系列序:
?我們知道, 量子力學(xué)是當代物理系的核心專(zhuān)業(yè)課, 相較于其它物理學(xué)的應用學(xué)科, 物理專(zhuān)業(yè)在量子力學(xué)這一現代物理學(xué)的支柱學(xué)科上無(wú)論是深度還是廣度都是具有相當區分度的(絕大多數工科不需要學(xué)習量子力學(xué), 會(huì )用到量子力學(xué)的化學(xué)專(zhuān)業(yè)相較于物理專(zhuān)業(yè)而言也是比較粗淺的). 然而, 眾所周知, 量子力學(xué)是通過(guò)“線(xiàn)性代數”(實(shí)際上是泛函分析, 但這是物理學(xué)家的黑話(huà)了, 物理學(xué)家通常用微積分和線(xiàn)性代數泛指其用到的所有數學(xué)知識, 無(wú)論是拓撲學(xué)、微分流形、泛函分析還是其它, 畢竟它們歸根到底都可以視作是某種“微積分”或者“線(xiàn)性代數”, 當然, 頂多再加一份變質(zhì)了的“概率論”)這套語(yǔ)言進(jìn)行表述的. 然而, 大多數人接觸線(xiàn)性代數是在大學(xué)一年級的第一學(xué)期, 而接觸量子力學(xué)則要等到第四學(xué)期乃至于第五學(xué)期, 之間的很多內容其實(shí)只會(huì )用到很少的線(xiàn)性代數. 不僅如此, 國內的線(xiàn)性代數通常只有一個(gè)學(xué)期的課時(shí), 講述的知識實(shí)際上無(wú)法覆蓋量子力學(xué)學(xué)習真正需要的部分, 特別是線(xiàn)性空間和線(xiàn)性算子相關(guān), 而這些對理解量子力學(xué)至關(guān)重要.
?長(cháng)久以來(lái), 當有試圖學(xué)習量子力學(xué)的初學(xué)者向我咨詢(xún)參考書(shū)之時(shí), 我都會(huì )向他們強烈推薦R. Shankar所著(zhù)Principle of Quantum Mechanics, 相較于其他人習慣于推薦的Quantum Mechanics(by D. Griffith), 這本書(shū)從一開(kāi)始就拋棄了傳統的波函數敘事, 而是直接使用了現代物理學(xué)家更熟悉的Dirac記號, 并且在這個(gè)記號的基礎上帶著(zhù)讀者學(xué)習(或者復習)了一遍量子力學(xué)中最為基礎的那部分數學(xué)知識, 包括線(xiàn)性代數的相關(guān)知識以及一些積分相關(guān)的內容(另一本書(shū)則是Cohen Tannoudji的兩卷本, 這本書(shū)厚是厚了點(diǎn), 但確實(shí)全面, 它的前三章對需要用到的數學(xué)也做了梳理, 但是還是默認讀者有著(zhù)一定的線(xiàn)性代數基礎, 這就不如Shankar了, 畢竟Shankar直接假設讀者只有大學(xué)一年級的物理水平, 也就是只熟悉三維歐式空間的各種矢量而已, 頂多了解一點(diǎn)點(diǎn)低階矩陣, 這畢竟是AP課程的一部分). 最重要的是, 這本書(shū)自帶習題的解答, 這對自學(xué)而言至關(guān)重要. 事實(shí)上, 我往往推薦初學(xué)者至少閱讀完Shankar的第一章再轉入其它教科書(shū)的學(xué)習之中.
?為了方便初學(xué)者, 在這個(gè)系列中我會(huì )將Shankar書(shū)的第一章翻譯出來(lái), 讀者如果覺(jué)得確實(shí)符合自己的胃口, 可以找到其原版書(shū)進(jìn)行閱讀. 即便覺(jué)得不符合自己的胃口, 我也強烈建議讀者在閱讀完這一章之后再轉入其它教科書(shū)的懷抱. 另外, 我并不是完全直譯, 部分語(yǔ)段我可能會(huì )采用意譯的方式, 甚至會(huì )直接更改部分原文. 考慮到我自己語(yǔ)言水平不佳, 所有語(yǔ)句不順以及表述不清的問(wèn)題, 其責任都在我. 還是那句話(huà), 讀者若是覺(jué)著(zhù)讀著(zhù)不順或者難以理解, 請轉讀原書(shū), 畢竟我只是個(gè)不合格的二道販子罷了.
