一、關(guān)于估算教學(xué)的思考
在估算教學(xué)中，我們分成三個(gè)層面進(jìn)行討論。首先是對估算價(jià)值的認識，即估算在人們的日常生活中，在孩子們的學(xué)習中有怎樣的作用。其次，在課堂教學(xué)這個(gè)層面當中，如何培養學(xué)生的這種估算的意識，幫助學(xué)生選擇合適的估算策略，掌握估算的方法，提高估算技能。最后是如何對學(xué)生的估算結果進(jìn)行客觀(guān)公正的評價(jià)，即估算的評價(jià)標準。
1.估算的價(jià)值
（1）估算在日常生活中有著(zhù)廣泛的應用
隨著(zhù)現在科技的飛速發(fā)展，很多事實(shí)際上不可能也不需要都來(lái)進(jìn)行準確計算。通過(guò)對家長(cháng)的訪(fǎng)談，我們看到從事各種職業(yè)的人士，都認同估算的價(jià)值。曾經(jīng)有一個(gè)學(xué)者做過(guò)一個(gè)統計，一個(gè)人在日常生活當中精確計算，和粗略估計算的機會(huì )來(lái)比，后者多得多。例如，我們每個(gè)家庭要計劃自己家庭的收入和支出，這就需要估計；一個(gè)商場(chǎng)，它的營(yíng)業(yè)額是多少，它的利潤如何，這要進(jìn)行大致的預測，這也是估計；企業(yè)對經(jīng)營(yíng)的產(chǎn)品或者銷(xiāo)售額也要進(jìn)行估計；又如現在北京市公交車(chē)輛特別多，那么公交部門(mén)的運輸能力到底是多少，不一定很精確計算，也需要大致做估計；再比如，現在大城市流動(dòng)人口很多，到底流動(dòng)人口是多少，我們在做統計時(shí)也要做一些估計，一般來(lái)講尾數就省略不計了。綜上所述，我們可以得出生活離不開(kāi)估算。因此，估算作為數學(xué)計算教學(xué)方面的一個(gè)新內容，或者說(shuō)一個(gè)重要的方面提出來(lái)，是有道理的。
（2）估算為判斷計算器、口算和筆算結果是否合理提供了依據
估算為判斷計算器計算得是否準確，包括孩子們口算、筆算的結果是否合理，提供了重要的依據。小學(xué)生開(kāi)始使用計算器，計算器按出來(lái)一般的結果都是準確的，但有時(shí)候由于操作失誤可能會(huì )出現問(wèn)題，如果學(xué)生有了估算的意識和能力，就能很快發(fā)現計算器計算結果的取值范圍是否合理，可以馬上改過(guò)來(lái)。
過(guò)去我們要用加減法的互逆關(guān)系和乘除法的互逆關(guān)系來(lái)驗算，現在就可以用估算的方法來(lái)檢驗結果。這也是估算的重要應用。
（3）估算有利于人們事先來(lái)把握運算結果的范圍，是發(fā)展學(xué)生數感的一個(gè)重要的途徑
估算是發(fā)展學(xué)生數感的有效途徑之一，也是保證計算正確的重要環(huán)節，尤其對提高學(xué)生的計算能力很有益處，計算前進(jìn)行估算，可以估計出大致結果，為計算的準確性創(chuàng )設條件；計算后進(jìn)行估算，能判斷計算有無(wú)錯誤并找出錯誤的原因，及時(shí)糾正。在學(xué)生的日?？谒愫凸P算過(guò)程中，無(wú)論是計算前估算或者是計算后估算，都有一定的價(jià)值，比如說(shuō)拿到一道題，還沒(méi)算之前，先估算一下，大概它的范圍是多少，這有利于學(xué)生進(jìn)行合理的判斷。另外從思維角度來(lái)講，對培養孩子快速的判斷和推理能力，也有一定的好處。
（4）估算對學(xué)生后續的數學(xué)學(xué)習有重要作用
估算在學(xué)生后續的數學(xué)學(xué)習中占有一個(gè)非常重要的位置，并且是數學(xué)的一個(gè)基本思想，通常我們叫近似或者逼近。比如在初中，我們都學(xué)了一個(gè)數的平方等于2，那么這個(gè)數就是叫做，那么是一個(gè)實(shí)數，但是我們在日常生活中，總不能說(shuō)一個(gè)人的身高是，那么通常我們總說(shuō)它是1.4～1.41，這樣別人可以了解你的這個(gè)具體的身高，所以說(shuō)在數學(xué)的應用中，包括在數學(xué)的計算中，常常會(huì )需要用近似，用估計來(lái)解決問(wèn)題，并且它這個(gè)估計的結果符合我們實(shí)際的要求。 確實(shí)在我們數學(xué)的發(fā)展過(guò)程當中，估算也占有重要的地位，對學(xué)生的數學(xué)學(xué)習有重要的幫助，特別是發(fā)展學(xué)生近似的意識，估算的這種意識的培養，也是非常重要的。
總之，作為數學(xué)教師，我們只有更加深刻地去感受，去領(lǐng)悟估算在我們生活工作中的價(jià)值，我們才能自覺(jué)地在我們的教學(xué)當中，很好地去培養學(xué)生的這種估算的意識，估算的能力，很好地去發(fā)展學(xué)生在這方面的一些創(chuàng )造能力。
附：家長(cháng)訪(fǎng)談
新藥研發(fā)工作者：我覺(jué)得估算價(jià)值挺大的，因為我是做新藥研發(fā)的，一個(gè)新藥大概要投資下十億到十五億美元這樣一個(gè)范圍，風(fēng)險很大，所以一定要有一個(gè)大概的估計，而且中國人是那種直覺(jué)性思維方式非常好的，估計性的能力相對來(lái)說(shuō)可能是比較強的，我覺(jué)得或多或少的會(huì )用到估算，就是你在確定方向的時(shí)候，覺(jué)得很有用。
幼兒園工作者：我覺(jué)得應該有吧，比如吃飯，我經(jīng)常會(huì )遇到這種情況，因為有時(shí)候開(kāi)的發(fā)票不是很準確，你又希望這個(gè)價(jià)格很準確，但是大腦運作得又太慢，加菜單的時(shí)候太慢，所以我覺(jué)得這個(gè)應該挺有價(jià)值的，就是從生活角度。有時(shí)候你不可能當著(zhù)朋友面算算算半天，擱那兒摳摳半天，但是也確實(shí)那個(gè)餐廳也有過(guò)這種情況，他可能給你寫(xiě)一個(gè)價(jià)格，但是他最后的結果他比你要高出，有這種情況，所以為了避免這種損失，應該有一個(gè)大概的一個(gè)估算，不會(huì )差得太大。
