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58％9甲乙兩人同時(shí)從相距168千米的公路兩端相向而行，甲騎車(chē)每小時(shí)行20千米，乙行4小時(shí)后兩人相遇，求乙每小時(shí)比甲多行多少千米？50％10一條公路長(cháng)2400米，AB兩支施工隊同時(shí)從公路的兩端往中間鋪柏油路，A隊的施工速度是B隊的2倍，4天后這條公路全部鋪完。A,B兩隊每天鋪路多少米？41％沒(méi)有找到若干年前同樣試題的測試結果，所以沒(méi)有充足的證據來(lái)[d2] 當前學(xué)生解決應用題的現狀。蔡金法教授最近在文章中引用了一個(gè)調查結論，我國大陸新課程改革以來(lái)，學(xué)生在解決復雜問(wèn)題上顯著(zhù)優(yōu)于傳統課程的學(xué)生，但是在計算和解決簡(jiǎn)單問(wèn)題上反而不如以前。您怎么看這樣的調查結果？張奠宙：謝謝你提供了許多珍貴的第一手資料。五年級學(xué)生能夠有這樣的“通過(guò)率”， 我覺(jué)得不能說(shuō)“差”。10個(gè)題目7個(gè)的通過(guò)率在65%以上，相當不容易了。要知道，同齡人中數學(xué)天賦不同， 聰明孩子可以討厭數學(xué)， 語(yǔ)文差的孩子看不懂題目，煤礦， 水泥路，電視機廠(chǎng)， 學(xué)生都是沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的， 并非日常生活實(shí)際。所以，以上數據說(shuō)明大多數中國小學(xué)生會(huì )解常規的數學(xué)應用題，是一個(gè)不錯的成績(jì)。記得數學(xué)大家陳省身說(shuō)：“中國數學(xué)教育在實(shí)踐上肯定比美國好”，大致是不錯的。中國經(jīng)濟起飛，有賴(lài)于勞動(dòng)力的質(zhì)高與價(jià)廉。一般民眾有這樣的應用題思考能力，是小學(xué)數學(xué)老師對國家的重大貢獻。當然，肯定成績(jì)，不是盲目自滿(mǎn)，而要繼續改革，不斷前進(jìn)。例如，第十題是得分率低于50%的唯一的一個(gè)。 我們成年人一看， 這個(gè)題目很好算。 A隊與B隊的比例是2：1，那么2400米，分三段， 每段800米。 A隊 1600米，每天400米，B隊 共800米，每天200米。這是“比例”的思想，五年級學(xué)生可能沒(méi)有學(xué)過(guò)？我們可以研究一下，逐步改進(jìn)。二．什么是小學(xué)數學(xué)應用題。唐彩斌：張老師把今天談話(huà)的題目取名為小學(xué)應用題的本質(zhì)是數學(xué)建模，是給我們一線(xiàn)教師“打氣”的，現在，我們在教學(xué)時(shí)都不太有勇氣說(shuō)“應用題”，深怕自己太“落后”，也不太有底氣說(shuō)“數學(xué)建模”，總覺(jué)得還沒(méi)有那 “功底”，今天張老師把“應用題”亮堂堂地說(shuō)出來(lái)，有一種釋?xiě)训母杏X(jué)。不過(guò)，在日常小學(xué)數學(xué)教學(xué)中，很多名詞盤(pán)繞其中，錯綜繁雜，讓老師們很是煩惱。“問(wèn)題”“習題”“文字題”“應用題”“問(wèn)題解決”“解決問(wèn)題”“綜合應用”“實(shí)踐活動(dòng)”它們之間到底是一種怎樣的關(guān)系？當面對很多新教材把“應用題”改為“解決問(wèn)題”，常常引人反問(wèn)：把名字改為“解決問(wèn)題”就解決問(wèn)題了嗎？張老師，您有怎樣的看法？張奠宙：應用題的出現淵遠流長(cháng)。古埃及的紙草書(shū)、中國的《算數書(shū)》等古代數學(xué)典籍， 都是應用題的匯編。數學(xué)的發(fā)展有兩個(gè)原動(dòng)力，一是要解決大自然和社會(huì )現實(shí)提出的數學(xué)問(wèn)題，二是要解決數學(xué)內部生成的數學(xué)問(wèn)題。前者的研究成果是應用數學(xué)，后者的研究成果成為純粹數學(xué)。這二者相輔相成，相互滲透，共同發(fā)展。不過(guò)，歸根結底，社會(huì )生產(chǎn)力和文化發(fā)展的現實(shí)需要是數學(xué)成長(cháng)的本源。小學(xué)數學(xué)中，數的擴展以及相應的運算規則，屬于純粹數學(xué)范圍，將這些規則和現實(shí)相聯(lián)系，并應用于現實(shí)，則是小學(xué)應用數學(xué)的范圍。數學(xué)是由問(wèn)題驅動(dòng)的。小學(xué)數學(xué)應用題教學(xué)，體現小學(xué)數學(xué)的應用，培養學(xué)生與此相關(guān)的數學(xué)思維模式。如果說(shuō)，應用數學(xué)是永存的，那么數學(xué)應用題教學(xué)也是永存的。 只不過(guò)要“與時(shí)俱進(jìn)”， 不斷改革而已。20世紀下半葉以來(lái)，數學(xué)最大的進(jìn)步是應用，“誰(shuí)用的好， 誰(shuí)就贏(yíng)了”（姜伯駒語(yǔ)）。計算機技術(shù)出現之后，應用數學(xué)的一個(gè)進(jìn)展， 是對一個(gè)個(gè)的具體問(wèn)題建立一個(gè)個(gè)的數學(xué)模型。因此，用建立數學(xué)模型的觀(guān)點(diǎn)加以詮釋?zhuān)歉母镄W(xué)應用題教學(xué)的參照基點(diǎn)。唐彩斌：看來(lái)，小學(xué) 應用題的教學(xué)本身有其價(jià)值存在，關(guān)鍵是用怎樣的高觀(guān)點(diǎn)來(lái)統領(lǐng)它。為了方便我們后續的研討，我們需要從數學(xué)的角度對“小學(xué)數學(xué)應用題”做概念的界定，張老師您怎么來(lái)界定？張奠宙：小學(xué)數學(xué) “ 應用題”， 可以理解為：用算術(shù)方法求解的、用自然語(yǔ)言表達的復雜情景問(wèn)題。這里有三個(gè)要素：（1）算術(shù)方法求解（包括一些簡(jiǎn)易代數的思考）；數學(xué)應用是一個(gè)很大的學(xué)術(shù)領(lǐng)域。這里只研究用小學(xué)數學(xué)方法可以求解的數學(xué)問(wèn)題。