注明：本文以青島出版社和泰山出版社出版的義務(wù)教育課程標準實(shí)驗教科書(shū)《數學(xué)》（七—九）年級為版本（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“教科書(shū)”）展開(kāi)討論. 該教科書(shū)共分六冊，經(jīng)全國中小學(xué)教材審定委員會(huì )2004年、2006年初審通過(guò)，目前已經(jīng)大面積使用.
在義務(wù)教育的每個(gè)階段，《全日制義務(wù)教育數學(xué)課程標準》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標準》）都安排了四個(gè)學(xué)習領(lǐng)域，它們分別是“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”和“實(shí)踐與綜合應用”. 教科書(shū)針對以上四個(gè)領(lǐng)域采用混編的形式，共分六冊計34章，其中含有“數與代數”的內容有15章，“空間與圖形”14章，“統計與概率”5章（這個(gè)統計是以每章的標題為準進(jìn)行的）. “實(shí)踐與綜合應用”以課題學(xué)習的形式安排了6個(gè)活動(dòng)，每?jì)越滩母鶕嚓P(guān)的內容各安排了1個(gè). 本文就“數與代數”領(lǐng)域的總體安排、編寫(xiě)特點(diǎn)、教學(xué)建議談?wù)勎覀兊目捶? 以幫助教師深入研究教科書(shū)，從而有效的進(jìn)行教學(xué)活動(dòng).
1 總體安排
1.1 主要內容
“數與代數”的內容在義務(wù)教育階段的數學(xué)課程中占有重要的地位，有著(zhù)重要的教育價(jià)值. 這部分內容按照《標準》的要求分為三大部分：一是數與式；二是方程與不等式；三是函數. 它們都是研究數量關(guān)系和變化規律的數學(xué)模型，學(xué)生通過(guò)學(xué)習這些內容，能夠從數量關(guān)系的角度更準確、更清晰地認識、描述和把握現實(shí)世界. “數與代數”的內容在義務(wù)教育階段的數學(xué)課程中占有重要的地位，有著(zhù)重要的教育價(jià)值. 這些內容都是研究數量關(guān)系和變化規律的數學(xué)模型，學(xué)生通過(guò)學(xué)習這些內容，能夠從數量關(guān)系的角度更準確、更清晰地認識、描述和把握現實(shí)世界.
本領(lǐng)域學(xué)習的主要內容有：
?。?）數與式：包括有理數、實(shí)數、代數式、整式、分式的概念及相關(guān)的計算；
?。?）方程與不等式：一元一次方程及可化為一元一次方程的分式方程、二元一次方程組、一元二次方程的解法與應用；一元一次不等式和一元一次不等式組的解法及其應用；
?。?）函數：包括常量與變量的意義、一次函數、反比例函數、二次函數，它們的性質(zhì)、解析式的求法；
?。?）探索數、形及實(shí)際問(wèn)題中蘊涵的關(guān)系和規律，初步掌握一些有效地表示、處理和交流數量關(guān)系以及變化規律的工具，建立有關(guān)模型解答實(shí)際問(wèn)題.
1.2 在教科書(shū)中的安排
在呈現“數與代數”的學(xué)習內容時(shí)，首先要貫徹《標準》的基本理念，體現教科書(shū)的科學(xué)性，其次是遵循本套教科書(shū)的編寫(xiě)指導思想，秉承全書(shū)的編寫(xiě)風(fēng)格. 做到全面關(guān)注數學(xué)課程目標，考慮到數學(xué)知識的整體性及關(guān)聯(lián)性，兼顧到學(xué)生的年齡特征和知識的積累實(shí)際，努力使教科書(shū)具有鮮明的時(shí)代性和創(chuàng )新性，保持自己的特色和活力. “數與代數”領(lǐng)域的15章內容中，七年級8章，八年級5章，九年級2章. 具體安排如下：
七年級上冊第2章：有理數；第3章：有理數的運算；第5章：代數式與函數的初步認識；第6章：整式的加減；第七章：數值估算；第八章：一元一次方程；
七年級下冊第12章：二元一次方程組；第14章：整式的乘法；
八年級上冊第2章：乘法公式與因式分解；第3章：分式；第5章：實(shí)數；第6章：一元一次不等式；
八年級下冊第七章：二次根式；
九年級上冊第3章：一元二次方程；
九年級下冊第5章：對函數的再探索.
1.3 本學(xué)習領(lǐng)域突出體現的核心詞語(yǔ)
1.3.1 數感
數感是一種主動(dòng)地、自覺(jué)地或自動(dòng)化地理解數和運用數的態(tài)度與意識. 建立數感可以理解為會(huì )數學(xué)地思考. 數感包括將數與實(shí)際背景聯(lián)系起來(lái)，用數學(xué)的方式思考問(wèn)題. 數感是現代人應具備的一種基本數學(xué)素養. 它是同學(xué)們建立明確的數概念、有效地進(jìn)行計算等數學(xué)活動(dòng)的基礎，是將數學(xué)與現實(shí)生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題建立聯(lián)系的橋梁.
1.3.2 符號感
符號是數學(xué)的語(yǔ)言，是人們進(jìn)行表示、計算、推理、交流和解決問(wèn)題的工具. 用符號表示事物是人類(lèi)文明發(fā)展的重要標志之一，數學(xué)課程的一個(gè)任務(wù)就是使學(xué)生感受和擁有使用符號的能力.
1.3.3 應用意識
數學(xué)不僅是從事生產(chǎn)、生活、學(xué)習、研究的基礎，而且是一門(mén)解決實(shí)際問(wèn)題的工具. 數學(xué)是現代文化的重要組成部分，它的思想方法向一切領(lǐng)域滲透，它的應用也越來(lái)越被社會(huì )所重視. 學(xué)會(huì )應用，是社會(huì )發(fā)展的需要，是數學(xué)教育改革的必然. 數學(xué)作為科學(xué)的語(yǔ)言，作為推動(dòng)科學(xué)向前發(fā)展的重要工具，在人類(lèi)發(fā)展史上具有不可替代的作用，并將在未來(lái)的社會(huì )發(fā)展中發(fā)揮更大的作用. 通過(guò)學(xué)習初中學(xué)段的內容，要學(xué)會(huì )運用數學(xué)的思維方式去觀(guān)察、分析現實(shí)社會(huì )，去解決日常生活中和其他學(xué)科中的問(wèn)題，增強應用數學(xué)的意識.
2 編寫(xiě)特點(diǎn)
我們在編寫(xiě)本領(lǐng)域的教科書(shū)時(shí)，首先要貫徹《標準》的基本理念，體現教科書(shū)的科學(xué)性，其次是遵循本套教科書(shū)的編寫(xiě)指導思想，秉承全書(shū)的編寫(xiě)風(fēng)格，就本領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，其主要編寫(xiě)特點(diǎn)如下：
2.1 所選學(xué)習素材來(lái)源于我們的生活生產(chǎn)現實(shí)
“數與代數”中的大部分內容都有著(zhù)具體的生活背景，我們在編寫(xiě)教科書(shū)時(shí)，努力按照《標準》給出的“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應用和拓展”的編排要求，根據學(xué)習內容，從自然、社會(huì )及生活中精選學(xué)習素材，以此為知識背景，結合學(xué)生已有的經(jīng)驗，關(guān)注知識的形成過(guò)程.
