2016-2017學(xué)年山西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三（上）第一次適應性數學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共15小題，每小題0分，滿(mǎn)分60）
1．設全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（）
A．{x|x≥1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤1}
【考點(diǎn)】Venn圖表達集合的關(guān)系及運算．
【分析】根據所給的文恩圖，看出陰影部分所表達的是要求B集合的補集與A集合的交集，整理兩個(gè)集合，求出B的補集，再求出交集
【解答】解：由文恩圖知陰影部分表示的是A∩CUB
∵A={x|2x（x﹣2）＜1}={x|0＜x＜2}，
B={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，
∴陰影部分對應的集合是{x|1≤x＜2}
故選C．
2．如圖，已知直線(xiàn)y=x與雙曲線(xiàn)y=（k＞0）交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標為（﹣4，﹣2），C為雙曲線(xiàn)y=（k＞0）上一點(diǎn)，且在第一象限內，若△AOC面積為6，則點(diǎn)C坐標為（）
A．（4，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（2，4）
【考點(diǎn)】函數的圖象．
【分析】先求出雙曲線(xiàn)的函數解析式為y=，再聯(lián)立方程組求出A點(diǎn)的坐標，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，根據S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE=6，列出方程即可解決．
【解答】D解：∵點(diǎn)B（﹣4，﹣2）在雙曲線(xiàn)y=（k＞0）上，
∴k=﹣2×（﹣4）=8，
∴雙曲線(xiàn)的函數解析式為y=，
聯(lián)立方程組得，取x＞0，解得x=4，y=2．
∴A（4，2）．
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，
∴OE=4，AE=2，
設點(diǎn)C的坐標為（a，），則OF=a，CF=，
則S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE，
=×a×+（2+）（4﹣a）﹣×4×2
=，
∵△AOC的面積為6，
∴=6，
整理得a2+6a﹣16=0，
解得a=2或﹣8（舍棄），
∴點(diǎn)C的坐標為（2，4）．
故選：D．
3．若x3+x2+x=﹣1，則x﹣28+x﹣27+…+x﹣2+x﹣1+1+x1+x2+…+x27+x28的值是（）
A．2 B．0 C．﹣1 D．1
【考點(diǎn)】有理數指數冪的化簡(jiǎn)求值．
【分析】由已知利用因式分解求得x=﹣1，則答案可求．
【解答】解：由x3+x2+x=﹣1，得x2（x+1）+x+1=0，即（x+1）（x2+1）=0，
解得x=﹣1．
∴x﹣28+x﹣27+…+x﹣2+x﹣1+1+x1+x2+…+x27+x28=1．
故選：D．
4．已知m，n是兩條不同直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行
B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行
C．若α，β不平行，則在α內不存在與β平行的直線(xiàn)
D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面
【考點(diǎn)】空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．
【分析】利用面面垂直、線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理和判定定理對選項分別分析解答．
【解答】解：對于A(yíng)，若α，β垂直于同一平面，則α與β不一定平行，例如墻角的三個(gè)平面；故A錯誤；
對于B，若m，n平行于同一平面，則m與n平行．相交或者異面；故B錯誤；
對于C，若α，β不平行，則在α內存在無(wú)數條與β平行的直線(xiàn)；故C錯誤；
對于D，若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面；假設兩條直線(xiàn)同時(shí)垂直同一個(gè)平面，則這兩條在平行；故D正確；
故選D．
5．設函數f（x）=，則f（﹣2）+f（log212）=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【考點(diǎn)】函數的值．
【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由對數恒等式，求得f（log212）=6，進(jìn)而得到所求和．
【解答】解：函數f（x）=，
即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，
f（log212）==12×=6，
則有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．
故選C．
6．（文）二次函數y=x2+bx的圖象如圖，對稱(chēng)軸為x=1．若關(guān)于x的二次方程x2+bx﹣t=0（為實(shí)數）在﹣1＜x＜4的范圍內有解，則t的取值范圍是（）
A．﹣1≤t＜3 B．t≥﹣1 C．3＜t＜8 D．﹣1≤t＜8
【考點(diǎn)】二次函數的性質(zhì)．
【分析】據對求出的值從而到x=﹣1、4時(shí)的值，再根據二次方程x2+bx﹣t=0（t為實(shí)數）﹣1＜x＜的范圍內有解當當于y=x2﹣2x直線(xiàn)y=t的交點(diǎn)的橫坐標，即可求解．
【解答】解：對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=1，∴b=﹣2
∴二次函數解析式y=x2﹣2x，
