統計與概率研究隨機現象的規律性。對新課標教材中的統計與概率內容，就知識層面和方法看，似乎不難。但蘊涵的概率觀(guān)點(diǎn)和統計思想卻不容易了解。那么，概率的意義究竟是什么？概率難在何處？統計推斷有什么特點(diǎn)？如何評價(jià)統計推斷的結果？統計與概率的關(guān)系是什么？下面就這些問(wèn)題作一簡(jiǎn)單分析。 一、概率的難點(diǎn)分析 1．概率的抽象性。概率是隨機事件發(fā)生的可能性的度量。像長(cháng)度和面積這些度量都比較直觀(guān)，對溫度的高低在一定范圍我們可以感知。而事件發(fā)生的可能性大小的度量，直觀(guān)看不見(jiàn)，也無(wú)法感知，太抽象了。 2. 統計規律的隱含性。隨機現象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現為大量實(shí)驗時(shí)，事件頻率的穩定性。這種規律稱(chēng)之為統計規律性。 頻率的穩定性是概率論的理論基礎，它說(shuō)明隨機事件發(fā)生的可能性大小是事件本身固有的、不隨人們的意志而改變的客觀(guān)屬性，它是可以度量的。同時(shí)它也給出了度量的一種方法。 現實(shí)中，只有個(gè)別特殊情形，在合理的假設下不需通過(guò)重復實(shí)驗而直接計算概率，而大量事件的概率需要用頻率去估計。由于統計規律是通過(guò)大量重復實(shí)驗揭示的，因此，只有深刻理解概率與頻率的關(guān)系、概率與頻率的本質(zhì)區別，才能正確理解概率的意義，利用概率思想進(jìn)行風(fēng)險決策。 對概率與頻率的關(guān)系的認識可以分三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。 直觀(guān)認識。概率描述事件發(fā)生的可能性大小，它是由事件本身唯一確定的一個(gè)常數；頻率反映在n次實(shí)驗中，事件發(fā)生的頻繁程度。一般地，如果一個(gè)事件的概率較大，頻率也較大，概率較小，頻率也較小。反之也對。 具體實(shí)驗。通過(guò)大量重復實(shí)驗，借助圖形表示頻率的穩定性規律：隨著(zhù)實(shí)驗次數的增多，頻率的波動(dòng)越來(lái)越小，逐漸穩定在一個(gè)常數附近。但應該認識到頻率的不確定性，即當實(shí)驗次數較少時(shí)，頻率的波動(dòng)可能比較大。 精確刻畫(huà)。有些資料這樣敘述：“實(shí)驗次數越多，用頻率估計概率越準確”，這樣的敘述嚴密嗎？以擲硬幣為例，已知“正面向上”的概率為0.5，擲兩次硬幣，可能頻率為是0.5，用頻率估計概率的誤差為0；而擲100次硬幣，也可能頻率為0.2，誤差為0.3。顯然上面的敘述不嚴密，太絕對了。究竟如何精確地刻畫(huà)頻率的穩定性呢？提供如下案例供參考（不需要學(xué)生了解計算方法）。 案例1 分別擲100次、200次、1000次硬幣，用“正面向上”的頻率估計概率，在給定誤差范圍內，計算估計的可靠性。 用fn表示擲n次硬幣“正面向上”的頻率，fn的取值具有不確定性，用EXCEL計算結果如下表：
比較嚴格的敘述為：“當實(shí)驗次數較少時(shí)，用頻率估計概率誤差較小的可能性較小，實(shí)驗次數越多，用頻率估計概率誤差較小的可能性越大”。 3. 概率定義的復雜性。概率事件發(fā)生的可能性大小的度量。這是概率的描述性定義，它雖然揭示了概率的本質(zhì)，但對概率具有那些性質(zhì)，如何計算或估計事件的概率都沒(méi)有幫助。概率是頻率的穩定值。這是概率的統計定義。它給出了估計事件概率的一種方法，而且明確了概率作為一種度量，應該具有非負性、規范性和可加性。