本章序:
(這是原書(shū)第一章的章序言, 我認為讀者有必要時(shí)刻記住Shankar老先生的叮囑, 因此決定每一篇前都帶上這一章序.)
?本書(shū)目的在于從其公理開(kāi)始向讀者介紹量子力學(xué), 而本章的目的則在于使讀者具備必要(而且完整系統)的數學(xué). 假定讀者對矢量以及矩陣的基本概念有一些了解, 從這些基礎開(kāi)始, 我們需要的所有數學(xué)知識都可以在這一章學(xué)到. 書(shū)中給出了大量和經(jīng)典力學(xué)相關(guān)的例子以及習題, 這既可以減輕數學(xué)上學(xué)習的負擔(畢竟這提供了充分的實(shí)例以及動(dòng)機. —— 譯者注), 又證明這里提出的思想之廣泛適用性. 你們在這一章所付出的努力將是非常值得的: 它不僅幫你們做好學(xué)習量子力學(xué)這門(mén)課的準備, 而且還可以將你們零碎學(xué)到的很多思想統一起來(lái). 要真正學(xué)習這一章, 你們必須像學(xué)習其他章節一樣, 完成附帶的習題.
學(xué)生須知:
(這是原書(shū)中序言的一部分, 我特別將其摘錄出來(lái), 因為它提到了第一章的重要性.)
?盡你們所能完成習題, 越多越好 —— 特別是標有或者結果中帶有公式標號的那些. 每個(gè)習題的答案要么隨習題一道給出, 要么在本書(shū)的結尾給出.
?第一章極其重要. 不要匆匆跳過(guò), 即便你們已經(jīng)熟悉了那些數學(xué), 也至少讀一讀, 熟悉一下符號.
?我并不是說(shuō)這門(mén)課簡(jiǎn)單, 但是我希望這本書(shū)能讓它合理一點(diǎn).
?祝你們好運!
閱讀須知:
?這本書(shū)畢竟是一本物理書(shū), 書(shū)中對諸多數學(xué)概念的處理充滿(mǎn)了“物理人”的“隨意”, 其嚴謹性相較于數學(xué)書(shū)欠缺了那么一點(diǎn). 但無(wú)傷大雅, 因為只要你閱讀的是物理書(shū), 大多數作者對數學(xué)概念的態(tài)度和本書(shū)是差不多的. 所以安心接受本書(shū)作者的說(shuō)法就是.
?或許有人會(huì )覺(jué)得這里介紹的數學(xué)知識有點(diǎn)少, 畢竟線(xiàn)性代數至少還要學(xué)一學(xué)期呢, 這里介紹的內容甚至不足兩周的課時(shí)! 然而事實(shí)上, 學(xué)習量子力學(xué)這些知識足夠了! 其余需要的線(xiàn)性代數知識基本上我們都可以在這門(mén)課程中通過(guò)具體案例接觸, 而不必專(zhuān)門(mén)去學(xué)習.
?截至目前, 我們已經(jīng)遇到兩種可以作用于矢量的東西. 第一種是標量, 標量之間彼此對易, 而且標量與所有算符也都是對易的; 第二種是算符, 它們之間通常是不對易的. 習慣上稱(chēng)前者為數, 后者為數(這兩個(gè)名詞是Dirac引入的, 專(zhuān)門(mén)用于描述量子力學(xué)中的對易情況和不對易情況.不過(guò)不同于其引入的Dirac記號, 數和數這一對概念并沒(méi)有在物理學(xué)中產(chǎn)生廣泛的影響. —— 譯者注). 我們早已習慣了數的函數, 比如說(shuō), 等. 我們現在則希望研究一下是否可以合理地定義數的函數. 我們僅將目標局限于那些可以寫(xiě)成冪級數的函數(當然, 對于自伴算符, 也就是物理學(xué)中所述Hermit算符, 我們可以通過(guò)譜定理定義其連續函數演算, 從而考慮更一般的連續函數. —— 譯者注).