商人：我的職業(yè)是做出口生意，最基本的還是每天的零售，零售這個(gè)流水多少錢(qián)，那么估算在我這兒應該是每天、每月、每年都應該用的，因為有的時(shí)候，你計算的沒(méi)有那么多時(shí)間，或者今天把今天的這個(gè)三次結完賬，或者兩個(gè)店的營(yíng)業(yè)額流水有多少，估算一下，這個(gè)應該在生活當中是用的非常多的。
2.估算教學(xué)的策略
目前“估算”從學(xué)生角度來(lái)講的主要問(wèn)題有兩個(gè)：一是學(xué)生不知道什么選擇用估算，往往學(xué)生一看見(jiàn)有“大約”，就開(kāi)始估了。二是學(xué)生不知道在什么情況下選擇用什么樣的估算策略，也就是估算策略怎么能夠合理地進(jìn)行應用。為此，給大家提供一些估算教學(xué)的策略，希望能有所啟發(fā)。
（1）培養估算意識
估算教學(xué)，不是單純地教給學(xué)生記住一種估算的方法，應當是通過(guò)估算的教學(xué)，來(lái)培養學(xué)生這種近似的意識，這種估算的意識，他不是被動(dòng)地、機械地去記住一種估算方法，而是通過(guò)課堂教學(xué)，讓學(xué)生逐步地去理解估算的意義，去發(fā)展學(xué)生的估算意識，在這個(gè)過(guò)程中，應當多增加一些學(xué)生的體驗，不斷地豐富學(xué)生這方面的經(jīng)驗，積累他的經(jīng)驗。下面提幾條具體的教學(xué)建議。
①教師要重視估算，并把估算意識的培養作為重要的教學(xué)目標
在教學(xué)設計時(shí)，首先要考慮教學(xué)目標，如果把目標定位在做一些機械的訓練，可能就會(huì )給學(xué)生形成一種錯誤的定勢。而我們要培養學(xué)生估算的意識、近似的意識，這是我們數學(xué)教學(xué)本身發(fā)展應該關(guān)注的問(wèn)題，也應該作為我們重要的教學(xué)目標來(lái)實(shí)施。
②要選好題目，提出好問(wèn)題，讓學(xué)生去體會(huì )估算的必要性
作為教師，在教學(xué)設計中，首先要選好題目，提出好問(wèn)題，提出有估計價(jià)值的問(wèn)題，這對老師是個(gè)挑戰。比如，三位數除以?xún)晌粩?，你估一估這道題，它的商是幾位數？這個(gè)問(wèn)題就有價(jià)值。另外，只有選好題目、提出好問(wèn)題學(xué)生才能自覺(jué)體會(huì )到估算的價(jià)值，學(xué)生具備了對估算價(jià)值的體驗后，他的估算意識才能不斷增強。提到選擇好的題目，一位老師碰到了這么一件事，一家三口去吃飯，當時(shí)點(diǎn)了一些飯菜，價(jià)錢(qián)分別是42元、56元，19元、33元、25元，9元，當時(shí)就大致地估了估，大約不夠200元。服務(wù)員收費時(shí)卻報出了226元。這顯然是錯誤的。經(jīng)查證服務(wù)員將42記了兩次，正好多收了42元。由于有了估算的意識才避免了服務(wù)員的錯收費。這就是估算的應用??！
在我們的生活當中需要估算的地方確實(shí)很多，那么能夠設計一個(gè)這樣體現估算價(jià)值的情境，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中，去體會(huì )估算的必要性。久而久之，學(xué)生估算的意識就會(huì )不斷加強。
③要鼓勵學(xué)生，利用估算來(lái)驗證計算結果，來(lái)養成好的習慣
比如現在學(xué)生用計算器計算，再比如學(xué)生的精確筆算，那么結果對不對呢，特別是積的位數、商的位數，準確不準確呢，可以先用估算的方法，來(lái)確定一下它大致的取值范圍，這樣就幫助學(xué)生來(lái)驗證計算的結果。估算意識的培養，應該從點(diǎn)點(diǎn)滴滴做起，使學(xué)生逐步地養成一種習慣，形成這種良好的習慣以后，他會(huì )自覺(jué)地進(jìn)行估算。
有這樣一個(gè)例子，8241÷41，學(xué)生算的結果商是21，他馬上發(fā)現8000多除以40多，商不可能是兩位數，肯定是算錯了，他就去進(jìn)一步檢查哪里發(fā)生錯誤?？梢钥闯稣驗樗幸粋€(gè)好的估算習慣，才能夠及時(shí)糾正自己的錯誤。還有一個(gè)例子，231加上416，有位學(xué)生得500，當時(shí)同桌給他看的時(shí)候，說(shuō)你這肯定不對，一個(gè)200多加一個(gè)400多，肯定得600多，怎么它也不能得500多?？梢?jiàn)，讓孩子感覺(jué)到估算的必要性，并養成好的估算習慣，是很有必要的。學(xué)生通過(guò)不斷地體會(huì )估算給他帶來(lái)的幫助和好處，從而不斷地提升他們估算的意識。
④要引導學(xué)生在問(wèn)題情境的對比中，選擇估算或精確計算，不斷地積累這方面的經(jīng)驗
作為數學(xué)教師，我們要想辦法搜集或者捕捉一些好的素材，在具體的問(wèn)題情境當中讓學(xué)生去感受，哪些問(wèn)題解決需要近似值，就是需要估算，哪些問(wèn)題解決一定要算出精確值，比如像剛才我說(shuō)的那個(gè)題，“全家吃飯”的例子就是估算，大約是200元，這就是估算。當然沒(méi)有必要精確地計算了，在這種情況下，我們就選擇用估算，而不選擇用精確計算。但作為飯店的收銀員就需要精確計算，估算顯然不行。
估算教學(xué)，是一個(gè)新的內容，我們沒(méi)有積累更多的經(jīng)驗。雖然生活中的例子不少，甚至估算比精算用的還多，可是真正好的例子，能夠搬到課堂上來(lái)用的，并不很多。特別是適合兒童的、貼近兒童的現實(shí)生活的例子就顯得有些不足。為學(xué)生創(chuàng )設好情境，提出好問(wèn)題需要我們不斷地去積累鮮活的例子，這正是給老師們提出了一個(gè)新的挑戰。
2．形成估算策略
首先，我們結合北京市石景山區古二小王靜燕老師的課例來(lái)談學(xué)生估算策略培養。
【案例1】估算教學(xué)片段
片段一：創(chuàng )設情境，感受估算價(jià)值。
1）老師在海報上看中了幾樣商品，準備去超市購買(mǎi)，請同學(xué)們幫我想一想：帶100元錢(qián)夠不夠？
保溫杯：9.80元
巧克力：23.60元
牛奶：16.60元