但頻率還有隨機性的特征，特別當實(shí)驗次數不大時(shí)，很難知道這個(gè)穩定值是什么。 為了能較好地理解概率的意義，我們應該采用由具體到抽象，由簡(jiǎn)單到復雜，由特殊到一般的方式。先認識頻率及其性質(zhì)，頻率和概率的關(guān)系；然后討論古典概率，幾何概率這些具體簡(jiǎn)單的模型；從中歸納概率的本質(zhì)特征，最后給出概率的公理化定義（高中階段不作要求）。 案例2美國的一個(gè)電視游戲節目 有三扇門(mén)，其中一扇門(mén)后面是一輛轎車(chē)，另兩扇門(mén)后面各有一只羊。給你一次猜的機會(huì )。猜中羊可以牽走羊，猜中車(chē)可以開(kāi)走車(chē)。當然大家都希望能開(kāi)走汽車(chē)?，F在假如你猜1號門(mén)后面是車(chē)，然后主持人把無(wú)車(chē)的一扇門(mén)（比如2號門(mén)）打開(kāi)?，F在再給你一次機會(huì )，請問(wèn)你是否要換3號門(mén)？ 這是一個(gè)概率決策問(wèn)題，結論只有換與不換兩個(gè)。在當時(shí)引起了人們極大的興趣，眾說(shuō)紛紜，各種各樣的觀(guān)點(diǎn)都有。足以看出概率問(wèn)題是有一定難度的。 觀(guān)點(diǎn)一 一位數學(xué)博士說(shuō)：美國公民的數學(xué)水平也太差了，這三扇門(mén)后面有車(chē)的可能性是一樣的，都是1/3，所以不必換。 觀(guān)點(diǎn)二假定主持人打開(kāi)的是2號門(mén)，既然2號門(mén)后面沒(méi)有車(chē)，那么車(chē)要么在1號門(mén)后面，要么在3號門(mén)后面，概率各是1/2，所以不必換。 觀(guān)點(diǎn)三車(chē)在1號門(mén)后面的概率是1/3，于是在2號門(mén)或3號門(mén)后面的概率就是2/3 ，現在既然2號門(mén)后面沒(méi)有車(chē)，所以車(chē)在3號門(mén)后面的概率為2/3，因此應該換。 哈佛大學(xué)概率教授（Diaconis）應電視臺邀請，進(jìn)行了表演。以一張紅桃撲克牌表示車(chē)，兩張黑桃撲克牌表示羊。按照規則要求，演示了8次，結果是有6次顯示應當換。 Diaconis 教授說(shuō)：概率的判斷是依靠大量試驗才獲得的。如果這個(gè)游戲允許多次重復，那一定是“換”為好。如果只給你一次機會(huì )，那是很難說(shuō)的。 分析由于隨機性，如果1號門(mén)后面確實(shí)是車(chē)，你猜對了，此時(shí)要換反而得不到車(chē)。如果1號門(mén)后面沒(méi)有車(chē)，此時(shí)換就得到車(chē)。那么換與不換應該依據什么為準則？在此問(wèn)題中，以得到車(chē)的概率最大為準則。三種觀(guān)點(diǎn)在應用概率思想方面都是正確的，造成不同結果的原因在于對概率大小的判斷上。 首先注意的一點(diǎn)是，主持人是知道汽車(chē)在哪扇門(mén)后的。換的結果是將汽車(chē)換成羊，或將羊換成汽車(chē)。選擇1號門(mén)，得到汽車(chē)的概率為1/3，得到羊的概率為2/3。如果換3號門(mén)，得到羊的概率為1/3，得到汽車(chē)的概率為2/3。從概率決策的角度應該換，觀(guān)點(diǎn)三是正確的。 如果主持人也不知道那扇門(mén)后面是車(chē)，而是任意選擇一扇門(mén)，此時(shí)換與不換等價(jià)于抽簽時(shí)是先抽還是后抽。我們知道抽簽不分次序先后，得到車(chē)的概率都是1/3。但現在的問(wèn)題是：主持人打開(kāi)的一定是無(wú)車(chē)的門(mén)，所以觀(guān)點(diǎn)一是錯誤的。 