例如，全套教科書(shū)的每一章開(kāi)始，都選用了一個(gè)與本章內容相關(guān)的章頭圖，作者在選取這些圖形或圖片時(shí)，都進(jìn)行了反復的思考，它們有的來(lái)自于生活實(shí)際問(wèn)題，有的是自然景區、有的是與科學(xué)技術(shù)有關(guān)的場(chǎng)景等，這些圖形或圖片，除能幫助學(xué)生理解本章的有關(guān)知識外，還能調動(dòng)學(xué)生思考問(wèn)題的積極性，引起學(xué)生學(xué)好本章內容的興趣，激發(fā)他們對祖國大好河山的熱愛(ài)，增強學(xué)生的民族自豪感和努力學(xué)習的決心，還有的能對學(xué)生進(jìn)行思想道德教育，給以科學(xué)文化的熏陶等.
如七年級上冊第3章《有理數的運算》的章頭圖為“三峽水庫”的背景圖片，并提出了兩個(gè)問(wèn)題，目的是讓學(xué)生體驗有理數運算與現實(shí)生活的密切關(guān)系，初步樹(shù)立起“數學(xué)來(lái)源于生活”的觀(guān)點(diǎn)，并感悟到祖國山河的壯美，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習本章的興趣.
2.2 與本領(lǐng)域的內容或其他領(lǐng)域的相關(guān)內容進(jìn)行有機融合，體現了數學(xué)的整體性
《標準》界定的四個(gè)領(lǐng)域中的內容也不是截然分開(kāi)的，一方面，就某一領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，它內部的有些內容是相互關(guān)聯(lián)的；另一方面，不同的領(lǐng)域之間的有些知識也存在著(zhù)實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系. 教科書(shū)既把本領(lǐng)域內的有關(guān)知識按照邏輯順序及知識之間的聯(lián)系進(jìn)行了合理的整合，又把各領(lǐng)域之間的相關(guān)知識進(jìn)行了有機的融合，體現出數學(xué)的整體性.
2.2.1 注意了本領(lǐng)域內三大部分之間知識的聯(lián)系
本領(lǐng)域的“數與式”、“方程與不等式”及“函數”三部分的有些內容之間存在著(zhù)本質(zhì)的內在聯(lián)系或一定的邏輯關(guān)聯(lián)，教科書(shū)的編寫(xiě)要充分考慮到這些數學(xué)知識之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生感悟這種聯(lián)系. 例如，七年級上冊的第5章《代數式與函數的初步認識》就把代數式與函數的知識聯(lián)系在了一起；八年級上冊的第3章《分式》中既有式的內容，也有方程的知識；九年級下冊的第5章《對函數的再探索》就把方程與函數的知識進(jìn)行了科學(xué)的整合處理.
2.2.2 與其它領(lǐng)域之間的知識有機融合
我們除了關(guān)注同一領(lǐng)域內有關(guān)知識之間的相互關(guān)連外，還關(guān)注了不同領(lǐng)域之間的有關(guān)知識的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián). 教科書(shū)將“勾股定理”和“數的開(kāi)方”合為一章，取名為“實(shí)數”，安排在八年級上冊，作為第5章，可以說(shuō)這是“數與代數”和“空間與圖形”的有關(guān)內容進(jìn)行有機融合的最典型的一章. 這種處理方式是符合數學(xué)史實(shí)的. 從《標準》可知，勾股定理和實(shí)數分別是“空間與圖形”和“數與代數”兩個(gè)領(lǐng)域的核心內容，他們分別代表著(zhù)“形”和“數”. 從科學(xué)發(fā)展史來(lái)看，二者是并存發(fā)展的，硬把它們分開(kāi)處理既不符合數學(xué)史實(shí)，在具體教學(xué)中也不好處理. 如，2、3等無(wú)理數是伴隨著(zhù)勾股定理的發(fā)現而誕生的，所以說(shuō)無(wú)理數使得勾股定理對于邊長(cháng)是任意正數的直角三角形都能成立，反過(guò)來(lái)，勾股定理使得無(wú)理數有了明確直觀(guān)的幾何解釋. 可見(jiàn)，這種安排是還實(shí)數（勾股定理）到其應在的“位置”中去了. “實(shí)數”與“勾股定理”的相關(guān)內容環(huán)環(huán)相扣、彼此融合、整分合一,這種處理方式為平方根、立方根的計算、方根的估算以及實(shí)數概念的最后建立奠定了堅實(shí)的基礎. 二者合為一體，揭示了他們之間本來(lái)固有的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，體現了數學(xué)的整體性和文化價(jià)值.
2.3 重要的數學(xué)概念與數學(xué)思想方法體現了螺旋上升的原則
《標準》中提出的目標是學(xué)生在學(xué)段末最終應達到的目標，而學(xué)生對相應知識的理解則是逐步深入的，不可能“一步到位”，因此，我們對于一些重要的數學(xué)概念和數學(xué)思想方法的呈現，除應根據學(xué)生的年齡特征與知識積累的情況外，在遵循科學(xué)性的前提下，還遵循著(zhù)逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則，即在知識的深度、廣度等方面體現出明顯的階段性要求.
2.3.1 重要概念的分散處理
學(xué)生對數學(xué)中的一些重要概念需要經(jīng)歷長(cháng)時(shí)間的認識過(guò)程，才能真正理解和應用，有的概念甚至是跨學(xué)段才能得到完善的. 因此，對于一些重要的概念宜采取多次呈現、逐步領(lǐng)悟其內涵的方式. 體現這一原則的最典型的是函數概念的形成與發(fā)展，函數是研究現實(shí)世界變化規律的一個(gè)重要模型，也是數與代數中最重要的數學(xué)概念之一，我們在初中僅學(xué)習代數函數（能夠用代數式表示的函數）. 在傳統的數學(xué)教科書(shū)中，代數式與函數的知識都是分別獨立出現的，并且函數概念出現的較晚. 國際數學(xué)課程改革的研究和實(shí)踐表明，對變化規律的探索、描述應從低年級非正式的開(kāi)始，早期讓學(xué)生經(jīng)歷函數的形成與變化過(guò)程對其發(fā)展是十分重要的. 我們在編寫(xiě)教科書(shū)時(shí)，對函數這個(gè)重要概念的處理安排就遵循了上述建議，吸收了最新的研究成果，采取了“提前滲透、分層推進(jìn)、及時(shí)穿插、不斷深化”的安排方式，這樣安排既體現了《標準》的精神，又符合國際潮流和學(xué)生的認知規律.
教科書(shū)是分四個(gè)階段完成對函數概念及其有關(guān)知識安排的：
?。?）初步感受函數概念階段
本階段主要內容是結合代數式的學(xué)習及早給出函數概念. 鑒于代數式與函數知識存在著(zhù)內在的邏輯關(guān)聯(lián)，我們在編寫(xiě)教科書(shū)時(shí)，就利用這一關(guān)聯(lián)，在學(xué)習代數式的基礎上引人了函數的概念，由字母表示數到用字母表示常量和變量，由認識代數式到初步認識函數關(guān)系式，由代數式的值引出了函數值的概念，實(shí)現了代數式與函數知識的有機整合.
具體說(shuō)來(lái)，就是在七年級上冊第5章《代數式與函數的初步認識》中，我們結合求代數式的值滲透了變量之間的對應關(guān)系，引導學(xué)生初步認識變量與常量，然后結合具體的實(shí)例，引出函數的概念，讓學(xué)生初步認識函數及其有關(guān)的知識. 這樣安排不僅使學(xué)生得以較早的用函數的觀(guān)點(diǎn)去認識數學(xué)現象，并且體現了代數與數學(xué)分析兩個(gè)領(lǐng)域的內在聯(lián)系，為后面將要學(xué)習的一次方程與一次函數的整合提供了必要的前提.
