1．函數零點(diǎn)概念的教學(xué)
提出問(wèn)題1：方程3456x2－3458x＋1＝0有實(shí)數根嗎？
大部分同學(xué)拿起計算器開(kāi)始計算起來(lái)。有少數學(xué)生并沒(méi)有這樣做，而是看著(zhù)黑板上的問(wèn)題在思考，觀(guān)察系數特征。“系數怎么這個(gè)大？有趣，怪怪的，也算△嗎？”我也沒(méi)說(shuō)更多的話(huà)。
一會(huì )兒，就有學(xué)生說(shuō)“有實(shí)根。”他是計算一元二次方程根的判別式△的值，通過(guò)它的符號作出判斷的。雖然數字較大，但計算器并不在乎。
“你的結論呢？”我問(wèn)一位沒(méi)有用計算器計算的同學(xué)。
“你是怎么知道的？”
“設f（x）＝3456x2－3458x＋1，然后畫(huà)個(gè)圖。”
這里至少有兩點(diǎn)是可貴的：一是把方程與函數聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)函數來(lái)研究方程；二是想到了畫(huà)圖，數形結合！
“圖是怎么畫(huà)的呢？”我追問(wèn)。
“因為當x＝0時(shí)，f（0）＝1；而當x＝1時(shí)，f（1）＝－1，因此，方程3456x2－3458x＋1＝0在區間（0，1）上一定有一個(gè)實(shí)數根。”
看來(lái)，他已經(jīng)觀(guān)察出系數中的名堂。我應著(zhù)他在黑板上畫(huà)出示意圖。
“你是怎么想到的呢？”
“想到”是對“知道”的挖掘，教師企圖挖掘背后的思維過(guò)程。
“我們在初中就講過(guò)（學(xué)過(guò)）。”開(kāi)始把當前的問(wèn)題與已有的知識、經(jīng)驗聯(lián)系起來(lái)。
“初中是怎么講的？”這一問(wèn)題意在引導學(xué)生回憶、再現已有的相關(guān)知識。
學(xué)生把初中學(xué)習過(guò)的有關(guān)一元二次方程、二次函數、二次函數圖象的關(guān)系敘述了一遍，基本上重復了教科書(shū)（P87）上的內容。
教科書(shū)的編寫(xiě)是從學(xué)生已有的知識出發(fā)，回憶初中已經(jīng)學(xué)習過(guò)二次函數的圖象與一元二次方程的關(guān)系引入函數零點(diǎn)的概念，這是正確的。但是，教學(xué)中如何處理？如何呈現？是另一個(gè)值得研究的教學(xué)處理的問(wèn)題。如果老師照本宣科，把教科書(shū)的內容平鋪直敘地復述一遍，學(xué)生不會(huì )感興趣，也感受不到老師講這些內容的必要。而由學(xué)生自己把它作為解決問(wèn)題的理由敘述出來(lái)就大不一樣了。是教師引導下學(xué)生的主動(dòng)回憶，是過(guò)去所學(xué)知識、經(jīng)驗的運用。也正是本節課所學(xué)概念的“生長(cháng)點(diǎn)”。
實(shí)踐證明，“3456x2－3458x＋1＝0是否有實(shí)數解？”使得學(xué)生不至于用因式分解的方法去找方程的實(shí)數根。許多同學(xué)想到用判別式的符號進(jìn)行判斷也不奇怪，這是他已有的經(jīng)驗，但是，畢竟有一批學(xué)生（不是一兩個(gè)）對教師提出的問(wèn)題不是簡(jiǎn)單地去計算△，而是試圖通過(guò)其他途徑來(lái)解決，而且這個(gè)途徑是可以找到的，當然要認真思考一下（與函數聯(lián)系、畫(huà)圖）才能找到，符合能力“最近發(fā)展區”的要求。如果我們提出“方程x2－2x－3＝0是否有實(shí)數根？”學(xué)生一下子就可以給出結論。一是學(xué)生知道，對方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），只要a，c異號，那么，△＝b2－4ac就一定大于零；二是很容易把x2－2x－3分解為（x＋1）（x－3），根是什么都知道了。這樣與本節課的教學(xué)內容——函數零點(diǎn)的聯(lián)系就不夠緊密。
