剛開(kāi)始的時(shí)候，感受到對數學(xué)的興趣，了解數學(xué)的邏輯之美和應用之廣是最重要的！
但是有一點(diǎn)需要提醒的就是，如要考慮將數學(xué)科研作為職業(yè)的話(huà)，這需要慎之又慎！
數學(xué)雖然美但科研很艱難，幾乎是這個(gè)世界最難的事情之一。
如果為了一個(gè)物質(zhì)上的美好生活，可以考慮以數學(xué)為基礎去學(xué)其它專(zhuān)業(yè)——因為一個(gè)人的興趣往往不止一個(gè)。
下面我從幾個(gè)不同角度來(lái)講講大學(xué)數學(xué)課程與相應的教材。
數學(xué)入門(mén)
課程：數學(xué)分析與高等代數
對于從中學(xué)數學(xué)到高階數學(xué)的過(guò)渡，最基礎也是最重要的是兩門(mén)課程: 數學(xué)分析與高等代數，非數學(xué)系的叫它們高等數學(xué)和線(xiàn)性代數。
這兩門(mén)課前者主題是微積分，處理函數的性質(zhì)與各種度量，后者是矩陣，處理高維的世界。
這兩門(mén)課在全世界的大學(xué)都教，而且從數學(xué)素材的角度來(lái)說(shuō)都大同小異。在中國，數學(xué)系和非數學(xué)系的內容差別很大，主要體現在教材和授課方式上。
前者要求嚴格，注重數學(xué)思想，后者更多注重計算和應用。美國經(jīng)過(guò)幾十年的大學(xué)數學(xué)教育改革后，在這方面做得很好，尤其是數學(xué)分析課。他們的做法更傾向于將課程設置為I, II, III 這樣，比如數學(xué)分析，所有專(zhuān)業(yè)都學(xué)Calculus I, 然后感興趣的和數學(xué)系的學(xué) Calculus II，Calculus III.這樣做的一個(gè)直接結果就是廣大理工科或金融等非數學(xué)系的數學(xué)基礎很好，而且也很容易往高階發(fā)展。因此中國的大學(xué)畢業(yè)生跟美國相比，不說(shuō)整體水平，我們說(shuō)各自水平的波動(dòng)程度，中國的要大很多。即我們的學(xué)生好的很好，差的很差，而美國的數學(xué)系與非數學(xué)系的數學(xué)水平差別沒(méi)那么大。
教材：這兩個(gè)課教材非常豐富，有大量的優(yōu)秀教材。
1.首推華東師范大學(xué)數學(xué)系編的；2.國外的可以看MIT教授Gilbert Strang寫(xiě)的Calculus，推薦的主要理由是作者教學(xué)經(jīng)驗豐富而且視頻和電子教材都很容易獲得，詳見(jiàn)MIT的公開(kāi)課官網(wǎng)。1. 丘維聲，高等代數，網(wǎng)上也有視頻資源；3. Gilbert Strang, linear algebra, 就是上面那個(gè)MIT教授，視頻資料也很豐富。如果要感受數學(xué)之美，要求就更高一點(diǎn)，對于本科生而言，如果每個(gè)數學(xué)課程都能認真思考，不斷問(wèn)下去，你都會(huì )發(fā)現數學(xué)之美。但是有兩門(mén)課程能很突出的體現數學(xué)之美，因此我單獨講一下: 點(diǎn)集拓撲與抽象代數。這兩門(mén)課最大的共同點(diǎn)就是：公理化。整個(gè)課只從最基本的幾條公理出發(fā)就生長(cháng)出了整本書(shū)！因此是本科數學(xué)中最能反映數學(xué)之美的邏輯深度的課程。2. 近世代數，楊子胥，這本書(shū)勝在素材安排合理，通俗易懂；5. Topology, James Munkres;課程：數學(xué)分析，高等代數，微分方程，偏微分方程，數學(xué)是完美的，在邏輯上正確的東西就不需要其它的東西來(lái)驗證或者佐證它。而現實(shí)世界就不同了，連最接近數學(xué)的物理也是需要實(shí)驗的。數學(xué)分析主要講微積分和函數，而高等代數講矩陣，處理高維或者多元問(wèn)題。因此幾乎任何一個(gè)嚴肅的現實(shí)問(wèn)題都會(huì )用到這兩門(mén)課的基礎知識，比如現在很熱門(mén)的人工智能的一個(gè)主要工具是深度學(xué)習，它的基礎就是矩陣和求導。因此任何一本深度學(xué)習的書(shū)，都要花很大篇幅講線(xiàn)性代數和多元求導。接下來(lái)，在現實(shí)世界中非常有用的是微分方程，偏微分方程等分析類(lèi)課程，比如我們的航空航天或者造原子彈這種高大上事業(yè)，其中很重要的一部分就是力學(xué)的數學(xué)模型研究，很多東西最終都歸結為一大堆偏微分方程。另一大方面體現數學(xué)的應用的是，跟概率有關(guān)的東西。起源于賭博的概率論，在上世紀完成公理化后已經(jīng)走得非常遠了。隨機本身是一件很不好理解的事情，概率論的公理化本身就是數學(xué)之美與數學(xué)之用的最典型最完美的例子之一。最典型的應用就是在金融市場(chǎng)上的應用，比如期權的black-scholes定價(jià)公式等用到了隨機微分方程。至于這些課的教材，我就不再推薦了，因為實(shí)在太多了。而且他們都是高階課程，一旦你走到那里的時(shí)候，我想你自己心中也許就已經(jīng)有答案了。其實(shí)，以上這些課幾乎就涵蓋了數學(xué)系本科的大多數了。以上文章觀(guān)點(diǎn)僅代表文章作者，僅供參考，以?huà)伌u引玉！
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