當主持人打開(kāi)無(wú)車(chē)的2號門(mén)時(shí)，如果讓你在1號門(mén)和3號門(mén)之間重新任選一扇門(mén)，得到車(chē)和羊的概率都是1/2?，F在不是讓你重新任選一扇門(mén)，而是問(wèn)你是否要換。重新選擇和交換結果是不同的，所以觀(guān)點(diǎn)二也是錯誤的。 Diaconis 教授的觀(guān)點(diǎn)是正確的。既然在概率大小的判斷上有分歧，通過(guò)重復模擬實(shí)驗，借助頻率的大小來(lái)判斷最有說(shuō)服力。但遺憾的是重復實(shí)驗次數太少，頻率的值很不穩定，說(shuō)服力不強，當時(shí)并沒(méi)有消除爭議。 二、統計的難點(diǎn)分析 真實(shí)的數據能提供科學(xué)信息，數據能幫助我們了解世界，許多科學(xué)結論都是通過(guò)分析數據而得到的，借助數據提供的信息作出的判斷才比較可信。因此，“運用數據進(jìn)行推斷”的思考方法已成為現代社會(huì )普遍應用而且高效的思維模式，而“用樣本推斷總體”又是統計最核心的思想方法。 統計學(xué)已有2000多年的歷史，按其發(fā)展的歷史階段和統計方法的構成看，統計學(xué)可以描述統計和推斷統計。描述統計的內容包括統計數據收集的方法、數據的加工和整理方法、用圖表表示數據的方法、數據分布特征的概括與分析方法等。推斷統計研究如何依據樣本數據推斷總體的數量特征的方法，它以樣本數據信息為依據，以概率論為理論基礎，對總體未知的數量特征作出以概率形式表述的推斷。 那么統計內容學(xué)習的難點(diǎn)在那里呢？ 1．傳統的數學(xué)思維模式對統計思維方法的影響 統計是以樣本數據為基礎，通過(guò)對數據的整理、描述和分析，發(fā)現數據的特征或規律，從而對總體的特征作出推斷。它所采用的是歸納推理，屬于合情推理范疇。帶有很強的實(shí)驗性。 確定性數學(xué)主要運用演繹推理的方式，即從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理）出發(fā)，按照規定的法則證明結論，或揭示數學(xué)規律。研究確定性數學(xué)，是不能用個(gè)別舉例或驗證代替一般的證明的。比如可以通過(guò)測量或拼接的方法，歸納得出“三角形內角和等于180°”，但是，哪怕你度量了100次，只能說(shuō)發(fā)現了這一結論，未經(jīng)證明之前仍不能作為定理。 統計學(xué)習，這種思維方式的轉變需要一個(gè)過(guò)程。 2.統計方法的評價(jià)與統計結果的解釋 確定性數學(xué)在確定的條件下，結論是完全確定的。對其結果可以用“對”和“錯”來(lái)評判。用樣本推斷總體，由于樣本數據和總體的不一致性，會(huì )產(chǎn)生代表性誤差，由于樣本的隨機性，會(huì )產(chǎn)生隨機誤差，從而造成估計的結論也具有不確定性。因此，評價(jià)一種估計方法的好壞，不能僅依一次估計的誤差大小來(lái)衡量，而應考慮所有可能樣本的情況下，整體誤差的大小。對統計結論也不能用“對”和“錯”來(lái)解釋?zhuān)鴳赋鲈诙啻蟮闹眯哦认?，誤差有多大。 對某種統計方法，既讓學(xué)生認識到方法的合理性，又體會(huì )到結果的不確定性，這是滲透統計思想不可缺少的。問(wèn)題是，在學(xué)生沒(méi)有或具有很少的概率知識背景下，在教學(xué)中應該如何處理？這肯定是一個(gè)難點(diǎn)。 3．統計原理的理解與運用 統計推斷的依據是一些統計原理。例如，統計估計依據的極大似然原理，假設檢驗時(shí)依據小概率原理，回歸分析依據最小二乘原理等。它們都是人們在長(cháng)期的社會(huì )實(shí)踐中歸納出來(lái)的一般原理。