?考察級數
其中是數. 我們將自變量為算符或者數的同一函數定義為
只有這個(gè)求和收斂到某個(gè)確定的極限之時(shí), 該定義才是有意義的. 為看出其含義, 我們考慮下面這個(gè)常見(jiàn)的例子:
我們將的類(lèi)型限制為Hermit算符(這樣就可以使用前面的結論了. 而且我們經(jīng)常操作的也是這種情況. —— 譯者注). 在的本征基下, 我們可以很快地給出和式的結果. 因為
所以我們得到
進(jìn)而由我們就有
由于對角線(xiàn)上的每一項都收斂到我們熟知的極限上, 所以算符在這組基下可以由冪級數進(jìn)行定義, 不僅如此, 該定義還是良定(well-defined)的(即不依賴(lài)于基的選擇. 事實(shí)上, 如果我們在一組基下得到了其表示之后只要對其作相似變換就可以得到其它基下面的表示形式, 而相似變換的結果不過(guò)是對這些對角項重新線(xiàn)性組合一下, 既然對角項都是收斂的, 我們重新線(xiàn)性組合之后的結果自然也是收斂的. 當然, 該論證僅限于有限維矩陣, 更一般的情況我們可能需要引入一些其他工具才可以. —— 譯者注).
習題1.9.1: 我們知道如果, 則級數
就等同于函數. 現在考慮數冪級數
在是Hermit算符的情況下, 在其本征基中驗證該冪級數與等同.
習題1.9.2: 如果是Hermit算符, 證明是幺正算符. (注意數情況下的類(lèi)比: 如果是實(shí)數, 則就是單位模長(cháng)的復數.)
習題1.9.3: 對于上面的情況, 證明.
?接下來(lái)考察一個(gè)依賴(lài)于參數的算符. 它關(guān)于參數的導數就定義為
如果在某組基下面表示為一個(gè)矩陣, 那么對的矩陣元進(jìn)行求導就給出了表示的矩陣. 我們感興趣的一個(gè)特殊情況就是
其中是Hermit算符. 在的本征基下, 我們可以證明
即便不是Hermit算符, 通過(guò)冪級數, 我們也可以得到相同的結果: 假定其存在, 則
?反過(guò)來(lái), 我們可以說(shuō)微分方程的解就是(假定下式中的指數是存在的)
在上式中, 是一個(gè)積分常量(算符). 對應于這個(gè)選擇的解就是.
?在上面的所有操作中, 我們看到表現得就像它只是一個(gè)數一樣. 我們知道, 數和數的真正區別在于后者通常不對易.然而, 如果僅有一個(gè)數(或者它的冪)出現在式子當中, 那么所有的項就都是對易的, 所以我們可以將它們視作是數. 只要記住這一方便法門(mén), 我們就可以節省很多時(shí)間.
?但是另一方面, 如果式子中出現不止一個(gè)數, 各個(gè)因子的順序就很重要了. 比方說(shuō), 通過(guò)冪級數展開(kāi), 我們可以驗證
成立, 但是除非有, 我們總是會(huì )看到
以及
同樣地, 在對乘積求導時(shí), 微分的乘法規則給出
我們可以讓穿過(guò)(因為它們兩個(gè)對易. —— 譯者注), 從而將第一項寫(xiě)成
但是我們并不能將其寫(xiě)成
除非.
?在前面的所有討論當中, 矢量空間的維數都是未指定的, 但是總歸是某個(gè)有限數. 現在我們考慮將前面的概念推廣到無(wú)窮維的情況.
?讓我們從熟悉無(wú)窮維矢量開(kāi)始. 考察定義在某個(gè)區間 —— 比方說(shuō) —— 上的函數. 一個(gè)具體的例子就是兩端固定于和處的弦(圖1.6)的位移.
?假定我們希望在某個(gè)時(shí)刻與月球上的某個(gè)人交流弦的位移. 一個(gè)簡(jiǎn)單的方式就是將區間進(jìn)行等分, 然后測量個(gè)分點(diǎn)處的位移, 然后將這個(gè)值無(wú)線(xiàn)傳輸給這個(gè)人. 給定這些之后, 我們在月球上的朋友就可以重構出圖1.7所示的弦位形的近似圖像.