解小學(xué)數學(xué)應用題主要是用算術(shù)方法，目前也使用一些簡(jiǎn)易的代數思想。（2）用自然語(yǔ)言表達，即用文字敘述的問(wèn)題。這是小學(xué)數學(xué)應用題的主要特點(diǎn)。西方有時(shí)把小學(xué)應用題稱(chēng)作“文字題（word problem）”， 即用自然語(yǔ)言表達的數學(xué)問(wèn)題。 文字題需要將自然語(yǔ)言文字翻譯為“數學(xué)符號構成的算式”，然后再用數學(xué)方法求解。（3）具有復雜的情景。應用題必須表達一種具體“情景”，無(wú)論是體現生活實(shí)際的，或者合理地虛擬編制的，都必須反映一種生動(dòng)的具體情境，不能是純粹的數學(xué)問(wèn)題。情境往往有一些特定的常識性規律，在解題時(shí)需要加以剖析和運用。作為一種具有較高思維價(jià)值的問(wèn)題，“應用題”所呈現的情境，應當具有挑戰性，不同于課本引進(jìn)新內容時(shí)所呈現的簡(jiǎn)單情景。例如，5個(gè)學(xué)生每人有3本書(shū)，一共有幾本書(shū)？答案只要寫(xiě)出 5 × 3 = 15 就是。這也是應用性問(wèn)題，卻不是我們要研究的數學(xué)應用題。三、數學(xué)應用題教學(xué)的本質(zhì)是數學(xué)建模唐彩斌：剛才，您特別強調“用建立數學(xué)模型的觀(guān)點(diǎn)加以詮釋?zhuān)歉母镄W(xué)應用題教學(xué)的參照基點(diǎn)。”什么是數學(xué)模型的觀(guān)點(diǎn)？數學(xué)建模與解答應用題是一種怎樣的關(guān)系？張奠宙：數學(xué)建模是 20世紀下半葉， 隨著(zhù)計算機技術(shù)的發(fā)展而形成的數學(xué)思想方法。目前已經(jīng)成為數學(xué)應用的基本模式。數學(xué)模型，一般地說(shuō)， 乃是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關(guān)系，采用形式化的數學(xué)符號和語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的一種數學(xué)結構。就許多小學(xué)數學(xué)內容來(lái)說(shuō)， 本身就是一種數學(xué)模型：自然數是表述有限集合“數數”過(guò)程的數學(xué)模型；分數是平均分派物品的數學(xué)模型；元角分的計算模型是小數的運算；500人的學(xué)校里一定有兩個(gè)人一起過(guò)生日，其數學(xué)模型叫做抽屜原理；雞兔同籠問(wèn)題的數學(xué)模型是二元一次整數方程……等等。在這個(gè)意義上， 我們每堂數學(xué)課都在建立數學(xué)模型。不過(guò)， 應用數學(xué)的數學(xué)建模，是在狹義的意義下進(jìn)行的。 也就是說(shuō)， 數學(xué)建模，專(zhuān)指對一個(gè)個(gè)比較復雜的具體情境， 建立一個(gè)特定的專(zhuān)用數學(xué)模型，并用模型來(lái)解決非常具體問(wèn)題。比如，中國人口增加模型，甲型流感傳染模型、太湖水質(zhì)模型等等，非常具體、專(zhuān)門(mén)。這樣一來(lái)， 小學(xué)數學(xué)應用題就和數學(xué)建模很相似了。 二者都是對一個(gè)個(gè)具體情境給出數學(xué)描述， 并解決這個(gè)特定的問(wèn)題。也就是說(shuō)， 數學(xué)應用題教學(xué)，則是對一種比較復雜的特定情景給出一個(gè)具體的模型。例如，雞兔同籠是一個(gè)特定的問(wèn)題，我們可以給出一種解法， 它的代數模型是二元一次聯(lián)立方程。唐彩斌：你說(shuō)“數學(xué)應用題教學(xué)的本質(zhì)是數學(xué)建模”，我覺(jué)得非常重要。有專(zhuān)家畫(huà)了“數學(xué)建模的工作流程圖”， 好像和應用題求解的過(guò)程很類(lèi)似。我國小學(xué)數學(xué)中解應用題，一般分為以下四步：1.理解題意；2.做解題計劃；3.按計劃解答；4.回答和檢驗。審題列式解答驗證張奠宙：對??！ 兩者在基本步驟上大體相同， 只不過(guò)小學(xué)應用題內容比較簡(jiǎn)單而已。我做的一張表格， 也是描述了二者之間的相似性。數學(xué)建模步驟解應用題步驟以行程問(wèn)題為例背景考察：搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征審題。對問(wèn)題設置的情景仔細揣摩體察。弄清問(wèn)題的目標。知道速度， 位移，時(shí)間的關(guān)系；適度簡(jiǎn)化 ：如假定為勻速行駛在直線(xiàn)  型的道路上，等。構作模型根據所作的假設分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內在規律和適當的數學(xué)工具，構造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數學(xué)結構。列式將問(wèn)題中用自然語(yǔ)言表述的情景，翻譯成數學(xué)語(yǔ)言，借助數學(xué)符號、圖象、邏輯等手段， 構成可以反映問(wèn)題本質(zhì)的算式。根據情景，尋找數量規律。 例如找出一些不變量，借以構成數學(xué)等式。根據行程問(wèn)題的不同情景進(jìn)行思考。例如，相互距離為c的甲乙二者同時(shí)啟動(dòng)，分別以速度a、b相對而行，由于二者相遇時(shí)所用的時(shí)間x相同，據此列出等式ax+bx=c，或者算術(shù)地說(shuō)明各量間的相等關(guān)系。模型求解：采用各種數學(xué)方法，求得滿(mǎn)足模型的解答。求解：對算式進(jìn)行變換和計算，求得結果。x=c/（a+b），或算術(shù)地求解。答案分析檢驗模型是否正確， 解答是否符合實(shí)際。驗證：驗證解答是否正確， 能否符合題意。將x 代入原式進(jìn)行驗算。模型改進(jìn)對模型解答進(jìn)行數學(xué)上的分析，反思考察解題過(guò)程中使用的 數學(xué)思想方法總結本題的思考方法，對行程問(wèn)題的 關(guān)節點(diǎn)進(jìn)行反思，尤其是弄清在行駛變化過(guò)程中，哪些是變化的，那些是不變的。