?。?）函數知識的理解與應用階段
本階段主要研究一次函數的概念、圖象、性質(zhì)及利用一次函數圖象解二元一次方程組，對應教科書(shū)為七年級下冊的第11章和12章的有關(guān)內容.
七年級下冊第11章《圖形與坐標》，實(shí)際上是把將“空間與圖形”領(lǐng)域中的“圖形與坐標”和“數與代數”領(lǐng)域中“函數”的部分知識相整合而形成的. 主要內容是學(xué)習平面直角坐標系的有關(guān)知識，探索一次函數的概念、圖象與性質(zhì). 這樣整合基于兩方面的思考：一是有關(guān)平面直角坐標系和七年級上冊第5章學(xué)習的函數基本概念的認識，需要通過(guò)對具體函數及其圖象的學(xué)習，才能得到鞏固和提高；二是學(xué)習一次函數的圖象及性質(zhì)，可以使學(xué)生對研究函數的方法有一個(gè)初步的認識.
就函數知識來(lái)說(shuō)，本章是分兩次體現的：第一，讓學(xué)生觀(guān)察某氣象站某天一晝夜氣溫變化的曲線(xiàn)，在回答層層深入的6個(gè)問(wèn)題的基礎上，借助于剛學(xué)習的直角坐標系的知識，從曲線(xiàn)中獲取時(shí)間與氣溫的對應關(guān)系信息的過(guò)程中，感受氣溫與時(shí)間的函數關(guān)系，從而認識函數圖象的意義，進(jìn)而了解函數的圖象表示法，學(xué)會(huì )用描點(diǎn)法畫(huà)出簡(jiǎn)單的函數圖象；第二，從實(shí)際問(wèn)題情境中抽象出一次函數的概念，然后探索一次函數的圖象，并根據圖象研究了一次函數的性質(zhì). 教科書(shū)沒(méi)有將正比例函數進(jìn)行專(zhuān)題研究，而是將正比例函數作為一次函數的特例加以處理，這樣安排讓同學(xué)們感受到特殊與一般的關(guān)系.
在七年級下冊的第12.3“圖象的妙用”中，用“交流與發(fā)現”欄目，引導學(xué)生在同一個(gè)直角坐標系中，畫(huà)出兩個(gè)一次函數的圖象. 這樣安排的目的是通過(guò)學(xué)生的思考與操作，發(fā)現方程與函數圖象、方程組的解與對應圖象交點(diǎn)的坐標之間的相互關(guān)系，以引人二元一次方程組的圖象解法，使學(xué)生進(jìn)一步感受“數”與“形”之間的對應關(guān)系，發(fā)展學(xué)生數形結合的意識.
?。?）理解對應與函數思想階段
本階段對應八年級下冊第9章. 在本章學(xué)習的三角比（三角函數）的概念，使同學(xué)們對函數的概念及其本質(zhì)有了更深層次的認識. 這個(gè)認識是在引導學(xué)生完成對函數概念內涵深入認識的過(guò)程中完成的. 大家知道，對概念的深化認識必須從概念的內涵與外延上作深入的剖析，剖析概念的內涵就是抓住概念的本質(zhì)特征. 對于三角函數，可抓住正弦函數進(jìn)行剖析，正弦函數涉及到比的定義、角的大小、點(diǎn)的坐標、距離公式、相似三角形、函數概念等知識. 正弦函數的值本質(zhì)上是一個(gè)“比”. 為了突出這個(gè)比值，結合圖1，今說(shuō)明如下：
?、僬液瘮凳且粋€(gè)比；
?、谶@個(gè)比是∠α的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標y與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值；
?、圻@個(gè)比值隨∠α的確定而確定，與點(diǎn)在∠A的終邊上的位置無(wú)關(guān)（這一點(diǎn)可用相似三角形的原理來(lái)說(shuō)明）；
?、苡捎趛的絕對值≤r，所以這個(gè)比值不會(huì )超過(guò)1.
以上就是正弦函數概念的本質(zhì)屬性. 同時(shí)引導學(xué)生通過(guò)探索、交流發(fā)現：∠α的終邊上的一點(diǎn)P（x，y）一旦確定，就涉及x、y、r這三個(gè)量，任取其中兩個(gè)就可以確定一個(gè)比值，這樣的比值有且只有六個(gè). 因此，基本三角函數只有六個(gè)，這便是三角函數的外延，在初中我們僅學(xué)習這六個(gè)中的四個(gè).
事實(shí)上，前面所說(shuō)的這個(gè)“比”就是“函數”，∠α是自變量，函數就是“比”. 這個(gè)“比”之所以叫做∠α的函數，就是因為對∠α的每一個(gè)確定的值，都有一個(gè)確定的比與之相對應. 有了這樣的一些認識，學(xué)生對正弦函數的理解就比較深刻了. 同時(shí)對函數概念的認識也上了一個(gè)臺階.
?。?）深化階段
在九年級下冊第5章《對函數的再探索》中，安排了反比例函數與二次函數的有關(guān)內容. 在本章的學(xué)習中，教科書(shū)系統總結了函數的三種表示法，自變量取值范圍的確定，完善了對函數概念的認識. 在5.2中，學(xué)習的用圖象法解不等式的方法及5.9學(xué)習的用圖象法解一元二次方程的知識，更加鞏固了同學(xué)們對數形結合思想的認識，5.2的“廣角鏡”欄目介紹的“分段函數”的知識開(kāi)闊了學(xué)生的視野，反比例函數、二次函數等知識的學(xué)習，豐富了對函數的認識，加深了對函數的理解，各種函數解析式的求法與圖象的應用使得同學(xué)們完成了初中階段對函數的學(xué)習任務(wù).
2.3.2 對一些數學(xué)思想方法的逐步處理
數學(xué)思想方法作為一種重要的知識，學(xué)生對它的學(xué)習更不是一次就能完成的，也需要多次滲透，事實(shí)上，就同一個(gè)方法來(lái)說(shuō)，學(xué)生針對不同的數學(xué)內容每感悟一次，對它的認識就深化一步. 有些重要的思想方法有多處的內容都要用它來(lái)處理，這就決定了對于這些數學(xué)思想方法的處理也要逐級遞進(jìn).
例如，數形結合思想是一種重要的數學(xué)思想，“數”和“形”分屬于兩大領(lǐng)域，二者的結合體現了數學(xué)的特性. 對于這一思想方法的滲透我們是逐級呈現的. 七年級上冊第2章《有理數》在學(xué)習“數軸”的知識時(shí)，就借助于“溫度計”來(lái)形象的感知數軸，用數軸上的點(diǎn)表示有理數的過(guò)程中，同學(xué)們就能感受到數形結合的思想，給出數軸的概念后，引導學(xué)生借助于數軸理解相反數和絕對值的意義的過(guò)程中，又發(fā)展了同學(xué)們的幾何直覺(jué). 七年級下冊第11章《圖形與坐標》及12章《二元一次方程組》中，借助于圖象來(lái)學(xué)習一次函數的性質(zhì)及用圖象的方法解二元一次方程組的問(wèn)題也都體現出數形結合的思想. 八年級上冊第5章《實(shí)數》中，利用勾股定理探究長(cháng)度是2，3，5等無(wú)理數的線(xiàn)段的幾何作圖方法更是把數和形有機的結合在了一起，這為同學(xué)們更好的理解實(shí)數的概念提供了形象的幫助. 九年級上冊介紹的黃金分割及黃金數的概念告訴我們利用一元二次方程的知識可以求出黃金分割線(xiàn)段的具體比值，這些內容告訴我們黃金分割與黃金數在生活與生產(chǎn)中有著(zhù)廣泛的應用. 九年級下冊第5章《對函數的再探索》中更是有大量的代數知識可以結合圖象來(lái)學(xué)習的，在這里數形的結合為我們進(jìn)一步認識函數的有關(guān)知識起到了重要的幫助作用. 可以說(shuō)大量的數形結合的素材為同學(xué)們學(xué)習、理解“數與代數”的知識提供了直觀(guān)上的幫助，這些內容也進(jìn)一步反映出“數”和“形”完美結合的必然趨勢. 正如我國著(zhù)名數學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數時(shí)難入微；數形結合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”.
