數學(xué)中有很多抽象概念，人們一般認為這些抽象內容難懂，比如，羅素悖論（理發(fā)師悖論）。其實(shí)不然，當我們明白了科學(xué)抽象的特點(diǎn)，再來(lái)理解羅素悖論就不是難事?？茖W(xué)抽象不容易直接說(shuō)明，我們先通過(guò)介紹數字抽象來(lái)幫助理解。

正整數的來(lái)源

來(lái)看一個(gè)具體例子。相信大家對正整數并不陌生，它應用得如此普遍，生活、生產(chǎn)都少它不得，哪怕沒(méi)讀過(guò)書(shū)的人都常常跟它打交道。在我們看來(lái)，好像正整數一直如此，它如此簡(jiǎn)單，如此純粹；然而，當我們歷史地考察它，就能發(fā)現正整數的秘密。原來(lái)它也來(lái)源于人們的實(shí)踐，它也經(jīng)歷了從無(wú)到有的漫長(cháng)發(fā)展的過(guò)程。接下來(lái)我們就來(lái)了解正整數的前世今生。

做一個(gè)簡(jiǎn)單的分類(lèi)，正整數誕生的過(guò)程大致可分成數的抽象、數的系統、任意可能的數三個(gè)階段，當然，這三個(gè)階段并不是嚴格的順序關(guān)系，總會(huì )有難以嚴格區分的上個(gè)階段到下個(gè)階段的過(guò)渡狀態(tài)。

1.數的抽象

數的抽象過(guò)程大致分為三個(gè)階段。在第一個(gè)階段里，為了能夠趨近足夠程度的利，規避足夠程度的害，從而存活下去，人們需要從整體上把握數的性質(zhì)。具體來(lái)看，比如說(shuō)，原始人在狩獵和采摘的時(shí)候就必須能判斷獵物和果實(shí)的多少。哪棵樹(shù)上果實(shí)多，那就先采哪棵樹(shù)。對物體集合多少的判斷是一種感性認識，人們從整體上把握，不需要具體分析，這是第一個(gè)階段的特點(diǎn)。這就好比我們面前有兩堆蘋(píng)果，一堆以個(gè)為單位計，一堆以十個(gè)為單位計，我們瞄一眼就知道哪堆多哪堆少了。

但是很多時(shí)候僅定性地判斷多少是不夠的，人們還需要具體知道多了多少，少了多少。因此，就出現了掰指頭數數，結繩計數等計數方法。這就到了第二個(gè)階段的抽象，人們把數看成是物體集合的一種附屬性質(zhì)。這一階段，人們想表達五個(gè)蘋(píng)果時(shí)，很可能就會(huì )說(shuō)手指一樣多的蘋(píng)果。

在實(shí)踐中，人們大量地計數，發(fā)現神奇的手不僅可以數五個(gè)蘋(píng)果，也可以數五頭野豬，還可以數五只小鳥(niǎo)。于是，不知經(jīng)過(guò)了多少次數數的過(guò)程，人們意識到不同的物體集合有一種公共的性質(zhì)——等數性。就是有同樣數量的集合可以用一個(gè)數來(lái)衡量。到此，人們就創(chuàng )造出了抽象的數，它表達了物體集合的數量特征。

2.數的運算與系統

僅有數是滿(mǎn)足不了人們實(shí)踐的需要的，很多時(shí)候人們采摘完果實(shí)要合到一塊，重新數一遍就特別麻煩，加法就在這樣的需要中誕生了。數字相加的時(shí)候會(huì )碰到一種特殊情況：很多個(gè)相同的數相加。這個(gè)時(shí)候，人們連加法也嫌麻煩，就創(chuàng )造了乘法。我們小學(xué)的時(shí)候都學(xué)過(guò)，2乘以3和3乘以2含義是不一樣的，一個(gè)是3個(gè)2相加，一個(gè)是2個(gè)3相加，但他們有相同的結果6。在大量這樣的例子中，人們發(fā)現了乘法是有交換律的，于是我們常常忽略乘法的具體含義加以形式地運用。有些時(shí)候吃掉了或者壞掉了一些果實(shí)，這就產(chǎn)生了減法。有一些時(shí)候，需要平分一堆物品，這就有了除法。

有了運算之后，數字就不再是一個(gè)個(gè)孤零零的，它們之間有著(zhù)以運算表達的諸多關(guān)系，例如2、3、6間就有關(guān)系2乘以3等于6，2、3、5間有關(guān)系2加3等于5，2、3間還有關(guān)系2乘以3等于3乘以2……這樣，所有的數字和運算一起構成了一個(gè)系統，具有一定的關(guān)系和規律。

3.數字符號與任意可能的數

原始人在采摘和狩獵的時(shí)候有一定的分工，需要彼此間互相協(xié)作。因此，人們計數不僅要自己心里清楚，還需要與同伴溝通，讓他們也清楚。然而，數字是一種抽象的概念，是物體集合的一種共性，現實(shí)中不存在相應的實(shí)體。要表達，就得用一些記號來(lái)表示數字，慢慢地，就誕生了表達數字的符號。其實(shí)，不僅是數字，語(yǔ)言本身就是符號。符號不是表達數字的一件附屬品，它跟數字緊緊融在一起，合為一體。如果我們說(shuō)1，我們會(huì )想到表達數字的符號“1”，而不會(huì )想到具體的物體集合，比如1件衣服、一根香蕉，盡管1是從它們之中抽象出來(lái)的。