∵x2+bx﹣t=0相當y=x2﹣2x直線(xiàn)y=t的交點(diǎn)的橫坐標，
x=4時(shí)，y=16﹣8=8，x=﹣1時(shí)，y=3，
∴1≤t＜8時(shí)，在﹣1＜x＜4的范圍內有解．
故選：D．
7．若函數f（x）=log2（x+）﹣a在區間（，2）內有零點(diǎn)，則實(shí)數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】函數零點(diǎn)的判定定理．
【分析】根據函數零點(diǎn)與對應方程根之間的關(guān)系，我們可將f（x）存在零點(diǎn)轉化為方程log2（x+）=a在內有交點(diǎn)，結合函數的單調性求出實(shí)數a的取值范圍．
【解答】解：若f（x）存在零點(diǎn)，
則方程log2（x+）=a在內有交點(diǎn)
令x+=t（x＜2）
則由函數令x+=t在（，1]上單調遞減，在（1，2）上單調遞增可知，
∴1
∴1≤a
故選B
8．某班級有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢(xún)問(wèn)了該班五名男生和五名女生在某次數學(xué)測驗中的成績(jì)，五名男生的成績(jì)分別為86，94，88，92，90，五名女生的成績(jì)分別為88，93，93，88，93，下列說(shuō)法正確的是（）
A．這種抽樣方法是一種分層抽樣
B．這種抽樣方法是一種系統抽樣
C．這五名男生成績(jì)的方差大于這五名女生成績(jì)的方差
D．該班男生成績(jì)的平均數大于該班女生成績(jì)的平均數
【考點(diǎn)】極差、方差與標準差．
【分析】根據抽樣方法可知，這種抽樣方法是一種簡(jiǎn)單隨機抽樣．根據平均數的定義：平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個(gè)數；方差公式：s2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]求解即可．
【解答】解：根據抽樣方法可知，這種抽樣方法是一種簡(jiǎn)單隨機抽樣．
五名男生這組數據的平均數=（86+94+88+92+90）÷5=90，
方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8．
五名女生這組數據的平均數=（88+93+93+88+93）÷5=91，
方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．
故這五名男生成績(jì)的方差大于這五名女生成績(jì)的方差．
故選：C．
9．（理）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交與點(diǎn)P1；設P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2；設P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設Pn﹣1Dn﹣2的中點(diǎn)為Dn﹣1，第n次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Dn﹣1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n＞2），則AP6的長(cháng)為（）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．
【分析】先寫(xiě)出AD、AD1、AD2、AD3的長(cháng)度，然后可發(fā)現規律推出ADn的表達式，繼而根據APn=ADn即可得出APn的表達式，也可得出AP6的長(cháng)
【解答】解：由題意得AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，
AD2=，AD3=，…，
ADn=，
∴APn=ADn=，
∴AP6=，
故選：A．
10．如圖給出一個(gè)算法的程序框圖，該程序框圖的功能是（ ）
A．求輸出a，b，c三數的最大數 B．求輸出a，b，c三數的最小數
C．將a，b，c按從小到大排列 D．將a，b，c按從大到小排列
【考點(diǎn)】程序框圖．
【分析】根據框圖的流程判斷，第一個(gè)環(huán)節的功能是輸出的a是a，b之間的最大數，第二個(gè)環(huán)節功能是輸出a，c之間的最大數，由此可得答案．
【解答】解：由程序框圖知：第一個(gè)環(huán)節是比較a，b，輸出的a是a，b之間的最大數；
第二個(gè)環(huán)節是比較a，c，輸出的a是a，c之間的最大數．
∴算法的功能是輸出a，b，c三數的最大數．
故選：A．
11．在銳角△ABC中，tanA=t+1，tanB=t﹣1，則實(shí)數t的取值范圍是（ ）
A．（，+∞） B．（1，+∞） C．（1，） D．（﹣1，1）
【考點(diǎn)】?jì)山呛团c差的正切函數．
【分析】由題意可得tanA=t+1＞0，tanB=t﹣1＞0，tan（A+B）==＜0，由此求得實(shí)數t的取值范圍．
【解答】解：在銳角△ABC中，∵π＞A+B＞，∴tan（A+B）＜0．
再根據tanA=t+1＞0，tanB=t﹣1＞1，可得t＞1．
根據tan（A+B）==＜0，可得t＞，
故選：A．
12．如果函數y=f（x）的圖象如圖，那么導函數y=f′（x）的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】函數的單調性與導數的關(guān)系．
【分析】由y=f（x）的圖象得函數的單調性，從而得導函數的正負．
【解答】解：由原函數的單調性可以得到導函數的正負情況依次是正→負→正→負，
故選A．
13．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，弦AB過(guò)F1，若△ABF2的內切圓周長(cháng)為π，A，B兩點(diǎn)的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則|y1﹣y2|值為（）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．
