一、跨期“套利”來(lái)源的種類(lèi)
股指期貨推出在即，其套利交易也得到廣泛深入的研究。一般而言，跨期套利策略可分為兩種類(lèi)型：一是牛市套利，二是熊市套利。在牛市格局中，市場(chǎng)一般體現為需求相對旺盛，供給相對不足，這將會(huì )導致近期合約的上升幅度大于遠期合約，而調整時(shí)近期合約的下跌幅度也會(huì )小于遠期，所以通常買(mǎi)入近期賣(mài)出遠期。在熊市中，則一般體現為供給相對過(guò)剩，需求相對疲軟，導致近期合約受現貨壓力在下跌時(shí)快于遠期，反彈時(shí)落后遠期，所以通常賣(mài)出近期買(mǎi)入遠期。
但是以上兩種方法都需要對市場(chǎng)的趨勢進(jìn)行判斷，因此存在由于對指數后期走勢預測的失誤帶來(lái)套利失敗的風(fēng)險。嚴格地說(shuō)，以上的套利方式應該叫投機，是對價(jià)差的投機。根據套利來(lái)源的不同應該分為趨勢型套利和結構型套利，而結構型套利又可以分為一階套利和二階套利。以下部分將對結構型套利原理進(jìn)行分析與闡述。
圖１ 跨期套利分類(lèi)圖
二、股指的“期限結構”
金融產(chǎn)品的“期限結構”（即期和遠期的價(jià)格對比）是其重要的市場(chǎng)特性之一，對交易行為有著(zhù)重大的影響，利率、債券等都有期限結構，指數也有“期限結構”。
例如，對于HS300股指期貨，每一天都有當月、下月和下兩個(gè)季月4個(gè)合約，這4個(gè)合約分別代表了4個(gè)不同時(shí)點(diǎn)的遠期價(jià)格。理論上我們有：
其中Fn、S0和r分別表示期貨價(jià)格、現貨價(jià)格和利率，d表示股息率，并且一般r>d，△tn表示合約n的到期日到現在的時(shí)間長(cháng)度，一般以年為單位。
將同一天的現貨與期貨指數反映在圖上（見(jiàn)下圖），S0表示現貨股指（如滬深300指數）的點(diǎn)數，F1、F2、F3和F4分別表示當月、次月和下兩個(gè)季月期貨合約的點(diǎn)數（或合約）。則該圖的曲線(xiàn)就是股指的“期限結構”圖，反映的是股票指數的到期收益率與到期期限之間的關(guān)系。當然，該圖也可以等價(jià)于（推導出）指數的到期收益率與時(shí)間的關(guān)系圖。
圖２ 股指的“期限結構”
三、股指“期限結構”套利的基本原理
“期限結構”反映的是期貨合約價(jià)格（收益率）與時(shí)間（到期日）的關(guān)系，根據Cornell & French（1983）的期貨持有成本定價(jià)理論：
i=[1，2，3，4]表示合約代碼，t表示當前的日期（這里假設在整個(gè)期間利率與股息率恒定不變），我們得出：
式（3）則表示期貨月份越遠，期貨價(jià)格越高；式（4）則表示隨著(zhù)月份遠離程度的擴大，其價(jià)格變化得越快。
以上結論表現在股指“期限結構”上就是上圖中的股指“期限結構”ABC到A’B’C’的變動(dòng)過(guò)程，A到A’時(shí)，B到B’的變動(dòng)幅度更大，而且，CC’-BB’>BB’-AA’（即使F2到F3與F3到F4的時(shí)間間隔相等）。
需要注意的是，由于交易成本的存在以及（r-d）項的不確定性，以上的數量結果在實(shí)際的金融市場(chǎng)上并不能給我們的跨期套利提供多少價(jià)值，但以上的表達式卻暗含了不同期限的期貨價(jià)格之間必須保持的一種依存關(guān)系，表現在期限結構圖上就是曲線(xiàn)的形狀必須保持一定的形態(tài)（除非（r-d）項經(jīng)常變動(dòng)）。