清潔劑：9.70元
面粉：14.00元
餅干：25.20元
2）學(xué)生用湊整的方法進(jìn)行估算。（學(xué)生回答略）
3）收銀員怎樣來(lái)計算這些商品的總價(jià)錢(qián)的？
學(xué)生回答：輸機。
教師追問(wèn)：能不能像前邊同學(xué)那樣對于某件商品只取一個(gè)與它近似的整數進(jìn)行輸機呢？（不能）現在我們就來(lái)進(jìn)行一下收銀員的工作，精確地這些商品到底價(jià)值多少錢(qián)？
9.80+23.60+16.60+9.70+14.00+25.20=98. 90（元）
4）請大家思考：顧客和收銀員同是計算這些商品的總價(jià)錢(qián)，那么在具體做法上有什么不同？
5）生活中有很多問(wèn)題都是用估算的方法來(lái)解決的，回想一下我們的生活，在哪些時(shí)候用到過(guò)估算。
6）小組討論之后反饋。
片段二：展現不同的估算方法。
1）看來(lái)大家對于估算有一定的經(jīng)驗，下面我們就來(lái)試一試：
這是我們古城二小五年級六個(gè)班的人數統計：
| 班級 | 一班 | 二班 | 三班 | 四班 | 五班 | 六班 |
| 人數 | 33人 | 37人 | 35人 | 38人 | 36人 | 32人 |
你能估算出五年級大約一共有多少名學(xué)生嗎？
2）反饋
生1：把這六個(gè)數都看成30，30×6=180（人），我估算的結果大約是180人。
生2：把這六個(gè)數都看成40，40×6=240（人）。
生3：我把37、35、38和36看成40，把33和32看成30，40×4＋30×2=220人。
生4：這六個(gè)數都在35上下，如果把這六個(gè)數平均一下大約就在35，所以可以把35看作中間數，35×6=210（人）
3）教師評價(jià)：同學(xué)們的估算方法都有一定的道理。老師在同學(xué)們估算的同時(shí)悄悄的算出了精確結果，你們想不想看一看？
4）公布年級實(shí)際的總人數：211人，看到這個(gè)結果你們有什么新的想法？
5）學(xué)生開(kāi)始結合精確結果和自己的估算結果進(jìn)行比較
生1：我都看成30，所以就估少了，用中間數的方法最接近。
生2：都看成40，就估高了，要比240少。
生3：都看成30，每個(gè)數都少了，所以就比實(shí)際結果少；都看成40，每個(gè)數都多了，所以就比實(shí)際結果多，所以結果在這兩個(gè)數之間。
這個(gè)課例中，王老師給孩子出示的問(wèn)題情境很巧妙，使學(xué)生產(chǎn)生了估算需要。更為可貴的是，教師能在課堂教學(xué)過(guò)程當中，追問(wèn)學(xué)生：生活當中還哪兒用到估算，這個(gè)就是對學(xué)生這種估算意識的一種培養，久而久之學(xué)生這種估算意識就會(huì )慢慢地形成了。
這節課的后半段也是非常精彩，學(xué)生用了那么多種不同的策略來(lái)進(jìn)行估算，可謂是精彩紛呈。特別是老師又拋出了一個(gè)精確值，讓孩子用自己估算的結果和這個(gè)精確值去比較，然后又把這個(gè)問(wèn)題再放下去，讓孩子又有了二次的交流和反思。
下面就估算策略問(wèn)題，提出一些建議。
⑴鼓勵學(xué)生解釋估算的思路和理由
鼓勵每個(gè)學(xué)生盡可能地能夠表述自己的思路和理由，適當地鼓勵學(xué)生總結估算的策略，因為這確實(shí)是一個(gè)經(jīng)驗的積累過(guò)程，要善于總結，靈活地使用，凡是合理的估算策略，我們應當給予肯定。經(jīng)驗積累是重要的，有時(shí)候不是老師講會(huì )的，需要學(xué)生自己不斷地反思和調整原有的認識。
⑵教師要積極地引導學(xué)生在對估算和精確計算結果的比較當中，讓學(xué)生學(xué)會(huì )傾聽(tīng)、反思，加強體驗，積累經(jīng)驗，不斷地提高估算的能力
以上面估算這節課為例，一般老師看到了學(xué)生用多樣的方法、策略，來(lái)進(jìn)行估算，往往就滿(mǎn)足了，一般情況下在這兒就要收尾了。多樣化也體現出來(lái)了，策略的變化也體現出來(lái)了。而王老師此時(shí)卻提了一個(gè)很有價(jià)值的問(wèn)題：“在你們估算時(shí)，老師已經(jīng)悄悄地把準確的結果計算出來(lái)了?？吹竭@個(gè)準確結果，你們有什么想法？”這樣又一次引起了同學(xué)們熱烈地討論，當學(xué)生把自己的估算結果和精確值進(jìn)行比較的時(shí)候，同時(shí)也和其他同學(xué)的估算結果進(jìn)行比較的時(shí)候，就發(fā)現了精確結果的大致范圍。學(xué)生進(jìn)行二次反思，對不斷提高判斷能力、選擇能力和估算能力，是有重要的幫助。
⑶教師可以適當第總結具體的估算的策略
估算策略主要有：
① 湊整的方法。如湊成一個(gè)整十整百的數。
② 取一個(gè)中間數。比如32 37 30 39這四個(gè)數求和，這些數都很接近35，有的比35多一點(diǎn)，有的比35少一點(diǎn)，就取一個(gè)中間數35，直接用35×4，就大約地計算出這幾個(gè)數相加的結果。
③ 利用特殊的數據特點(diǎn)進(jìn)行估數。如126×8，就可以想到125×8，125的8倍，就得到1000。
④ 尋找區間。也就是說(shuō)叫尋找它的范圍，也叫做去尾進(jìn)一，“去尾”就是只看首位，那么只看首位的時(shí)候，估得的結果就是它至少是多少，“進(jìn)一”就是首位加一，假如說(shuō)278，我們就看成了300，首位加一，這樣就是它最多可能是多少，這樣得到一個(gè)范圍，就是尋找它的區間范圍。
⑤ 兩個(gè)數，一個(gè)數往大了估，一個(gè)數往小了估，或者一個(gè)數估一個(gè)數不估。
⑥ 先估后調。
學(xué)生根據不同的情況，采取不同估計的策略，這是對學(xué)生估算能力的一種很好地培養過(guò)程。在這里我們只是提了六種具體的策略，其實(shí)還有很多，一線(xiàn)的老師們有很多豐富的經(jīng)驗，希望你們不斷地完善估算策略，并且在適當時(shí)候幫助學(xué)生進(jìn)行總結。
三、估算的評價(jià)