每一道小學(xué)數學(xué)應用題的教育價(jià)值，在于能將情景“數學(xué)化”；即將文字的表述，轉換為數學(xué)符號或圖像的表示；將蘊藏在情景內的數量關(guān)系列為算式；用數學(xué)演算求得算式的答案，最終通過(guò)檢驗肯定“解答”的適切性。這些數學(xué)活動(dòng)，為日后學(xué)習更復雜的 “數學(xué)建模”，做好必要的準備。因此，可以說(shuō)，小學(xué)數學(xué)應用題教學(xué)，乃是將來(lái)學(xué)習“數學(xué)建模”的基礎。四．“問(wèn)題解決”與應用題教學(xué)改革唐彩斌：剛才張老師幫助我們溝通“數學(xué)建模”與“數學(xué)應用題”之間的關(guān)系，盤(pán)旋在我們腦子里的類(lèi)似關(guān)系一定還不少？如“問(wèn)題解決”與“應用題”。大家都知道“問(wèn)題解決”的提出源自美國，從國際數學(xué)教育比較的角度，怎么理解“問(wèn)題解決”？張奠宙：1960年代的美國新數學(xué)運動(dòng)，到1970年代歸于失敗。當時(shí)提出的口號叫做“回到基礎”。又過(guò)了10年，美國數學(xué)教育界覺(jué)得僅僅強調“打基礎”是不夠的，因而在1980年提出了“問(wèn)題解決”的口號，意在提倡“探究”性的思考，發(fā)展學(xué)生數學(xué)思考的能力。2008年，美國總統授命組成的 “全美數學(xué)咨詢(xún)委員會(huì )”， 又提出“成功需要基礎（Foundations for Success）”的口號。這是美國式的“折騰”。 因此，“問(wèn)題解決”，是一個(gè)時(shí)期數學(xué)教育的導向性口號，并非針對應用題改革而提出。簡(jiǎn)單地說(shuō)，美國數學(xué)教育界提出的所謂[d5] ，專(zhuān)指解決“非常規問(wèn)題”。 目的是為了培養學(xué)生的探究意識和創(chuàng )新精神。在學(xué)生的認知水平上，要解決非常規問(wèn)題，沒(méi)有現成數學(xué)問(wèn)題求解模式可以模仿，需要獨立思考，通過(guò)自己的探索獲得解決問(wèn)題的途徑。這是具有一定創(chuàng )新意義的數學(xué)思維過(guò)程。唐彩斌：國外的“問(wèn)題解決”的觀(guān)念對我國的應用題教學(xué)有什么借鑒與啟示呢？張奠宙：我國在常規應用題的教學(xué)上，成績(jì)很好。例如用分數求解一些現實(shí)生活中“平均分配物品”的問(wèn)題，加減乘除四則運算的一步或兩步應用題，掌握得也很不錯。但是，在提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，靈活地處理應用性問(wèn)題上面，比起歐美諸國的教學(xué)，有一些弱點(diǎn)【2】。在非常規的應用問(wèn)題教學(xué)上，我國積累了一些按照問(wèn)題情景分類(lèi)的教學(xué)。例如行程問(wèn)題、工程問(wèn)題等等，有專(zhuān)門(mén)的訓練，基本面也是好的。但是，總體上較窄、較難，較偏。總之，“問(wèn)題解決”作為一種數學(xué)教育的全局性理念，有助于應用題教學(xué)的改革。唐彩斌：如果用“問(wèn)題解決”代替“數學(xué)應用題”教學(xué)，您覺(jué)得是否合適？張奠宙： 我認為不夠妥當。 理由有二。第一、問(wèn)題解決和數學(xué)應用題教學(xué)是從屬關(guān)系。應用題只是問(wèn)題的一部分，問(wèn)題解決是解應用題的上位概念。因此，“用問(wèn)題”的共性， 取代了“應用題”的特性，混淆了二者間的邏輯關(guān)系。例如，我們本來(lái)是研究“男生問(wèn)題”， 結果卻用了“研究學(xué)生”的標題。“大帽子”把小問(wèn)題的特性掩蓋了。第二、問(wèn)題解決是針對“回到基礎”提出來(lái)的口號。意思是強調“探究”、“發(fā)現”、“創(chuàng )新”?？墒菍?shí)行了多年之后， 美國又提出“成功需要基礎”， 又強調其基礎來(lái)。 所以，應用題教學(xué)， 不能只強調“自主創(chuàng )新”， 還要注意“打好基礎”。 沒(méi)有基礎怎么創(chuàng )新？五．應用題要有類(lèi)型， 但是不要“類(lèi)型化”。唐彩斌：倡導問(wèn)題解決仍然需要扎實(shí)的基礎，要解決非常規的問(wèn)題仍然需要常規問(wèn)題解決的基礎。好比中華武術(shù)的境界“無(wú)招勝有招”，但是要達到“無(wú)招”還是要從“基本招術(shù)”開(kāi)始。如果沒(méi)有基本的招術(shù)，結果不是無(wú)招，而是沒(méi)招。下面， 我們討論一個(gè)大家關(guān)心的問(wèn)題：應用題的分類(lèi)。按理來(lái)說(shuō)，分類(lèi)是認識事物的第一步，也是一種一般方法，分類(lèi)是很自然的事。但近來(lái)一說(shuō)起應用題的分類(lèi)總有提倡機械記憶、套用公式之嫌？應用題到底要不要分類(lèi)？該怎么分類(lèi)？張奠宙：我想應用題要分類(lèi)， 要有類(lèi)型， 問(wèn)題是不要“類(lèi)型化”。小學(xué)數學(xué)應用題可以有三種分類(lèi)。（1）按數學(xué)模型分類(lèi)；四則運算的算術(shù)模型；統計模型；隨機模型，一元一次方程的代數模型；等等。（2）按情景熟悉程度分類(lèi)。如日常生活情景模型，模擬現實(shí)情景模型，科學(xué)技術(shù)模型等等（3）按特定情境的數量關(guān)系分類(lèi)。如行程問(wèn)題，工程問(wèn)題，流水問(wèn)題，折扣問(wèn)題等等。唐彩斌：按數學(xué)模型來(lái)分，從小學(xué)數學(xué)的幾個(gè)領(lǐng)域來(lái)看，似乎還少了圖形與幾何方面的應用題？張奠宙：小學(xué)數學(xué)的內容比較簡(jiǎn)單，方程、函數、曲線(xiàn)、都無(wú)法觸及， 更不談微積分。 所以根據小學(xué)數應用題涉及的數學(xué)知識，大多都歸結為“四則運算”模型。小學(xué)里圖形與幾何方面的問(wèn)題主要是求周長(cháng)、面積和體積，其實(shí)質(zhì)還是四則運算模型。六．