也就是說(shuō)，這種“期限結構”形態(tài)一旦被打破，套利機會(huì )就將出現。我們通常所說(shuō)的低買(mǎi)高賣(mài)（形如牛市套利和熊市套利）就是（3）式所暗含的一階套利，（4）式反映的則是以碟式套利為代表的二階套利，除了蝶式套利外，還可以構造（F4-F3與F2-F1、F4-F2與F3-F1……）。
四、股指“期限結構”一階套利
“期限結構”一階套利在本質(zhì)上不同于牛市套利和熊市套利，針對當前的現貨價(jià)格，它是通過(guò)兩個(gè)不同到期日的期貨合約價(jià)格的相對高低，即利用“期限結構”兩個(gè)節點(diǎn)形態(tài)的偏離來(lái)進(jìn)行套利的，另一個(gè)是通過(guò)對市場(chǎng)的判斷來(lái)估計期貨合約未來(lái)價(jià)格的變動(dòng)來(lái)獲利的。也就是說(shuō)，前者是通過(guò)對市場(chǎng)價(jià)格的糾偏來(lái)套利，而后者是通過(guò)市場(chǎng)的預測來(lái)套利。
在實(shí)際操作中，假定目前的股票指數“期限結構”是上圖中的實(shí)線(xiàn)AB，真實(shí)的“期限結構”是N即（r-d）所代表的方向，則B相對于A(yíng)高估，則賣(mài)F2買(mǎi)F1，當“期限結構”回歸到正常水平A"B"時(shí)實(shí)現套利。
當然，一階套利也面臨一定的風(fēng)險，其風(fēng)險主要來(lái)源于（1）式的斜率項上，即（r-d）的不確定性。表現在下圖中就是不能確定真實(shí)的“期限結構”是M還是N所代表的方向，如果不是N所代表的方向，而是M代表的方向（或即將變成M所代表的方向），則以上的套利策略將遭受損失，因為其“期限結構”將收斂于A(yíng)’B’。
圖３ 股指“期限結構”的買(mǎi)入賣(mài)出套利
五、股指“期限結構”二階套利
最典型的二階套利就是蝶式套利，它是兩個(gè)方向相反、共享中間交割月份的跨期套利的組合，即同時(shí)進(jìn)行3個(gè)交割月份的合約買(mǎi)賣(mài)，通過(guò)中間交割月份合約與前后兩個(gè)交割月份合約的價(jià)差的變化來(lái)獲利。當投資者認為中間交割月份的股指期貨合約與兩邊交割月份合約價(jià)格之間的價(jià)差將發(fā)生變化時(shí)，會(huì )選擇采用蝶式套利。
從理論上分析，可令F1、F2、F3為等時(shí)間間距的3個(gè)期貨合約價(jià)格，蝶式套利就是這里的F3-F2與F2-F1（即F3+F1與2*F，中間交割月份合約與前后兩個(gè)交割月份合約）。同樣，我們還可以構造F4-F3與F2-F1或F4-F2與F3-F1等各種復雜的二階套利期貨組合。
在實(shí)際操作中，以蝶式套利為例，當中間交割月份的股指期貨合約與兩邊交割月份合約價(jià)格之間的價(jià)差將發(fā)生變化時(shí)（一般是中間月份的期貨合約價(jià)格對其他合約價(jià)格來(lái)說(shuō)相對高估或低估），就會(huì )采用蝶式套利策略。在下圖中，兩條實(shí)線(xiàn)表示股指“期限結構”變動(dòng)的一般區域（方向），當F2變動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，則它相對于其他合約價(jià)格高估，采用蝶式套利策略賣(mài)出2份F2合約的同時(shí)買(mǎi)進(jìn)1份F1和F3合約，當F2合約價(jià)格回歸到一般水平時(shí)就可實(shí)現套利收益。
圖４ 股指“期限結構”的蝶式套利
相對于一階套利而言，二階套利不需要考慮真實(shí)的“期限結構”的方向性問(wèn)題，只要“期限結構”的形態(tài)始終收斂于一個(gè)相對固定的形狀即可。