2.4 體現了數學(xué)知識的形成與應用過(guò)程
我們在編寫(xiě)教科書(shū)時(shí)，絕不是把一個(gè)個(gè)的數學(xué)知識點(diǎn)向同學(xué)們作簡(jiǎn)單的介紹，學(xué)生的學(xué)習也不是單純的機械模仿. 我們是結合具體的數學(xué)知識點(diǎn)，精選恰當的學(xué)習素材，介紹知識的背景，精心設計必要的數學(xué)活動(dòng)，引導學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟到知識的形成與應用. 努力體現出“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式. 在“數與代數”領(lǐng)域，我們的做法是：
2.4.1 引導學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)完成對數學(xué)知識的認知過(guò)程
在引入新的數學(xué)知識時(shí)，我們設計了一些探索學(xué)習活動(dòng)，學(xué)生在經(jīng)歷這些活動(dòng)的過(guò)程的同時(shí)，也經(jīng)歷了數學(xué)知識的形成過(guò)程，這樣安排對于同學(xué)們理解數學(xué)知識和方法，形成良好的數學(xué)思維習慣具有重要的作用.
如，七年級上冊第3.1節“有理數的加法與減法”中，為了歸納、總結出加法法則，教科書(shū)用“交流與發(fā)現”的欄目引導學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)，給出了海上鉆井平臺記錄潮起潮落的情況，以這一實(shí)際問(wèn)題為例，利用海水漲落的6種不同的情境，引導學(xué)生在已有的算術(shù)數的加法意義和對正負數的認識的基礎上，列出含有正、負數和0的算式，自己得到運算結果. 為幫助同學(xué)們理解運算結果的合理性，教科書(shū)針對上面的六個(gè)問(wèn)題，分別用點(diǎn)在數軸上位置的變動(dòng)進(jìn)行說(shuō)明，讓同學(xué)們體會(huì )運算法則的合理性.
2.4.2 解決問(wèn)題的活動(dòng)反映了數學(xué)知識的應用過(guò)程
學(xué)習數學(xué)的主要目的是利用數學(xué)知識解答所遇到的實(shí)際問(wèn)題，在解答這些問(wèn)題的過(guò)程中，形成并發(fā)展同學(xué)們的數學(xué)能力，養成用數學(xué)的眼光看待問(wèn)題的習慣，促進(jìn)數學(xué)素質(zhì)的提高. 本領(lǐng)域的教科書(shū)體現了從具體的問(wèn)題情境中抽象出數學(xué)問(wèn)題、使用各種數學(xué)語(yǔ)言表達問(wèn)題、建立數學(xué)關(guān)系式、獲得合理的解答、理解并掌握相應的數學(xué)知識與技能的有意義的學(xué)習過(guò)程. 根據課程的內容，進(jìn)行設計運用有關(guān)的數學(xué)知識解決問(wèn)題的活動(dòng).
如，八年級上冊3.7節“分式方程”中的例5：
甲、乙兩地相距360千米，張老師和王老師分別乘坐早7時(shí)發(fā)出的普通客車(chē)和8時(shí)15分發(fā)出的豪華客車(chē)從甲地去乙地，恰好同時(shí)到達. 已知豪華客車(chē)與普通客車(chē)的 平均速度的比是4∶3，求兩車(chē)的平均速度.
這個(gè)問(wèn)題來(lái)源于生活實(shí)際，解答的過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)建立方程模型的過(guò)程，是對實(shí)際問(wèn)題中的數量關(guān)系進(jìn)一步探索和研究的過(guò)程，這樣的活動(dòng)體現了《標準》的編寫(xiě)要求. 在設計運用所學(xué)數學(xué)知識解答實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程時(shí)，注意到所創(chuàng )設的引導學(xué)生經(jīng)歷的過(guò)程既要有利于學(xué)生理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數學(xué)思想，積累數學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗；還要有利于提高學(xué)生發(fā)現問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以增強應用意識和創(chuàng )新意識.
2.5 突出對數學(xué)思想方法的滲透
《標準》在總體目標中指出，學(xué)生通過(guò)數學(xué)學(xué)習，要“獲得適應未來(lái)社會(huì )生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數學(xué)知識以及基本的數學(xué)思想方法”. 我們在編寫(xiě)時(shí)，非常注重對數學(xué)思想方法的滲透，努力做到用數學(xué)思想方法把已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識凝結成一張優(yōu)化的認知結構網(wǎng)，因為只有這樣的知識結構才具有創(chuàng )新性，客觀(guān)的說(shuō)，我們以往的教材及教學(xué)對此的重視程度是不夠的，這或許就是我們的學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力、創(chuàng )新能力低的根本之所在.
例如，在7年級上冊的第3章《有理數的運算》中所學(xué)的有理數的運算是應用最廣泛的一種基本運算，它是初等數學(xué)的重要內容，是今后將要學(xué)習的實(shí)數運算、整式運算、分式運算、二次根式的運算等運算的基礎. 我們在編寫(xiě)本章時(shí)，就努力體現了以下幾種數學(xué)思想方法：
?。?）分類(lèi)思想. 在有理數的加法法則、乘法法則、乘方運算的符號法則等內容時(shí)，都是按有理數分成正數、負數、0三類(lèi)分別研究的.
?。?）數形結合思想. 有理數加法法則就是利用數軸，運用數形結合的方法經(jīng)過(guò)探究得到的. 借助于數軸的直觀(guān)性，可以較容易的理解和掌握.
?。?）化歸思想. 有理數的減法就是利用“相反數”這一概念轉化為加法來(lái)運算的，得到了減法法則：減去一個(gè)數，等于加上這個(gè)數的相反數. 這一轉化，使得加、減運算得到統一；有理數的除法就是利用“倒數”轉化為乘法來(lái)運算的，得到了除法法則：除以一個(gè)數，等于乘以這個(gè)數的倒數. 從而使得乘、除法運算得到了統一.
2.6 注重學(xué)習方式的轉變
改進(jìn)學(xué)生的數學(xué)學(xué)習方式是《標準》所倡導的一個(gè)改革目標，它指出：“有效的數學(xué)學(xué)習活動(dòng)不能單純的依賴(lài)模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流是學(xué)生學(xué)習數學(xué)的重要方式. ”我們的教科書(shū)在呈現方式上特別注意這一點(diǎn)，努力把學(xué)習素材用最適合于學(xué)生進(jìn)行觀(guān)察、發(fā)現、探究、合作與交流的方式展開(kāi)，以此來(lái)引導學(xué)生主動(dòng)地從事觀(guān)察、試驗、猜測、驗證、推理與交流等數學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成自己對數學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習策略.