?如果我們希望更準確一點(diǎn), 則只需取更多的分點(diǎn). 我們現在將在分點(diǎn)數為時(shí)的離散近似記作, 它與在分點(diǎn)處的值相等, 而在分點(diǎn)以外的所有值都是. 接下來(lái)我們將元序組解釋為某個(gè)矢量空間中的右矢的分量:
該空間中的基矢為
這對應了在處產(chǎn)生單位位移, 而其它位置都不動(dòng)的離散函數. 這一組基矢滿(mǎn)足
以及
?現在試著(zhù)想象這樣一個(gè)空間, 它由條互相垂直的軸張成, 對于每個(gè)點(diǎn)都對應這樣一條軸, 沿著(zhù)每一條軸都有一個(gè)單位矢量. 函數就可以由沿著(zhù)第個(gè)方向的投影為的矢量
予以描述. 對于每個(gè)可能的離散近似, 等, 都存在一個(gè)與之對應的右矢, 等, 反之亦然. 你應當說(shuō)服自己, 如果我們將矢量加法定義為分量之間的加法, 而標量乘法定義為每個(gè)分量都乘以該標量, 則表示離散函數 —— 它們在和處為零, 并且僅在這兩點(diǎn)之間的個(gè)點(diǎn)處賦值 —— 的所有右矢的集合就構成一個(gè)矢量空間.
?緊接著(zhù)我們在該空間內定義內積為
如果, 我們就稱(chēng)這兩個(gè)函數和是正交的.
?現在讓我們忘掉那位月球上的朋友, 并考慮指定弦位移的最大可能方式: 即在區間內的每個(gè)點(diǎn)都進(jìn)行賦值. 在這種情況下, 就由無(wú)窮個(gè)數構成的有序數組指定: 對每個(gè)點(diǎn), 都對其賦值. (請注意這里有一個(gè)比較大的gap, 在我們采用這個(gè)記號的時(shí)候其實(shí)某種意義上暗示了下標是可數的, 但是在這個(gè)記號中, 顯然并不是可數意義下的無(wú)窮, 畢竟我們的分點(diǎn)遍布整個(gè)區間. 換言之, 我們的指標集的基數已經(jīng)不再是至多, 而是連續統了. 因此下文提到的趨于無(wú)窮的做法稍稍有點(diǎn)問(wèn)題. 但是問(wèn)題不大, 我們只要按照常規, 將其理解為當分點(diǎn)充分多 —— 但總歸是有限個(gè)分點(diǎn), 而且未必均分 —— 的時(shí)候, 我們可以得到原本函數的絕佳近似即可. 確切地說(shuō), 我們的近似矢量同時(shí)依賴(lài)于分點(diǎn)數以及取分點(diǎn)的方式, 符號中的現在就可以理解為了, 但務(wù)必注意此時(shí)我們同時(shí)要求與之相關(guān)的極限對所有使得的劃分都要成立, 這里表示區間的劃分中子區間的最小長(cháng)度. 這就是后文我們對內積進(jìn)行推廣時(shí)實(shí)際采用的操作方案. 總之, 無(wú)窮和無(wú)窮是不一樣的. —— 譯者注) 現在, 每個(gè)函數都可以表示為某個(gè)無(wú)窮維矢量空間中的右矢, 反之亦然. 該空間中的矢量加法以及數乘定義方式和之前一樣. 然而, 內積卻不一樣了. 對于有限的, 內積定義為
特別地,
如果我們讓, 那么對于幾乎所有函數, 上面的求和也會(huì )是無(wú)窮大. 我們需要對有限時(shí)的內積進(jìn)行重新定義, 使得當時(shí)可以得到一個(gè)光滑的極限. 自然的那個(gè)選擇當然就是
如果我們取趨于無(wú)窮, 則由積分的常規定義, 我們就有
以及
如果我們希望突破弦振動(dòng)的這個(gè)實(shí)例, 并希望推廣到的復值函數上, 且取值范圍為一般性的區間, 那么內積僅有的修正方式就是
?這個(gè)空間中的基矢又是什么呢? 它們如何歸一化? 我們知道對于每個(gè)點(diǎn), 都對應了一個(gè)基矢, 于是兩條不同的軸之間的正交性就要求