六、跨期套利各種方法的比較
針對以上的不同套利策略，我們可以對其風(fēng)險及本質(zhì)進(jìn)行一下對比。
表１ 跨期套利策略比較
注：“期限結構”相對固定的基礎是期現套利的存在，故期貨價(jià)格的糾偏就是“期限結構”的糾偏。
七、基于HS300股指期貨仿真數據與HangSeng Index期貨的實(shí)證分析
1．數據來(lái)源
“期限結構”日變動(dòng)模式對比的數據來(lái)源于：
HS300指數期貨：2007年3月19日—4月20的日收盤(pán)數據；
HangSeng指數期貨：2007年6月29日—7月30日的日收盤(pán)數據。
“期限結構”套利分析的數據（高頻）來(lái)源于：
HS300指數期貨：２００７年4月23日—6月25日的15分鐘數據；
HangSeng指數期貨：2007年6月29日—7月30日的10分鐘數據。
其中，HS300指數期貨數據全部來(lái)源于文華期貨行情軟件，HangSeng指數期貨數據來(lái)源于Bloomberg。
２．“期限結構”變動(dòng)模式對比
我們分別將HS300在2007年3月19日—4月20日的指數、4月、5月、6月和9月的合約日收盤(pán)數據與HangSeng指數2007年6月29—7月30日的指數、7月(N7)、8月(Q7)、9月(U7)和12月(Z7)的合約日收盤(pán)數據繪制成以下幾個(gè)圖形，從中不難看出它們之間的區別。
圖５ 國內HS300期貨仿真交易的“期限結構”
圖６ 香港恒生指數期貨的“期限結構”
圖７ HS300與HSI期貨的“期限結構”對比圖
（1）HS300指數期貨的變動(dòng)（波動(dòng)）幅度較大，且基差較大；
（2）HS300期貨每天的“期限結構”形態(tài)變動(dòng)很大，但HSI期貨的“期限結構”形態(tài)幾乎不變，彼此之間相互平行。
事實(shí)上，之所以有以上的巨大差異是因為，仿真交易無(wú)實(shí)際意義上的期現套利，從而跨期套利的基礎缺乏。期現套利的缺乏導致較大基差的長(cháng)期存在，而跨期套利的缺乏又導致“期限結構”形態(tài)的不斷變動(dòng)。
３．“期限結構”套利機會(huì )分析
由于HS300缺乏跨期套利基礎，其“期限結構”形態(tài)變動(dòng)較大，現將其兩個(gè)季月價(jià)差與次月和當月的價(jià)差（F4-F3與F2-F1）構造二階套利分析圖。然后，再以當月、下月和下一個(gè)季月３個(gè)合約構造蝶式套利策略，并運用套利（組合）收益的經(jīng)驗分布來(lái)估計其套利機會(huì )的閥值，并對估計區間外的數據也進(jìn)行了檢驗，結果顯示，按歷史經(jīng)驗取得的套利閥值在未來(lái)的套利機會(huì )分析中有一定的效果。
圖８ 二階套利（F4-F3與F2-F1）套利機會(huì )分析圖
圖９ 蝶式套利（F3-F2與F2-F1）套利機會(huì )閥值分析圖
注：估計圖中曲線(xiàn)為蝶式價(jià)差，兩條水平線(xiàn)分別是通過(guò)右下方圖估計的閥值線(xiàn)，而三條垂直的加粗線(xiàn)表示當月合約到期日。
圖１０ 估計區間外的套利效果圖
注：估計圖中曲線(xiàn)為蝶式價(jià)差，兩條水平線(xiàn)分別是通過(guò)右下方圖估計的閥值線(xiàn)，而垂直的加粗線(xiàn)表示當月合約到期日。
香港的期貨市場(chǎng)是一個(gè)相當成熟的市場(chǎng)，以下將對其套利機會(huì )進(jìn)行詳細的分析，這將為我們進(jìn)行跨期套利提供寶貴的借鑒。我們取HangSeng指數2007年6月29—7月30日的指數期貨7月(N7)、8月(Q7)、9月(U7)和12月(Z7)合約10分鐘數據進(jìn)行分析。