關(guān)于估算評價(jià)，可以把估算分為兩種情況：一種是根據實(shí)際問(wèn)題來(lái)估算，一種是脫離實(shí)際問(wèn)題的情境——純算式的估算。
1．根據實(shí)際問(wèn)題的需要，選擇合理的估算策略
學(xué)生只要能夠解決實(shí)際問(wèn)題，那這個(gè)估算就應該是合理的，這是針對著(zhù)解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)說(shuō)的。只要你估算的結果，和實(shí)際要求解決問(wèn)題的結果是一致的，就應當算正確。
2．純試題的估算，只要結果落在合理的區間內，就可以認為是正確的
有一些題目，脫離了實(shí)際問(wèn)題情境，屬于純算式的估算，在這種情況下，不能簡(jiǎn)單地把估算結果是否與精確值最接近作為唯一的標準，只要能夠落在區間內，就視為是合理的。
同時(shí)不同年齡的學(xué)生，要有不同的評價(jià)標準。如低年級學(xué)生剛剛接觸估算，它的估算結果落在區間內，但是范圍比較大，我們覺(jué)得也可以。高年級的學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算經(jīng)驗，就要引導他不斷地進(jìn)行再反思，再調整，把估算的結果能落在更趨于合理的位置上。舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)：78×365積大約是多少，剛開(kāi)始學(xué)習的時(shí)候，學(xué)生可能這樣估70×300，或者80×300，或者80×400，這樣我們都可以視為是合理的。有了一定的計算技能以后，老師要引導學(xué)生不斷地進(jìn)行反思，還可以估成80×350。
3．注重對估算結果數量級中的把握
數量級也就是十、百、千，萬(wàn)……，換句話(huà)說(shuō)就可以用10的n次方表示。如TIMSS測試題很有意思，史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大約是多少升？”讓學(xué)生從下面選項中選擇答案。
A.30000 B.240000 C.300000 D.2400000 E.3000000
這考查了學(xué)生對數量級的把握。
關(guān)于評價(jià)問(wèn)題，我們認為學(xué)生們估算的策略不同，只要是合理的，就應當鼓勵他們大膽地嘗試，鼓勵他們積極解釋自己的觀(guān)點(diǎn)，交流自己的看法。在這個(gè)過(guò)程當中，肯定會(huì )有很多有價(jià)值的東西會(huì )在課堂中涌現出來(lái)，老師要小心翼翼地去呵護住學(xué)生們的這份探究精神，不要輕易地用一兩句話(huà)就否定一種方法。教師不要急于給予評判，給孩子一種寬松的氛圍，讓孩子不斷地學(xué)會(huì )調整，不斷地學(xué)會(huì )反思，提升孩子這種判斷的能力。教師要不斷地站在學(xué)生的角度去思考、去挖掘這些方法的思維價(jià)值。不斷地培養孩子的估算意識，利用這種近似的意識來(lái)發(fā)展孩子的數學(xué)思維。
另外，從命題的角度，能不能讓題目更適合學(xué)生用估算的方法來(lái)解答。希望老師們能夠嘗試著(zhù)出一些好題目，提出一些好問(wèn)題，有利于學(xué)生估算意識的培養，有利于學(xué)生估算策略的選擇，不斷地提升學(xué)生的估算的能力。比如說(shuō)在估算的題目當中，鼓勵學(xué)生進(jìn)行二次的調整、選擇，這些策略都可以在和學(xué)生的交流和嘗試中不斷地讓學(xué)生去積累經(jīng)驗。關(guān)于如何去評價(jià)估算的結果問(wèn)題，需要我們不斷探索和研究的問(wèn)題。
二、科學(xué)培養學(xué)生的運算技能
1．算理和具體計算方法的關(guān)系
一些教師認為，計算教學(xué)沒(méi)有什么道理可講，學(xué)生只要把法則牢記于心，反復“演練”就可以達到正確、熟練的要求。我們不能想像一個(gè)連基本的計算原理和方法都模糊不清的學(xué)生能夠靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行計算，會(huì )具有較強的計算能力；
一些教師認為，算理非常重要，在計算過(guò)程中讓學(xué)生會(huì )說(shuō)一整套的程序化的語(yǔ)言，以表明學(xué)生對算理的理解，這種任意拔苗助長(cháng)的做法也是不可取的。因為這樣做不符合孩子的認知規律，也不可能讓小學(xué)生一下子說(shuō)那么多？說(shuō)那么多，他就是真的理解嗎？
學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)過(guò)的定律有加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律五個(gè)運算定律。實(shí)際上從小學(xué)階段到中學(xué)，一直到實(shí)數范圍它是通行無(wú)阻的。從理論上講只有運用了運算定律，才能保證某些計算結果的嚴密性。以前我們只把運算定律用到簡(jiǎn)算上，其實(shí)運算律不僅僅在此，更重要的是它能夠保證整個(gè)計算的正確性，取得唯一的結果。
⑴ 整數加法的算理
324+324=648，它的算理是什么呢？
324+324
=（300+20+4）+（300+20+4）
=（300+300）+（20+20）+（4+4）
=600+40+8
=648
在這里既運用了交換律、結合律，還利用了整數十進(jìn)制計數法，最后算出來(lái)和是648。運用運算定律能夠保證計算結果的唯一性，這就是算理。而運算法則是人們進(jìn)行計算的一個(gè)基本程序或方法，它是具有操作性的，先做什么，再做什么，最后做什么。運算法則，來(lái)自于算理；學(xué)生在做計算的時(shí)候是基于運算法則的，法則通常又要滿(mǎn)足運算律，這就是我們平時(shí)講課時(shí)應做到明確算理，掌握法則。
當學(xué)生沒(méi)有學(xué)習交換律和結合律時(shí)，怎樣能夠保證計算結果正確呢？老師根據學(xué)生的實(shí)際，用操作和教具演示等方法。如學(xué)生在做加法時(shí)，大塊和大塊的放在一起，小塊和小塊的放在一起，單根和單根放一起，很直觀(guān)，實(shí)際上就是把算理具體化和形象化的過(guò)程。
