題目 已知橢圓,直線(xiàn)
,
是
上一點(diǎn),射線(xiàn)
交橢圓于點(diǎn)
,又點(diǎn)
在上,且滿(mǎn)足,當點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn).
這是1985年高考的一道解析幾何題,文[1]的兩個(gè)解法較繁運算量較大,本文筆者運用新課標教材知識內容從極坐標和向量?jì)蓚€(gè)角度切入給出兩個(gè)優(yōu)美解與大家分享.
優(yōu)美解1(極坐標法)如圖,依題意設三點(diǎn)的極坐標分別為.因點(diǎn)在橢圓上, 故有,所以①.
又點(diǎn)在直線(xiàn)上,所以有,即②.又由得③ .由①②③得,即,所以,化為直角坐標方程得.又點(diǎn)不能是坐標原點(diǎn),所以不同時(shí)為零,故點(diǎn)的軌跡方程是(),即,其軌跡是中心為焦點(diǎn)在直線(xiàn)上的橢圓(坐標原點(diǎn)除外).
優(yōu)美解2(向量方法)依題意設,設,則,因點(diǎn)在直線(xiàn)上,故有即①.又點(diǎn)在橢圓上,所以有即②. 又由得即③.由①②③得,即,下同法1略.
問(wèn)題是數學(xué)的心臟,問(wèn)題解決是數學(xué)的核心和目標,簡(jiǎn)單優(yōu)美是數學(xué)的更高追求,根據問(wèn)題特點(diǎn)靈活選擇恰當的方法使問(wèn)題得以輕松解決,可從中可體驗創(chuàng )造美、發(fā)現美、欣賞美的愉悅和成功.
參考文獻:
喬家瑞..特級教師點(diǎn)拔高考數學(xué)卷[M]..北京學(xué)苑出版社,1998年8月第二版.
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