關(guān)于應用題教學(xué)與聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際唐彩斌：第二種分類(lèi)維度是從問(wèn)題情景的熟悉程度以及問(wèn)題的來(lái)源。應用題需要應用，當然必須與現實(shí)生活緊密相連。但過(guò)分拘泥于生活原型，難免出現牽強附會(huì )的案例。應用題與生活情境到底是一種怎樣的關(guān)系呢？張奠宙：顧名思義，數學(xué)應用題要有用，自然要聯(lián)系實(shí)際情境。能把學(xué)生自己的生活體驗融進(jìn)數學(xué)課堂，是大家的共同追求。問(wèn)題在于，學(xué)生的生活情境畢竟是有限的。應用題中能夠直接和學(xué)生的生活相聯(lián)系的只能是少數。 應用題教學(xué)中，大量使用的是科學(xué)模型，例如，行程問(wèn)題中速度、時(shí)路程之間的關(guān)系，乃是物體運動(dòng)的物理模型。另一種是模擬現實(shí)模型。比如雞兔同籠問(wèn)題，完全是一種假想的模擬情景。兒童有豐富的想象力，模擬情景往往比真實(shí)情景更真切。一個(gè)不爭的事實(shí)是，現在的孩子愛(ài)看動(dòng)畫(huà)片，那里出現的都是模擬假想的情景。“孫悟空”、“大灰狼”、“圣誕老人”、“白雪公主”等等都是虛擬的。數學(xué)應用題中，著(zhù)名的雞兔同籠問(wèn)題就是虛擬情境，比有些矯揉造作的 “現實(shí)情境”要高明得多。記得1930年代，任何小學(xué)數學(xué)教材里都有和尚饅頭問(wèn)題：“一共有100個(gè)和尚和100個(gè)饅頭。大和尚一人吃三個(gè)饅頭，小和尚三個(gè)人吃一個(gè)饅頭，問(wèn)各有大小和尚幾人”。這是很有童趣的問(wèn)題，現在卻不見(jiàn)了，很是遺憾。唐彩斌：其實(shí)，有些數學(xué)名題，即使是現在也能激發(fā)孩子的學(xué)習興趣。說(shuō)起真實(shí)性，有一道題是最典型的，常常被文化名人所提及：記得曾有相聲演員編了這樣的段子：有一個(gè)水池，打開(kāi)進(jìn)水管注滿(mǎn)水池要3小時(shí)，打開(kāi)出水管放出整池水要2小時(shí)，現在同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管和出水管，要多少時(shí)間才能把一池水放完？日常生活中那會(huì )同時(shí)打開(kāi)出水管和進(jìn)水管（除非忘記了），真是吃飽沒(méi)事干。張老師您怎么看待這樣的諷刺？張奠宙：這樣的情境以前農田的灌溉中偶爾能碰到，也不是很典型的。實(shí)際上，作為一種數學(xué)模型，在現實(shí)生活中還是有的，如：飛機的能源消耗與補充、排隊進(jìn)場(chǎng)與出場(chǎng)、草場(chǎng)里草的生長(cháng)與割去、人體的新陳代謝、社會(huì )人口的增減、湖泊的污染與治理，家庭的收入與支出等等，這些現象都是正、反兩個(gè)方面同時(shí)進(jìn)行著(zhù)的，都類(lèi)似于水池同時(shí)進(jìn)水與出水的情景。這種數學(xué)模型反映了一種動(dòng)態(tài)平衡的問(wèn)題。小學(xué)算術(shù)應用題，能夠和學(xué)生生活情境相聯(lián)系的多半涉及 “買(mǎi)賣(mài)關(guān)系”。我們應該充分利用。但也不能“除了超市，就是商店”，還應努力開(kāi)辟一些小學(xué)生喜聞樂(lè )見(jiàn)的現實(shí)情景，[d6]唐彩斌：生活情境是表面的，數學(xué)模型才是最為根本的。你說(shuō)的第三種分類(lèi)：即按情境內容分為“行程問(wèn)題”、“工程問(wèn)題”等等，是否必要？ 如何對待呢？張奠宙：將問(wèn)題按照情景內容進(jìn)行分類(lèi)是正?，F象。在微積分課程里要討論瞬時(shí)速度問(wèn)題， 切線(xiàn)問(wèn)題，曲邊梯形問(wèn)題；微分方程課程里有熱傳導方程， 電磁波方程； 中學(xué)數學(xué)也要研究拋物問(wèn)題、單擺問(wèn)題、等周問(wèn)題，投影問(wèn)題，擲骰子問(wèn)題等。 小學(xué)里常用的有類(lèi)型有：行程問(wèn)題    路程 = 速度×時(shí)間工程問(wèn)題    工作量 = 工作時(shí)間× 工作效率價(jià)格問(wèn)題    總價(jià)格 = 單價(jià) × 數量利息問(wèn)題     利息  = 本金 × 利率利潤問(wèn)題     利潤 =  成本 × 利潤率折扣問(wèn)題     金額 = 價(jià)格 × 折扣率百分數問(wèn)題   數量 =  總量 × 百分比其中涉及的利息、利潤、速度、效率等概念，并非數學(xué)內容， 而是屬于物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)的問(wèn)題。今天，國家實(shí)行社會(huì )主義市場(chǎng)經(jīng)濟模式，經(jīng)濟學(xué)的一些初級術(shù)語(yǔ)在日常生活中經(jīng)常出現，語(yǔ)文課、社會(huì )課又不詳細研究， 責任就落在數學(xué)課身上。 讓孩子們了解這些規律，是小學(xué)數學(xué)課程的有機組成部分， 責無(wú)旁貸。實(shí)際上，應用題的分類(lèi)不是我們要不要的問(wèn)題， 而是客觀(guān)存在的現象。將一類(lèi)情景中發(fā)生的問(wèn)題給以特殊的名稱(chēng)。說(shuō)到底， 不是我們數學(xué)教育工作者進(jìn)行這樣的分類(lèi)，而是客觀(guān)世界本來(lái)就有這樣的不同的情境。唐彩斌：對于這種分類(lèi)，過(guò)去搞得過(guò)分， 異化了。當學(xué)習完“梨樹(shù)有20棵，蘋(píng)果樹(shù)比梨樹(shù)多8棵，蘋(píng)果樹(shù)有多少棵？”，老師強調：看到“多”就想到“加”，于是，當學(xué)生看到“梨樹(shù)有20棵，比蘋(píng)果樹(shù)多8棵，蘋(píng)果樹(shù)有多少棵？”學(xué)生總是先想到“加法”，結果錯了。當學(xué)習完“科技書(shū)有20本，故事書(shū)比科技書(shū)的2倍還多2本，故事書(shū)有多少本”，老師強調：看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。