圖１１ HIS期貨合約走勢圖
由于在部分時(shí)點(diǎn)上有些合約沒(méi)有交易數據，現將以上581組數據中篩選出在每個(gè)時(shí)點(diǎn)都有交易的HSIN7、HSIQ7、HSIU7數據207組，其統計描述見(jiàn)下表。
表２ HIS及其期貨樣本數據統計描述（207組）
為了便于對“期限結構”套利機會(huì )進(jìn)行分析，定義其價(jià)差為：
這里，Ｆit表示i合約在t時(shí)刻的點(diǎn)數，Ｓt表示現貨在t時(shí)刻的點(diǎn)數。
圖１２ “期限結構”套利價(jià)差圖
注：在8月2日和8月3日收盤(pán)時(shí)，Q7與N7合約的價(jià)差已經(jīng)恢復到-0.16%的水平。
套利機會(huì )的關(guān)鍵是套利閥值的確定。一般而言，閥值的確定方法有以下兩種：
（1）經(jīng)驗分布法：通過(guò)價(jià)差的經(jīng)驗分布確定一個(gè)適當分位點(diǎn)；
（2）情景分析法：依次設定不同的閥值，以歷史數據計算其收益（假定價(jià)差一旦大于閥值，則建立兩個(gè)相反的期貨頭寸，待回復到均值時(shí)同時(shí)平倉），取其收益最大時(shí)的閥值為最優(yōu)閥值。
對HIS期貨“期限結構”套利我們選取方法（2），按每筆交易（買(mǎi)賣(mài)）成本HK$400即8個(gè)點(diǎn)來(lái)計算，求得各個(gè)套利策略下的最優(yōu)閥值范圍，以及在該范圍內的平均獲利水平（見(jiàn)表4，其中按金按HK$7500每對計算），其中按方法（2）分析的閥值見(jiàn)表3。
表３ 跨期套利閥值分析（以一階2為例）
４ 跨期套利結果比較
八、結論
本文以期貨的“期限結構”為立腳點(diǎn)，從本質(zhì)上對期貨的跨期套利進(jìn)行了分析、歸納和總結，指出跨期套利機會(huì )來(lái)源于指數“期限結構”的暫時(shí)偏離，并運用經(jīng)驗分布法和情景分析法對HS300指數期貨和HIS期貨跨期套利的最優(yōu)閥值進(jìn)行了確定。實(shí)證結果顯示，HS300的“期限結構”偏離度大并且明顯缺乏收斂于均衡期限結構水平的力量（因為無(wú)實(shí)際意義上的期現套利）；HIS的 “期限結構”相當穩定，偏離度很低，體現了香港期貨市場(chǎng)的完善與成熟。
在HIS套利的最優(yōu)閥值確定后，顯示其套利的年收益率明顯大于相關(guān)文獻中估計的收益率，也與事實(shí)不相符（如果有這么多的套利機會(huì )，套利量必將增大，而套利量的增大又將使套利機會(huì )減少），其原因一方面是數據的不完整性：本文只選取了１個(gè)月的數據，并且數據量只有207組，它只能反映市場(chǎng)一小段時(shí)間的“期限結構”水平，而一般情況下“期限結構”水平在相當短的時(shí)間內不會(huì )有較大的變化，從而將閥值確定得較小，虛增了套利機會(huì )的次數；另一方面，本文沒(méi)有考慮期貨市場(chǎng)的市場(chǎng)沖擊成本，在交易量較大的情況下，該成本是無(wú)法被忽略的。
總之，投資者在了解了這種“期限結構”套利的實(shí)質(zhì)后，在即將推出的HS300期貨市場(chǎng)上，就能更容易地發(fā)現跨期套利機會(huì )，并根據自己的需要自由搭配各種不同到期月份的期貨合約頭寸，構造跨期套利策略。
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