七年級下冊12.4節在學(xué)習“列方程組解應用題”的內容時(shí)，就通過(guò)提供一個(gè)具體的問(wèn)題情境（問(wèn)題串）引導學(xué)生經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流完成對有關(guān)知識的學(xué)習的. 這個(gè)情境是由一系列、有順序、有層次的問(wèn)題串組成的：
學(xué)校舉辦足球比賽，比賽的計分規則為：勝一場(chǎng)得3分，負一場(chǎng)的0分，平一場(chǎng)得1分.
七年級一班足球隊共參加了7場(chǎng)比賽，而且比賽均未負于對手，共積17分. 你能算出七年級一班勝、平各幾場(chǎng)？
這是一道典型的列二元一次方程組就能解決的實(shí)際問(wèn)題，我們?yōu)榱烁淖儗W(xué)生的學(xué)習方式，引導他們自主探索，同時(shí)照顧到學(xué)習困難的學(xué)生也能學(xué)會(huì )解答這一問(wèn)題，特別設計了下面的一系列問(wèn)題，讓學(xué)生思考：
在這個(gè)問(wèn)題中：
?。?）已知量是什么？未知量是什么？
?。?）等量關(guān)系是什么？
?。?）如果設這支足球隊勝x場(chǎng)，平y場(chǎng)，你能根據問(wèn)題中的兩個(gè)等量關(guān)系列出方程組嗎？
?。?）你會(huì )解所列的方程組嗎？試一試，與同學(xué)交流.
顯然，這些問(wèn)題的難度是逐步加強的，同學(xué)們在自主探索的基礎上，都能完成解答. 這樣的引導有利于改變學(xué)生的學(xué)習方式，便于自學(xué)和交流. 同時(shí)為了降低學(xué)習難度，增加教科書(shū)的可讀性和趣味性，體現出呈現方式的多樣性、活潑性，本題的兩個(gè)等量關(guān)系是由“小瑩”給出的：
2.7 內容的設計具有一定的彈性，以滿(mǎn)足不同學(xué)生的學(xué)習需求
《標準》要求數學(xué)課程應體現基礎性、普及性和發(fā)展性，我們在編寫(xiě)“數與代數”這一領(lǐng)域的教科書(shū)時(shí)，一方面做到了保證所有學(xué)生的學(xué)習需求，使基礎知識、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗和基本數學(xué)思想方法得到相應的訓練，完成對《標準》提供的所有學(xué)習內容的學(xué)習要求. 我們把《標準》的這一要求當做最低要求，它是所有學(xué)生都必須完成的學(xué)習任務(wù)，是一個(gè)最低的“平臺”；另一方面，照顧到學(xué)生發(fā)展的差異和各地區發(fā)展的不平衡性，體現出了一定的彈性，以滿(mǎn)足不同學(xué)生的學(xué)習需求，這樣是符合關(guān)于“不同的人在數學(xué)上得到不同的發(fā)展”的發(fā)展性要求的.
例如，七年級下冊學(xué)習完《二元一次方程組》的知識后，我們選取了中國古代數學(xué)著(zhù)作《張丘建算經(jīng)》中的一道名題“百雞問(wèn)題”，用“史海漫游”的欄目給出，這是一個(gè)十分有趣的不定方程組及其解的問(wèn)題，它拓展了剛學(xué)習的二元一次方程組的有關(guān)知識，具有一定的探索高度，對學(xué)習成績(jì)優(yōu)秀的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以起到鞏固所學(xué)知識，拓展他們的視野的作用.
九年級下冊5.2節后面用“廣角鏡”欄目給出的分段函數的簡(jiǎn)單介紹與應用，具有更大的挑戰性，對于有學(xué)習潛力的學(xué)生來(lái)說(shuō)是難得的學(xué)習材料，學(xué)生通過(guò)閱讀與思考這些內容，可以加深他們對函數知識的認識，豐富其認知結構.
2.8 注意了辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)的培養
為了做到讓學(xué)生了解數學(xué)的價(jià)值，激發(fā)他們的好奇心，提高學(xué)習數學(xué)的興趣，增強學(xué)好數學(xué)的信心，幫助他們形成實(shí)事求是的態(tài)度及全面正確看待問(wèn)題的習慣，達到對其進(jìn)行情感教育的目的，我們結合有關(guān)數學(xué)知識的學(xué)習，及時(shí)的對學(xué)生進(jìn)行了辯證唯物主義等觀(guān)點(diǎn)的教育.
例如，教科書(shū)非常注意了對立與統一關(guān)系的滲透，大家知道，在數學(xué)知識內容中存在著(zhù)大量的對立和統一的概念，如，正數與負數、加法與減法、乘方與開(kāi)方、常量與變量、精確與近似等. 在研究過(guò)程中也充滿(mǎn)了對立與統一，如，已知與未知，特殊與一般，具體與抽象，實(shí)踐與理論.
再如，在變量的研究中充滿(mǎn)著(zhù)運動(dòng)、變化的思想. 7年級下冊第11章《圖形與坐標》中，所學(xué)習的一次函數y=kx+b的圖象與正比例函數y=kx的圖象之間可以通過(guò)上下移動(dòng)|b|的距離而互相生成；九年級下冊第5章《對函數的再探究》中，在學(xué)習了二次函數y=ax2的圖象和性質(zhì)后，可以通過(guò)上、下、左、右移動(dòng)拋物線(xiàn)y=ax2，從而得到拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c. 顯然這些過(guò)程都體現著(zhù)運動(dòng)與變化的思想. 及時(shí)恰當的向學(xué)生滲透這些觀(guān)點(diǎn)、思想能促進(jìn)學(xué)生積極參與數學(xué)學(xué)習活動(dòng)，對數學(xué)有好奇心與求知欲，逐步養成全面看待問(wèn)題、客觀(guān)分析事物的良好思維品質(zhì)和習慣.
2.9 圖文并茂，可讀性強
為了讓學(xué)生愿意親近數學(xué)、了解數學(xué)、喜歡數學(xué)，從而主動(dòng)地從事數學(xué)學(xué)習，同時(shí)還為了使學(xué)習內容表述簡(jiǎn)單明了，容易讓學(xué)生接受，增強教科書(shū)的可讀性，實(shí)現“人書(shū)”對話(huà)，便于學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與教師之間的交流，我們在編寫(xiě)這個(gè)領(lǐng)域的內容時(shí)，做到了把實(shí)物、照片、圖形、圖表、文字、數學(xué)符號等多種形式相結合的方式，這樣處理使得教科書(shū)的呈現方式豐富多彩，增加了教科書(shū)的可讀性. 就“數與代數”領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，我們的具體做法是：
2.9.1 設計了“小亮”、“小瑩”和“小博士”三個(gè)形象
卡通人物“小亮”、“小瑩”和“小博士”的采用，增強了教科書(shū)的趣味性、活潑性，其中“小亮”和“小瑩”代表學(xué)生，他們與同學(xué)們是同學(xué)，他們既可以提出問(wèn)題，也可以與同學(xué)們一起學(xué)習和討論，從而解答問(wèn)題；“小博士”是知識的化身，可以看成是“教師”，他能對同學(xué)們學(xué)習中可能遇到的疑難問(wèn)題及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥、提示和總結. 如從前面的引例可以看出，解應用題必須把普通語(yǔ)言轉化為數學(xué)語(yǔ)言，為了強化這一點(diǎn)，教科書(shū)是讓博士告訴同學(xué)們的. 這樣安排實(shí)現了人與教科書(shū)的對話(huà)，能激發(fā)同學(xué)們學(xué)習的積極性，也促進(jìn)了同學(xué)與同學(xué)、同學(xué)與教師之間的交流.