于是，當學(xué)生看到“科技書(shū)有20本，比故事書(shū)的2倍還多2本，故事書(shū)有多少本”時(shí)，學(xué)生總是先想到用“乘加”，結果又錯了。張奠宙：以上的異化現象，都來(lái)自固化數學(xué)的某種模型。講死了，思維變得機械了。實(shí)際上，一類(lèi)問(wèn)題，比如行程問(wèn)題，都只是一個(gè)名詞，便于稱(chēng)呼而已，并非一個(gè)數學(xué)領(lǐng)域。盡管題目花樣翻新，也可以出得很難，但總不過(guò)是 s = vt 這樣的數量關(guān)系的各種不同的變式。宏觀(guān)地看，沒(méi)有單獨設立一個(gè)數學(xué)課題的必要。但是，也不能走向另一個(gè)極端：不講類(lèi)型。有的地方不準叫“應用題”，今天學(xué)“鉛筆有幾枝”，明天學(xué)“燕子飛走了”，不做一些基本的分類(lèi)和概括，實(shí)際上是作繭自縛，矯枉過(guò)正的表現。總之，要類(lèi)型，但是不要“類(lèi)型化”。這就是我們的結論。唐彩斌：過(guò)去傳統應用題還按步數分：一步，兩步和多步應用題；按內容和難易來(lái)分，可分為一般應用題、復合應用題和典型應用題。典型應用題中就有和差問(wèn)題、和倍、差倍問(wèn)題；追及問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、相遇問(wèn)題等等。這樣分類(lèi)您怎么看嗎？張奠宙：這些分類(lèi)，都是從教學(xué)需要出發(fā)的。由易到難，循序前進(jìn)，總要按部就班地排除一個(gè)次序來(lái)。因此是教學(xué)需要的，有必要的。不過(guò)，這種分類(lèi)不涉及數學(xué)應用題的數學(xué)本質(zhì)，學(xué)生并不需要知道。至于和差，和倍、差倍這樣的分類(lèi)，我覺(jué)得可能太細了。臨時(shí)作為一個(gè)名詞叫叫， 未嘗不可。對于數學(xué)的困難生，為了辨別各種不同的算式，可能起一定的作用。但是，它畢竟只起一個(gè)臨時(shí)“標簽”的作用， 并不是非學(xué)不可的 “知識內容”。分類(lèi)可以越分越細，沒(méi)完沒(méi)了地分下去。但是， 只有被廣泛承認和使用的分類(lèi)才有“知識性”價(jià)值。否則只是在小范圍使用，不過(guò)是一種臨時(shí)使用“標簽”而已， 不需要長(cháng)期記住。打個(gè)比方， 作為地理學(xué)知識，中國，分為?。ㄉ綎|）， 省分為市（煙臺），就為止了。 至于煙臺下面分為各個(gè)區， 就不是大眾需要的知識，是地方的標簽， 大眾不需要長(cháng)期記憶。因此， 我認為，“和倍”、“差倍”這樣的分類(lèi)， 沒(méi)有知識價(jià)值，不需要長(cháng)期記憶。臨時(shí)作為一個(gè)名字稱(chēng)呼一下，當個(gè)“標簽”，對于有些學(xué)生可能有些幫助，但是過(guò)后就忘了。七．  小學(xué)數學(xué)中的算術(shù)模型與代數模型唐彩斌：從數學(xué)上看，有些分類(lèi)具有較高的知識價(jià)值。比如，算術(shù)模型和代數模型就需要加深理解，具有長(cháng)遠的記憶價(jià)值。那么什么是算術(shù)，什么又是代數呢？張奠宙：算術(shù)中的基本對象是數，包括數的表示、數的意義、數之間的關(guān)系、數的運算等。算術(shù)模型是一串“數字”的運算流程。代數中的基本對象除了數，還出現了更具廣泛意義的基本對象：符號。代數模型是方程或函數，包含未知數符號的等式關(guān)系或其它結構。什么是“代數”？代數建模的核心思想是“文字參與運算”。一個(gè)習慣的說(shuō)法是：“代數就是用文字代表數”。其實(shí)不妥。比如，小學(xué)里講自然數的交換律，就寫(xiě)了AB =BA, 這里， 用A,B代表任意的自然數，可是和代數無(wú)關(guān)。代數的實(shí)質(zhì)是用文字代表未知數，而且由文字代表的“未知數”和已知數可以進(jìn)行運算，即進(jìn)行“式”的運算。從算術(shù)向代數過(guò)渡，是學(xué)生數學(xué)學(xué)習過(guò)程中極為重要的轉變階段．學(xué)生從“數的運算”過(guò)渡到“式的運算”，好象人發(fā)明了汽車(chē)那樣，運行速度大幅提高。代數運算的通性通法，取得了極高的思維效率。但是，人不能每時(shí)每刻都在坐車(chē)，走路仍然是必須的、基本的。這就是說(shuō)，算術(shù)方法依然有其重要的存在價(jià)值。唐彩斌：算術(shù)方法與代數方法有怎樣的區別？有一道題被廣泛認為是傳統應用題中的難題“有一個(gè)煤礦，原來(lái)計劃上半年660萬(wàn)噸，實(shí)際每個(gè)月比計劃多產(chǎn)22萬(wàn)噸，實(shí)際多少月完成？”能不能以此來(lái)說(shuō)明一下？張奠宙：在小學(xué)數學(xué)教學(xué)中，用列方程的方法解應用題和用算術(shù)方法解應用題，都以四則運算和常見(jiàn)的數量關(guān)系為基礎，都需要分析題里的數量關(guān)系，根據四則運算的意義解答，這是它們的共同之處。但用代數的方法解決問(wèn)題和用算術(shù)的方法是不同的建模過(guò)程。讓我們看下面的例子：【1】算術(shù)建模，是給出一種算法：(張天孝老師稱(chēng)之為 “計算表征”)實(shí)際每月完成數是(660÷6)+22，于是有答案：完成時(shí)間 = 660 ÷[(660÷6)+22] = 5這是通過(guò)一串已知數字的運算組合，最后得到結果。【2】代數建模。是給出一個(gè)算式。(張天孝老師稱(chēng)之為 “數量關(guān)系表征”)設實(shí)際完成月數是□， 那么（660 ÷□ ）是每月實(shí)際完成數。110 = 每月計劃完成數 = （660 ÷□ ） - 22于是得到有符號的算式 ——代數模型：（660 ÷□ ）- 22 = 110           （1）我們無(wú)法直接計算出□， 但是可以進(jìn)行“式 ”的運算：（660 ÷□ ）= 110 +22 = 132         （2）（660 ÷132）= □ = 5               （3）這里，(1),(2),（3）中 □ 的值是相同的。