如果呢? 我們應當要求其如同有限維情況那樣有嗎? 答案是否定的, 看出這一點(diǎn)的最佳方式就是推導出正確的歸一化方式. 我們從將完備性關(guān)系自然推廣到右矢由連續指標(在物理上, 當我們提到連續指標的時(shí)候, 往往是指該指標在某個(gè)區間上取值. 最常見(jiàn)的情況就是指標可以在整個(gè)實(shí)軸上取值. —— 譯者注)標記的情況開(kāi)始:
和往常一樣, 我們要求這個(gè)恒等式兩邊都可以保證右矢是不變的. 在兩邊同時(shí)右乘, 左乘基矢對應的左矢, 就有(這里我們交換了積分號與內積運算的順序, 一部分原因在于內積和積分都是線(xiàn)性運算. —— 譯者注)
而 —— 右矢沿著(zhù)基矢方向的投影 —— 正是. 類(lèi)似地, . 現在我們令內積為某個(gè)未知的函數. 因為在時(shí)必須為零, 我們可以將中的積分區間限制在附近的無(wú)窮小區域上, 于是
在這個(gè)無(wú)窮小區域上, (對于任意合理的光滑函數)可以由其在處的值近似, 于是我們可以將從積分號中提出來(lái):
于是我們就有
顯然在處不能是有限值, 因為這樣一來(lái)它在無(wú)窮小區域上的積分也會(huì )是無(wú)窮小. 事實(shí)上, 在時(shí)應當是使得上述積分為的無(wú)窮大. 因為只取決于差值, 所以讓我們將其寫(xiě)作. 這個(gè)滿(mǎn)足性質(zhì)
的“函數”就被稱(chēng)作Dirac delta函數(請注意Dirac delta函數并不是常規意義上的函數, 上面中的積分也不是常規意義上的Riemann積分, 畢竟我們知道幾乎處處為零的函數其Riemann積分必然等于零. 要嚴格理解這個(gè)“函數” —— 它實(shí)際是一個(gè)線(xiàn)性泛函, 或者更確切地說(shuō), 是一個(gè)分布 —— 我們就必須學(xué)習數學(xué)中的分布理論, 這是泛函分析的高階知識. 然而幸運的是, 在物理學(xué)中我們需要用到的分布大概也就是這么一個(gè), 我們實(shí)際上不必學(xué)習分布理論, 只要熟練掌握這個(gè)函數的諸多性質(zhì)即可. —— 譯者注), 它就給出了基矢(確切地說(shuō), 是連續指標下的“基矢”, 離散指標下和最初有限維的情況長(cháng)得是差不多的, 只不過(guò)求和到了無(wú)窮罷了. 這其實(shí)就是我前面說(shuō)的, “無(wú)窮和無(wú)窮是不一樣的”. 另外值得說(shuō)明的是, 我對基矢也加了引號, 這是因為連續指標情況下的的含義遠比離散指標要復雜, 這涉及到譜以及譜族的概念, 它遠遠超出了正常初學(xué)量子力學(xué)時(shí)讀者會(huì )有的數學(xué)基礎, 因此我們在這里不要深究, 作形式計算就OK. —— 譯者注)歸一化的修正:
在任何時(shí)候, 用連續指標 —— 比如說(shuō) —— 標記的基矢都是必要的(我們會(huì )在后面接觸坐標算符和動(dòng)量算符時(shí)看到這一點(diǎn). —— 譯者注). 但是請注意, 只有在積分的語(yǔ)境下, delta函數與任意光滑函數的積分為. (事實(shí)上, 從就可以看出我們是在積分語(yǔ)境中定義Dirac delta函數的, 它的所有性質(zhì)也必須在積分下進(jìn)行理解, 雖然在物理書(shū)中我們經(jīng)?？吹姜毩⒌膁elta函數出現, 比如, 什么的, 但是務(wù)必注意這些表達式不能按照字面含義進(jìn)行理解, 都必須回到其與某個(gè)性質(zhì)充分好的函數的積分中才可以. —— 譯者注) 人們有時(shí)候也把delta函數稱(chēng)作采樣函數(sampling function), 因為它對函數在某個(gè)點(diǎn)處進(jìn)行了采樣(如果積分區間不重要, 我們通常會(huì )略去不寫(xiě). —— 作者注):