在學(xué)生用初中知識，運用函數f（x）＝3456x2－3458x＋1的圖象這個(gè)工具，解釋方程3456x2－3458x＋1＝0有實(shí)數解后，教師再提出函數零點(diǎn)的概念，學(xué)生是很容易接受的。于是不難得到“方程f（x）＝0有實(shí)數根函數f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)＝0
函數f（x）有零點(diǎn)”的結論。
實(shí)際上，函數的零點(diǎn)這個(gè)概念，就是學(xué)生初中所學(xué)習過(guò)的“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根就是相應的二次函數f（x）＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標”的直接推廣。學(xué)生經(jīng)歷的是特殊問(wèn)題一般化的過(guò)程。他們可以用這個(gè)舊知識來(lái)同化新知識。而且這個(gè)新知識與舊知識之間也只有一層很薄的窗戶(hù)紙，一捅就破。對于函數零點(diǎn)概念的理解，他們仍然可以以二次方程為載體。不必把簡(jiǎn)單的問(wèn)題搞復雜，清楚的問(wèn)題搞糊涂。
函數零點(diǎn)的概念并不是這節課教學(xué)的重心，重心是“函數零點(diǎn)存在的條件”。
2．函數零點(diǎn)存在條件的教學(xué)
接著(zhù)提問(wèn)題2：函數f（x）在區間（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函數f（x）在區間（a，b）上是否一定存在零點(diǎn)，請舉例說(shuō)明。
我特別強調“請舉例說(shuō)明”。
同學(xué)們議論起來(lái)。很快就有人說(shuō)“不一定。”
“請舉個(gè)例子”我說(shuō)。
“f（x）＝，在區間（－1，1）上有f（－1）f（1）＜0，但是f（x）＝0在（－1，1）上沒(méi)有實(shí)數根。”
大家都覺(jué)得這個(gè)例子很精彩。確實(shí)，舉反例常常不是件容易的事。
再提出問(wèn)題3：函數f（x）在區間（a，b）上有f（a）f（b）＜0，且有零點(diǎn)，那么一定只有一個(gè)嗎？請舉例說(shuō)明。
有一個(gè)學(xué)生在黑板上畫(huà)出了圖1，還有人畫(huà)出圖2。
我故意地數了數“3個(gè)，5個(gè)，…”
“不一定是奇數個(gè)。”一個(gè)學(xué)生說(shuō)。有學(xué)生聽(tīng)出我的話(huà)外音“老師是說(shuō)一定有奇數個(gè)嗎？”他到黑板上畫(huà)出圖3。
這時(shí)一個(gè)學(xué)生未經(jīng)老師同意就主動(dòng)上黑板畫(huà)出了圖4。我真沒(méi)有想到學(xué)生會(huì )想出這個(gè)點(diǎn)子來(lái)，我被他們奇思妙想所感動(dòng)，我索性說(shuō)“還有嗎？”有學(xué)生又畫(huà)出間斷不連續的圖象來(lái)。
學(xué)生們認真思考，積極參與，熱情很高。這樣的教學(xué)可以達到促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的目的，特別是發(fā)展學(xué)生的思維能力！
接著(zhù)，我讓學(xué)生討論問(wèn)題4：函數f（x）在區間（a，b）上有f（a）f（b）＜0，還需要滿(mǎn)足什么條件？就一定有且只一個(gè)實(shí)數根。”
又進(jìn)入熱烈討論。最后得到要滿(mǎn)足3個(gè)條件：（1）函數f（x）（的圖象）在區間[a，b]上“連續不斷”；（2）f（a）f（b）＜0；（3）函數f（x）在區間（a，b）上單調。