【分析】先根據橢圓方程求得a和c，及左右焦點(diǎn)的坐標，進(jìn)而根據三角形內切圓周長(cháng)求得內切圓半徑，進(jìn)而根據△ABF2的面積=△AF1F2的面積+△BF1F2的面積求得△ABF2的面積=3|y2﹣y1|進(jìn)而根據內切圓半徑和三角形周長(cháng)求得其面積，建立等式求得|y2﹣y1|的值．
【解答】解：橢圓：，a=5，b=4，∴c=3，
左、右焦點(diǎn)F1（﹣3，0）、F2（ 3，0），
△ABF2的內切圓周長(cháng)為π，則內切圓的半徑為r=，
而△ABF2的面積=△AF1F2的面積+△BF1F2的面積=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=3|y2﹣y1|（A、B在x軸的上下兩側）
又△ABF2的面積=×|r（|AB|+|BF2|+|F2A|）=×（2a+2a）=a=5．
所以 3|y2﹣y1|=5，
|y2﹣y1|=．
故選A．
14．設復數z滿(mǎn)足iz=2﹣i，則z=（ ）
A．﹣1﹣2i B．1﹣2i C．1+2i D．﹣1+2i
【考點(diǎn)】復數代數形式的乘除運算．
【分析】由題意可得z=，再利用兩個(gè)復數代數形式的乘除法法則，以及虛數單位i的冪運算性質(zhì)，運算求得結果．
【解答】解：∵復數z滿(mǎn)足iz=2﹣i，則z===﹣1﹣2i，
故選A．
15．若函數f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調遞增，則a的取值范圍是（）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]
【考點(diǎn)】利用導數研究函數的單調性．
【分析】求出f（x）的導數，由題意可得f′（x）≥0恒成立，設t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，對t討論，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分離參數，運用函數的單調性可得最值，解不等式即可得到所求范圍．
【解答】解：函數f（x）=x﹣sin2x+asinx的導數為f′（x）=1﹣cos2x+acosx，
由題意可得f′（x）≥0恒成立，
即為1﹣cos2x+acosx≥0，
即有﹣cos2x+acosx≥0，
設t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
當t=0時(shí)，不等式顯然成立；
當0＜t≤1時(shí)，3a≥4t﹣，
由4t﹣在（0，1]遞增，可得t=1時(shí)，取得最大值﹣1，
可得3a≥﹣1，即a≥﹣；
當﹣1≤t＜0時(shí)，3a≤4t﹣，
由4t﹣在[﹣1，0）遞增，可得t=﹣1時(shí)，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤．
綜上可得a的范圍是[﹣，]．
故選：C．
二、填空題
16．某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元．
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規劃的應用．
【分析】設A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，根據題干的等量關(guān)系建立不等式組以及目標函數，利用線(xiàn)性規劃作出可行域，通過(guò)目標函數的幾何意義，求出其最大值即可；
【解答】解：（1）甲、乙兩種兩種新型材料，設A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，獲利為z元．
由題意，得，z=2100x+900y．
不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得：，A（60，100），
目標函數z=2100x+900y．經(jīng)過(guò)A時(shí)，直線(xiàn)的截距最大，目標函數取得最大值：2100×60+900×100=216000元．
故答案為：216000．
17．（理）現在有A、B、C、D四人在晚上都要從橋的左邊到右邊．此橋一次最多只能走兩人，而且只有一支手電筒，過(guò)橋是一定要用手電筒．四人過(guò)橋最快所需時(shí)間如下為：A 2分；B 3 分；C 8 分；D10分．走的快的人要等走的慢的人，要求四人在21分鐘內全部從左邊走到橋的右邊，那么你來(lái)安排一下如何過(guò)橋：先是A和B一起過(guò)橋，然后獨自返回．返回后將手電筒交給 和 ，讓他們一起過(guò)橋，到達對岸后，將手電筒交給 ，讓他將手電筒帶回，最后A、B再次一起過(guò)橋．
【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．
【分析】根據時(shí)間關(guān)系分析即可得到答案．
【解答】解：先是A和B一起過(guò)橋，然后將B留在對岸，A獨自返回，
A返回后將手電筒交給C和D，讓C和D一起過(guò)橋，C和D到達對岸后，將手電筒交給B，讓B將手電筒帶回，最后A和B再次一起過(guò)橋．
則所需時(shí)間為：3+2+10+3+3=21分鐘，
故答案為：A，C，D，B
18．具有方向的線(xiàn)段叫做有向線(xiàn)段（向量），以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段記作，已知+=，如圖所示：如果=， =，則=+．若D為AB的中點(diǎn)， =，若BE為AC上的中線(xiàn)，則用，表示為 ．
【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．
【分析】根據三角形加法法則， +=，代入即可求得=+．
【解答】解： +=，
∴+=+，
∴=+，
故答案為：+．
19．（文）將函數y=2sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對應的函數為 ．
【考點(diǎn)】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．
【分析】平移個(gè)周期，即平移個(gè)單位，再根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得所得圖象對應的函數的解析式．
