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上海市2006年高考數學(xué)理科第21題賞析
大罕

   已知有窮數列{a_n}共有2k項（整數k≥2），首項a₁＝2．設該數列的前n項和為S_n，且a_n+1=(a-1)S_n+2（n＝1,2,…,2k-1），其中常數a＞1．
  （1）求證：數列{a_n}是等比數列；
  （2）若a_n=2^2/(2k-1)，數列{b_n}滿(mǎn)足b_n=(1/n)log₂(a₁a₂…a_n)（n＝1,2,…,2k），求數列{b_n}的通項公式；
 （3）若（2）中的數列{b_n}滿(mǎn)足不等式|b₁-3/2|+|b₂-3/2|+…+|b_2k-1-3/2|+|b_2k-3/2|≤4，求k的值．
  分析：第（1）問(wèn)很平凡,易知它是首項為2,公比為a的等比數列．
  第（2）問(wèn)比較抽象，計算要細心.這一問(wèn),也是為第（3）問(wèn)奠定基礎.不難得出b_n＝1+(n-1)/(2k-1)．
  第（3）問(wèn)很妙,妙在數列{b_n}是一個(gè)很奇特的數列,需要我們發(fā)現它,提示它!奇特在于：
  一、因為數列{b_n}通項公式是一次函數，所以它是等差數列，并且項數為偶數2k；
  二、由b_n-3/2=[2(n-k)-1]/2(2k-1)可知,當n<k+1/2時(shí)，b_n-3/2<0，當n≥k+1時(shí)，b_n-3/2>0，即數列的前k項小于3/2，后k項大于3/2．
  三、由上述兩點(diǎn)可知(可觀(guān)察圖像),|b₁-3/2|+|b_k+1-3/2|=|b₂-3/2|+|b_k+2-3/2|=…=|b_k-3/2|+|b_k+k-3/2|=常數,經(jīng)計算,此常數為k/(2k-1)． 
   所以,|b₁-3/2|+|b₂-3/2|+…+|b_2k-1-3/2|+|b_2k-3/2|≤4可變?yōu)閗²/(2k-1)≤4．
  解之,再結合整數k≥2,可知k＝2,3,4,5,6,7.
   賞析：本題作為倒數第二道題，起到了一定的壓軸作用。從第二問(wèn)開(kāi)始，在多個(gè)字母下進(jìn)行抽象變形，對學(xué)生的數學(xué)能力有一定的要求，不偏不怪不易。尤其是第二問(wèn)給出的數列具有奇特的性質(zhì)，不禁為命題人的匠心所嘆服。正由于等差數列的項中,前一半比某數小，后一半比某數大，不多不少，才會(huì )想出兩兩搭配、逐個(gè)相加的辦法，而此時(shí)，參數k搖身一變，反客為主，寓方程之中，從而勢如破竹，完美結局，皆大歡喜。