1.（文19）已知橢圓的離心率為
，右焦點(diǎn)為（2
,0）.斜率為1的直線(xiàn)
與橢圓
交于A,B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△PAB的面積.
【參考答案】
（1）……
（2）設直線(xiàn)l的方程為由
得
設A、B的坐標分別為
AB中點(diǎn)為E，
則.
因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率解得m = 2.
此時(shí)方程①為解得
所以 所以|AB|=.
此時(shí)，點(diǎn)P（—3，2）到直線(xiàn)AB：的距離
所以△PAB的面積S=
·巧思·
① 橢圓的方程中，y2的系數是x2系數的3倍，故由直線(xiàn)方程和橢圓方程合成的方程組中，消去x得關(guān)于y的一元二次方程，一定式子比較簡(jiǎn)單、運算比較方便。
② 求出xA = 0或yA = 2 = yp后，便知△PAB又是直角三角形（?APB為直角），故其面積可用
∣PA∣2計算，而不必先求P到AB的距離d、再用∣AB∣·d計算。
③ 注意點(diǎn)P的坐標為（-3, 2），而橢圓的方程中，也有b = 2，故可猜想點(diǎn)A（0, 2）；再令xB = - 3,得B（-3, -1），果然有kAB = 1,于是△PAB又是直角三角形……
·妙解·
解法1：設l：x = y–2n ①, PD⊥AB于D∣AD∣ =∣BD∣.
①代入G： y2- ny + n2- 3 = 0
2yD = yA + yB = n，且lPD：x + y + 1 = 0 ②.
①②yD = n - = n = 1 y2- y - 2 = 0 yA = 2 = yp
PA∥x軸PB∥y軸 S△PAB = ∣PA∣2 = .
解法2：橢圓G的上端點(diǎn)為C（0,2） PC⊥y軸，∣PC∣= 3.
作PD⊥x軸，且使∣PD∣= 3D（-3,-1）在G上.
kCD = 1AB與CD重合S△PAB = S△PCD = .
【評注】
① 有關(guān)平面解析幾何的命題，經(jīng)常會(huì )出現一次方程和二次方程合成的方程組。如果x2的系數大于y2的系數（指絕對值），就要消去y得關(guān)于x的一元二次方程；否則便反之……
② 三角形的面積公式，除了底×高，還有其他形式；即使采用“底×高”，也要適當地選取“底”和“高”——特別是遇到直角三角形時(shí)，更要注意選取的適當、得當、恰當。
③ 觀(guān)察命題條件的特點(diǎn)，分析命題結論的要求，揣測命題內含的本意，可能出現“意想不到”的“拍案驚奇”，收獲“喜出望外”的“信手拈來(lái)”。
2.（理19）已知橢圓.過(guò)點(diǎn)（m,0）作圓x2 + y2 = 1的切線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn).
（1）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標和離心率；
（2）將表示為m的函數，并求的最大值.
【參考答案】
（1）……焦點(diǎn)坐標為，離心率為.
（2）由題意知，∣m∣≥1.
當時(shí)，切線(xiàn)l的方程為，
點(diǎn)A、B的坐標分別為此時(shí).
當m = －1時(shí)，同理可得.
當∣m∣＞1時(shí)，設切線(xiàn)l的方程為
由.
設A、B兩點(diǎn)的坐標分別為，
則.
又由l與圓
所以
=
由于當時(shí)，
所以.
因為∣AB∣==≤2.
且當時(shí)，|AB|= 2，所以|AB|的最大值為2.
·巧思·
① 將直線(xiàn)l的方程設為x = ty + m型（l與y軸不垂直），可避免對其位置的分類(lèi)討論，
且式子比y = k（x - m）簡(jiǎn)單。
② 由直線(xiàn)方程和橢圓方程消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，同樣可以解決問(wèn)題，
并且式子比較簡(jiǎn)單、容易運算。
③ 利用“x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根∣x1 - x2∣=”，可以避免求出兩根
之和、兩根之積以及繁瑣的運算。
·妙解·
（2）由題可設l：x = t y + m= 1m2= t2 + 1.
由l、G（t y + m）2 + 4 y2= 4（t 2+ 4）y 2+ 2t my + m2- 4 = 0
⊿ = 4 t 2m2 - 4（t 2+ 4）（m2- 4）= 64 -16（m2- t 2）= 48
∣AB∣=·∣yA-yB∣=·=
=≤2∣m∣=時(shí)，∣AB∣max= 2.