【解答】解：由于函數y=2sin（2x+）的周期為=π，故個(gè)周期即，
故把函數y=2sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)周期，即把函數y=2sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，
所得圖象對應的函數的解析式為y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣+）=2sin（2x﹣），
故答案為：．
20．若α∈則化簡(jiǎn)為 ．
【考點(diǎn)】二倍角的余弦．
【分析】由條件可得cosα＜0，利用二倍角公式化簡(jiǎn)要求的式子為|sin|，再由＜＜，可得 sin＞0，故|sin|=sin，從而得到答案．
【解答】解：若α∈，則cosα＜0，∴====|sin|．
再由＜＜，可得 sin＞0，故|sin|=sin，
故答案為 sin．
21．已知拋物線(xiàn)x2=2y，過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A(yíng)（x1，y1）B（x2，y2）兩點(diǎn)，則y1+y2的最小值是．
【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系．
【分析】先根據點(diǎn)P設直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，根據韋達定理求得x1+x2=2k，然后，求解得到y1+y2=2k2+2，
從而確定其最小值．
【解答】解：設過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線(xiàn)方程為：
y=kx+1，
聯(lián)立方程組，
整理，得
x2﹣2kx﹣1=0，
∴△=4k2+4＞0，
∴x1+x2=2k，x1·x2=﹣1，
∵y1=kx1+1，y2=kx2+1
∴y1+y2=k（x1+x2）+2
=2k2+2，
∴當k=0時(shí)，y1+y2的最小值2．
故答案為：2．
22．已知函數f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．對于不相等的實(shí)數x1、x2，設m=，n=．現有如下命題：
①對于任意不相等的實(shí)數x1、x2，都有m＞0；
②對于任意的a及任意不相等的實(shí)數x1、x2，都有n＞0；
③對于任意的a，存在不相等的實(shí)數x1、x2，使得m=n；
④對于任意的a，存在不相等的實(shí)數x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命題有 （寫(xiě)出所有真命題的序號）．
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應用．
【分析】運用指數函數的單調性，即可判斷①；由二次函數的單調性，即可判斷②；
通過(guò)函數h（x）=x2+ax﹣2x，求出導數判斷單調性，即可判斷③；
通過(guò)函數h（x）=x2+ax+2x，求出導數判斷單調性，即可判斷④．
【解答】解：對于①，由于2＞1，由指數函數的單調性可得f（x）在R上遞增，即有m＞0，則①正確；
對于②，由二次函數的單調性可得g（x）在（﹣∞，﹣）遞減，在（﹣，+∞）遞增，則n＞0不恒成立，
則②錯誤；
對于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即為g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），
考查函數h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2xln2，
當a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）單調遞減，則③錯誤；
對于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函數h（x）=x2+ax+2x，
h′（x）=2x+a+2xln2，對于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，則④正確．
故答案為：①④．
三.解答題：解答應寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
23．設函數f（x）=lg（2x﹣3）的定義域為集合M，函數g（x）=的定義域為集合N．求：
（1）集合M，N；
（2）集合M∩N，M∪N．
【考點(diǎn)】交、并、補集的混合運算；函數的定義域及其求法；對數函數的定義域．
【分析】（1）對數的真數大于0求出集合M；開(kāi)偶次方的被開(kāi)方數非負且分母不等于0，求出集合N；
（2）直接利用集合的運算求出集合M∪N，M∩N即可．
【解答】解：（1）；
（2）由（1）可知M∩N={x|x≥3}，
M∪N={x|x＜1或x＞1.5}．
24．已知等差數列{an}中，公差d＞0，其前n項和為Sn，且滿(mǎn)足a2·a3=45，a1+a4=14．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=2nan（n∈N+），求數列{bn}的前n項和Tn；
（3）設Fn=（4n﹣5）·2n+1，試比較Fn與Tn的大?。?/p>
【考點(diǎn)】數列的求和；等差數列的通項公式．
【分析】（1）依題意可得到關(guān)于等差數列的首項與公差的方程組，解之即可；
（2）利用錯位相減法即可求得數列{bn}的前n項和Tn；
（3）將Fn與Tn作差，根據結果對n分類(lèi)討論即可得到答案．
【解答】解：（1）由已知可得（d＞0）解得：．
∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3…
（2）∵bn=2nan=（4n﹣3）·2n，
∴Tn=1·21+5·22+9·23+…+（4n﹣7）·2n﹣1+（4n﹣3）·2n，①
2Tn=1·22+5·23+…+（4n﹣11）·2n﹣1+（4n﹣7）·2n+（4n﹣3）·2n+1，②
①﹣②得：
﹣Tn=2+4（22+23+…+2n）﹣（4n﹣3）·2n+1
=2+4·﹣（4n﹣3）·2n+1
=2+4·2n+1﹣16﹣（4n﹣3）·2n+1