⑵小數乘法的算理
“0.3× 0.2”的算理是什么？有一部分老師認為就是把0.3和 0.2同時(shí)擴大10倍，積是6，然后再把6縮小100倍，最后結果是0.06。誤把這樣一個(gè)計算的過(guò)程當作了算理。
我們是這樣理解0.3× 0.2算理的：
0.3× 0.2
=（3 × 0.1）×（2 × 0.1）
=（3 × 2）×（ 0.1 × 0.1）
= 6× 0.01
= 0.06
計算中根據小數的意義，并利用乘法的交換律與結合律，保證了計算結果的正確性。
算理是四則運算的理論依據，它是由數學(xué)概念、運算定律、運算性質(zhì)等構成的；具體的計算方法（主要指計算法則）是四則運算的基本程序和方法。運算是基于法則進(jìn)行的，而法則又要滿(mǎn)足運算定律。所以，算理為法則提供理論依據，法則又使算理具體化。
現在計算教學(xué)淡化了程式化地敘述算理和計算法則，重在讓學(xué)生經(jīng)歷計算方法的獲得過(guò)程，重在展示計算方法的形成過(guò)程，重在暴露學(xué)生的思維過(guò)程，讓學(xué)生真正理解算理，掌握具體的計算方法，形成計算技能。在教學(xué)中，既要使學(xué)生知道怎么算，又要知道為什么這樣算。學(xué)生明確了算理和具體的方法，才能靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行計算，才可能產(chǎn)生多樣的算法。
⑶關(guān)于0.3× 0.2這個(gè)案例的討論
具體到0.3×0.2，孩子們做了各種推理，上面的這些方法都是把算理和法則融合在一起，有很高的思考價(jià)值。
畫(huà)圖的解法運用了數形結合的思想，也就是在一個(gè)邊長(cháng)為1米的正方形中，長(cháng)0.3米是3小格，寬0.2米是2個(gè)小格，畫(huà)出來(lái)以后就是在一百格里面有6個(gè)，所以是0.06。這種方法非常直觀(guān)，通過(guò)陰影部分與整個(gè)圖的關(guān)系得出陰影占百分之六，百分之六就是0.06。這說(shuō)明學(xué)生能夠借助前面的經(jīng)驗來(lái)解決問(wèn)題的，而且學(xué)生的形象思維比較豐富。在具體直觀(guān)的圖中，學(xué)生理解了算理。
其余幾個(gè)孩子的想法，他們都有邏輯推理的過(guò)程：像 0.3乘0.2，他只把0.2擴大10倍，2乘0.3是0.6，然后把0.6再縮小10倍，就是0.06，他是在原有舊知識——0.3乘2已經(jīng)掌握的基礎上，探究0.3乘0.2的，最后得出結果是0.06。
學(xué)生的這些方法都是很可貴的，具有思維價(jià)值，值得教師很好地挖掘。這些做法已經(jīng)把算理和具體的計算方法有機地融合在一起了，不必單獨拿出來(lái)給學(xué)生講算理。作為教師，在課堂上，應該好好地保護學(xué)生這種可貴的創(chuàng )造精神。
在案例的探索過(guò)程中，有的老師不禁要問(wèn)：“要不要在這兒花那么多工夫？”回答是肯定的。在新的數學(xué)知識學(xué)習過(guò)程中，如小數乘小數學(xué)生第一次接觸，一定要幫助學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中，理解計算的道理，包括利用直觀(guān)圖、老師對學(xué)生的分析講解等；讓學(xué)生在理解的過(guò)程中，掌握具體的計算方法。
小數乘法學(xué)生沒(méi)學(xué)過(guò)，但他們可以用直觀(guān)、邏輯推理的方法來(lái)解決，這些方法都是用舊知推出新知，最后大家得出計算方法：小數乘小數的法則是先把整數相乘，然后，看它因數的小數位共有多少位，再從右邊起，點(diǎn)出幾位小數，這就是具體的計算方法。
我們再來(lái)看一節兩位數乘一位數豎式計算的案例，執教者是杭州的特級教師丁杭纓老師。
【案例2】教師如何幫助學(xué)生理解算理
片斷：
在具體情境中，提出問(wèn)題，學(xué)生列出乘法算式21X3。教師在引導學(xué)生探索方法中理解算理。
師：21乘以3到底等于多少呢？你能不能用以前學(xué)過(guò)的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？請你打開(kāi)草稿本，把21乘以3等于多少，你是怎么算的，寫(xiě)在草稿本上。
生獨立探索（略）
師：誰(shuí)來(lái)解釋一下，他是怎么想的？
⑴20 ×3=60 ⑵ 2 1
1×3 =3 × 3
60+3= 63 6 3
生1：他是先把21分成兩份，一份是20，一份是1，然后用3乘20等于60，還有3乘1等于3，3加60等于63。
師：對，用了昨天我們學(xué)習的方法來(lái)算今天的知識，把21分成兩個(gè)部分，剛才這個(gè)小朋友已經(jīng)說(shuō)的，分成20和1，很好，然后再來(lái)看哪個(gè)小朋友的？
生2：我想先看那個(gè)小朋友的豎式寫(xiě)法。
師：好，我們一起來(lái)看這個(gè)，這正是我們這節課學(xué)習的重點(diǎn)，用豎式來(lái)計算乘法，看明白了嗎？
生3：看明白了。
師：我還不明白，我請這個(gè)小朋友上來(lái)，跟大家說(shuō)，你這個(gè)3是怎么來(lái)的，6是怎么來(lái)的？
生4：這個(gè)1乘3等于3，乘法里面還另有乘法，2這里沒(méi)有，乘法就不一樣的，2再斜過(guò)來(lái)，2乘3等于6，就算出來(lái)是63。
師：你們聽(tīng)明白了嗎？
生：聽(tīng)明白了。
師：你們都聽(tīng)明白了。什么叫2斜過(guò)來(lái)了，斜過(guò)來(lái)的意思是什么，你來(lái)說(shuō)，就是十位上沒(méi)有，把2乘以3，剛才他是用3去乘個(gè)位上的1，十位上有沒(méi)有跟3相乘，所以他就告訴大家，要斜過(guò)來(lái)，別忘了2再乘以3，是這個(gè)意思嗎？
師：這個(gè)3表示什么意思，我要把這個(gè)3用紅色的圈出來(lái)，3表示什么意思？