【評注】
① 直線(xiàn)方程的待定式，既可設為y = f（x）型，也可設為x = g（y）型——由于“習慣作用”，我們通常只想到采用前者而忽略了采用后者。
② 含有二元一次方程和二元二次方程（不含一次項）的方程組中，未知數x和y的“地位”是“平等”的：既可消去y得關(guān)于x的一元二次方程，也可消去x得關(guān)于y的一元二次方程——由于“習慣作用”，我們通常只想到采用前者而忽略了采用后者。
③“習慣作用”實(shí)質(zhì)是“思維定勢”?？紤]問(wèn)題不能受“思維定勢”的影響，解決問(wèn)題不能受“思維定勢”的影響，而要“因地制宜”、“隨機應變”！
3.（文20）若數列An：a1，a2,…，an（n≥2）滿(mǎn)足∣ak+1 - ak∣= 1（k = 1,2,…, n -1），則稱(chēng)數列An為E數列，記S（An）= a1 + a2,+ … + an.
（1）寫(xiě)出一個(gè)E數列An滿(mǎn)足a1 = a3= 0；
（2）若，n = 2000，證明：E數列An是遞增數列的充要條件是= 2011；
（3）在a1 = 4的E數列An中，求使得S（An）= 0成立的n的最小值.
【參考答案】
（1）……
（2）必要性：
因為E數列An是遞增數列，
所以ak+1 - ak= 1（k = 1,2,…,1999）,
所以An是首項為12，公差為1的等差數列，
所以a2000 = 12 +（2000 — 1）×1 = 2011.
充分性：
由于a2000 - a1999≤1，a1999 - a1998≤1，……，a2 - a1≤1，
所以a2000 - a1≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因為a1 = 12，a2000 = 2011,所以a2000 = a1 + 1999.
故ak+1 - ak = 1＞0（k = 1,2,…,1999）,即An是遞增數列.
綜上，結論得證.
（3）對首項為4的E數列An，由于
a2 ≥a1 - 1 = 3，a3 ≥a2 - 1≥2，…，a8 ≥a7– 1≥-3，…，
所以 a1 + a2 + …+ ak ＞0（k = 2,3,…,8）.
所以對任意的首項為4的E數列An，
若S（An）= 0，則必有n≥9.
又a1 = 4的E數列A9：4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4
滿(mǎn)足S（An）= 0，所以n的最小值是9.
·巧思·
①（2）中，“必要性”和“充分性”不必分開(kāi)證明，利用“等價(jià)于”或者“當且僅當”，便可合并操作、同時(shí)進(jìn)行；如此，則“快刀斬亂麻”而顯得“干脆利落”。
②（3）中，利用一個(gè)顯然的道理：“E數列An中，a1 = 4 ＞0，若盡快地（最小的n）滿(mǎn)足S（An）= 0，則An必為遞減數列”，便可迅速得解，而不必證明“n≥9”。
·妙解·
（2）,∣ak+1 - ak∣= 1（k = 1,2,…,n -1）a2000≤2011,
當且僅當ak+1 - ak = 1（k = 1,2,…,n -1）時(shí)，a2000 = 2011.
故E數列An是遞增數列a2000 = 2011.
（3）題設 E數列An為遞減數列時(shí)，n最小
n = 4×2 + 1 = 9為最小.
【評注】
① 對于“充要條件”一類(lèi)命題的證明，不一定“按部就班”地先證明“充分性”、后證明“必要性”（或者交換兩者順序），而應考慮是否可以“合二而一”——遇到相關(guān)元素之間的等價(jià)性（或者圖形的唯一性）比較明顯時(shí)，這種可能性就往往存在。
② 對于一些道理十分淺顯、明顯的問(wèn)題，我們不必“舍近求遠”地“自尋煩惱”，甚至于
“舍本逐末”地“故弄玄虛”，而“回歸自然”的解題方法倒是不妨一試的。
4.（理20）若數列An： a1，a2,…，an（n≥2）滿(mǎn)足∣ak+1 - ak∣= 1（k = 1,2,…, n -1），
則稱(chēng)數列An為E數列，記S（An）= a1 + a2,+ … + an
（1）寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足，且S（An）＞0的E數列An；
（2）若，n = 2000，證明：E數列An是遞增數列的充要條件是= 2011；
（3）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列An，使得S（An）= 0？
如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的E數列An；如果不存在，說(shuō)明理由。
【參考答案】
（1）……
（2）（同文20）
（3）令ck = ak+1 - ak（k = 1,2,…, n -1）,則ck =±1.
因為a2 = a1 + c1，a3 = a1 + c1 + c2 ,…, an = a1+ c1 + c2 + … + cn -1,
所以S（An）= na1 +（n -1）c1 +（n -2）c2 +（n -3）c3 + … + cn -1
=（n -1）+（n -2）+ … + 1–[（1 - c1）（n -1）+（1 - c2）（n -2）+ … +（1- cn -1）]
=-[（1 - c1）（n -1）+（1 - c2）（n -2）+ … +（1- cn -1）].
因為ck =±1，所以1 - ck 為偶數（k = 1,2,…, n -1）,
所以（1 - c1）（n -1）+（1 - c2）（n -2）+ … +（1- cn -1）為偶數.
所以要使S（An）= 0，必須使為偶數，即4整除n（n -1），
亦即n = 4m或 n = 4m + 1（m ∈N﹡）.