=﹣（4n﹣7）·2n+1﹣14
∴Tn=（4n﹣7）·2n+1+14…
（3）∵Fn﹣Tn=（4n﹣5）·2n+1﹣（4n﹣7）·2n+1﹣14=2n+2﹣14，
∴當n≥2時(shí)，2n+2≥24=16＞14，即2n+1﹣14＞0，故Fn＞Tn；
當n=1時(shí)，2n+2=23=8＜14，即2n+1﹣14＜0，故Fn＜Tn．
綜上所述，當n=1時(shí)，Fn＜Tn；當n≥2時(shí)，Fn＞Tn…
25．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：C（x）=（1≤x≤10），設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）隔熱層修建多厚對，總費用f（x）達到最小，并求最小值．
【考點(diǎn)】導數在最大值、最小值問(wèn)題中的應用．
【分析】（I）將建造成本和能源消耗總費用相加即可得出f（x）；
（II）利用導數判斷f（x）的單調性，根據單調性求出f（x）的最小值．
【解答】解：（I）每年能源消耗費用為C（x）=，建造費用為6x，
∴f（x）=20C（x）+6x=．（1≤x≤10）．
（II）f′（x）=6﹣，令f′（x）=0得x=5或x=﹣（舍）．
∴當1≤x＜5時(shí)，f′（x）＜0，當5＜x≤10時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）在[1，5）上單調遞減，在[5，10]上單調遞增．
∴當x=5時(shí)，f（x）取得最小值f（5）=70．
∴當隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費用最小，最小值為70萬(wàn)元．
26．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長(cháng)A1C1至點(diǎn)P，使C1P=A1C1，連接AP交棱CC1于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求證：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．
【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面平行的判定；直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)．
【分析】以A1為原點(diǎn)，A1B，A1C，A1A分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立坐標系，則我們易求出各個(gè)點(diǎn)的坐標，進(jìn)而求出各線(xiàn)的方向向量及各面的法向量．
（I）要證明PB1∥平面BDA1，我們可以先求出直線(xiàn)PB1的向量，及平面BDA1的法向量，然后判斷證明這兩個(gè)向量互相垂直
（II）由圖象可得二面角A﹣A1D﹣B是一個(gè)銳二面角，我們求出平面AA1D與平面A1DB的法向量，然后求出兩個(gè)法向量夾角的余弦值，得到結論．
【解答】解：以A1為原點(diǎn)，A1B，A1C，A1A分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立坐標系，
則A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）
（1）在△PAA1中，C1D=AA1，則D（0，1，）
∴=（1，0，1），=（0，1，），=（﹣1，2，0）
設平面BDA1的一個(gè)法向量為=（a，b，c）
則
令c=﹣1，則=（1，，﹣1）
∵·=1×（﹣1）+×2+（﹣1）×0=0
∴PB1∥平面BDA1
（II）由（I）知平面BDA1的一個(gè)法向量=（1，，﹣1）
又=（1，0，0）為平面AA1D的一個(gè)法向量
∴cos＜，＞===
故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為
27．設函數f（x）=lnx﹣ax，a∈R．
（1）當x=1時(shí)，函數f（x）取得極值，求a的值；
（2）當0＜a＜時(shí)，求函數f（x）在區間[1，2]上的最大值；
（3）當a=﹣1時(shí)，關(guān)于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一實(shí)數解，求實(shí)數m的值．
【考點(diǎn)】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．
【分析】（1）先求函數的定義域，然后求出導函數，根據f（x）在x=1處取得極值，則f'（1）=0，求出a的值，然后驗證即可；
（2）由a的范圍，然后利用導數研究函數的單調性，從而求出函數f（x）在區間[1，2]的最大值；
（3）研究函數是單調性得到函數的極值點(diǎn)，根據函數圖象的變化趨勢，判斷何時(shí)方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數解，得到m所滿(mǎn)足的方程，解方程求解m．
【解答】解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=． …
因為當x=1時(shí)，函數f（x）取得極值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．
經(jīng)檢驗，a=1符合題意．（不檢驗不扣分） …
（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．
令f′（x）=0得x=．
因為0＜a＜，1≤x≤2，∴0＜ax＜1，∴1﹣ax＞0，∴f′（x）＞0，
∴函數f（x）在[1，2]上是增函數，
∴當x=2時(shí)，f（x）max=f（2）=ln2﹣2a．
（3）因為方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數解，
所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實(shí)數解，
設g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，