【3】用符號的算術(shù)模型。我們還可以這樣思考：設實(shí)際完成月數是□，那么□ = 660 ÷ （實(shí)際完成數）= 660 ÷ （計劃完成數+22）= 660÷ （110+22）= 5這里也有符號代表數， 卻完全是算術(shù)思維， 與代數無(wú)關(guān)。【4】用代數方法啟發(fā)算術(shù)思維由（3）式知□ = （660 ÷實(shí)際每月完成數）=（660 ÷[(660÷6)+22）] = 5最后二者是統一的。算術(shù)思維和代數思維思考的方向不一樣。打個(gè)比方，如果未知數在對岸，那么算術(shù)方法，好象摸著(zhù)石頭過(guò)河找到未知數，代數方法好象用繩索將對岸的未知數捆好拉過(guò)河來(lái)，二者的思考方向剛好相反。但是從上面的分析來(lái)看，代數的表征和算術(shù)的表征是可以相互溝通的。至于完整的“式”的運算， 是學(xué)習負數以后的事情，要到初中才能夠完成。但是在小學(xué)里有所滲透，使得算術(shù)和代數的思維逐步融合起來(lái)，這是未來(lái)努力的方向。唐彩斌：如果學(xué)會(huì )了代數方法，是不是算術(shù)的方法就沒(méi)有價(jià)值了。曾聽(tīng)說(shuō)一位數學(xué)家在回憶自己成長(cháng)歷程的時(shí)候，特別提到：他在讀小學(xué)的時(shí)候，老師就是要他們做一些“以后用代數很簡(jiǎn)單但是用算術(shù)方法不那么容易”的那些題，對他學(xué)習數學(xué)很有幫助。算術(shù)方法是有其獨特的作用呢？張奠宙：在面對現實(shí)問(wèn)題時(shí)，我們首先使用算術(shù)方法思維。簡(jiǎn)單的問(wèn)題用算術(shù)模型就解決了。例如我們到商場(chǎng)購物，自然用算術(shù)方法計算付款找零。這是一切數學(xué)問(wèn)題求解的基礎。對于比較復雜的應用性問(wèn)題，代數方法開(kāi)始顯示優(yōu)勢，但是算術(shù)方法在訓練學(xué)生獨特思維，承擔分析數量關(guān)系的基礎方法上，其作用仍然不可替代。以大家熟悉的我國古代數學(xué)名題“雞兔同籠”為例來(lái)說(shuō)明。“今有雞兔同籠，上有35頭，下有94腳，問(wèn)雞兔各幾何?”這一問(wèn)題的代數模型是解二元一次聯(lián)立方程。小學(xué)生不可能用這樣的數學(xué)知識來(lái)解題。即使成人已經(jīng)掌握了求解聯(lián)立方程的知識和技能，也喜歡用算術(shù)模型來(lái)求解。唐彩斌：是的。國內外許多數學(xué)家與數學(xué)教育家對中國的古算題雞兔同籠問(wèn)題情有獨鐘。波利亞列舉了雞兔同籠問(wèn)題的四種解法，并特別欣賞“金雞獨立”這一解法。金雞獨立解法的思路是，如果籠中的雞全部獨立單腳著(zhù)地，做“金雞獨立”狀，而這時(shí)籠中所有兔也學(xué)雞立起前兩腳而只有后兩腳著(zhù)地，那么這時(shí)，地上的腳比原先少了一半，只有47只，35個(gè)頭。為什么有47只腳在地上呢?一只雞對著(zhù)一只腳著(zhù)地，而這時(shí)一只兔卻對著(zhù)兩只腳著(zhù)地。每多一只腳，說(shuō)明就有一只兔。原來(lái)有(47—35=)12只兔，雞就有(35—12＝)23只了。張景中院士對于雞兔同籠問(wèn)題的解法也很巧妙。他假設雞的兩只翅膀也變成了兩只“腳”，這樣的話(huà)，35只頭就一共有(4×35=)140只“腳”，可實(shí)際上只有94只腳，這說(shuō)明140只“腳”中，除了真正的94只腳外，其余的(140—94=)46只是假腳，即實(shí)際上籠中共有雞(46÷2=)23只，有兔(35—23=)12只。算術(shù)方法也有其教學(xué)價(jià)值的，曾經(jīng)有人設想，完全拋棄算術(shù)方法解應用題，一開(kāi)始就向小學(xué)生介紹方程解法。這種設想看來(lái)也是有失偏頗的。張奠宙：是的，如果這樣學(xué)習代數，代數將成無(wú)源之水！正如雙腳走路是基礎，駕駛汽車(chē)不能取代走路。你總不能把車(chē)停在床邊，你總要走到車(chē)庫里去嘛！實(shí)際上，列方程時(shí)的數學(xué)思維，主要還得用算術(shù)方法過(guò)度。沒(méi)有算術(shù)的第一步， 就難有代數的第二步。如果使得算術(shù)與代數完全脫離，使得學(xué)生沒(méi)有對比，看不出算術(shù)的缺點(diǎn)和代數的優(yōu)點(diǎn)，體會(huì )不到代數方法的優(yōu)越性，那么代數也是很難學(xué)好的。八． 小學(xué)數學(xué)里的三種基本代數模型唐彩斌：那么，從代數的角度看來(lái)，小學(xué)數學(xué)應用題有哪幾種常見(jiàn)的代數模型？張奠宙：小學(xué)里的數學(xué)知識有限， 沒(méi)有乘方、開(kāi)方， 指數、對數、 三角比等概念。因此，從代數和函數的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，所涉及的數學(xué)模型都是“線(xiàn)性關(guān)系”和“反比關(guān)系”。 即問(wèn)題中的未知量或者自變量x都是一次的，或者是線(xiàn)性的正比例關(guān)系，或者當變量x出現在分母上，呈現反比例關(guān)系。歸納起來(lái)，小學(xué)應用題的代數模型，基本上都是線(xiàn)性組合式。 即形如ab + cd = f 的式子，其中有5 個(gè)不同的量。又可以分為[d7] ：【1】方程模型。5個(gè)量中只有一個(gè)是未知的，因而可以通過(guò)四則運算由已知數求出未知數。這是絕大多數。【2】比例模型。 因為線(xiàn)性關(guān)系，也是比例關(guān)系。這時(shí)5個(gè)量中如果有兩個(gè)未知量， 而且它們成比例關(guān)系。那么可以借此求得問(wèn)題的解。例。比如開(kāi)頭的10個(gè)題目中的第10題：一條公路長(cháng)2400米，AB兩支施工隊同時(shí)從公路的兩端往中間鋪柏油路，A隊的施工速度是B隊的2倍，4天后這條公路全部鋪完。A,B兩隊每天鋪路多少米？此題中A，B兩隊的速度都是未知的，只知道彼此間的比值。【3】 函數模型。 