題型一：已知an+1-an=f(n),求an; 如果f(n)是常數函數，那么這個(gè)就是我們所學(xué)的等差數列；否則，一般的方法就是采用累加法：
a
2-a
1=f(1);
a
3-a
2=f(2);
a
4-a
3=f(3);
………………
a
n+1-a
n=f(n);
然后左邊相加等于右邊，就有a
n+1-a
1=f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)，由此便有了a
n的通項公式。這種題要注意的一點(diǎn)就是n的范圍，上面所寫(xiě)的只是一個(gè)大體思路，具體的題目中，一定要明確n的范圍。有時(shí)候，第一個(gè)式子不是a
2-a
1=f(1)，而是a
3-a
2=f(1)等等，這一點(diǎn)是學(xué)生最容易犯錯，也是最容易失分的地方。
練手：已知an+1=n+an，a1=1，求an。 自己做，然后從這里往后反選得到答案：
an=(n2-n+2)/2 同理，當我們遇到形如a
n+1/a
n=f(n)的遞推關(guān)系的時(shí)候，就采用累乘法，相信各位都沒(méi)問(wèn)題，當然了，如果f(n)是常數函數，那就是我們的等比數列。所以求等比數列的通項公式，也可以采用這種累乘法。同樣的，你要注意n的取值范圍。
題型二：已知Aan+1+Ban+C=0，其中A、B、C都是常數，求an。 遇到這種題目，一般的方法就是將之化成一個(gè)新的等比數列。除非你推理能力特別強，建議你不要直接化。最好采用“先斬后奏”的方式，因為不可否認，如果A≠-B，那么這個(gè)式子就一定可以化成下面的形式：
A(a
n+1+k)=-B(a
n+k)。
你先寫(xiě)成這種形式，然后將其展開(kāi)，對應著(zhù)題目所給的遞推關(guān)系，對應系數相等，你就可以把k給求出來(lái)，那么數列{a
n+k}就是一個(gè)等差數列，其通項公式就能求出來(lái)，a
n的通項公式也就隨之而來(lái)。
我們可以看出來(lái)，如果A=-B，那么這個(gè)遞推關(guān)系是不可能化成等比數列的。實(shí)際上，若A=-B，那么她就變成我們的等差數列了。還要注意的一種特殊情況就是A=B的時(shí)候，這實(shí)際上就是一個(gè)等和數列，從這個(gè)問(wèn)題我們可以看到，等和數列也可以化成一個(gè)等比數列。
對于這一種題型，也可以這樣將之化成等比數列：
Aa
n+1+Ba
n+C=0
Aa
n+Ba
n-1+C=0
兩邊相減就有：A(a
n+1-a
n)+B(a
n-a
n-1)=0，如此就化成了一個(gè)等比數列，具體哪種，看自己喜歡。
練手題：在數列{a
n}中，a
1=1，a
n+1=2a
n+1(n≥2)，求an。答案(請反選后面)：a
n=2n-1。 題型三：已知Aan+1+Ban+Can-1+D=0,其中A、B、C、D都為常數，求an； 這種題目和上面的是一樣，你他們一定可以化成下面的形式：
Aa
n+1+Ea
n=k(Aa
n+Ea
n-1)
同樣的展開(kāi)，求出對應系數，然后你就可以求出數列{Aa
n+Ea
n-1}的通項公式，然后再利用題型二的方法。實(shí)際上就是一種逐步化簡(jiǎn)的方法，就好像立體幾何里面面垂直化成線(xiàn)線(xiàn)垂直一般。同樣的原則，注意n的范圍。
題型四：關(guān)于f(Sn,an),求an。 也就是知道S
n和a
n的關(guān)系，求a
n，這種題沒(méi)有統一的思想，一般是借助橋梁S
n-S
n-1=a
n。如果題目中關(guān)于S
n的表達式很復雜，你也可以把S
n看成一個(gè)數列，先對S
n進(jìn)行求解，然后得出a
n。
題型五：歸納法。 說(shuō)得好聽(tīng)點(diǎn)，是歸納法，說(shuō)得不好聽(tīng)，就是猜，寫(xiě)出一部分數值，然后猜，猜了就用歸納法證明。
還有一種題型，比較麻煩。很多參考室都提到利用不動(dòng)點(diǎn)的概念，不過(guò)個(gè)人認為，利用傳統的方法，學(xué)生似乎接受得更快。我對這種題目的思路是，先用傳統方法講解具體思路，然后用不動(dòng)點(diǎn)法進(jìn)行升華，記憶。就是形如下面的遞推關(guān)系求an的題目：
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