這就已經(jīng)獲得了函數零點(diǎn)存在條件：函數y＝ f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線(xiàn)，并且有f（a）f（b）＜0，那么函數y＝ f（x）在區間[a，b]上有零點(diǎn)。即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，這個(gè)c就是方程f（c）＝0的根。
接著(zhù)讓學(xué)生研究：方程lnx＋2x－6＝0是否有實(shí)數根，并估計根所在區間。
大多數學(xué)生采用，在同一個(gè)坐標系中同時(shí)畫(huà)出函數y＝lnx與函數y＝6－2x的圖象（圖5），估計出它們交點(diǎn)的橫坐標所在的區間是（1，3），這并不困難。教師再用幾何畫(huà)板畫(huà)出函數f（x）＝lnx＋2x－6的圖象，同樣判斷函數f（x）＝ lnx＋2x－6在區間（1，3）上有一個(gè)零點(diǎn)。這為下一節課用“二分法”縮小區間長(cháng)度尋找這個(gè)解的近似值打下伏筆。
圖5
3．幾點(diǎn)想法
（1）對于零點(diǎn)存在的條件，高中階段不可能也不必要加以證明。本節課的重點(diǎn)就是讓學(xué)生通過(guò)函數圖象，直觀(guān)感受零點(diǎn)存在的條件。如何讓學(xué)生尋找這個(gè)條件呢？當然不要直接把結論拋給學(xué)生，這就需要設計一個(gè)過(guò)程，設計“問(wèn)題鏈”，“問(wèn)題”會(huì )引起學(xué)生的思考，讓學(xué)生對這些問(wèn)題進(jìn)行討論，參與到尋找條件的過(guò)程中來(lái)。
（2）要注意高中學(xué)生的思維特點(diǎn)。有研究表明，人的能力發(fā)展具有年齡特征，中學(xué)階段以抽象邏輯思維占主導地位．初中階段主要是以經(jīng)驗型為主的抽象邏輯思維，而高中階段主要是以理論型為主的抽象邏輯思維。這些結論需要我們在教學(xué)設計中引起注意，對于培養學(xué)生的理性精神是十分必要的。既不要低估學(xué)生的能力，也不必過(guò)高地估計，正確把握學(xué)生能力的“最近發(fā)展區”提出問(wèn)題是教師的基本功之一。從教學(xué)的實(shí)踐看，問(wèn)題3雖然抽象，但是，同學(xué)們借助圖象是有能力研究解決的。學(xué)生力所能及的事就讓學(xué)生自己去做。
（3）數學(xué)教學(xué)是數學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，數學(xué)活動(dòng)是數學(xué)的思維活動(dòng)。怎樣讓學(xué)生活動(dòng)起來(lái)呢，這個(gè)動(dòng)力就是“問(wèn)題”，有思維價(jià)值的問(wèn)題。問(wèn)題可以把學(xué)生帶入“憤”與“悱”的境地。有思維價(jià)值就不會(huì )對答如流，就需要有一定的思考的時(shí)間。提出問(wèn)題后，先讓學(xué)生嘗試嘗試，看能否解決它。比仿說(shuō)，你提出讓學(xué)生去火車(chē)站的任務(wù)。如果他不知道方向（在北面還是南面）可以提示一下。至于他如何走到火車(chē)站應該先讓他走一走，繞彎路也很正常。但是，也有可能他想到了教師還沒(méi)有想到方法。實(shí)在不會(huì )走就再啟發(fā)他一下。我們不能說(shuō)，拉著(zhù)我的手，跟著(zhù)我到火車(chē)站去，到底是他去還是你去呢？對問(wèn)題引導得太細，不費力氣就解決了，對培養能力沒(méi)有好處。思維有時(shí)需要安靜！教師提出問(wèn)題后喋喋不休，講個(gè)不停，會(huì )干擾學(xué)生的思維。要培養學(xué)生主動(dòng)思考的習慣，有困難時(shí)，教師加以啟發(fā)、引導，而不是讓他們首先依賴(lài)老師。
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