因為線(xiàn)性關(guān)系中， 如果兩個(gè)量呈現“依賴(lài)關(guān)系”，就表示二者間存在“一次函數”的關(guān)系。實(shí)際上， 線(xiàn)性組合關(guān)系如果有兩個(gè)未知量， 本質(zhì)上彼此間或者是正例關(guān)系， 或者說(shuō)反比例關(guān)系。比如行程問(wèn)題中往往出現 s = vt + b 的數量關(guān)系就是。例。 A,B相距500千米。一輛摩托車(chē)，?？吭贏(yíng)B之間距離A點(diǎn)100千米處，將以每小時(shí)50千米的速度前進(jìn)。到達AB中點(diǎn)后， 休息30分鐘后繼續前進(jìn)。試問(wèn)， 一小時(shí)后，摩托車(chē)距離B點(diǎn)多少千米？ 何時(shí)摩托車(chē)抵達終點(diǎn)B？時(shí)間033.5時(shí)4.5時(shí)4.5+4= 8.5 時(shí)與A點(diǎn)距離100250250300500這樣列表考察， 已經(jīng)有一次函數的意味了。唐彩斌：策略在學(xué)生在解答應用題的過(guò)程中有著(zhù)重要的作用，也越來(lái)越受到老師們的關(guān)注，那么，小學(xué)常見(jiàn)的策略有哪些呢，或許最為熟悉的策略就是“線(xiàn)段圖”了，我們常常在課堂上聽(tīng)到老師在學(xué)生碰到問(wèn)題的時(shí)候就啟發(fā)“能不能畫(huà)畫(huà)線(xiàn)段圖”，似乎成了解決應用題的“萬(wàn)能策略”了。張奠宙：用線(xiàn)段圖表示數量關(guān)系是一種有效的教學(xué)方法。不過(guò)線(xiàn)段圖不是目的，只是手段。上海顧汝佐老師曾經(jīng)形象地描述過(guò)線(xiàn)段圖是拐杖，不是棍棒。人們認識一種數量關(guān)系，要經(jīng)過(guò)具象――表象――抽象的過(guò)程?，F實(shí)把線(xiàn)段圖畫(huà)在紙上， 可以看，有具體形象。然后是在腦子里畫(huà)圖，形成表象。最后，直接面對數量關(guān)系， 完全抽象地進(jìn)行思考。比如通過(guò)一些關(guān)鍵字詞（對應關(guān)系，文字說(shuō)明等），也可以幫助學(xué)生理解題意，構成概念圖式，圖式也有多種不同的形式。唐彩斌：在課標教材的編寫(xiě)中，出現了一類(lèi)以前教材中沒(méi)有的內容，“教學(xué)策略”單獨成課，比如：專(zhuān)門(mén)上一節課“轉化的策略”“列舉的方法”等等。您怎么看這樣的安排？張奠宙：與常規的應用題課相比，這樣的策略課就是非常規課，是便于學(xué)生探究、反思、活動(dòng)的課。常規的是基礎，非常規的是有益的補充，豐富學(xué)習活動(dòng)。這種策略的專(zhuān)項教學(xué)，有利于提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，不過(guò)“度”的把握也很重要，如果為“策略”而策略，可能得不償失，應該把策略的習得融入到問(wèn)題的解決中。唐彩斌：從解決問(wèn)題的步驟來(lái)說(shuō)，最后一步是回答與檢驗。有人認為是形式的完整，并不重要。因此在教學(xué)中常常有老師說(shuō)“由于時(shí)間的關(guān)系，今天的應用題就不要答了”。也有人認為這是重要的一步，是學(xué)生反思自己解答過(guò)程，檢驗結果是否正確的步驟，更是實(shí)現元認知發(fā)展的重要環(huán)節。張老師您怎么看？張奠宙：建立模型的核心是弄清數量關(guān)系， 并加以表示。真正解決解決問(wèn)題必然會(huì )檢驗。教學(xué)是模擬過(guò)程，可以把重點(diǎn)放在構建模型上，但是不能忽視模型的檢驗。最好能夠給學(xué)生一些問(wèn)題單幫助他們反思檢驗，比如試問(wèn)：得到的結果是否符合實(shí)際情況？計算的過(guò)程是否合理？除了這種方法是否還有更好的方法？這一類(lèi)問(wèn)題具有怎樣的特點(diǎn)？這既是一種數學(xué)素養，也是學(xué)生良好的元認知的表現。附錄． 一些優(yōu)秀的新型的小學(xué)數學(xué)應用題例1弗賴(lài)登塔爾有一個(gè)經(jīng)典的“巨人手印問(wèn)題”：昨夜外星人訪(fǎng)問(wèn)我校，留下了一個(gè)巨大的手印，今夜他還要來(lái)，試問(wèn)： 我們給他坐的椅子應該有多高？他用的新鉛筆應該要多長(cháng)？活動(dòng)設計：用自己的手和巨人的手相比，定下“比值”；量自己的書(shū)、桌子、椅子尺寸；用比例放大。過(guò)去總是用“照片放大”、“地圖比例尺”等靜態(tài)的觀(guān)察理解“比例”。 這里的實(shí)例，則用學(xué)生自己的活動(dòng)，獲得比例的真實(shí)感受。不過(guò)，“外星人”依然是虛擬的存在。這個(gè)題目好懂、有趣自不必言，尤其是體現比例的思想，問(wèn)題要求學(xué)生進(jìn)行操作，測量，更是一個(gè)絕好的數學(xué)活動(dòng)。例2.（荷蘭）甲離學(xué)校10公里，乙離甲3公里，問(wèn)乙離學(xué)校幾公里？本題訓練學(xué)生的表示能力。首先要問(wèn)，甲、乙、學(xué)校在一條直線(xiàn)上？如果在一條直線(xiàn)上，答案有兩個(gè)。如果不在一條直線(xiàn)上，答案無(wú)限多，但都位于一個(gè)圓上。例3.（日本）設計一花壇， 使它的面積為矩形場(chǎng)地的一半，要求美觀(guān)。這是數學(xué)和藝術(shù)相結合的開(kāi)放題，開(kāi)放度極大。1993年，國際數學(xué)教育心理學(xué)組織（PME）在日本舉行時(shí)，日本的一堂公開(kāi)課上，日本學(xué)生當堂有13種解答。近期，在杭州上城區教育學(xué)院附屬小學(xué)一五年級班測試20分鐘，對于一個(gè)班級整體來(lái)說(shuō)，方法多達四十多種。例 4.身份證、書(shū)號、超市商品號的最后一位是檢驗碼。現在是數碼時(shí)代。 學(xué)生生活實(shí)際中包括“數碼”分析。以下是身份證第18位檢驗碼的計算方法。