寫(xiě)在前面：本博文是《深入淺出通信原理》的學(xué)習筆記，僅供個(gè)人學(xué)習記錄使用

一、從頻域角度理解調制過(guò)程

先回顧一下用實(shí)數運算實(shí)現BPSK調制的框圖：

還記得我們講BPSK調制的時(shí)候，都是假的與 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0?t相乘的都是直流分量+1或-1，但是真實(shí)傳輸過(guò)程中往往沒(méi)有那么簡(jiǎn)單，經(jīng)常會(huì )是一些非周期信號。我們假設 x ( t ) x(t) x(t)的頻譜如下所示：

我們通過(guò)上篇博文學(xué)習到的傅里葉變換，看看這個(gè)非周期的復雜信號 x ( t ) x(t) x(t)和余弦載波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0?t相乘之后的頻譜有什么特征：
X ′ ( ω ) = ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) c o s ω 0 t e ? j ω t d t = ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) 1 2 ( e j ω 0 t + e ? j ω 0 t ) e j ω t d t = 1 2 ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) e j ( ω 0 ? ω ) t d t + 1 2 ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) e ? j ( ω + ω 0 ) t d t = 1 2 ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) e ? j ( ω ? ω 0 ) t d t + 1 2 ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) e ? j ( ω + ω 0 ) t d t = 1 2 X ( ω ? ω 0 ) + 1 2 X ( ω + ω 0 ) X′(ω)=∫+∞?∞x(t)cosω0te?jωtdt=∫+∞?∞x(t)12(ejω0t+e?jω0t)ejωtdt=12∫+∞?∞x(t)ej(ω0?ω)tdt+12∫+∞?∞x(t)e?j(ω+ω0)tdt=12∫+∞?∞x(t)e?j(ω?ω0)tdt+12∫+∞?∞x(t)e?j(ω+ω0)tdt=12X(ω?ω0)+12X(ω+ω0) X′(ω)?=∫?∞+∞?x(t)cosω0?te?jωtdt=∫?∞+∞?x(t)21?(ejω0?t+e?jω0?t)ejωtdt=21?∫?∞+∞?x(t)ej(ω0??ω)tdt+21?∫?∞+∞?x(t)e?j(ω+ω0?)tdt=21?∫?∞+∞?x(t)e?j(ω?ω0?)tdt+21?∫?∞+∞?x(t)e?j(ω+ω0?)tdt=21?X(ω?ω0?)+21?X(ω+ω0?)?
通過(guò)對 x ( t ) c o s ω 0 t x(t)cosω_0t x(t)cosω0?t的傅里葉變換，我們發(fā)現：當信號 x ( t ) x(t) x(t)與 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0?t相乘之后，相當于將 x ( t ) x(t) x(t)的頻譜 X ( ω ) X(ω) X(ω)一分為二，分別向左和向右移動(dòng) ω 0 ω_0 ω0?（也要注意幅度的變換：二分之一?。?/p>

【注意：如果頻譜用的是 X ( f ) X(f) X(f)表示，那么就相當于 X ( f ) X(f) X(f)一分為二，分別向左和向右移動(dòng)f】！

那么乘上了載波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0?t之后的頻譜變?yōu)椋?/p>

1.1 調制過(guò)程中頻譜變化的Matlab展示

我們先來(lái)看看一個(gè)脈沖寬度為1的矩形波和頻率 f c f_c fc? = 5Hz的載波相乘的頻譜變化：

%%%下面先從時(shí)域上來(lái)看看x(t)與余弦載波相乘的結果：%%%
subplot(3,1,1);
t = -1.5:0.01:1.5;
y = rectpuls(t, 1);
plot(t, y);
axis([-1.5 1.5 -0.5 1.5]);
grid on;

subplot(3,1,2);
carrier = cos(2*pi*5*t);     %fc = 5;
plot(t, carrier);
grid on;
axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);

subplot(3,1,3);
st = y.*carrier;
plot(t, st);
grid on;
axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);

從之前的學(xué)習中我們知道：矩形波信號的頻譜是： X ( f ) = τ s i n c ( τ f ) X(f) = τsinc(τf) X(f)=τsinc(τf)
其中， τ τ τ是脈沖寬度，那么對于上面這個(gè)脈沖寬度為1的矩形波 x ( t ) x(t) x(t)，它的頻譜就可以表示為： s i n c ( f ) sinc(f) sinc(f)，代碼如下：

figure(2);
k = -12:0.001:12;
xf = sinc(k);
plot(k, xf);
axis([-12,12,-0.3,1]);
grid on;

