建立起量的比例理論，但“量”沒(méi)有構成一個(gè)（數）域，因為量的比只限于同類(lèi)量，同時(shí)量的乘法受到限制[23]。中國古算中的數系在《九章算術(shù)·劉徽注》中完成以后再沒(méi)有大的變化，宋元時(shí)期在解方程中引入負數的乘法法則（最早見(jiàn)于朱世杰的《算學(xué)啟蒙》[24]），使有理數系進(jìn)一步走向完善，但沒(méi)有涉及代數數，這樣負數一直限于算術(shù)運算。高次方程的數值解可以看作是對“面”的豐富，沒(méi)有實(shí)質(zhì)的變化。希臘數系從有理數出發(fā)，沿著(zhù)代數化方向，通過(guò)代數（符號）和方程的根（系數的解析表達式），擴展為代數數域[25]，同時(shí)，沿著(zhù)“用數表示量”的方向，從阿基米德的幾何量的有理數界定開(kāi)始，到近代解析幾何的幾何量的運算和物理量的運算的建立，特別是微積分（無(wú)窮小量算法）的發(fā)展，把無(wú)理數（量）最終統一到有理數的極限。同時(shí)，這兩條線(xiàn)索交織在一起，互相矛盾沖突，發(fā)展曲折復雜。和中國古算的數系演化大異其趣。例如，針對解方程的問(wèn)題，中國古算在算術(shù)運算中尋求數值解，而西方數學(xué)尋求解析解，在這一過(guò)程中幾乎同時(shí)引入負數、虛數，并把代數數和超越數相區別，這是中國古算中不可想象的問(wèn)題。再如，西方數學(xué)從有理數與無(wú)理量的區別出發(fā)，在用數表示量的努力中建立無(wú)理數理論，而中國古算中就沒(méi)有這種區別，沒(méi)有用數表示量的任何困難。

    由此可見(jiàn)，西方數學(xué)與中國古算發(fā)展出相互獨立的數系。強調概念清晰、邏輯嚴格的西方數學(xué)從擺脫數學(xué)危機開(kāi)始，通過(guò)算術(shù)運算的代數化，把有理數系擴展為代數數域，同時(shí)，在用稠密的有理數表示連續量的努力中，把實(shí)數統一為有理數的極限。經(jīng)過(guò)復雜曲折的歷程，最終建立起“成熟的實(shí)數系”。而強調實(shí)用的中國算法數學(xué)，適應于實(shí)際計算的需要，借助于便捷的計數法，通過(guò)簡(jiǎn)單類(lèi)比，把自然數的算術(shù)運算推廣到無(wú)限小數的算術(shù)運算，并在“以面命之”的意義上強調無(wú)限小數的存在性，由此而發(fā)展出樸素直觀(guān)、簡(jiǎn)單便捷的小數數系。這種小數數系是一個(gè)“早熟的實(shí)數系”。在這個(gè)小數數系中，沒(méi)有代數數與超越數的區別，也沒(méi)有稠密性與連續性的區別，包括負數、開(kāi)方（求根）等的運算依然是算術(shù)運算，這和現代的實(shí)數系有著(zhù)很大的差異。說(shuō)中國古算很早就建立了一種獨立的數系尚可，要說(shuō)“早在公元263年時(shí)，劉徽即已通過(guò)十進(jìn)制小數以及極限過(guò)程完成了現代意義下的實(shí)數系統”，則值得懷疑。同時(shí)，“數學(xué)危機”是西方數學(xué)發(fā)展的重要的里程碑，前兩次數學(xué)危機對于數系的建立和完善具有不可替代的重要作用，說(shuō)中國傳統數學(xué)“根本上排除了危機”可能會(huì )引起讀者對西方數學(xué)危機及其意義的誤解。諸如此類(lèi)，涉及兩種數系關(guān)系的問(wèn)題需要進(jìn)一步深入研究。

〔參 考 文 獻〕