它們不同于數學(xué)公理或定理，公理是大家公認的事實(shí)，是絕對正確的；定理是經(jīng)過(guò)嚴密的邏輯證明是正確的事實(shí)。而統計原理本身并不是絕對正確的，利用這些原理進(jìn)行推斷肯定會(huì )犯錯誤。如何理解這些原理，并將其運用到統計推理中，這是又一個(gè)難點(diǎn)。 案例3 目前流行的甲型H1N1流感傳染性很強，假設在人群中的感染率為20%?，F有Ⅰ，Ⅱ兩種疫苗，疫苗Ⅰ對8個(gè)健康的人進(jìn)行注射，最后結果為無(wú)一人感染。疫苗Ⅱ對25個(gè)健康的人進(jìn)行注射，最后結果為有一人感染。你認為這兩種疫苗哪個(gè)更有效？ 直觀(guān)分析：如果不考慮概率，注射疫苗Ⅰ后感染率為0，注射疫苗Ⅱ后感染率為4%，似乎疫苗Ⅰ更有效些。而實(shí)際上感染率只有20%，并非100%。假設疫苗Ⅰ完全無(wú)效，“8人注射無(wú)一人感染”仍有較大的可能性。假設疫苗Ⅱ無(wú)效的條件下，“25人注射有1人感染”的可能性要小的多。依據小概率原理，判斷疫苗Ⅱ比疫苗Ⅰ可能更有效些。 推理過(guò)程：設事件A=“8人注射無(wú)一人感染”，B=“25人注射有1人感染”， 假設疫苗Ⅰ無(wú)效 假設疫苗Ⅱ無(wú)效， 這種推理稱(chēng)為假設檢驗。所運用的推理方式類(lèi)似于數學(xué)反證法。應用數學(xué)反證法，當推出和已知事實(shí)矛盾的結果時(shí)，否定假設。假設檢驗是一旦小概率事件發(fā)生，就否定假設。但小概率原理不是絕對正確的事實(shí)，所以推理有可能犯錯誤。我們追求的是使犯錯誤的概率盡可能小。 三、對統計與概率教學(xué)的幾點(diǎn)建議 1．突出核心思想，把握重點(diǎn)和難點(diǎn)。對概率意義和統計思想的理解，是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。不要把概率教學(xué)變成復雜的概率計算；把統計教學(xué)變成單純的數據處理和計算技巧；不要糾纏一些無(wú)關(guān)緊要的細節而干擾主題。 現在的情況是，許多學(xué)生（包括數學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生），可以計算很復雜的概率，但面對需要用概率和統計思想解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，顯的束手無(wú)策。這說(shuō)明在教學(xué)中，過(guò)多的關(guān)注了知識技能的學(xué)習，忽視思想方法的理解。 2. 恰當的類(lèi)比很有效。概率與頻率的關(guān)系、總體的數字特征與樣本的數字特征之間的關(guān)系，都比較抽象?？梢杂媚澄矬w長(cháng)度真值和測量值來(lái)類(lèi)比。 黑板的長(cháng)度a是客觀(guān)存在的，但未知?？梢酝ㄟ^(guò)測量來(lái)了解；而測量結果總會(huì )有誤差，為減少誤差，可以用多次測量值的平均數估計a。 事件的概率p是客觀(guān)存在的，但未知，可以用頻率估計；頻率具有不確定性，估計的誤差不可避免，為減少誤差，可以增加重復實(shí)驗的次數。 總體指標X的平均值（數學(xué)期望）是一個(gè)確定的數值，可以用樣本的平均值去估計；隨機抽取的樣本具有隨機性，所以樣本的平均值也具有隨機性，要想估計的更準確些，可以適當增大樣本容量。 又比如，如果樣本的代表性好，用樣本的特征推斷總體的特征就比較準確?？梢杂?/span>“要想知道一鍋湯是否夠咸，在充分攪勻時(shí)，只需嘗一小勺即可”類(lèi)比。 3．必要的操作實(shí)驗不可省。概率的統計規律性本身就是通過(guò)實(shí)驗發(fā)現的，用樣本推斷總體的方法，可以認為是實(shí)驗科學(xué)。