它與載波相乘之后， X ′ ( f ) X'(f) X′(f)相當于原頻譜一分為二，分別向左和向右移動(dòng)f的過(guò)程，因此，有：

figure(3);
xf_new = 0.5.*sinc(k - 5) + 0.5*sinc(k + 5);
plot(k, xf_new);
axis([-12,12,-0.3,1]);
grid on;

為了便于對比，我們將這兩個(gè)頻譜放到一起：

1.2從頻域角度看x(t)與余弦載波相乘

關(guān)于從時(shí)域上理解BPSK調制解調，可以參考：
【通信原理 入坑之路】 —— 深入理解BPSK調制和解調的全過(guò)程及其Matlab實(shí)現
時(shí)域上，將 x ( t ) x(t) x(t)信號和余弦載波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0?t相乘的時(shí)域波形是這樣的：

下面，我們從三維空間看看正負脈沖和余弦載波相乘的頻譜：

%下面是正脈沖的情況%
f = -9:0.001:-1;
x = 0.5*sinc(f+5);
fill3(x,f,0*f,'r');
hold on;
f = 1:0.001:9;
x = 0.5*sinc(f - 5);
xlabel('x'); ylabel('f'); zlabel('y')
grid on;
fill3(x,f,0*f,'r');
set(gca, 'YDir', 'reverse');

%下面是負脈沖的情況%
f = -9:0.001:-1;
x = -0.5*sinc(f+5);
fill3(x,f,0*f,'r');
hold on;
f = 1:0.001:9;
x = -0.5*sinc(f - 5);
xlabel('x'); ylabel('f'); zlabel('y')
grid on;
fill3(x,f,0*f,'r');
set(gca, 'YDir', 'reverse');

1.3 從頻域角度看x(t)與正弦載波相乘

我們看看Q路信號與正弦載波 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0?t)相乘的頻譜變化：

X ′ ( ω ) = ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) s i n ω 0 t e ? j ω t d t = ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) ( ? j 2 ) ( e j ω 0 t ? e ? j ω 0 t ) e ? j ω t d t = ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) ( ? j 2 ) e j ( ω 0 ? ω ) t d t + ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) j 2 e ? j ( ω 0 + ω ) t d t = ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) ( ? j 2 ) e ? j ( ω ? ω 0 ) t d t + ∫ ? ∞ + ∞ x ( t ) j 2 e ? j ( ω 0 + ω ) t d t = ? j 2 X ( ω ? ω 0 ) + j 2 X ( ω + ω 0 ) X′(ω)=∫+∞?∞x(t)sinω0te?jωtdt=∫+∞?∞x(t)(?j2)(ejω0t?e?jω0t)e?jωtdt=∫+∞?∞x(t)(?j2)ej(ω0?ω)tdt+∫+∞?∞x(t)j2e?j(ω0+ω)tdt=∫+∞?∞x(t)(?j2)e?j(ω?ω0)tdt+∫+∞?∞x(t)j2e?j(ω0+ω)tdt=?j2X(ω?ω0)+j2X(ω+ω0) X′(ω)?=∫?∞+∞?x(t)sinω0?te?jωtdt=∫?∞+∞?x(t)(?2j?)(ejω0?t?e?jω0?t)e?jωtdt=∫?∞+∞?x(t)(?2j?)ej(ω0??ω)tdt+∫?∞+∞?x(t)2j?e?j(ω0?+ω)tdt=∫?∞+∞?x(t)(?2j?)e?j(ω?ω0?)tdt+∫?∞+∞?x(t)2j?e?j(ω0?+ω)tdt=?2j?X(ω?ω0?)+2j?X(ω+ω0?)?
我們發(fā)現，信號與正弦載波 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0?t)相乘，頻譜的變化有兩個(gè)：

1. 原頻譜 X ( f ) X(f) X(f)一分為二，分別向左和向右平移f個(gè)單位
2. 向右平移的頻譜需要在徐虛軸平面順時(shí)針旋轉90°；向左平移的頻譜需要在虛軸平面逆時(shí)針旋轉90°

下面我們從三維角度看看信號與正弦載波相乘的頻譜：

%下面是正脈沖的情況%
f = -9:0.001:-1;
st1 = 0.5*sinc(f+5);
fill3(0*f,f,st1, 'b');
grid on;
hold on;
f = 1:0.001:9;
st2 = -0.5*sinc(f-5);
fill3(0*f,f,st2,'b');
grid on;
set(gca,'YDir','reverse');

下面，我們將I路信號與余弦載波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0?t相乘的頻譜、Q路信號與 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0?t)相乘的頻譜畫(huà)在一起：

1.4 QPSK調制的頻譜

首先對下面的代碼進(jìn)行一些解釋?zhuān)?br> 我們在本博客里面的仿真，比如說(shuō)BPSK調制解調還是QPSK調制解調的頻域分析，我們都默認I路，Q路信號都是脈沖寬度為1的矩形波，因此，I路信號和Q路信號的頻譜都可以用sinc函數表示。