生5：表示3個(gè)1，
師：所以這個(gè)3要寫(xiě)到個(gè)位上，6表示什么意思？
生6：6個(gè)10，
師： 6個(gè)10是怎么來(lái)的？
生7：因為那個(gè)2是20，不是2，十位上的2乘3是6個(gè)10。
師： 6是20乘3得到的，所以它表示的是6個(gè)10，因此6就應該寫(xiě)在十位上。謝謝你給我們一個(gè)豎式，本來(lái)是我要教的，結果你一寫(xiě)上來(lái)，就變成你教大家了，看明白了嗎？
師：那我們來(lái)看這個(gè)豎式，他這個(gè)豎式是很有創(chuàng )意的，我們來(lái)看看你為什么這樣寫(xiě)？
生8：把這個(gè)約等于60，在這里3乘1等于3，3再加60等于63。
師：這是很有創(chuàng )意的一個(gè)豎式，我們給他命名為“曾氏豎式”，他說(shuō)的第一步是大約的，20幾乘3，等于60幾，等于60幾呢，然后他再乘個(gè)位上的等于3，最后再加上前面的60，結果等于63。道理還是有一點(diǎn)的，對不對？我覺(jué)得這個(gè)曾同學(xué)還是很不錯的，老師沒(méi)教過(guò)他，他自己發(fā)明了一個(gè)豎式，就是發(fā)明的這個(gè)豎式，和我們現在規定的豎式不大一樣，我建議你用這樣的豎式來(lái)計算，可以嗎？
師：我就把你有創(chuàng )意的豎式，很不忍心地擦掉了，同學(xué)們我們今天學(xué)的乘法的豎式，是我們今天學(xué)的重點(diǎn)，但是我們在解決這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，我們還可以用昨天學(xué)的知識，那就證明昨天的知識和今天學(xué)的知識肯定是有聯(lián)系的，對不對？有怎么樣的聯(lián)系，我們來(lái)找找它們之間的聯(lián)系好不好？
師：我點(diǎn)一個(gè)豎式中的數，你告訴我他相當于橫式中哪一步呀，你把它圈出來(lái)吧。
師：那么誰(shuí)愿意上來(lái)點(diǎn)點(diǎn)看，在這個(gè)圖中是指哪一部分呢？
師：看來(lái)它們之間有著(zhù)密切的聯(lián)系，我們把同學(xué)們的回答總結一下。
（學(xué)生在把豎式中的結果與圖聯(lián)系時(shí)的確有困難）
師：你上來(lái)指指看是指哪一部分，在圖中是指哪一部分？剛才這一個(gè)小朋友指的是這一部分3乘1，那么現在2乘3十位上的2乘3是指哪一部分呢，圈一圈哪一部分？
師：你看豎式中的每一步和我們剛才口算當中的每一步，還有跟我們的圖形它都是有聯(lián)系的，我們一起來(lái)看大屏幕，老師為了把剛才我們點(diǎn)的把它寫(xiě)上來(lái)，你看三個(gè)羽毛球相當于口算中的1乘3，相當于豎式中的個(gè)位上的1和3相乘；再請你看我們第二次的時(shí)候，我們是這樣子的來(lái)說(shuō)的，接下去這根線(xiàn)應該連到哪里去呢，6，好，腦子里都聯(lián)清楚了，原來(lái)這三者之間是有聯(lián)系的。
好！同學(xué)們，剛才我們通過(guò)這樣的計算得到最后的結論是，21乘以3等于63個(gè)……
剛才丁杭纓老師這個(gè)教學(xué)的片斷給我們最大的啟發(fā)有兩點(diǎn)：
①老師給足學(xué)生探索的時(shí)間和空間。
過(guò)去教師往往是把把豎式呈現給學(xué)生，讓學(xué)生模仿，只要計算正確，就算完成教學(xué)任務(wù)。這種只關(guān)注學(xué)習結果，忽視計算過(guò)程的教學(xué)就失去了學(xué)生獨立思考探究的機會(huì )。丁老師在課堂上鼓勵學(xué)生，讓他們用自己的方法來(lái)解決問(wèn)題，為學(xué)生的數學(xué)學(xué)習發(fā)展創(chuàng )造了良好的條件。我們看到課堂上有的同學(xué)列出橫式進(jìn)行口算的，20×3=60
1×3=3
60＋3=63
21乘3，先用20乘3得60，再用1乘3得3，最后把這兩個(gè)結果加到一起得到63。還有的同學(xué)用豎式來(lái)計算，
這位被老師稱(chēng)為很有創(chuàng )造性的算法，算式里將估算和運算相結合，老師給了學(xué)生一個(gè)交流的平臺，并熱情地給予鼓勵。正是因為學(xué)生給學(xué)生一個(gè)寬松的、自主嘗試的機會(huì )，才讓學(xué)生對算理與計算方法有了這樣一種體驗和感悟。由此使我們想到計算教學(xué)的價(jià)值決不僅僅是只會(huì )計算就行了，而是在計算過(guò)程中激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地探索，使學(xué)生的創(chuàng )造潛力得以發(fā)揮。在課堂上，我們還看到老師收和放都比較自如，恰到好處地在學(xué)習探索中給予引領(lǐng)。在這點(diǎn)上也給我們較大的啟發(fā)。
②在直觀(guān)教學(xué)中理解算理。
面對學(xué)生各種各樣的算法，教師精心地設問(wèn)，引發(fā)了學(xué)生更深層面的思考。在橫式、豎式的比較中，溝通了它們的聯(lián)系，特別是在算式與直觀(guān)圖形的比較中，深刻地理解了算理。如老師提問(wèn)計算結果的“60”、“3”各表示什么意思，在圖中你能夠找到它嗎？教師幫助學(xué)生在口算、豎式和直觀(guān)圖建立它們之間的聯(lián)系，巧妙將算式和實(shí)物相結合。學(xué)生在聯(lián)系中理解了21×3的算理。教師把抽象的算理具體化、形象化。站位高，有想法。
但是，也有一點(diǎn)遺憾，就是當那個(gè)學(xué)生寫(xiě)出的算式和規定的算式不一樣時(shí)，老師肯定他的算式很有創(chuàng )意，可是老師最后還是不忍心地將這個(gè)算式擦掉了，這真是有點(diǎn)遺憾。因為把孩子們富有創(chuàng )造力的想法展示在黑板上對學(xué)生是具有激勵作用的。其實(shí)把這個(gè)算式留在黑板上，讓孩子進(jìn)行比較，在比較中進(jìn)行思考，通過(guò)思考加深對乘法的認識。