Ai:表示第i位置上的身份證號碼數字值Wi:表示第i位置上的加權因子十七位數字本體碼加權求和公式（1）S = Sum(Ai * Wi), i = 0, ... , 16 ，先對前17位數字的權求和Wi: 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2（2）計算用11除所得余數Y： Y = mod(S, 11)（3）通過(guò)模得到對應的校驗碼Y:012345678910校驗碼10x98765431舉例如下：北京市朝陽(yáng)區: 11010519491231002X7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4=167. 167除11，余2， 對應 X例5.瓷磚數（美國）這是美國2000年《數學(xué)課程標準》中的一個(gè)題目。已經(jīng)知道游泳池內部的長(cháng)度L和寬度W, （都是自然數）， 用邊長(cháng)為1的瓷磚圍成邊， 需要多少塊瓷磚？例.6簡(jiǎn)單郵路問(wèn)題（原上海金匯學(xué)校）有三行三列的9個(gè)點(diǎn),左上角為郵局，郵遞員自郵局出發(fā),經(jīng)過(guò)9 個(gè)點(diǎn),最后回到郵局，怎樣投遞為最短路線(xiàn) 它們有多少種？答案。共有8種不同開(kāi)口的圖形。彼此之間可以通過(guò)軸對稱(chēng)和中心對稱(chēng)而得到?？紤]到實(shí)際問(wèn)題中,每種圖形郵遞員可有兩種行走方向,故原問(wèn)題的最優(yōu)線(xiàn)路有16種方法。例. 7鐘面問(wèn)題（浙江）。鐘面數字問(wèn)題：鐘面上有12個(gè)數，請在某些數的前面添上加號或減號，使鐘面上所有數之和等于零。此題解決的思路是：1＋2＋3＋…＋12＝78，因此相當于將12個(gè)數分成兩組，使這兩組數的和分別等于39，然后在任意一組的每一個(gè)數的前面添上負號。解題的關(guān)鍵在于從1，2，3，…，12這十二個(gè)數中取出若干個(gè)，使其和為39。由于1＋2＋3＋…＋12＝78，因此本題相當于“將1，2，3，…，12這十二個(gè)數分成兩組，使這兩組數的和分別等于39，然后在任意一組的每個(gè)數的前面添加負號”。因此解題的關(guān)鍵在于從1，2，3，…，12這十二個(gè)數中取出若干個(gè)，使其和為39。為防止遺漏和重復，取數時(shí)我們遵循“由大到小”的原則。注意到這十二個(gè)數中最大的三個(gè)數。12＋11＋10＝33<39,所以至少要取四個(gè)數，于是有：四數組（12，11，10，6），（12，11，9，7），（12，10，9，8）。同樣的方法，依次考慮五數組、六數組；又由于七數組、八數組分別于四數組、五數組重復，故不必再考慮。共可得到6＋60＋58＝124個(gè)解答。（此題由戴再平教授提供）參考文獻：[1]教育部義務(wù)教育課程標準研制組.全日制義務(wù)教育數學(xué)課程標準（實(shí)驗稿）［S］，北京師范大學(xué)出版社，2001；[2]蔡金法.中美學(xué)生解決問(wèn)題能力的比較研究，華人如何學(xué)習數學(xué)[M]，江蘇教育出版社， 2005；[3]邱學(xué)華.小學(xué)數學(xué)教學(xué)研究[M]，福建教育出版社,1990；[4]張天孝.小學(xué)數學(xué)教改實(shí)驗[M], 成都科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1994；[5]張奠宙等.小學(xué)數學(xué)研究[M], 高等教育出版社, 2008；[6]蔡金法等譯.美國學(xué)校數學(xué)教育的原則和標準［S］.人民教育出版社，2003.[7]張奠宙等.數學(xué)教育研究導引[M].南京：江蘇教育出版社，1994第二版；[8]克魯捷茨基.中小學(xué)數學(xué)能力心理學(xué)[M]，上海教育出版社，1983.[9]張奠宙.數學(xué)教育經(jīng)緯[M]，江蘇教育出版社，2003，[10]張天孝.小學(xué)數學(xué)應用題教學(xué)[M]，科學(xué)出版社，1993；[11]馬芯蘭.小學(xué)數學(xué)應用題教學(xué)中能力的培養[M]，光明日報出版社，1989；[12]陳梅芳.小學(xué)數學(xué)應用題類(lèi)型及教學(xué)[M]，中國廣播電視出版社，1992；[13]路海東.韋雪艷，近年來(lái)國外數學(xué)應用題解決研究述評[J]，遼寧教育學(xué)院學(xué)報：2002；[14]胡典順.數學(xué)模型方法在中學(xué)數學(xué)中的應用[J]，數學(xué)教學(xué)研究，2007，8；[15]王俊輝.小學(xué)數學(xué)應用題的“棄”與“揚”[J]，小學(xué)教學(xué)研究，2004，2；[16]郭兆明等.代數式應用題圖示研究概述，數學(xué)教育學(xué)報，2007，4.[d1]那為什么要改成“數學(xué)應用題”呢？這是您和張先生新的研究進(jìn)展嗎？但這樣一改，似乎包含的研究對象范圍有所增加，而且日常一線(xiàn)教師常說(shuō)道、研究的是“算術(shù)應用題”。[d2]是否改為“比較二期課改前后？”[d3]是否應改為“數學(xué)”[d4]是否應改為“數學(xué)”[d5]在張先生的文章中，我提出根據下文，此“問(wèn)題解決”應專(zhuān)指美國的，與中國的有差異。因此，張先生為其增加了定語(yǔ)“美國數學(xué)教育界提出的”[d6]比較閱讀后，我感覺(jué)您更側重于從一線(xiàn)教師希望了解的課改前后各種理念、名詞的聯(lián)系與解讀。這對我們的讀者而言是非常有吸引力的。而您為了篇幅的考慮，沒(méi)有呈現更多的例題；這讓我覺(jué)得頗有遺憾。張先生的文章里面的例子（巨人手印、花壇設計、檢驗碼、瓷磚數、算法設計、鐘面數字問(wèn)題、簡(jiǎn)單郵路問(wèn)題等）我看過(guò)，韓老師也看過(guò)，我們覺(jué)得這些例子也能為一線(xiàn)老師在練習設計、試卷設計方面給予啟發(fā)，不展示挺可惜的。您看是否在文中呈現這些例子，或者以附錄的形式在文后做簡(jiǎn)要介紹？我們可以考慮在合刊中刊登這篇文章，以給予足夠的展示空間。[d7]張先生給我們的文章中指出的三種代數型模型，與您的文章不同。詳見(jiàn)附件。兩廂比較，我個(gè)人認為，張先生文章中的分類(lèi)更清晰。那會(huì )不會(huì )是張先生在與您對話(huà)后進(jìn)一步思考的結果呢？