2.9.2 用“加油站”等固定欄目，及時(shí)補充有關(guān)的知識
我們在這套教科書(shū)中根據學(xué)習內容的需要設置了“動(dòng)腦筋”、“加油站”、“智慧園”、“廣角鏡”、“回顧與總結”等固定欄目，這些欄目或者是為同學(xué)們提供數學(xué)知識背景資料，或者提供具有挑戰特點(diǎn)的題目，或者系統整理這一章的學(xué)習內容等.
如7年級上冊8.5節中的例5屬于營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題與經(jīng)濟活動(dòng)有關(guān)，可培養學(xué)生自主參與經(jīng)濟活動(dòng)的能力. 解決這類(lèi)問(wèn)題，必須弄清楚進(jìn)價(jià)、原價(jià)（標價(jià)）、售價(jià)、打折和利潤等有關(guān)的概念以及它們之間的關(guān)系. 對這些問(wèn)題，教科書(shū)用“加油站”欄目給出，類(lèi)似這樣的欄目，本節教科書(shū)還有五個(gè)，其中三個(gè)智趣園，兩個(gè)挑戰自我欄目. 這些欄目?jì)热葚S富多彩，一方面補充了課文中的有關(guān)知識，另一方面，又顯得版面設計大方. 增強了教科書(shū)的可讀性，易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，并能使學(xué)生較持久的保持這種學(xué)習興趣. 2.10 重視數學(xué)文化的熏陶作用 《標準》指出“數學(xué)是人類(lèi)的一種文化，它的內容、思想、方法和語(yǔ)言是現代文明的重要組成部分”. 數學(xué)文化作為人類(lèi)文化體系中的一個(gè)重要組成部分，由于具有自己獨特的數學(xué)思想方法體系，數學(xué)語(yǔ)言體系和數學(xué)發(fā)展的動(dòng)力體系等，所以數學(xué)文化構成了不同于其他文化的一種獨特的體系. 數學(xué)文化是人類(lèi)智慧與創(chuàng )造的結晶. 數學(xué)文化的歷史以其獨特的思想體系，保留并記錄了人類(lèi)社會(huì )在特定社會(huì )形態(tài)和特定歷史階段文化發(fā)展的狀態(tài). 普遍認為數學(xué)文化的教育價(jià)值在促進(jìn)人的素質(zhì)提高方面的作用越來(lái)越大，我們?yōu)榱顺浞职l(fā)揮數學(xué)課程的文化傳播功能，在教科書(shū)的編寫(xiě)過(guò)程中，結合具體的教學(xué)內容，適時(shí)恰當的以古代的一些數學(xué)文化為討論問(wèn)題的背景，這樣一方面為相應內容的學(xué)習提供了素材，另一方面還向學(xué)生展現了古代數學(xué)及其理念、思想、方法在人類(lèi)文化發(fā)展中的重要作用和地位.
如七年級上冊8.5“一元一次方程的應用”中用兩個(gè)“智趣園”欄目，給出了兩道可用一元一次方程解答的題目：
?。?）我國古代數學(xué)名著(zhù)《九章算術(shù)》中的題目：“今有乘傳委輸，空車(chē)日行七十里，重車(chē)日行五十里. 今載太倉粟輸上林，五日三返，問(wèn)太倉去上林幾何？”
?。?）愛(ài)迪生曾設計了一個(gè)打水裝置，將它與他家的大門(mén)相連，來(lái)人每次推門(mén)都會(huì )往水槽里加入20升水. 后來(lái)經(jīng)過(guò)改進(jìn)，每次推門(mén)能往水槽里加25升水，這樣比原來(lái)少推門(mén)12次就能把水槽加滿(mǎn)水，愛(ài)迪生家的水槽能盛多少升水？
學(xué)生在解答這兩個(gè)題目時(shí)，除練習了方程的有關(guān)知識外，還受到了古代數學(xué)文化的熏陶.
八年級上冊5.3節內用“史海漫游”欄目介紹的“關(guān)于圓周率的近似計算”及“無(wú)理數的由來(lái)”等知識都豐富了同學(xué)們的知識結構，感受到中國古代數學(xué)的輝煌，也增強了他們努力趕超世界先進(jìn)水平的決心，可以說(shuō)學(xué)生受到這種文化熏陶的價(jià)值遠比僅僅理解欄目給出的知識或解答所給出的數學(xué)題目要大得多.
3 教學(xué)建議
數學(xué)教學(xué)應根據具體的教學(xué)內容，注意使學(xué)生在獲得間接經(jīng)驗的同時(shí)也能夠有機會(huì )獲得直接經(jīng)驗，即從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng )設有助于學(xué)生自主學(xué)習、合作交流的問(wèn)題情境，引導學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探索、交流等獲得數學(xué)的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗，促使學(xué)生主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習，不斷提高發(fā)現問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 教師在具體的數學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，要把《標準》的基本理念轉化為自己的教學(xué)行為，處理好教師講授與學(xué)生自主學(xué)習的關(guān)系，注重啟發(fā)學(xué)生積極思考；發(fā)揚教學(xué)民主，當好學(xué)生數學(xué)活動(dòng)的組織者、引導者、合作者；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習潛能，鼓勵學(xué)生大膽創(chuàng )新與實(shí)踐；創(chuàng )造性地使用教科書(shū)，對教學(xué)內容進(jìn)行大膽的組合與優(yōu)化，積極開(kāi)發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習素材；關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，有效地實(shí)施差異教學(xué)、嘗試教學(xué)，努力使每個(gè)學(xué)生都得到充分的發(fā)展. 就“數與代數”領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，在教學(xué)中，應注意以下幾點(diǎn)：
3.1 注重數學(xué)課程目標的整體實(shí)現
《標準》在每個(gè)領(lǐng)域從“知識與技能”、“數學(xué)思考”、“解決問(wèn)題”、“情感與態(tài)度”四個(gè)方面具體闡述了課程的目標. 課程目標的這四個(gè)方面，不是互相獨立和割裂的，而是一個(gè)密切聯(lián)系又相互交融的有機整體. 數學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度的發(fā)展離不開(kāi)知識技能的學(xué)習，而知識技能的學(xué)習又必須有利于其他三個(gè)目標的實(shí)現. 這就要求我們在具體的備課設計和教學(xué)活動(dòng)中，應同時(shí)兼顧這四個(gè)方面的目標，達到整體實(shí)現課程的目標. 只有做到四個(gè)課程目標同時(shí)得到實(shí)現，才能說(shuō)學(xué)生受到了良好的數學(xué)教育，也才能達到學(xué)生全面、持續、和諧的發(fā)展.