這個(gè)片斷用時(shí)比較長(cháng)，但重視學(xué)習過(guò)程是非常值得的，它遠比直接告訴學(xué)生具體的計算方法要厚重得多。雖然占用了一些時(shí)間，但這個(gè)過(guò)程是非常重要的。教師舍得給學(xué)生時(shí)間，讓學(xué)生在這樣的一個(gè)時(shí)空里得到很好地交流，他們的創(chuàng )造思維得到了充分地展示。學(xué)生在這樣的課堂里學(xué)習數學(xué)，學(xué)生的數學(xué)能力會(huì )不斷提升，他們能夠掌握更多的數學(xué)學(xué)習方法，而師生的交流促進(jìn)了學(xué)數學(xué)學(xué)習的發(fā)展。。
作為小學(xué)數學(xué)教師，要不斷地學(xué)習和深刻地領(lǐng)悟運算中的算理；另外要在算理與具體的教學(xué)方法有機結合方面進(jìn)行很好地探索；使學(xué)生能夠在直觀(guān)的、數形結合的實(shí)踐操作活動(dòng)中，進(jìn)一步深刻地感悟數學(xué)計算的道理，很好地掌握計算的方法。
2.如何面對學(xué)生的錯誤
談到科學(xué)地培養學(xué)生計算技能的問(wèn)題，我們不能回避如何面對學(xué)生的錯誤。如何處理學(xué)生出現的錯誤是提高計算能力的一個(gè)重要的方面。前面我們討論了學(xué)生在計算中經(jīng)常出現的問(wèn)題，現在針對如何避免學(xué)生計算的錯誤提出幾點(diǎn)建議：
（1）要深入了解學(xué)生計算的現狀，準確分析錯誤的原因
作為老師，只有真正地了解了學(xué)生出現錯誤的原因，準確地分析出學(xué)生錯誤的原因，才能有的放矢對學(xué)生進(jìn)行有效地指導。我們在分析學(xué)生錯因的時(shí)候，有的老師歸結到是學(xué)生的馬虎——審題不認真，計算不認真。那么在這馬虎的背后是不是要細細地思考學(xué)生到底為什么出錯呢？我們對學(xué)生的錯題做了調研，下面把學(xué)生的錯誤原因和老師們進(jìn)行交流。
以“25×3=75”為例，學(xué)生怎么會(huì )得95呢？表面上是操作程序的錯誤，實(shí)際上是算理不清楚。我們在與學(xué)生交流時(shí)發(fā)現，學(xué)生做錯的原因是3乘5等于15向十位上進(jìn)1，把2先加上進(jìn)來(lái)1得3再乘3，結果得95。學(xué)生的問(wèn)題是對乘法的算理的不理解，因此導致了計算方法的錯誤。老師只有深入了解學(xué)生，找準錯誤的原因，針對學(xué)生的問(wèn)題進(jìn)行指導，這樣才會(huì )有實(shí)效。
以“1.44÷1.8 = 8”為例，這道題錯誤的原因又是什么呢？在與學(xué)生交流時(shí)發(fā)現：學(xué)生不管被除數和除數小數位數各有多少位，都給化成整數了，所以1.44除以1.8就得8”。實(shí)際上這個(gè)學(xué)生還是對小數除法的算理不太清楚，必然導致該錯誤的出現。
以“49+1-49+1=0”為例，學(xué)生為什么會(huì )出現這樣的錯誤呢？混合運算的順序學(xué)生是清楚，為什么有近50%的孩子會(huì )出錯呢？學(xué)生對于形式上相似而實(shí)質(zhì)不同的算式分辨不清，這就需要學(xué)生具有細致辨別的能力。
我們做過(guò)調研，學(xué)生單獨做這樣的題，錯誤率沒(méi)這么高，而和其他的題目混在一起計算的時(shí)候錯誤率很高，說(shuō)明學(xué)生定勢思維的干擾。
怎樣處理學(xué)生的錯誤呢？當學(xué)生出錯時(shí)，不妨讓學(xué)生自己改一改題目，把兩個(gè)加號都改成乘號，49×1-49×1，這才得0呢！讓學(xué)生自己改題，這種針對性的訓練是非常必要的！抓住學(xué)生的錯誤不放往縱深發(fā)展，讓他自己反省。只有準確地把握住學(xué)生錯誤的原因，才能對癥下藥。
（2）幫助學(xué)生自己反思錯誤的原因
教師不僅要了解學(xué)生錯誤的原因，而且一定要幫助學(xué)生自己反思錯誤的原因。比如有一位學(xué)生一直把“三八二十四”的口訣誤記成了“三八二十六”，教師就要引導他自己發(fā)現錯誤的原因。當學(xué)生自己發(fā)現真正錯誤原因后，學(xué)生恍然大悟，“我怎么一下子把錯誤的口訣記了這么長(cháng)的時(shí)間呢？”；另外老師們提到的除數是小數的除法，把小數轉化成整數計算，學(xué)生干脆把討厭的小數點(diǎn)全部劃掉，就是144除以18，像這樣的學(xué)生，教師一定要把他找來(lái)，讓他自己反思，幫助他找原因，老師一定要給予學(xué)生具體地指導，而一對一地對學(xué)生進(jìn)行指導是非常重要的。
（3）選擇合適的訓練方法，幫助學(xué)生減少錯誤
第三個(gè)建議就是選擇合適的訓練方法，而訓練素材就顯得十分重要。前面我們也看到了張天孝老師和李祖功老師的教學(xué)經(jīng)驗，他們不是海練、不是盲目地練，不是用題海戰術(shù)來(lái)提高學(xué)生計算的正確率。我們應該科學(xué)地進(jìn)行訓練，哪些題該訓練，哪些題一定要在課堂上呈現或者需要反復地練習，教師一定要做到心中有數。根據學(xué)生的錯誤設計練習，進(jìn)行有針對性地練習。這種做法對學(xué)生計算水平的提高是非常有效的。
3.科學(xué)培養學(xué)生運算技能的建議
為促進(jìn)學(xué)生形成運算技能，加強練習是十分必要的，練習時(shí)要注意科學(xué)性，講求實(shí)效。一線(xiàn)教師在這方面有很多經(jīng)驗，到底如何科學(xué)地培養學(xué)生的計算能力呢？
（1）首先應當以《標準》為依據，逐步達到《標準》中所規定的計算要求
課程標準對計算基本的要求如下：
——20以?xún)鹊募訙p法和表內乘除法口算，速度要求是每分鐘8至于10題；
——三位數以?xún)鹊募訙p法每分鐘2至3題；
——兩位數乘兩位數每分鐘1至于2題；
——除數是一位數被除數不超過(guò)三位數的除法每分鐘1至2題。
（2）處理好展開(kāi)和壓縮的關(guān)系