當n = 4m（m ∈N﹡）時(shí)，E數列An的項滿(mǎn)足
a4k -1 = a4k -3 = 0，a4k -2 = - 1，a4k = 1（k = 1,2,…, m）時(shí)，
有a1 = 0，S（An）= 0；
當n = 4m + 1（m ∈N﹡）時(shí)，E數列An的項滿(mǎn)足
a4k -1 = a4k -3 = 0，a4k -2 = - 1，a4k = 1（k = 1,2,…, m）時(shí)，
有a1 = 0，S（An）= 0；
當n = 4m + 2或n = 4m + 3（m ∈N）時(shí)，n（n -1）不能被4整除，
此時(shí)不存在E數列An，使得a1 = 0，S（An）= 0.
·巧思·
① 由a1 = 0，∣ak+1 - ak∣= 1（k = 1,2,…, n -1）便知：E數列An的奇數項是偶數，偶數項是奇數；進(jìn)而得知：使得S（An）= 0的數列中，偶數項的個(gè)數是偶數，而奇數項則不限，因此n = 4m或n = 4m + 1（m ∈N﹡）。如此，則“一干二凈、一清二楚”。
② 要作出滿(mǎn)足條件的E數列An，只要列舉數列0,1,0，-1,0,1,0，-1……（依次循環(huán)），便將n = 4m時(shí)和n = 4m + 1時(shí)的情況合并給出，而無(wú)須用許多字母和符號詳細地描述，更無(wú)須先后“分別介紹”（實(shí)際表達式一樣）。如此，則“一目了然、一覽無(wú)遺”。
·妙解·
（3）a1 = 0，∣ak+1 - ak∣= 1（k ∈N﹡） a1,a3…是偶數，a2,a4…是奇數
S（A4m）、S（A4m+1）是偶數，S（A4m+2）、S（A4m+3）是奇數（m ∈N）.
S（A4m+2）≠ 0，S（A4m+3）≠ 0，而可能 S（A4m）= 0，S（A4m+1）= 0，
且由數列：0,1,0，-1,0,1,0，-1……（依次循環(huán)）便知，可以滿(mǎn)足要求.
【評注】
① 整數的性質(zhì)：奇數個(gè)奇數的和是奇數，偶數個(gè)奇數的和是偶數；奇數±偶數 = 奇數，奇數×奇數 = 奇數，奇數×偶數 = 偶數；兩個(gè)連續整數中必有一個(gè)奇數、一個(gè)偶數……掌握這些性質(zhì)，可對某些與整數有關(guān)的問(wèn)題有所幫助，教師應向學(xué)生適當舉例介紹。
② 能夠用初級的知識快速解決的問(wèn)題，就不必用高級的學(xué)問(wèn)“不慌不忙”地“細嚼慢咽”；能夠用淺顯的道理簡(jiǎn)單說(shuō)明的問(wèn)題，就不必用深奧的理論“煞有介事”地“旁征博引”；
要讓廣大學(xué)生能夠聽(tīng)得懂、學(xué)得會(huì )、用得上……對此，我們應引起重視、引以為鑒。
【小結】
①數學(xué)是美的，“簡(jiǎn)潔美”是其中之一，也是主要的數學(xué)美，解決數學(xué)問(wèn)題應當——力求
簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)明、簡(jiǎn)單、簡(jiǎn)便，力求創(chuàng )優(yōu)創(chuàng )新、盡善盡美。亦即：應當——探求盡可能簡(jiǎn)明
的思路、盡可能簡(jiǎn)便的解法，探求盡可能簡(jiǎn)潔的語(yǔ)句、盡可能簡(jiǎn)短的表述。
② 如果某個(gè)數學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程比較復雜、步驟比較冗長(cháng)，我們就要思考：這個(gè)解法算得
上“較好”嗎？“很好”嗎？“極好”嗎？還能夠“改變”嗎？“改造”嗎？“改進(jìn)”嗎？亦即：教師傳輸給學(xué)生的知識，不僅應當是“正品”，而且還應當是“精品”、“極品”。
③“通解通法”固然需要掌握，然而知識的靈活運用對于培養學(xué)生的能力更加重要、必要
甚至首要，何況高考綜合題一般也不是僅用“通解通法”就能奏效的：盡管教師“千回
萬(wàn)回”地講解，學(xué)生“千遍百遍”地練習，最后面對試卷，許多人還是一籌莫展、百思
不解——這個(gè)問(wèn)題更值得我們思考、思索、思慮……
作者簡(jiǎn)介：楊洪林，男，江蘇鎮江人；1980年畢業(yè)于鎮江師范專(zhuān)科學(xué)校數學(xué)系，先后就職于鎮江四中和市物資局，擔任中學(xué)數學(xué)教師和電大輔導教師；現已退休，繼續致力于中等數學(xué)的學(xué)習和研究。
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