則g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．
因為m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，
當x∈（0，x2）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上單調遞減，
當x∈（x2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）單調遞增，
當x=x2時(shí)，g（x）取最小值g（x2）． …
則即
所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因為m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*），
設函數h（x）=2lnx+x﹣1，因為當x＞0時(shí)，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x2=1，即=1，
解得m=． …
選考題：請考生在29、30、31題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時(shí)請寫(xiě)清題號．[選修4-1：幾何證明選講]（共1小題，滿(mǎn)分10分）
28．如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O為圓心， OA為半徑作圓．
（Ⅰ）證明：直線(xiàn)AB與⊙O相切；
（Ⅱ）點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD．
【考點(diǎn)】圓的切線(xiàn)的判定定理的證明．
【分析】（Ⅰ）設K為AB中點(diǎn)，連結OK．根據等腰三角形AOB的性質(zhì)知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，則AB是圓O的切線(xiàn)．
（Ⅱ）設圓心為T(mén)，證明OT為AB的中垂線(xiàn)，OT為CD的中垂線(xiàn)，即可證明結論．
【解答】證明：（Ⅰ）設K為AB中點(diǎn)，連結OK，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，
∴直線(xiàn)AB與⊙O相切；
（Ⅱ）因為OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心．設T是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心．
∵OA=OB，TA=TB，
∴OT為AB的中垂線(xiàn)，
同理，OC=OD，TC=TD，
∴OT為CD的中垂線(xiàn)，
∴AB∥CD．
[選修4-4：坐標系與參數方程]（共1小題，滿(mǎn)分0分）
29．在直角坐標系xOy中，直線(xiàn)l的參數方程為（t為參數）．在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長(cháng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設圓C與直線(xiàn)l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標為（3，），求|PA|+|PB|．
【考點(diǎn)】直線(xiàn)的參數方程；簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標方程．
【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用極坐標化為直角坐標的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．
（II）把直線(xiàn)l的參數方程（t為參數）代入⊙C的方程得到關(guān)于t的一元二次方程，即可得到根與系數的關(guān)系，根據參數的意義可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化為．
（II）把直線(xiàn)l的參數方程（t為參數）代入⊙C的方程得=0，化為．
∴．（t1t2=4＞0）．
根據參數的意義可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．
[選修4-5：不等式選講]（共1小題，滿(mǎn)分0分）
30．已知函數f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在圖中畫(huà)出y=f（x）的圖象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
【考點(diǎn)】帶絕對值的函數；函數圖象的作法．
【分析】（Ⅰ）運用分段函數的形式寫(xiě)出f（x）的解析式，由分段函數的畫(huà)法，即可得到所求圖象；
（Ⅱ）分別討論當x≤﹣1時(shí)，當﹣1＜x＜時(shí)，當x≥時(shí)，解絕對值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，
由分段函數的圖象畫(huà)法，可得f（x）的圖象，如右：
（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得
當x≤﹣1時(shí)，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；
當﹣1＜x＜時(shí)，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，
即有﹣1＜x＜或1＜x＜；
當x≥時(shí)，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．
綜上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．
則|f（x）|＞1的解集為（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．
2016年10月12日
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