課程目標的整體實(shí)現不是一朝一日就能完成的，它是一個(gè)類(lèi)似于“滾雪球”的過(guò)程，需要日積月累. 在日常的教學(xué)活動(dòng)中，教師應努力挖掘教學(xué)內容中可能蘊涵的、與上述四個(gè)方面目標有關(guān)的教育資源，通過(guò)長(cháng)期的教學(xué)過(guò)程，逐漸實(shí)現課程的整體目標. 因此，無(wú)論是設計課堂教學(xué)方案，還是為實(shí)施這一設計方案而組織學(xué)生參與的各種教學(xué)活動(dòng)，既要重視引導學(xué)生獲得知識技能，還要通過(guò)創(chuàng )設一定的富有實(shí)際意義的情境來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，通過(guò)獨立思考或者合作交流感悟所學(xué)具體知識中蘊涵的數學(xué)思想與方案例1 “二元一次方程組”的課程目標的制定（七年級下冊第12章）
我們在制定“二元一次方程組”這一章的課程目標時(shí)，遵循《標準》的理念，是應從以下四個(gè)方面來(lái)落實(shí)的：
知識技能：（1）了解二元一次方程組及其有關(guān)概念；（2）會(huì )利用消元法、加減消元法解二元一次方程組；（3）探索二元一次方程組對應的圖像，并會(huì )用作圖像的方法解二元一次方程組；（4）能以二元一次方程組為工具解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
數學(xué)思考：（1）探索二元一次方程組的解法，體驗“消元”方法和轉化的數學(xué)思想；（2）經(jīng)歷用作圖像的方法解二元一次方程組的過(guò)程，發(fā)展幾何直覺(jué)；（3）能用二元一次方程組刻畫(huà)事物間的相互關(guān)系，發(fā)展方程意識，體會(huì )到方程（組）是刻畫(huà)現實(shí)世界的有效數學(xué)模型.
解決問(wèn)題：（1）能結合具體問(wèn)題，嘗試用不同方法解二元一次方程組，并能評價(jià)不同解法間的關(guān)系和不同；（2）能用文字、字母、圖像清楚的表達解二元一次方程組的過(guò)程；（3）在運用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展應用意識.
情感與態(tài)度：（1）積極參入數學(xué)活動(dòng)，努力探索二元一次方程組的解法；（2）體驗數形結合的優(yōu)越性，增強學(xué)習數學(xué)的興趣；（3）在運用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體驗數學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具；（4）在獨立思考的基礎上，能與同學(xué)交流自己的解法，并能從交流中獲益.
對目標的要求決不能只停留在知識技能方面，而且還要注重在讓學(xué)生參入數學(xué)活動(dòng)的過(guò)程性的要求. 注重數學(xué)應用意識的形成和培養，將教學(xué)目標的實(shí)現有機的融入到精心設計的情境中、過(guò)程中和應用中. 所以說(shuō)上述目標涵蓋了數學(xué)課程目標的各個(gè)緯度，體現了新課程的價(jià)值追求.
案例2 “等式的基本性質(zhì)”的學(xué)習目標（七年級上冊第八章第3節）
案例1是針對一章學(xué)習內容的整體目標設計，就一個(gè)課時(shí)來(lái)說(shuō)，也要針對具體學(xué)習內容，從以上四個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)方案的設計. 在制定本課時(shí)的教學(xué)方案時(shí)，對于教學(xué)目標的定位應為：
?。?）經(jīng)歷探索等式性質(zhì)的過(guò)程；
?。?）理解等式的基本性質(zhì)；
?。?）能利用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行等式的變形；
?。?）通過(guò)等式基本性質(zhì)的運用對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育.
3.2 加強數學(xué)概念教學(xué)
多年的教學(xué)實(shí)踐告訴我們，決定數學(xué)教學(xué)效果的首要因素、基礎因素和貫穿始終的因素就是：概念要明確. 在概念教學(xué)中，不能按照“定義＋例題”的教學(xué)模式進(jìn)行，要設法復原從問(wèn)題到結論和方法之間的精彩過(guò)程，即注重數學(xué)概念的過(guò)程教學(xué).
一個(gè)數學(xué)概念的教學(xué)就是一個(gè)完整的教學(xué)過(guò)程，研究表明這個(gè)過(guò)程大致可以分為如下四個(gè)階段：（1）概括；（2）表述；（3）識別；（4）運用. 可見(jiàn)，給數學(xué)概念下定義不是概念教學(xué)的全部，不能在定義本身下太多的功夫，應注意概念教學(xué)的全過(guò)程，不可有頭無(wú)尾，也不能對四個(gè)階段平均用力，應根據具體概念的實(shí)際和學(xué)生的認知水平，恰當的分配教學(xué)時(shí)間，以最優(yōu)的方式完成概念教學(xué). 對于一些抽象數學(xué)概念的教學(xué)，要如《標準》指出的那樣，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機械記憶概念的學(xué)習方式.
案例3 “三角函數概念”（八年級下冊第9章）的導學(xué)過(guò)程
對于數學(xué)概念的教學(xué)，一定要引導學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程. 對于三角函數這個(gè)概念的教學(xué)，我們要向同學(xué)們展示三角函數的形成過(guò)程. 三角函數概念的產(chǎn)生過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就給出了下面的一個(gè)構造程序：圖2
?、俳⒆鴺讼?；②計算∠α終邊上一點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離r；③作yr，xr，yx，xy四個(gè)比；④分別給出四個(gè)比的名稱(chēng)；⑤給出三角函數的定義.
如sin30°的計算過(guò)程是：建立如圖2所示的坐標系，在30°角的終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），顯然，P點(diǎn)到O的距離r=2y，所以sin30°=yr=y2y=12. 3.3 重視實(shí)驗操作
《標準》強調改變學(xué)生的學(xué)習方式，指出“動(dòng)手操作，自主探究，合作交流是學(xué)生學(xué)習數學(xué)的重要方式”. 有些數學(xué)知識可通過(guò)引導學(xué)生自己親自操作、實(shí)驗或通過(guò)現代教育技術(shù)手段演示及操作，從中領(lǐng)悟到這些知識的形成過(guò)程，這樣既發(fā)展了學(xué)生的思維能力、理解能力與創(chuàng )造能力，又能將新知識與已有知識有機的結合起來(lái)，還能增強學(xué)生學(xué)習的主動(dòng)性，可謂“一舉多得”.
案例4 估算意識的培養（七年級上冊7.1節）
為了引出“估算”的概念，從而使學(xué)生感受到學(xué)習估算的必要性，逐步培養他們的估算意識，我們借助實(shí)驗操作創(chuàng )設問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考與探索. 用“實(shí)驗與探究”欄目引導學(xué)生進(jìn)行折紙活動(dòng)：
取一張報紙，將它對折，再對折，你估計最多能將它折幾次？并提出兩個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生思考與探究：
?。?）你能將它對折8次嗎？為什么？
?。?）如果能將一張報紙連續對折30次，你估計它的厚度是多少？
緊接著(zhù)，教科書(shū)列式子估計出將一張報紙連續對折30次后的厚度將是100千米，這個(gè)厚度將超過(guò)珠穆朗瑪峰的海拔高度11倍之多，這顯然是不可能的.
3.4 重視數學(xué)思想方法的滲透和應用
《標準》在總體目標中指出，學(xué)生通過(guò)數學(xué)學(xué)習，要“獲得適應未來(lái)社會(huì )生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數學(xué)知識以及基本的數學(xué)思想方法”. 這就要求我們在數學(xué)教學(xué)中一定要根據具體的教學(xué)內容及時(shí)向學(xué)生滲透有關(guān)的數學(xué)數學(xué)方法.