因此，下面代碼中的xf_cos就表示： I c o s ( ω 0 t ) Icos(ω_0t) Icos(ω0?t)的頻譜，xf_sin就表示 Q s i n ( ω 0 t ) Qsin(ω_0t) Qsin(ω0?t)的頻譜
或者我們這樣想： I c o s ( ω 0 t ) Icos(ω_0t) Icos(ω0?t)的頻譜就是上圖那些紅色的圖， Q s i n ( ω 0 t ) Qsin(ω_0t) Qsin(ω0?t)的頻譜就是上圖那些藍色的圖，那么由于 s ( t ) = I c o s ( ω 0 t ) + Q s i n ( ω 0 t ) s(t) = Icos(ω_0t) + Qsin(ω_0t) s(t)=Icos(ω0?t)+Qsin(ω0?t)因此，頻譜也是對應地疊加。（向量相加）

那么，我們只需要將這兩個(gè)頻譜疊加（類(lèi)似于向量的合成），那么我們就可以得到調制信號的頻譜了

%發(fā)送數據10
subplot(2,2,1);
a = 1/sqrt(2);
f = -9:0.001:-1;
xf_cos = 0.5*a*sinc(f+5);
xf_sin = 0.5*a*sinc(f+5);
fill3(xf_cos,f,xf_sin,'g');
hold on;
f = 1:0.001:9;
xf_cos = 0.5*a*sinc(f-5);
xf_sin = -0.5*a*sinc(f-5);
fill3(xf_cos,f,xf_sin,'g');
grid on;
set(gca,'YDir','reverse');
title('發(fā)送數據10');

%發(fā)送數據11
subplot(2,2,2);
f = -9:0.001:-1;
xf_cos = -0.5*a*sinc(f+5);
xf_sin = 0.5*a*sinc(f+5);
fill3(xf_cos,f,xf_sin,'g');
hold on;
f = 1:0.001:9;
xf_cos = -0.5*a*sinc(f-5);
xf_sin = -0.5*a*sinc(f-5);
fill3(xf_cos,f,xf_sin,'g');
grid on;
set(gca,'YDir','reverse');
title('發(fā)送數據11');

%發(fā)送數據01
subplot(2,2,3);
f = -9:0.001:-1;
xf_cos = -0.5*a*sinc(f+5);
xf_sin = -0.5*a*sinc(f+5);
fill3(xf_cos,f,xf_sin,'g');
hold on;
f = 1:0.001:9;
xf_cos = -0.5*a*sinc(f-5);
xf_sin = 0.5*a*sinc(f-5);
fill3(xf_cos,f,xf_sin,'g');
grid on;
set(gca,'YDir','reverse');
title('發(fā)送數據01');

%發(fā)送數據00
subplot(2,2,4);
f = -9:0.001:-1;
xf_cos = 0.5*a*sinc(f+5);
xf_sin = -0.5*a*sinc(f+5);
fill3(xf_cos,f,xf_sin,'g');
hold on;
f = 1:0.001:9;
xf_cos = 0.5*a*sinc(f-5);
xf_sin = 0.5*a*sinc(f-5);
fill3(xf_cos,f,xf_sin,'g');
grid on;
set(gca,'YDir','reverse');
title('發(fā)送數據00');

【這里還需要特別說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題】：大家現在要記得QPSK的映射關(guān)系：

那么，對于上面的程序，當輸入10時(shí)，由于我們在和載波 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0?t)相乘時(shí)還需要對Q路信號乘上一個(gè)負號，因此，當Q路信號是負數時(shí)，相當于一個(gè)正的脈沖和 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0?t)，那么問(wèn)題來(lái)了：我們解調的時(shí)候，如果接收端Q路信號乘以的本地載波是 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0?t)，那么此時(shí)解調出來(lái)的應該是-Q??！

這個(gè)問(wèn)題我們一會(huì )兒會(huì )遇到。

二、從頻域角度理解解調

我們從BPSK解調入手，還記得我們在之前的博文中從時(shí)域上分析BPSK解調嗎：
對接收到的 s ( t ) = x ( t ) c o s ω 0 t s(t) = x(t)cosω_0t s(t)=x(t)cosω0?t，我們對它再乘以個(gè)本地載波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0?t，然后通過(guò)一個(gè)周期內積分再乘以2就可以解調出信號，那么，用低通濾波器的方法是什么原理呢？

這是 x ( t ) x(t) x(t)經(jīng)過(guò)BPSK調制，乘上了載波信號之后，在解調端再乘上了本地余弦信號之后的結果，僅僅靠乘上 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0?t，似乎還并不能分離出 x ( t ) x(t) x(t)，而低通濾波器，就可以把高頻成分濾去，只留下 x ( t ) x(t) x(t)。