在高中階段，由于課時(shí)以及學(xué)生認知水平的限制，我們不可能也沒(méi)有必要用嚴密的方法揭示一些穩定性規律，評價(jià)統計方法的優(yōu)劣。設計恰當的實(shí)驗，直觀(guān)認識隨機性規律、樹(shù)立概率觀(guān)點(diǎn)、理解統計思想是必要的，也是可行的。在一些具體問(wèn)題中，可以通過(guò)實(shí)驗糾正對概率判斷上錯誤觀(guān)點(diǎn)，統一認識，消除爭議。 4. 重視反例和極端特例的作用。在揭示數學(xué)概念的本質(zhì)、探索數學(xué)定理成立的條件時(shí)，反例具有重要的作用。同樣，在統計與概率的教學(xué)中，一些極端的特例有時(shí)會(huì )發(fā)揮意想不到的作用。 例１ 用頻率估計概率，有人認為“實(shí)驗次數越大，估計的就越準確”。 極端特例：擲兩枚硬幣，有50%的可能得到頻率為1/2，而擲1000次硬幣，理論上仍有可能得到頻率為1。說(shuō)明“實(shí)驗次數越大，估計的就越準確”，這樣的表述不嚴密。 例２ 從包含100個(gè)學(xué)生的總體中，隨機抽取10名學(xué)生作為樣本，估計全體學(xué)生的平均身高。分別采用不放回抽樣和有放回抽樣，哪種抽樣方式下估計的更準確些？ 大多數人認為有放回抽樣下估計的更準確，實(shí)際上恰恰相反。要想說(shuō)服他們，我們不可能用數理統計的一套理論，通過(guò)計算概率或期望和方差，作出判斷。 以下兩個(gè)極端特例都能說(shuō)明問(wèn)題。 特例1：采用有放回抽樣，有可能同一個(gè)體被重復抽到，也有可能10次都抽到同一名學(xué)生，此時(shí)樣本的代表性非常差，估計很難準確。而不放回抽樣不會(huì )發(fā)生這樣的情況。 特例2：假定樣本容量為100，采用不放回抽樣，樣本和總體完全相同，估計結果完全確定，沒(méi)有任何誤差。而采用不放回抽樣，很難遇到樣本和總體完全相同的情況。 例3 小概率原理、極大似然原理是統計推斷中最常使用的原理。因為它們都不是絕對正確的，應用這些原理作統計推斷，學(xué)生理解上有困難。其原因是，大多數情形我們把小于0.05的概率就看成小概率了。那就舉概率更小的例子。 乘坐飛機有可能遇到空難，為什么絕大多數人不拒絕坐飛機？因為發(fā)生空難的概率太小了（據統計小于300萬(wàn)分之一），我這次不會(huì )出事的。這不是已經(jīng)用小概率原理來(lái)決策了嗎。 極大似然原理是說(shuō)：一次實(shí)驗有多個(gè)事件，哪一事件發(fā)生了，就認為這個(gè)事件的概率最大。當這些事件的概率相同時(shí)，應用極大似然原理是最不靠譜的。但在實(shí)際推斷時(shí)，往往這些事件的概率相差懸殊。 例如，有兩個(gè)箱子，其中第一個(gè)箱子裝有99個(gè)紅球，1個(gè)白球，第二個(gè)箱子裝有99個(gè)白球，1個(gè)紅球。任意選擇一個(gè)箱子，從中任意摸出一球，結果摸出的紅球，請你判斷球是從哪個(gè)箱子中取出的。我想很少有人判斷是從第二個(gè)箱子中取出的。 5．慎重選用教輔資料。目前市場(chǎng)上教輔材料很多，有的質(zhì)量低劣。特別是關(guān)于統計與概率的一些資料，要么內容超標，要么錯誤百出，很容易誤導我們的教學(xué)。 參考文獻： 人民教育出版社、課程教材研究所、中學(xué)數學(xué)課程教材研究中心。普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)數學(xué)③ （必修）A版。人民教育出版社2007。
2009-12-08 人教網(wǎng) |
聯(lián)系客服