案例5 多項式乘以多項式的法則的歸納過(guò)程（七年級下冊第14章）
在《整式的乘法》這一章中，轉化思想起著(zhù)重要的作用，例如，同底數冪的乘、除法就分別轉化為指數的加、減法，多項式的乘法最終要轉化為單項式的乘法等，在這里“轉化”起著(zhù)關(guān)鍵性的作用. 教學(xué)中一定要結合具體的實(shí)例讓學(xué)生體會(huì )到轉化的意義. 在歸納“多項式乘以多項式的法則”的過(guò)程中，教師一定要充分重視對引例的分析與教學(xué). 引例為：圖3
汽車(chē)從北京出發(fā)，以a千米／時(shí)的速度行駛，經(jīng)過(guò)t時(shí)到達天津. 然后，汽車(chē)速度比原來(lái)增加b千米／時(shí)，行駛時(shí)間比北京到天津多用w時(shí)到達泰山（圖3）. 從天津到泰山的行程是多少千米？
由題意，得（a+b）（t+w）=a（t+w）+b（t+w）=at+aw+bt+bw.
要解決這個(gè)引例問(wèn)題，我們列出了多項式乘多項式的算式：（a+b）（t+w）. 在得到算式的同時(shí)，使學(xué)生感受到多項式乘法運算來(lái)源于生活的實(shí)際問(wèn)題. 為了計算上面的兩個(gè)多項式相乘的問(wèn)題，我們可以先把（t+w）看做一個(gè)字母A，這樣就轉化為前面學(xué)過(guò)的單項式與多項式相乘的問(wèn)題了，然后利用單項式與多項式相乘的法則就可以把單項式與多項式相乘的問(wèn)題轉化為單項式與單項式相乘的問(wèn)題. 從而推導出多項式與多項式相乘的法則. 由此可見(jiàn)，在歸納多項式乘多項式的法則的過(guò)程中，我們使用了整體的思想，兩次使用了轉化的思想.
3.5 注重學(xué)習方式的轉變，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展
《標準》特別強調要改變學(xué)習方式，鼓勵學(xué)生自主發(fā)展. 本領(lǐng)域內我們將學(xué)習大量的運算法則和運算律，為落實(shí)這一要求，在引導學(xué)生探索運算法則和運算律時(shí)，教師應設計并組織學(xué)生進(jìn)行觀(guān)察、思考、探索、交流、發(fā)現等數學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在參入這些活動(dòng)的過(guò)程中，鼓勵他們用自己的語(yǔ)言歸納出運算法則和運算律. 經(jīng)過(guò)小組和全班的交流，逐步形成較為規范的語(yǔ)言，使學(xué)生真正理解用數學(xué)語(yǔ)言表達的運算法則和運算律的確切含義，會(huì )根據具體問(wèn)題，運用相應的法則和運算律去處理.
案例6 負整數指數冪的意義（七年級下冊14.2節）
法，引導他們在參與數學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中積累基本經(jīng)驗，并且逐步形成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等良好的學(xué)習習慣.
為了讓學(xué)生理解規定a-n=1an（a≠0，n是正整數）的合理性，可讓學(xué)生計算下列問(wèn)題：23÷25和102÷106.
為了引起學(xué)生思維的認知沖突，引導學(xué)生分別按以下兩種方式計算上面問(wèn)題：
(1)根據分數的意義和約分法則計算
?。ǖ玫?3÷25=2325=122和102÷106=102106=1104）
(2)仿照同底數冪除法的運算法則進(jìn)行計算
?。ǖ玫?3÷25=2-2和102÷106=10-4）
在學(xué)生得到兩種不同結果的前提下，啟發(fā)學(xué)生回答：要使被除式的指數小于除式的指數時(shí)，同底數冪除法的運算性質(zhì)也能使用，我們該怎么辦？
學(xué)生思考、猜想、議論、交流……，之后，得到的答案是：
2-2=122，10-4=1104.
教師導語(yǔ)：同學(xué)們猜想的很對，為了使被除式的指數小于除式的指數時(shí)，同底數冪除法的運算性質(zhì)也能使用，我們規定：a-n=1an（a≠0，n是正整數）.
最后，再引導學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述上述規定的意義，至此，一個(gè)新的概念就建立起來(lái)了，從這個(gè)概念的建立過(guò)程看，我們改變了以往傳統的教師直接講的做法，注重了學(xué)生的活動(dòng)，這樣做既尊重了學(xué)生的個(gè)性，又促進(jìn)了學(xué)生的發(fā)展.
3.6 充分利用現代信息技術(shù)與其他學(xué)科資源
《標準》指出：“教師要創(chuàng )造性地使用教科書(shū)，積極開(kāi)發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習素材；要重視現代教育技術(shù)在教學(xué)中應用，有條件的地區，要盡可能合理、有效地使用計算機和有關(guān)軟件，提高教學(xué)效率. ”教學(xué)在中，我們應努力使計算機、多媒體、互聯(lián)網(wǎng)等信息技術(shù)等成為數學(xué)課程的資源，積極開(kāi)發(fā)課件，將實(shí)物照片、素描、文字、表格、圖形、字母等多種形式結合起來(lái). 要充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，為學(xué)生的學(xué)習和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學(xué)習工具；為所有學(xué)生提供探索復雜問(wèn)題、多角度理解數學(xué)思想的機會(huì )，豐富學(xué)生數學(xué)探索的視野；為一些有需要的學(xué)生提供個(gè)體學(xué)習的機會(huì )，以便于教師為特殊需要的學(xué)生提供幫助；為偏遠地區的學(xué)生提供教學(xué)指導和智力資源，更有效地吸引和幫助學(xué)生的數學(xué)學(xué)習. 多媒體技術(shù)能為教學(xué)提供并展示各種所需的資料，包括文字、聲音、圖像等，并能隨時(shí)抽取播出；可以創(chuàng )設、模擬各種與教學(xué)內容相適應的情境.
3.7 加強對學(xué)生情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)的培養
《標準》在“情感與態(tài)度”的四項指標中，包括了學(xué)習數學(xué)的價(jià)值. 提高到價(jià)值觀(guān)的高度來(lái)認識，就回到了“以人為本”的教育理念上來(lái)了. 可見(jiàn)新的數學(xué)課程更加關(guān)注學(xué)生在情感態(tài)度、價(jià)值觀(guān)和一般能力方面的全面發(fā)展，也就是說(shuō)，我們更應該注重數學(xué)文化教育的價(jià)值作用. 在教學(xué)中，教師教得好與不好，不決定于教師的教，而決定于學(xué)生的學(xué)習情感、學(xué)習意志、學(xué)習習慣和學(xué)習能力. 這就決定了我們在進(jìn)行數學(xué)教育時(shí)，不要單純的只傳授數學(xué)知識，而應該更加重視數學(xué)文化素質(zhì)的培養.
在數學(xué)學(xué)習和訓練時(shí)所形成的科學(xué)素質(zhì)，無(wú)論干什么工作，都會(huì )起到重要的作用. 據我們所知，有不少各級黨政領(lǐng)導、事業(yè)或企業(yè)的管理干部、學(xué)校校長(cháng)，原來(lái)就是受過(guò)數學(xué)專(zhuān)業(yè)教育的. 在他們的工作中，雖然很少具體用到數學(xué)中的某個(gè)定理或定律，但通過(guò)數學(xué)訓練所形成的數學(xué)思想和方法，用他們自己的話(huà)說(shuō)，在工作中卻是終生受益的. 正因為如此，許多國家都非常重視對學(xué)生情感態(tài)度和價(jià)值觀(guān)的培養，這一點(diǎn)在各個(gè)國家的課程標準或課程方案中都有明顯的體現.
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