計算教學(xué)中要處理好一個(gè)關(guān)系——展開(kāi)和壓縮的關(guān)系。剛開(kāi)始學(xué)習做題時(shí)，應該一步一個(gè)腳印來(lái)展開(kāi)，先怎么做，再怎么做，最后怎么做，這些步驟學(xué)生一定要明白。如兩位數加兩位數筆算加法：先把相同數位對齊，從個(gè)位加起，滿(mǎn)十向十位進(jìn)一；而且這個(gè)步驟要一步一步來(lái)，等到熟練以后這個(gè)過(guò)程就可以壓縮了，壓縮到學(xué)生不加思索就能做出來(lái)。比如說(shuō)10以?xún)鹊耐宋粶p法，有的老師用破10的方法，15-7=8，先用10-7=3，再用3+5=8。讓學(xué)生在動(dòng)手操作的基礎上掌握計算方法，以后學(xué)生完全壓縮到自己都不能意識的程度，15-7=8很快就得出結果，這就是基本的計算技能訓練到位的表現。
（3）精心組織練習
練習的呈現方式要多種多樣，而且要符合學(xué)生的認知特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的興趣。這就需要教師精心地準備練習。
在學(xué)習除法時(shí)，老師設計了這樣的練習：
⑴363÷3 549÷9 48÷4 54÷6 185÷5
讓學(xué)生體會(huì )商是幾位數？這是基本的練習題
⑵（ ）÷6=商是兩位數
這個(gè)題目比較開(kāi)放，體現了思維的靈活性和逆向思維。
⑶寫(xiě)出三個(gè)商是8的算式
這個(gè)題目更開(kāi)放，被除數、除數都沒(méi)有確定，因為讓學(xué)生寫(xiě)3個(gè)，學(xué)生沒(méi)有有序思考的意識。
⑷你能盡可能多的寫(xiě)出商是8的算式嗎？（強調有序）
這道題的設計會(huì )和探索規律緊密結合；學(xué)生能夠在書(shū)寫(xiě)的過(guò)程中，逐步找出規律，從而在總結規律的基礎上得出更普遍的結論，又體現了方法性知識——有序思考的滲透。
志品質(zhì)等層面。這樣的練習就做到了有層次、有針對性，而且有效。
對于新學(xué)習的內容要及時(shí)練，及時(shí)反饋，因為遺忘是先快后慢的；對于舊知識不是不理不睬，在學(xué)習新的技能時(shí)要把學(xué)過(guò)的計算技能納入進(jìn)去；老師在選擇練習時(shí)，要把那些容易錯的、易混的、具有強信息干擾的、思維定勢的題目多練。如：24×5和25×4、15×6和16×5學(xué)生特別容易混，就要對比練；而對于12×2、13×3這樣沒(méi)有進(jìn)位的題目，就少練。
（3）注意練習的及時(shí)反饋，有效地進(jìn)行調控和指導
加強對學(xué)習有困難的學(xué)生的輔導。正確認識學(xué)生個(gè)體的差異，因材施練，關(guān)注每個(gè)學(xué)生的學(xué)習，注意了解分析錯因，有針對性進(jìn)行輔導。
（4）合理地安排練習時(shí)間
根據計算形成的各階段的特點(diǎn)，應適當地分配練習的次數和時(shí)間，技能的形成和鞏固需要有足夠的練習次數和時(shí)間，但是并非練習的次數越多，時(shí)間越長(cháng)，練習的效果就越好。作為教師不能一味的“傻練”，認為“多多益善”的想法是不科學(xué)的。
以上，我們?yōu)榇蠹覓伋隽艘恍┌咐?，提了一些思考?wèn)題，也布置了作業(yè)。但時(shí)間比較緊張，要完成所有作業(yè)不大可能，希望老師們能針對某一個(gè)在教學(xué)中感受最深的問(wèn)題認真思考。
三、有關(guān)算法多樣化的教學(xué)
1.算法多樣化的價(jià)值
算法多樣化的價(jià)值主要體現在一下方面：
第一，算法多樣化有利于培養學(xué)生的創(chuàng )新精神，有利于學(xué)生的自我建構，使他們的潛能得到充分地發(fā)展；
第二，算法多樣化有利于學(xué)生之間的交流，使學(xué)習資源能夠共享；
第三，算法多樣化有利于老師對學(xué)生的個(gè)性地了解，從而施行因材施教。
看完這個(gè)案例，對我們有幾點(diǎn)啟發(fā)。
（1）創(chuàng )設情境，給學(xué)生獨立思考的空間
學(xué)生的這些想法體現了學(xué)生思維的靈活性，都是很有價(jià)值的，有直觀(guān)的方法，有轉化方法——除法轉化成乘法、分數轉化成小數，更值得一提的是學(xué)生看到分子是除數的倍數，就直接用分子除以除數，分母不變，體現了學(xué)生自我建構知識的過(guò)程。
(2)激發(fā)學(xué)生不斷交流不斷反思自己的計算方法
老師并沒(méi)有滿(mǎn)足于學(xué)生多樣化的算法，又設計了這樣 ÷3；正是這個(gè)題目的呈現，使學(xué)生產(chǎn)生了沖突，學(xué)生感到自己的方法具有局限性，從而把學(xué)生的思維引向深入，學(xué)生認識問(wèn)題的深刻性得以體現，選擇方法的能力更強，這正是吳老師提倡的“允許學(xué)生再次選擇有思維價(jià)值的方法”。在計算中，學(xué)生發(fā)現4÷3覺(jué)得不方便了，0．8÷3也除不盡；學(xué)生覺(jué)得還是利用乘法比較方便，而且能夠解決這一類(lèi)問(wèn)題。學(xué)生在這一過(guò)程中進(jìn)行廣泛的交流，在交流中相互碰撞、自我反思、自我修正，不斷地接納，提升了每種方法的價(jià)值，這正是數學(xué)的本質(zhì)所在。讓學(xué)生對原有方法的自我反思和自我修正的過(guò)程。
學(xué)生在二次反思后，在鞏固練習中，還有新的感悟和體驗。由此我們深刻感到學(xué)生的體驗和感悟是需要一個(gè)過(guò)程的。換句話(huà)說(shuō)：學(xué)生能夠根據不同的題目，選擇合適的算法和策略，靈活地解決問(wèn)題。
2.算法多樣化教學(xué)的建議
在實(shí)施算法多樣化的過(guò)程中，我們給老師提出以下幾點(diǎn)具體的教學(xué)建議：
第一，鼓勵學(xué)生的獨立思考，主動(dòng)探索出計算的方法；
第二， 鼓勵學(xué)生在獨立思考的基礎上進(jìn)行交流；
第三，老師要善于比較不同方法的特點(diǎn)，挖掘不同算法的思維價(jià)值；
第四，教師要善于引導學(xué)生分析比較，在學(xué)生的質(zhì)疑、辨析中促進(jìn)學(xué)生對自己方法的反思和提升；
另外，教師有責任用適當的形式，向學(xué)生推薦一種比較好的算法，幫助學(xué)生進(jìn)行再次選擇。