數字符號給了人們運用大數的可能性。如果靠數手指頭計數，超過(guò)10就得用腳趾頭了，超過(guò)20用上腳趾頭也不夠。結繩計數，超過(guò)100也就很難數清楚了，更不用說(shuō)更大的數。但有了數字符號，人們就有可能對很大的數字計數和運算。最成功的數字符號體系就是印度人創(chuàng )建的阿拉伯數字，它最大的特點(diǎn)是位置計數，這給計數帶來(lái)了極大的便利。

在運用大數的過(guò)程中，人們發(fā)現了正整數的一個(gè)特點(diǎn)：只要有個(gè)正整數，那么它就可以加1，加1，再加1。于是人們把具體的數字拓展到可能的數字，這構成了人們對無(wú)窮認識的原始來(lái)源之一。從此，正整數便是無(wú)窮的，具體含義是說(shuō)正整數具有無(wú)限延續下去的潛在可能性。

數字抽象的三個(gè)階段啟示了科學(xué)抽象的原理。在這里，我們不對科學(xué)抽象做詳盡地考察，僅就之前講述中體現出的特點(diǎn)做一簡(jiǎn)短的說(shuō)明。

科學(xué)抽象

在科學(xué)抽象中，實(shí)踐和抽象交互作用。首先，實(shí)踐提供了抽象的素材，抽象的成果服務(wù)于實(shí)踐。其次，抽象是一系列的過(guò)程，前一階段抽象的成果不僅是進(jìn)一步實(shí)踐的工具，也可以成為后一階段抽象的來(lái)源。每一次抽象，都以之前實(shí)踐和抽象的共同結果為基礎。實(shí)踐中提出的問(wèn)題提供了抽象的動(dòng)力和方向。

抽象以事物間的共性為前提，是在考察大量具體事物的基礎上做出的。因此，抽象成果的應用范圍就特別廣泛。拿數字來(lái)說(shuō)，凡是具有數量特征的事物，都可以成為數字應用的對象。

抽象成果的應用有其局限。例如1加1等于2，這是在大量具體的計數過(guò)程中抽象出來(lái)的，但并沒(méi)有涵蓋世界上所有可能的情況，因此它在應用時(shí)不得不考慮范圍。一個(gè)蘋(píng)果加一個(gè)蘋(píng)果是兩個(gè)蘋(píng)果，一根香蕉加一根香蕉是兩根香蕉，這都沒(méi)有問(wèn)題；但一升酒精加一升水就不是兩升液體。

我們使用以上科學(xué)抽象的原理來(lái)探討悖論問(wèn)題。哲學(xué)中喜歡談一個(gè)悖論：世間唯一不變的是變化本身。那這句話(huà)是不是會(huì )變化呢？其實(shí)，這句話(huà)不過(guò)是一個(gè)抽象的結論而已，它是在考察大量具體事物的基礎上抽象來(lái)的，也正因如此，這句話(huà)也就有它的適用范圍。它歸納的是具體事物的情況，并沒(méi)有考慮抽象的事物。所有具體的事物都在變，這沒(méi)有任何問(wèn)題，至少歷史發(fā)展到今天，人類(lèi)認識到的所有具體事物都是變化的，沒(méi)有一個(gè)反例。然而，抽象的事物不變的就太多了，不僅這句話(huà)不變，1加1等于2的關(guān)系也從未變過(guò)，今后也不會(huì )變；規律是永恒的這個(gè)結論也不會(huì )變；并不是自從地球誕生之日就存在人類(lèi)這個(gè)論斷也永遠不變……

悖論自身并不是什么特別神奇的事情。我們說(shuō)出現悖論，無(wú)非是和我們的邏輯發(fā)生沖突了，例如羅素悖論?；蛘吆臀覀兊闹庇^(guān)發(fā)生沖突了，例如芝諾悖論中阿喀琉斯追烏龜的悖論?？墒?，邏輯出現矛盾是再正常不過(guò)的現象，只有現實(shí)世界自身永遠不會(huì )互相沖突。我們使用羅素悖論來(lái)做以說(shuō)明。

羅素悖論是用集合來(lái)描述的，不好理解，我們討論容易理解的理發(fā)師悖論版本。一個(gè)地區只有一個(gè)理發(fā)師，他說(shuō)：“我只給所有不給自己理發(fā)的人的理發(fā)?！蹦撬o不給自己理發(fā)呢？如果不給自己理，按他說(shuō)的話(huà)他就該給自己理；如果給自己理，按他說(shuō)的話(huà)他就不該給自己理。無(wú)論怎樣，都有矛盾。這到底是怎么回事呢？

其實(shí)，前面說(shuō)過(guò)，邏輯完全可以違背，不能違背的是規律。只要明白這一點(diǎn)，羅素悖論就沒(méi)有神奇的地方。而且，理發(fā)師說(shuō)這話(huà)有其應用范圍，不能應用到他自身上，這樣就可以規避邏輯矛盾了。

如上，若不注意科學(xué)抽象的特點(diǎn)，得出陷入“死胡同”的悖論，便不是稀奇事。因此，應當考慮抽象成果的應用范圍，邏輯只能且必然會(huì )盡量與現實(shí)世界相符合。數學(xué)的生命力的源泉就在于它的概念和結論盡管極其抽象，但卻如我們所堅信的那樣，它們是從現實(shí)中來(lái)的，并且在其他科學(xué)中，在技術(shù)中，在全部生活中都有廣泛的應用。