因此，調制解調的原理如下：

其中，我們使用的低通濾波器的內部結構如下圖所示：

2.1 頻域角度理解QPSK解調

還是以發(fā)送信號10為例：
我們把 s ( t ) s(t) s(t)分別在接收端乘以 c o s ( ω 0 t ) cos(ω_0t) cos(ω0?t)和 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0?t)，我們來(lái)看看解調結果：

我們還是來(lái)回顧一下發(fā)送信號10時(shí)， s ( t ) s(t) s(t)的頻譜：

figure(1);
a = 1/sqrt(2);
f = -6:0.001:-4;
xf = 0.5*a*sinc(f+5);
yf = 0.5*a*sinc(f+5);
fill3(xf,f,yf,'b');
hold on;
f = 4:0.001:6;
xf = 0.5*a*sinc(f-5);
yf = -0.5*a*sinc(f-5);
fill3(xf,f,yf,'b');
grid on;
axis([-0.6 0.6 -12 12 -0.6 0.6]);
set(gca,'YDir','reverse');
line([0 0],[-12 12],[0 0]);

對這個(gè) s ( t ) s(t) s(t)信號再乘上 c o s ( ω 0 t ) cos(ω_0t) cos(ω0?t)，我們可以這樣理解，把上圖這兩個(gè)藍色分量分別乘上 c o s ( ω 0 t ) cos(ω_0t) cos(ω0?t)，然后進(jìn)行向量合成，最后效果應該是這樣：

f = -11:0.001:-9;
xf = 0.25*a*sinc(f+10);
yf = 0.25*a*sinc(f+10);
fill3(xf,f,yf,'b');
hold on;
f = 9:0.001:11;
xf = 0.25*a*sinc(f-10);
yf = -0.25*a*sinc(f-10);
fill3(xf,f,yf,'b');
hold on;
f = -1:0.001:1;
xf = 0.25*a*sinc(f)+0.25*a*sinc(f);
yf = 0.25*a*sinc(f)-0.25*a*sinc(f);
fill3(xf,f,yf,'b');
grid on;
set(gca,'YDir','reverse');
axis([-0.6 0.6 -12 12 -0.6 0.6]);
line([0 0],[-12 12],[0 0]);

然后，將這個(gè)信號經(jīng)過(guò)傅里葉變換得到上面這個(gè)頻譜，經(jīng)過(guò)低通濾波器就可以得到+I信號了
下面我們來(lái)看看 s ( t ) s(t) s(t)乘上 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0?t)的結果：

figure(2);
%下面開(kāi)始解調
a = 1/sqrt(2);
f = -11:0.001:-9;
xf = 0.25*a*sinc(f+10);
yf = -0.25*a*sinc(f+10);
fill3(xf,f,yf,'b');
hold on;
f = -1:0.001:1;
xf = 0.25*a*sinc(f);
yf = 0.25*a*sinc(f);
fill3(xf,f,yf,'b');
grid on;
axis([-0.6 0.6 -12 12 -0.6 0.6]);
set(gca,'YDir','reverse');
line([0 0],[-12 12],[0 0]);

figure(3);
f = -1:0.001:1;
xf = 0.25*a*sinc(f);
yf = -0.25*a*sinc(f);
fill3(xf,f,yf,'b');
hold on;
f = 9:0.001:11;
xf = -0.25*a*sinc(f-10);
yf = -0.25*a*sinc(f-10);
fill3(xf,f,yf,'b');
grid on;
axis([-0.6 0.6 -12 12 -0.6 0.6]);
set(gca,'YDir','reverse');
line([0 0],[-12 12],[0 0]);

figure(4);
f = -11:0.001:-9;
xf = -0.25*a*sinc(f+10);
yf = 0.25*a*sinc(f+10);
fill3(xf,f,yf,'b');
hold on;
f = 9:0.001:11;
xf = -0.25*a*sinc(f-10);
yf = 0.25*a*sinc(f-10);
fill3(xf,f,yf,'b');
hold on;
f = -1:0.001:1;
xf = 0.25*a*sinc(f)+0.25*a*sinc(f);
yf = 0.25*a*sinc(f)-0.25*a*sinc(f);
fill3(xf,f,yf,'b');
grid on;
set(gca,'YDir','reverse');
axis([-0.6 0.6 -12 12 -0.6 0.6]);
line([0 0],[-12 12],[0 0]);

我們最后得到的頻譜是：

再經(jīng)過(guò)低通濾波器濾去高頻分量，就可以得到-Q信號了。最后再取個(gè)負，我們就正式完成了I, Q的解調了！