?Dirac delta函數和我們以前看到的函數一點(diǎn)也不像, 它的值要么是零, 要么是無(wú)窮. 因此, 將其視作更為常規的函數列的極限是非常有用的(事實(shí)上, 在分布理論中, 我們通常將delta函數視作滿(mǎn)足若干性質(zhì)的函數列, 并將delta函數與其他函數的積分理解為該函數與函數列中函數的積分的極限, 請注意此時(shí)積分和極限不能交換順序, 極限在積分號外. —— 譯者注). 比方說(shuō), 考慮如圖1.8a所示的Gauss型函數
這個(gè)Gauss型函數中心在處, 寬度為, 最大高度為, 且具有單位面積 —— 這與無(wú)關(guān). 當趨于零的時(shí)候, 就是delta函數越來(lái)越好的近似(這個(gè)公式在為純虛數 —— 即它等于, 其中為實(shí)數 —— 時(shí)也是成立的, 不過(guò)直到第8章, 你不必擔心這一問(wèn)題. 原因如下: 首先, 從我們知道有單位面積. 接下來(lái)考察乘以在的某個(gè)區域上的積分, 該區域包含點(diǎn). 在大多數地方, 這個(gè)值為零, 因為是光滑函數且在時(shí)劇烈振蕩. 然而, 在處, 相位的導數為零, 振蕩消除. 于是我們可以將提出積分號, 這就給出了目標結論. —— 作者注).
?從Gauss型函數的這個(gè)例子中可以很容易看到delta函數是偶函數. 可以驗證如下:
這是因為delta函數是實(shí)值函數.
?接下來(lái)考慮一個(gè)比delta函數更為特殊的東西: 它關(guān)于第一個(gè)自變量的導數(下面這個(gè)式子的第二個(gè)等號需要回歸到積分形式中理解, 這不過(guò)是個(gè)簡(jiǎn)單的換元罷了, 那個(gè)負號就是換元帶來(lái)的. 另外請注意這里也有一點(diǎn)符號濫用的意思, 表示的是函數形式的導數, 表示該函數在處的函數值. —— 譯者注):
這個(gè)函數在積分下的作用如何? 回答該問(wèn)題的線(xiàn)索來(lái)自于前面的Gauss型函數模型. 將視作的函數. 當縮小的時(shí)候, 在處的每個(gè)凸起都會(huì )變成函數 —— 至多相差一個(gè)標量因子. 第一個(gè)采樣得到, 而第二個(gè)采樣得到 —— 當然和之前一樣, 至多相差一個(gè)標量因子. 于是
這里正比中的比例系數恰好就是, 因此
這個(gè)結論也可以驗證如下:
注意是奇函數, 這容易由圖1.8b或者得出. 描述函數的作用的另一個(gè)等價(jià)的方式是
上式應當這樣理解: 等式兩邊同時(shí)出現在某個(gè)對的積分中, 且微分算符作用在被積式中函數伴隨的那個(gè)任意函數上. 在這一記號下, 我們可以將delta函數高階導數的作用表述為
?我們現在給出delta函數的另一個(gè)表示方式. 由Fourier分析的基本知識, 我們知道, 給定函數, 我們可以定義其Fourier變換(請注意這里有一個(gè)符號濫用, 我們同時(shí)使用表示自身及其Fourier變換, 區別他們的方法是看后面括號中的變量. 在備注變量的情況下這個(gè)符號濫用應該不會(huì )導致什么大問(wèn)題, 但是如果希望略去變量, 那最好作出符號區分, 比如將Fourier變換后的函數寫(xiě)成或者等. —— 譯者注)
以及其逆變換
將代入到中, 我們就得到
將其與比照, 我們就看到
習題1.10.1: 證明. [考察(請注意這里略去了某個(gè)測試函數. —— 譯者注). 記住.]
習題1.10.2: 證明
其中是的零點(diǎn). 提示: 爆炸的點(diǎn)(即趨于無(wú)窮的點(diǎn). —— 譯者注)在哪兒? 將在這些點(diǎn)附近Taylor展開(kāi), 然后保留一階非零項.
習題1.10.3: 考察theta函數, 它在為負數的時(shí)候等于零, 而在為正的時(shí)候等于. 證明.
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